Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ядро и образ линейного отображения
ОглавлениеЛинейная алгебра

Ядро и образ линейного отображения


Ядром линейного отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] называется множество таких векторов [math]\mathbf{v}\in V[/math], что [math]\mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathbf{o}_W[/math], т.е. множество векторов из [math]{V}[/math], которые отображаются в нулевой вектор пространства [math]{W}[/math]. Ядро отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] обозначается:


[math]\ker \mathcal{A}= \Bigl\{\mathbf{v}\colon\, \mathbf{v}\in V,~ \mathcal{A}(\mathbf{v})=\mathbf{o}_W\Bigr\}.[/math]

Образом линейного отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] называется множество образов [math]\mathcal{A}(\mathbf{v})[/math] всех векторов [math]\mathbf{v}[/math] из [math]{V}[/math]. Образ отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] обозначается [math]\operatorname{im}\mathcal{A}[/math] или [math]\mathcal{A}(V)\colon[/math]


[math]\operatorname{im}\mathcal{A}= \mathcal{A}(V)= \Bigl\{\mathbf{w}\colon\, \mathbf{w}=\mathcal{A}(v),~ \forall \mathbf{v}\in V\Bigr\}.[/math]

Заметим, что символ [math]\operatorname{im}\mathcal{A}[/math] следует отличать от [math]\operatorname{Im}z[/math] — мнимой части комплексного числа.




Примеры ядер и образов линейных отображений


1. Ядром нулевого отображения [math]\mathcal{O}\colon V\to W[/math] является все пространство [math]{V}[/math], а образом служит один нулевой вектор, т.е. [math]\ker \mathcal{O}=V,~ \operatorname{im}\mathcal{O}=\{\mathbf{o}_W\}.[/math]


2. Рассмотрим отображение [math]\mathsf{a\!e}\colon V\to \mathbb{R}^n[/math], которое ставит в соответствие каждому вектору [math]\mathbf{v}[/math] n-мерного линейного пространства [math]{V}[/math] его координатный столбец [math]v=\begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n \end{pmatrix}^T[/math] относительно заданного базиса [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math]. Ядром этого отображения является нулевой вектор [math]\mathbf{o}_V[/math] пространства [math]{V}[/math], поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец [math]\mathsf{a\!e}(\mathbf{o}_V)=o\in \mathbb{R}^n[/math]. Образ преобразования [math]\mathsf{a\!e}[/math] совпадает со всем пространством [math]\mathbb{R}^n[/math], так как это преобразование сюръективно (любой столбец из [math]\mathbb{R}^n[/math] является координатным столбцом некоторого вектора пространства [math]{V}[/math]).


3. Рассмотрим отображение [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{R}[/math], которое каждому вектору [math]\mathbf{v}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] ставит в соответствие алгебраическое значение [math]\operatorname{pr}_{\mathbf{e}}(\mathbf{v})= \langle \mathbf{e},\mathbf{v}\rangle[/math] его проекции на направление, задаваемое единичным вектором [math]\mathbf{e}[/math]. Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение [math]\{\mathbf{e}\}^{\perp}[/math] — множество векторов, ортогональных [math]\mathbf{e}[/math]. Образом является все множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math].


4. Рассмотрим отображение [math]\mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_{n-1}(\mathbb{R})[/math], которое каждому многочлену степени не выше [math]{n}[/math] ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество [math]P_0(\mathbb{R})[/math] многочленов нулевой степени, а образом — все пространство [math]P_{n-1}(\mathbb{R})[/math].




Свойства ядра и образа линейного отображения


1. Ядро любого линейного отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] является подпространством: [math]\{\mathbf{o}_V\}\triangleleft \ker \mathcal{A} \triangleleft V[/math].


В соответствии с определением требуется доказать, что множество [math]\ker \mathcal{A}[/math] является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что


[math]\mathcal{A}(\mathbf{o}_V)= \mathcal{A}(0\cdot\mathbf{v})= 0\cdot \mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathbf{v}_W,[/math]

т.е. нулевой вектор [math]\mathbf{o}_V[/math] отображается в нулевой вектор [math]\mathbf{o}_W[/math]. Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: [math]\mathbf{o}_V\in \ker \mathcal{A}[/math]. Покажем, что множество [math]\ker \mathcal{A}[/math] замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:


[math]\begin{gathered} \left.{\begin{matrix} \mathbf{v}_1\in \ker \mathcal{A}~ \Rightarrow~ \mathcal{A} (\mathbf{v}_1)= \mathbf{o}_W\\ \mathbf{v}_2\in \ker \mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{A} (\mathbf{v}_2)= \mathbf{o}_W \end{matrix}}\right\} \Rightarrow~ \mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= \mathcal{A} (\mathbf{v}_1)+ \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)= \mathbf{o}_W~ \Rightarrow~ \mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2\in \ker \mathcal{A}\,;\\[5pt] \mathbf{v}\in \ker \mathcal{A}~ \Rightarrow~ \mathcal{A}(\mathbf{v})=\mathbf{o}_W~ \Rightarrow~ \mathcal{A}(\lambda\cdot \mathbf{v})= \lambda\cdot\mathcal{A}(\mathbf{v})= \lambda \cdot \mathbf{o}_W= \mathbf{o}_W~ \Rightarrow~ \lambda\cdot \mathbf{v}\in \ker \mathcal{A}\,. \end{gathered}[/math]

Следовательно, множество [math]\ker \mathcal{A}[/math] является линейным подпространством пространства [math]{V}[/math].


2. Образ любого линейного отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] является подпространством: [math]\operatorname{im}\mathcal{A}\triangleleft W[/math].


В самом деле, докажем, например, замкнутость множества [math]\operatorname{im} \mathcal{A}[/math] по отношению к операции умножения вектора на число. Если [math]\mathbf{w}\in \operatorname{im}\mathcal{A}[/math], то существует вектор [math]\mathbf{v}\in V[/math] такой, что [math]\mathbf{w}=\mathcal{A} (\mathbf{v})[/math]. Тогда [math]\mathcal{A}(\lambda\cdot \mathbf{v})= \lambda\cdot \mathcal{A}(\mathbf{v})= \lambda\cdot \mathbf{w}[/math], то есть [math]\lambda\cdot \mathbf{w}\in \operatorname{im}\mathcal{A}[/math].


Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.


Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: [math]d=\dim \ker \mathcal{A}[/math], а рангом линейного отображения — размерность его образа: [math]\operatorname{rg}\mathcal{A}=r=\dim \operatorname{im}\mathcal{A}[/math].


3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).


В самом деле, если [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] любой базис пространства [math]{V}[/math], то [math]\operatorname{im}\mathcal{A}= \operatorname{Lin}[ \mathcal{A} (\mathbf{e}_1),\ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n)][/math]. Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы [math]\mathcal{A} (\mathbf{e}_1),\ldots,\mathcal{A} (\mathbf{e}_n)[/math] (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы [math]{A}[/math] отображения, т.е. рангу матрицы: [math]\dim \operatorname{im} \mathcal{A}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}\mathcal{A}[/math].


4. Линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] инъективно тогда и только тогда, когда [math]\ker \mathcal{A}=\{\mathbf{o}_V\}[/math], другими словами, когда дефект отображения равен нулю: [math]d=\dim \ker \mathcal{A}=0[/math].


Действительно, образом нулевого вектора [math]\mathbf{o}_v[/math] служит нулевой вектор [math]\mathbf{o}_W[/math]. Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор [math]\mathbf{o}_v[/math], иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ [math]\mathbf{o}_W[/math]. Обратно, при условии [math]\ker \mathcal{A}= \{\mathbf{o}_V\}[/math] разные векторы [math]\mathbf{v}_1\ne \mathbf{v}_2[/math] не могут иметь одинаковые образы [math]\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)= \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)[/math], так как в этом случае из равенств [math]\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)- \mathcal{A}(\mathbf{v}_2)= \mathcal{A} (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)= \mathbf{}_W[/math], следует, что ненулевой вектор [math](\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)\in \ker \mathcal{A}[/math] (приходим к противоречию).


5. Линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] сюръективно тогда и только тогда, когда [math]\operatorname{im}\mathcal{A}=W[/math], другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: [math]r=\dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{W}[/math].


6. Линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда [math]\ker \mathcal{A}=\{\mathbf{o}_V\}[/math] и [math]\operatorname{im}\mathcal{A}=W[/math] одновременно.




Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] равна размерности пространства прообразов:


[math]\dim \ker \mathcal{A}+ \dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{V}\,.[/math]
(9.3)

Действительно, пусть [math]d=\dim \ker \mathcal{A},~ \dim{V}=n[/math]. Выберем в подпространстве [math]\ker\mathcal{A} \triangleleft V[/math] базис [math]\mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_d[/math] и дополним его векторами [math]\mathbf{e}_{d+1},\ldots,\mathbf{e}_n[/math] до базиса [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] всего пространства [math]{V}[/math]. Покажем, что векторы [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n)[/math] образуют базис подпространства [math]\operatorname{im}\mathcal{A}\triangleleft W[/math].


Во-первых, [math]\operatorname{im}\mathcal{A}= \operatorname{Lin}[\mathcal{A} (\mathbf{e}_{d+1}), \ldots,\mathcal{A}(\mathbf{e}_n)][/math], так как образ любого вектора [math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_d \mathbf{e}_d+v_{d+1}\mathbf{e}_{d+1}+\ldots+ v_n \mathbf{e}_n[/math] линейно выражается через векторы [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A}(\mathbf{e}_n):[/math]


[math]\mathcal{A}(\mathbf{v})= \mathcal{A} \Biggl( \sum_{i=1}^{n} v_i \mathbf{e}_i\Biggr)= \sum_{i=1}^{n}v_i\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \sum_{i=1}^{d}v_i \underbrace{\mathcal{A} (\mathbf{e}_i)}_{\mathbf{o}_W}+ \sum_{i=d+1}^{n} v_i\mathcal{A} (\mathbf{e}_i)= \sum_{i=d+1}^{n} v_i\mathcal{A}(\mathbf{e}_i).[/math]

Во-вторых, образующие [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}), \ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n)[/math] линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:


[math]\mathbf{o}_W= \sum\limits_{i=d+1}^{n} \lambda_i \mathcal{A} (\mathbf{e}_i)= \mathcal{A}\!\left(\sum_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathbf{e}_i\right)\!,[/math]

то вектор [math]\textstyle{\sum\limits_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathbf{e}_i}[/math] принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению [math](\ker \mathcal{A})^{+}[/math]. Учитывая, что [math]\ker \mathcal{A}\cap (\ker \mathcal{A})^{+}=\{\mathbf{o}_V\}[/math], заключаем: [math]\textstyle{\sum\limits_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathbf{e}_i}=\mathbf{o}_V[/math]. Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе [math]\mathbf{e}_{d+1},\ldots, \mathbf{e}_n[/math] векторов, значит, все коэффициенты [math]\lambda_i=0[/math]. Поэтому равенство [math]\textstyle{\sum\limits_{i=d+1}^{n}\lambda_i \mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= \mathbf{o}_W}[/math] справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n)[/math] линейно независимая.


Таким образом, векторы [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n)[/math] образуют базис подпространства [math]\operatorname{im}\mathcal{A}= \operatorname{Lin} \mathcal{A}(\mathbf{e}_{d+1}),\ldots, \mathcal{A} (\mathbf{e}_n)[/math], а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. [math]\dim\operatorname{im} \mathcal{A}=n-d[/math], что равносильно (9.3).


Следствие. Линейное отображение [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).


Действительно, для обратимости преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to W[/math] (см. свойство 6) его матрица [math]A[/math] (размеров [math]m\times n[/math]) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):


[math]\operatorname{rg}A= \operatorname{rg}\mathcal{A}= \dim \operatorname{im}\mathcal{A}= \dim{W}=m,\quad d=\dim \ker \mathcal{A}=0.[/math]

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что [math]m=n-d=n[/math], т.е. матрица [math]A[/math] — квадратная n-го порядка и невырожденная [math](\operatorname{rg}A=n)[/math], что и требовалось доказать.


Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).



Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved