Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Ядро и образ линейного отображения

Ядро и образ линейного отображения


Ядром линейного отображения \mathcal{A}\colon V\to W называется множество таких векторов \mathbf{v}\in V, что \mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathbf{o}_W, т.е. множество векторов из {V}, которые отображаются в нулевой вектор пространства {W}. Ядро отображения \mathcal{A}\colon V\to W обозначается:


\ker \mathcal{A}= \Bigl\{\mathbf{v}\colon\, \mathbf{v}\in V,~ \mathcal{A}(\mathbf{v})=\mathbf{o}_W\Bigr\}.

Образом линейного отображения \mathcal{A}\colon V\to W называется множество образов \mathcal{A}(\mathbf{v}) всех векторов \mathbf{v} из {V}. Образ отображения \mathcal{A}\colon V\to W обозначается \operatorname{im}\mathcal{A} или \mathcal{A}(V)\colon


\operatorname{im}\mathcal{A}= \mathcal{A}(V)= \Bigl\{\mathbf{w}\colon\, \mathbf{w}=\mathcal{A}(v),~ \forall \mathbf{v}\in V\Bigr\}.

Заметим, что символ \operatorname{im}\mathcal{A} следует отличать от \operatorname{Im}z — мнимой части комплексного числа.




Примеры ядер и образов линейных отображений


1. Ядром нулевого отображения \mathcal{O}\colon V\to W является все пространство {V}, а образом служит один нулевой вектор, т.е. \ker  \mathcal{O}=V,~ \operatorname{im}\mathcal{O}=\{\mathbf{o}_W\}.


2. Рассмотрим отображение \mathsf{a\!e}\colon V\to \mathbb{R}^n, которое ставит в соответствие каждому вектору \mathbf{v} n-мерного линейного пространства {V} его координатный столбец v=\begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n \end{pmatrix}^T относительно заданного базиса \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n. Ядром этого отображения является нулевой вектор \mathbf{o}_V пространства {V}, поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец \mathsf{a\!e}(\mathbf{o}_V)=o\in \mathbb{R}^n. Образ преобразования \mathsf{a\!e} совпадает со всем пространством \mathbb{R}^n, так как это преобразование сюръективно (любой столбец из \mathbb{R}^n является координатным столбцом некоторого вектора пространства {V}).


3. Рассмотрим отображение \operatorname{pr}_{\mathbf{e}}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{R}, которое каждому вектору \mathbf{v} n-мерного евклидова пространства \mathbb{E} ставит в соответствие алгебраическое значение \operatorname{pr}_{\mathbf{e}}(\mathbf{v})= \langle \mathbf{e},\mathbf{v}\rangle его проекции на направление, задаваемое единичным вектором \mathbf{e}. Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение \{\mathbf{e}\}^{\perp} — множество векторов, ортогональных \mathbf{e}. Образом является все множество действительных чисел \mathbb{R}.


4. Рассмотрим отображение \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_{n-1}(\mathbb{R}), которое каждому многочлену степени не выше {n} ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество P_0(\mathbb{R}) многочленов нулевой степени, а образом — все пространство P_{n-1}(\mathbb{R}).




Свойства ядра и образа линейного отображения


1. Ядро любого линейного отображения \mathcal{A}\colon V\to W является подпространством: \{\mathbf{o}_V\}\triangleleft \ker  \mathcal{A} \triangleleft V.


В соответствии с определением требуется доказать, что множество \ker  \mathcal{A} является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что


\mathcal{A}(\mathbf{o}_V)= \mathcal{A}(0\cdot\mathbf{v})= 0\cdot \mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathbf{v}_W,

т.е. нулевой вектор \mathbf{o}_V отображается в нулевой вектор \mathbf{o}_W. Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: \mathbf{o}_V\in \ker  \mathcal{A}. Покажем, что множество \ker \mathcal{A} замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:


\begin{gathered} \left.{\begin{matrix} \mathbf{v}_1\in \ker \mathcal{A}~ \Rightarrow~ \mathcal{A} (\mathbf{v}_1)= \mathbf{o}_W\\ \mathbf{v}_2\in \ker  \mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{A} (\mathbf{v}_2)= \mathbf{o}_W \end{matrix}}\right\} \Rightarrow~ \mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= \mathcal{A} (\mathbf{v}_1)+ \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)= \mathbf{o}_W~ \Rightarrow~ \mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2\in \ker \mathcal{A}\,;\\[5pt] \mathbf{v}\in \ker \mathcal{A}~ \Rightarrow~ \mathcal{A}(\mathbf{v})=\mathbf{o}_W~ \Rightarrow~ \mathcal{A}(\lambda\cdot \mathbf{v})= \lambda\cdot\mathcal{A}(\mathbf{v})= \lambda \cdot \mathbf{o}_W= \mathbf{o}_W~ \Rightarrow~ \lambda\cdot \mathbf{v}\in \ker  \mathcal{A}\,. \end{gathered}

Следовательно, множество \ker \mathcal{A} является линейным подпространством пространства {V}.


2. Образ любого линейного отображения \mathcal{A}\colon V\to W является подпространством: \operatorname{im}\mathcal{A}\triangleleft W.


В самом деле, докажем, например, замкнутость множества \operatorname{im} \mathcal{A} по отношению к операции умножения вектора на число. Если \mathbf{w}\in \operatorname{im}\mathcal{A}, то существует вектор \mathbf{v}\in V такой, что \mathbf{w}=\mathcal{A} (\mathbf{v}). Тогда \mathcal{A}(\lambda\cdot \mathbf{v})= \lambda\cdot \mathcal{A}(\mathbf{v})= \lambda\cdot \mathbf{w}, то есть \lambda\cdot \mathbf{w}\in \operatorname{im}\mathcal{A}.


Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.


Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: d=\dim \ker \mathcal{A}, а рангом линейного отображения — размерность его образа: \operatorname{rg}\mathcal{A}=r=\dim \operatorname{im}\mathcal{A}.


3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).


В самом деле, если \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n любой базис пространства {V}, то \operatorname{im}\mathcal{A}= \operatorname{Lin}[ \mathcal{A} (\mathbf{e}_1),\ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n)]. Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы \mathcal{A} (\mathbf{e}_1),\ldots,\mathcal{A} (\mathbf{e}_n) (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы {A} отображения, т.е. рангу матрицы: \dim \operatorname{im} \mathcal{A}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}\mathcal{A}.


4. Линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W инъективно тогда и только тогда, когда \ker \mathcal{A}=\{\mathbf{o}_V\}, другими словами, когда дефект отображения равен нулю: d=\dim \ker \mathcal{A}=0.


Действительно, образом нулевого вектора \mathbf{o}_v служит нулевой вектор \mathbf{o}_W. Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор \mathbf{o}_v, иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ \mathbf{o}_W. Обратно, при условии \ker \mathcal{A}= \{\mathbf{o}_V\} разные векторы \mathbf{v}_1\ne \mathbf{v}_2 не могут иметь одинаковые образы \mathcal{A}(\mathbf{v}_1)= \mathcal{A}(\mathbf{v}_2), так как в этом случае из равенств \mathcal{A}(\mathbf{v}_1)- \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)= \mathcal{A} (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)= \mathbf{}_W, следует, что ненулевой вектор (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)\in \ker \mathcal{A} (приходим к противоречию).


5. Линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W сюръективно тогда и только тогда, когда \operatorname{im}\mathcal{A}=W, другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: r=\dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{W}.


6. Линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда \ker \mathcal{A}=\{\mathbf{o}_V\} и \operatorname{im}\mathcal{A}=W одновременно.




Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения \mathcal{A}\colon V\to W равна размерности пространства прообразов:


\dim \ker \mathcal{A}+ \dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{V}\,.
(9.3)

Действительно, пусть d=\dim \ker \mathcal{A},~ \dim{V}=n. Выберем в подпространстве \ker\mathcal{A} \triangleleft V базис \mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_d и дополним его векторами \mathbf{e}_{d+1},\ldots,\mathbf{e}_n до базиса \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n всего пространства {V}. Покажем, что векторы \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n) образуют базис подпространства \operatorname{im}\mathcal{A}\triangleleft W.


Во-первых, \operatorname{im}\mathcal{A}= \operatorname{Lin}[\mathcal{A} (\mathbf{e}_{d+1}), \ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n)], так как образ любого вектора \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_d \mathbf{e}_d+v_{d+1}\mathbf{e}_{d+1}+\ldots+ v_n \mathbf{e}_n линейно выражается через векторы \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A}(\mathbf{e}_n):


\mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathcal{A} \Biggl( \sum_{i=1}^{n} v_i \mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n}v_i\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \sum_{i=1}^{d}v_i \underbrace{\mathcal{A} (\mathbf{e}_i)}_{\mathbf{o}_W}+ \sum_{i=d+1}^{n} v_i\mathcal{A} (\mathbf{e}_i)= \sum_{i=d+1}^{n} v_i\mathcal{A}(\mathbf{e}_i).

Во-вторых, образующие \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}), \ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n) линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:


\mathbf{o}_W= \sum\limits_{i=d+1}^{n} \lambda_i \mathcal{A} (\mathbf{e}_i)= \mathcal{A}\!\left(\sum_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathbf{e}_i\right)\!,

то вектор \textstyle{\sum\limits_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathbf{e}_i} принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению (\ker \mathcal{A})^{+}. Учитывая, что \ker  \mathcal{A}\cap (\ker \mathcal{A})^{+}=\{\mathbf{o}_V\}, заключаем: \textstyle{\sum\limits_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathbf{e}_i}=\mathbf{o}_V. Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе \mathbf{e}_{d+1},\ldots, \mathbf{e}_n векторов, значит, все коэффициенты \lambda_i=0. Поэтому равенство \textstyle{\sum\limits_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \mathbf{o}_W} справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n) линейно независимая.


Таким образом, векторы \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n) образуют базис подпространства \operatorname{im}\mathcal{A}= \operatorname{Lin} \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n), а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. \dim\operatorname{im} \mathcal{A}=n-d, что равносильно (9.3).


Следствие. Линейное отображение \mathcal{A}\colon V\to W биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).


Действительно, для обратимости преобразования \mathcal{A}\colon V\to W (см. свойство 6) его матрица A (размеров m\times n) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):


\operatorname{rg}A= \operatorname{rg}\mathcal{A}= \dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{W}=m,\quad d=\dim \ker \mathcal{A}=0.

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что m=n-d=n, т.е. матрица A — квадратная n-го порядка и невырожденная (\operatorname{rg}A=n), что и требовалось доказать.


Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved