Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве


Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:


– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.


Взаимное расположение прямых и их направляющие векторы

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями


l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \quad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}\,.

где M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) — точки, принадлежащие прямым l_{1} и l_{2} соответственно, a \vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k}, \vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k} — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через \vec{m}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_{1})\vec{k} вектор, соединяющий заданные точки.


Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых l_{1} и l_{2} соответствуют следующие признаки:


– прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся \Leftrightarrow векторы \vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} не компланарны;


– прямые l_{1} и l_{2} пересекаются \Leftrightarrow векторы \vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} компланарны, а векторы \vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} не коллинеарны;


– прямые l_{1} и l_{2} параллельные \Leftrightarrow векторы \vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} коллинеарны, а векторы \vec{m},\,\vec{p}_{2} не коллинеарны;


– прямые l_{1} и l_{2} совпадают \Leftrightarrow векторы \vec{m},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2} коллинеарны.


Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:


\left\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\right\rangle= \begin{vmatrix} x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{vmatrix}.

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:


– прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся \Leftrightarrow определитель отличен от нуля;


– прямые l_{1} и l_{2} пересекаются \Leftrightarrow определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=2\,;


– прямые l_{1} и l_{2} параллельные \Leftrightarrow вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=1\,, а первые две строки не пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\end{pmatrix}=2\,;


– прямые l_{1} и l_{2} совпадают \Leftrightarrow все строки определителя пропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{pmatrix}=1\,.




Расстояние между параллельными прямыми


Найдем расстояние d между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)


Расстояние d между параллельными прямыми
l\colon~\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}, \quad l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}},

где M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),\,M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) — произвольные точки на прямых l и l_{1} соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны: \frac{a}{a_{1}}=\frac{b}{b_{1}}=\frac{c}{c_{1}}\,.


Искомое расстояние d равно высоте параллелограмма, построенного на векторах \vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k} и \vec{m}=\overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})\vec{i}+(y_{1}-y_{0})\vec{j}+(z_{1}-z_{0})\vec{k}, и может быть найдено по формуле (4.35).




Расстояние между скрещивающимися прямыми


Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.


Расстояние d между скрещивающимися прямыми

Найдем расстояние d между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями


l\colon_{1}~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \quad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}},

где M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) — произвольные точки на прямых l_{1} и l_{2} соответственно.


Искомое расстояние d равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах \vec{m}=\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_{1})\vec{k}, \vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k}, \vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k}, (рис.4.36), т.е.


d=\frac{|\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle|}{|[\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}]|}\,,
(4.38)

где


\langle\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle= \begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}, \quad [\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}]= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы \vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2} некомпланарные, т.е.


\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}\ne0\,.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы \vec{p}_{1},\vec{p}_{2} неколлинеарные, т.е. |\,[\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}]\,|\ne0 и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.




Угол между прямыми


Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина \varphi острого угла между прямыми


l_{1}\colon~\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}, \qquad l_{2}\colon~\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}

вычисляется по формуле


\cos\varphi= \frac{|\,\langle\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle\,|}{|\vec{p}_{1}|\cdot|\vec{p}_{2}|}= \frac{|a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2}+c_{1}\cdot c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2}\cdot\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2}}\,.
(4.39)



Пример 4.16. Найти расстояние d между прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6), и осью абсцисс. Найти величину \varphi острого угла между этими прямыми.


Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}\,, так как ось проходит через точку O(0;0;0) а \vec{i} — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой BC получено в примере 4.15,"а": \frac{x-3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}.


Полагая \vec{m}=\overrightarrow{OB}=(3-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(2-0)\vec{j}=3\vec{i}+2\vec{k}, \vec{p}_{1}=\vec{i}, \vec{p}_{2}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} по формуле (4.38) получаем:


\begin{gathered} \langle\,\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,\rangle= \begin{pmatrix}3&0&2\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}=2, \quad [\,\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,]= \begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}= -\vec{j}+\vec{k},\\[4pt] d=\frac{|\,\langle\,\vec{m},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,\rangle\,|}{|\,[\,\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,]\,|}= \frac{2}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=\sqrt{2}\,.\end{gathered}

Острый угол \varphi находим по формуле (4.39):


\cos\varphi=\frac{|\,\langle\,\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\,\rangle\,|}{|\,\vec{p}_{1}\,|\cdot|\,\vec{p}_{2}\,|}= \frac{|1\cdot1+0\cdot1+0\cdot1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}}= \frac{1}{\sqrt{3}}\quad \Rightarrow \quad \varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}\,.



Взаимное расположение прямой и плоскости


Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:


– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.


Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая l и плоскость \rho заданы уравнениями:


l\colon\,\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}; \qquad \rho\colon\,A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0,

т.е. прямая l проходит через точку M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) коллинеарно вектору \vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k} а плоскость \rho перпендикулярна вектору \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}\,.


Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой l и плоскости \rho соответствуют следующие признаки:


– прямая l и плоскость \rho пересекаются \Leftrightarrow векторы \vec{p} и \vec{n} не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая l и плоскость \rho параллельны \Leftrightarrow векторы \vec{p} и \vec{n} ортогональны, а точка M_{0} не принадлежит плоскости \rho (рис.4.37,б);

– прямая l лежит в плоскости \rho~\Leftrightarrow векторы \vec{p} и \vec{n} ортогональны, а точка M_{0} принадлежит плоскости \rho (рис.4.37,в).


Взаимное расположение прямой и плоскости

Учитывая свойство скалярного произведения векторов \langle\,\vec{p},\vec{n}\,\rangle=a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C получаем:


– прямая l и плоскость \rho пересекаются \Leftrightarrow a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C\ne0;


– прямая l и плоскость \rho параллельны \Leftrightarrow~ \begin{cases}a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0,\\ A\cdot x_{0}+B\cdot y_{0}+C\cdot z_{0}+D\ne0;\end{cases}


– прямая l лежит в плоскости \rho~\Leftrightarrow~ \begin{cases}a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0,\\ A\cdot x_{0}+B\cdot y_{0}+C\cdot z_{0}+D=0;\end{cases}




Угол между прямой и плоскостью


Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой l и плоскостью \rho определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов \varphi и \varphi', как правило, выбирают меньший. Если прямая l перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным \textstyle{\frac{\pi}{2}}. Если обозначить \psi и \psi' углы, образованные наклонной l с перпендикуляром к плоскости, то


\sin\varphi=\sin\varphi'=|\cos\psi|=|\cos\psi'|\,.

Поскольку угол \psi (или \psi') равен углу между направляющим вектором \vec{p} прямой l и нормалью \vec{n} к плоскости \rho, то \sin\varphi= |\cos\psi|= \frac{|\langle\vec{p},\vec{n}\rangle|}{|\vec{p}|{\cdot}|\vec{n}|}. Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла \varphi между прямой и плоскостью:


\sin\varphi= \frac{|a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,.
(4.40)

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0 параллельности прямой и плоскости.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved