Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве


Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:


– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.


Взаимное расположение прямых и их направляющие векторы

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями


[math]l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \quad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}\,.[/math]

где [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})[/math] — точки, принадлежащие прямым [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] соответственно, a [math]\vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k},[/math] [math]\vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k}[/math] — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через [math]\vec{m}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_{1})\vec{k}[/math] вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] соответствуют следующие признаки:


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] скрещивающиеся [math]\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] не компланарны;


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] пересекаются [math]\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] компланарны, а векторы [math]\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] не коллинеарны;


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] параллельные [math]\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] коллинеарны, а векторы [math]\vec{m},\,\vec{p}_{2}[/math] не коллинеарны;


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] совпадают [math]\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] коллинеарны.


Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:


[math]\left\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\right\rangle= \,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}c} x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{array}\!\!\vline\,.[/math]

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] скрещивающиеся [math]\Leftrightarrow[/math] определитель отличен от нуля;


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] пересекаются [math]\Leftrightarrow[/math] определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е. [math]\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=2\,;[/math]


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] параллельные [math]\Leftrightarrow[/math] вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. [math]\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=1\,,[/math] а первые две строки не пропорциональны, т.е. [math]\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\end{pmatrix}=2\,;[/math]


– прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] совпадают [math]\Leftrightarrow[/math] все строки определителя пропорциональны, т.е. [math]\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=1\,.[/math]




Расстояние между параллельными прямыми


Найдем расстояние [math]d[/math] между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)


Расстояние d между параллельными прямыми
[math]l\colon~\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}, \quad l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}},[/math]

где [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),\,M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})[/math] — произвольные точки на прямых [math]l[/math] и [math]l_{1}[/math] соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны: [math]\frac{a}{a_{1}}=\frac{b}{b_{1}}=\frac{c}{c_{1}}\,.[/math]

Искомое расстояние [math]d[/math] равно высоте параллелограмма, построенного на векторах [math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}[/math] и [math]\vec{m}=\overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})\vec{i}+(y_{1}-y_{0})\vec{j}+(z_{1}-z_{0})\vec{k}[/math], и может быть найдено по формуле (4.35).




Расстояние между скрещивающимися прямыми


Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.


Расстояние d между скрещивающимися прямыми

Найдем расстояние [math]d[/math] между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями


[math]l\colon_{1}~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \quad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}},[/math]

где [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})[/math] — произвольные точки на прямых [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] соответственно.

Искомое расстояние [math]d[/math] равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах [math]\vec{m}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_{1})\vec{k},[/math] [math]\vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k},[/math] [math]\vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k},[/math] (рис.4.36), т.е.


[math]d=\frac{|\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle|}{|[\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}]|}\,,[/math]
(4.38)
где
[math]\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle= \begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}, \quad [\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}]= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}[/math]

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые [math]l_{1}[/math] и [math]l_{2}[/math] скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы [math]\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}[/math] некомпланарные, т.е.

[math]\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}\ne0\,.[/math]

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы [math]\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}[/math] неколлинеарные, т.е. [math]|\,[\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}]\,|\ne0[/math] и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.



Угол между прямыми



Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина [math]\varphi[/math] острого угла между прямыми


[math]l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \qquad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}[/math]

вычисляется по формуле

[math]\cos\varphi= \frac{|\,\langle\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle\,|}{|\vec{p}_{1}|\cdot|\vec{p}_{2}|}= \frac{|a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2}+c_{1}\cdot c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2}\cdot\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2}}\,.[/math]
(4.39)



Пример 4.16. Найти расстояние [math]d[/math] между прямой, проходящей через точки [math]B(3;0;2),[/math] [math]C(7;4;6)[/math], и осью абсцисс. Найти величину [math]\varphi[/math] острого угла между этими прямыми.


Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид [math]\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}\,,[/math] так как ось проходит через точку [math]O(0;0;0)[/math] а [math]\vec{i}[/math] — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой [math]BC[/math] получено в примере 4.15,"а": [math]\frac{x-3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}.[/math]


Полагая [math]\vec{m}=\overrightarrow{OB}=(3-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(2-0)\vec{j}=3\vec{i}+2\vec{k},[/math] [math]\vec{p}_{1}=\vec{i},[/math] [math]\vec{p}_{2}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}[/math] по формуле (4.38) получаем:


[math]\begin{gathered} \langle\,\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,\rangle= \begin{pmatrix}3&0&2\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}=2, \quad [\,\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,]= \begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}= -\vec{j}+\vec{k},\\[4pt] d=\frac{|\,\langle\,\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,\rangle\,|}{|\,[\,\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,]\,|}= \frac{2}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=\sqrt{2}\,.\end{gathered}[/math]

Острый угол [math]\varphi[/math] находим по формуле (4.39):


[math]\cos\varphi=\frac{|\,\langle\,\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,\rangle\,|}{|\,\vec{p}_{1}\,|\cdot|\,\vec{p}_{2}\,|}= \frac{|1\cdot1+0\cdot1+0\cdot1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}}= \frac{1}{\sqrt{3}}\quad \Rightarrow \quad \varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}\,.[/math]



Взаимное расположение прямой и плоскости


Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:


– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.


Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая [math]l[/math] и плоскость [math]\rho[/math] заданы уравнениями:


[math]l\colon\,\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}; \qquad \rho\colon\,A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0,[/math]

т.е. прямая [math]l[/math] проходит через точку [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] коллинеарно вектору [math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}[/math] а плоскость [math]\rho[/math] перпендикулярна вектору [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}\,.[/math]

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой [math]l[/math] и плоскости [math]\rho[/math] соответствуют следующие признаки:


– прямая [math]l[/math] и плоскость [math]\rho[/math] пересекаются [math]\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{p}[/math] и [math]\vec{n}[/math] не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая [math]l[/math] и плоскость [math]\rho[/math] параллельны [math]\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{p}[/math] и [math]\vec{n}[/math] ортогональны, а точка [math]M_{0}[/math] не принадлежит плоскости [math]\rho[/math] (рис.4.37,б);

– прямая [math]l[/math] лежит в плоскости [math]\rho[/math] [math]\vec{p}[/math] и [math]\vec{n}[/math] векторы [math]\vec{p}[/math] и [math]\vec{n}[/math] ортогональны, а точка [math]M_{0}[/math] принадлежит плоскости [math]\rho[/math] (рис.4.37,в).


Взаимное расположение прямой и плоскости

Учитывая свойство скалярного произведения векторов [math]\langle\,\vec{p},\vec{n}\,\rangle=a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C[/math] получаем:


– прямая [math]l[/math] и плоскость [math]\rho[/math] пересекаются [math]\Leftrightarrow[/math] [math]a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C\ne0[/math];


– прямая [math]l[/math] и плоскость [math]\rho[/math] параллельны [math]\Leftrightarrow~ \begin{cases}a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0,\\ A\cdot x_{0}+B\cdot y_{0}+C\cdot z_{0}+D\ne0;\end{cases}[/math]


– прямая [math]l[/math] лежит в плоскости [math]l~\Leftrightarrow~ \begin{cases}a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0,\\ A\cdot x_{0}+B\cdot y_{0}+C\cdot z_{0}+D=0;\end{cases}[/math]




Угол между прямой и плоскостью


Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой [math]l[/math] и плоскостью [math]\rho[/math] определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов [math]\varphi[/math] и [math]\varphi'[/math], как правило, выбирают меньший. Если прямая [math]l[/math] перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным [math]\textstyle{\frac{\pi}{2}}[/math]. Если обозначить [math]\psi[/math] и [math]\psi'[/math] углы, образованные наклонной [math]l[/math] с перпендикуляром к плоскости, то


[math]\sin\varphi=\sin\varphi'=|\cos\psi|=|\cos\psi'|\,.[/math]

Поскольку угол [math]\psi[/math] (или [math]\psi'[/math]) равен углу между направляющим вектором [math]\vec{p}[/math] прямой [math]l[/math] и нормалью [math]\vec{n}[/math] к плоскости [math]\rho[/math], то [math]\sin\varphi= |\cos\psi|= \frac{|\langle\vec{p},\vec{n}\rangle|}{|\vec{p}|{\cdot}|\vec{n}|}[/math]. Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла [math]\varphi[/math] между прямой и плоскостью:


[math]\sin\varphi= \frac{|a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,.[/math]
(4.40)

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие [math]a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0[/math] параллельности прямой и плоскости.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved