Z-преобразование и его свойства
Основные определения
1. Оригинал — последовательность , удовлетворяющая условию: , где и — положительные постоянные (рис. 5.22).
2. Изображение последовательности — функция комплексного переменного , определяемая равенством
Изображение является аналитической функцией при .
Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов, а совокупность всех изображений — пространством изображений.
3. Переход, определяющий изображение по оригиналу , называется Z-преобразованием:
(5.59)
4. Оригинал по изображению находится с помощью обратного Z-преобразования по формуле:
(5.60)
где — контур, внутри которого лежат все особые точки функции .
Замечания 5.14
1. Название Z-преобразование определяется буквой , выбранной для обозначения переменной. Такое название противоречит существующему обычаю называть часто применяемые преобразования по имени ученого. В некоторых источниках Z-преобразование называется преобразованием Лорана, так как ряд (5.58) дает разложение функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
2. Z-преобразование можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа, а именно как преобразование в пространстве ступенчатых оригиналов. Ступенчатая функция — это разрывная функция целочисленного аргумента, которая в общем случае имеет разрывы при каждом натуральном значении аргумента, оставаясь между ними постоянной. По рис. 5.22 можно представить такую функцию , для которой при при и т.д. Оригиналом по Лапласу такая функция является, если выполняется условие , то есть . Ее можно представить в виде ряда . Тогда по теореме запаздывания
т.е. нахождение преобразования Лапласа в рассматриваемом классе оригиналов сводится к нахождению суммы ряда Тейлора:
Обозначая (тогда ) и отбрасывая множитель , общий для всех оригиналов данного класса, получаем соотношение (5.58): . При этом обратное преобразование — есть задача нахождения коэффициентов' разложения функции в ряд Тейлора по степеням . Коэффициенты вычисляются по формуле (3.16): или (3.17): . При получаем ряд Лорана (5.58) функции в окрестности с коэффициентами (5.60): (здесь учтено, что , направление обхода контура при преобразовании меняется на противоположное и интеграл меняет знак при изменении направления обхода).
Свойства Z-преобразования
Положим, что .
1. Линейность. Для любых постоянных справедливо
(5.61)
где — оригиналы, a — их изображения.
2. Запаздывание (формула запаздывания), где при (рис. 5.23):
(5.62)
(5.63)
3. Опережение (формула опережения):
(5.64)
(5.65)
4. Дифференцирование изображения:
(5.66)
5. Умножение изображений. Свертке оригиналов соответствует произведение изображений:
(5.67)
где . Сверткой оригиналов и называется сумма
(5.68)
6. Теоремы о предельных значениях. Если , то
(5.69)
где стремится к бесконечности вдоль произвольного пути. Если существует, то
(5.70)
Заметим, что первую формулу в (5.69) можно получить из (5.58):
при .
Умножая обе части на , получаем и т.д.
Нахождение изображения по оригиналу
Для нахождения изображений используется (5.58) и свойству Z-преобразования.
Пример 5.61. Найти изображения по оригиналам: а) ; б) ; в) ; г) .
Решение
В табл. 5.2 приведены наиболее часто встречающиеся в примерах соответствия при Z-преобразовании. Формулы 1, 7, 11 получены в примере 5.61.
Таблица 5.2. Таблица Z-преобразований
№ | | | | № | | | 1 | | | 11 | | | 2 | | | 12 | | | 3 | | | 13 | | | 4 | | | 14 | | | 5 | | | 15 | | | 6 | | | 16 | | | 7 | | | 17 | | | 8 | | | 18 | | | 9 | | | 19 | | | 10 | | | 20 | | |
Нахождение оригинала по изображению
Для нахождения оригинала используются следующие способы:
1) разложение функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; 2) формула (5.60); 3) табл. 5.2 и свойства Z-преобразования; 4) формула (5.69); 5) формула (5.71)
6) если представляет собой рациональную функцию, т.е. отношение двух многочленов: , где степень многочлена в силу аналитичности при не превышает степени многочлена , то можно разделить многочлен на одним из обычных способов. Это хотя и не даст общего выражения для , но позволит численным путем определить сколь угодно большое число значений .
Замечания 5.15
1. Сравнивая (5.60) с определением (4.16) вычета в , получаем (где — особые точки функции )
2. Формула (5.71) получается из формулы для коэффициентов ряда Тейлора (см. замечание 5.14), где .
Пример 5.62. Найти оригиналы для функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;
Решение
а) Первый способ. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, учитывая, что Сравнивая с (5.58), имеем По формуле (5.69) получаем . Поэтому . Второй способ. По формуле (5.60) получаем В точке — полюс второго порядка; интеграл можно брать по любому контуру , где , так как в содержится единственная особая точка функции . По формуле (4.19) где согласно (4.22) . Поэтому , то есть . Заметим, что можно было использовать п.1 замечаний 5.15: Третий способ. Представим в виде рациональной функции: . Поделим числитель на знаменатель, в результате получаем и Четвертый способ. По формуле (5.69) имеем и так далее: . б) По формуле (5.60) имеем Особые точки полюсы первого порядка (корни уравнения ). По формуле (4.19) имеем По формуле (4.23) для вычисления вычета в полюсе первого порядка получаем в) Представим в виде суммы двух элементарных дробей и разложим каждую из них в окрестности Поэтому при . По формуле (5.69) находим . Окончательный ответ: при . г) Разложим функцию на простейшие дроби: поэтому По формулам 5,7 из табл. 5.2 и Используя свойство линейности, имеем д) Заметим, что дискриминант трехчлена в знаменателе отрицателен. Наиболее близкими по форме записи к данному изображению являются функции, соответствующие формулам 14 и 15 из табл. 5.2. Чтобы выделить значения и , представим изображение в виде При , то есть , первое слагаемое совпадает с изображением в формуле 15 из табл. 5.2. Так как , то преобразуем второе слагаемое к табличному. Получим По формулам 15, 14 из табл. 5.2 и по свойству линейности е) Представим изображение в виде По формуле 16 из табл.5.2 и свойству линейности По формуле опережения (5.64) с учетом получаем:
Области применения Z-преобразования
Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть заданы: а) линейное разностное уравнение:
(5.72)
где — постоянные коэффициенты; — целое число; последовательность ;
б) начальные условия:
(5.73)
Требуется найти решение разностного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
3амечание 5.16. Аналогично формируется постановка задачи решения систем линейных разностных уравнений.
Будем предполагать, что последовательности и принадлежат пространству оригиналов. Для решения поставленной задачи можно применить аппарат операционного исчисления — метода решения задач, содержащего следующие этапы, отраженные на рис. 5.24.
Алгоритм решения задачи (5.72),(5.73)
1. От известных и неизвестных последовательностей (оригиналов) перейти к их Z-изображениям. Записать уравнение (систему) в изображениях, соответствующее решаемой задаче. 2. Решить полученное уравнение (систему): найти изображение искомого решения. 3. Применить обратное Z-преобразование: найти оригинал для полученного в п.2 изображения.
▼ Примеры 5.63-5.71
Пример 5.63. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: . 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для По формулам 14 и 15 из табл. 5.2 получаем (см. пример 5.62, пункт "д") Легко проверить, что при и начальные условия выполняются.
Пример 5.64. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для По формуле 14 из табл. 5.2 и (5.64) получаем (см. пример 5.62, пункт "е") При использовании формулы (5.64) было учтено, что
Пример 5.65. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для . Первый способ. Запишем в виде произведения, удобного для применения формулы 7 из табл. 5.2, и разложим дробь на элементарные: По формуле 7 из табл. 5.2 получаем Второй способ. Согласно п.1 замечаний 5.15
Пример 5.66. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы 1 из табл. 5.2, (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для . Как и в предыдущем примере, представим в виде суммы простейших дробей: Отсюда По формулам 1,2 и 7 из табл. 5.2 имеем: .
Пример 5.67. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы 7 из табл. 5.2, (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для . Разложим каждую из дробей на элементарные: Тогда По формуле 7 из табл. 5.2 имеем: .
Пример 5.68. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы 7 из табл. 5.2, (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для . Используем разложение Тогда По формулам 5, 7, 8 из табл. 5.2 получаем
Пример 5.69. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы 7 из табл. 5.2, (5.61), (5.64), (5.65): Запишем уравнение для изображений: 2. Решим уравнение для изображений: 3. Найдем оригинал для . Используем представление Тогда По формулам 1, 3 и 7 из табл. 5.2 получаем .
Пример 5.70. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулы (5.64), (5.65): Запишем систему уравнений для изображений: 2. Решим систему уравнений для изображений. Выражая из первого уравнения и подставляя во второе, получаем Отсюда, учитывая, что , имеем 3. Найдем оригиналы для и . Как в примере 5.62, пункт "д" дискриминант знаменателя отрицателен, поэтому преобразуем дроби к виду, удобному для применения формул 14-17 из табл. 5.2: По формулам 14, 15 из табл. 5.2 и (5.64) получаем Здесь было учтено, что
Пример 5.71. Найти решение задачи: .
Решение
1. Перейдем от оригиналов к изображениям, используя формулу 7 из табл. 5.2, (5.64): Запишем систему уравнений для изображений: 2. Решим систему уравнений для изображений. Умножая первое уравнение на и вычитая второе, получаем Отсюда 3. Найдем оригиналы для . Используем представления Тогда По формулам (5.62) и 7 из табл. 5.2 получаем
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|