Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Взаимное расположение прямых на плоскости

Взаимное расположение прямых на плоскости


Коллинеарные прямые


Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.


Получим условие коллинеарности двух прямых l_1 и l_2, заданных общими уравнениями:


l_1 \colon ~ A_1x+B_1y+C_1=0; \quad l_2 \colon ~ A_2x+B_2y+C_2=0.
(3.19)

Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности их нормалей \vec{n}_1= A_1\vec{i}+B_1\vec{j} и \vec{n}_2= A_2\vec{i}+B_2\vec{j}. Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2, т.е. существует такое число \lambda\ne0, что


\vec{n}_1=\lambda\cdot\vec{n}_2 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}A_1=\lambda\cdot A_2,\\B_1=\lambda\cdot B_2,\end{cases} и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо C_1=\lambda C_2. Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид \lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0, т.е. равносильно второму, поскольку \lambda\ne0.


Таким образом, прямые (3.19) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число \lambda\ne0, что A_1=\lambda A_2,~B_1=\lambda B_2, но C_1\ne\lambda C_2. Прямые (3.19) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:


A_1=\lambda\cdot A_2, \quad B_1=\lambda\cdot B_2, \quad C_1=\lambda\cdot C_2

Условия параллельности или совпадения прямых (3.19) можно записать в виде


l_1\parallel l_2~\Leftrightarrow~\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne\frac{C_1}{C_2}; \quad l_1\equiv l_2~\Leftrightarrow~\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}

Условие коллинеарности двух прямых (3.19) можно записать в виде


\begin{vmatrix}\,A_1&B_1\\A_2&B_2\,\end{vmatrix}=A_1\cdot B_2-A_2\cdot B_1=0.



Семейство параллельных прямых и Линии уровня линейного трехчлена

Линии уровня линейного трехчлена


Линией уровня функции f(x,y) двух переменных называется геометрическое место точек координатной плоскости Oxy, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. f(x,y)=\operatorname{const}.


Для линейного трехчлена p(x,y)=Ax+By+C уравнение линии уровня p(x,y)=\operatorname{const} имеет вид


A\cdot x+B\cdot y+C=\operatorname{const}.
(3.20)

При любом фиксированном значении постоянной уравнение (3.20) описывает прямую. Рассмотрим поведение семейства линий уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты A и B не изменяются, то у всех прямых (3.20) будет одна и та же нормаль \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}. Следовательно, линии уровня линейного трехчлена p(x,y)=Ax+By+C представляют собой семейство параллельных прямых (рис.3.22). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 3.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной линии уровня (3.20) переносятся параллельно в направлении нормали.




Пересекающиеся прямые


Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (3.19) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:


\begin{vmatrix} A_1&B_1\\ A_2&B_2 \end{vmatrix}\ne0 \quad \Leftrightarrow\quad \frac{A_1}{A_2}\ne\frac{B_1}{B_2}\,.
(3.21)

При этом условии система уравнений \begin{cases} A_1\cdot x+B_1\cdot y+C_1=0,\\[2pt] A_2\cdot x+B_2\cdot y+C_2=0\end{cases} имеет единственное решение x_0,~y_0, которое определяет точку M_0(x_0,y_0) пересечения прямых (3.19).




Угол между прямыми


Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до \pi. В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина \varphi угла между двумя прямыми удовлетворяет условию 0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}.


Угол между двумя прямыми и угол между их направляющими векторами

Если \vec{p}_1=a_1\vec{i}+b_1\vec{j} и \vec{p}_2=a_2\vec{i}+b_2\vec{j} направляющие векторы прямых l_1 и l_2 соответственно (рис.3.23,а), то величина \varphi угла между этими прямыми вычисляется по формуле:


\cos\varphi=\frac{\langle\vec{p}_1,\vec{p}_2\rangle}{|\vec{p}_1|\cdot|\vec{p_2}|}=\frac{a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\!\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.

Чтобы получить величину \varphi острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:


\cos\varphi=\frac{|\langle\vec{p}_1,\vec{p}_2\rangle|}{|\vec{p}_1|\cdot|\vec{p_2}|}=\frac{|a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\!\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\,.

Угол \varphi между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями \vec{n}_1=A_1\vec{i}+B_1\vec{j} и \vec{n}_2=A_2\vec{i}+B_2\vec{j}:


\cos\varphi=\frac{\langle\vec{n}_1,\vec{n}_2\rangle}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n_2}|}=\frac{A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\!\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.
(3.22)

Чтобы получить величину \varphi острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:


\cos\varphi=\frac{|\langle\vec{n}_1,\vec{n}_2\rangle|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n_2}|}=\frac{|A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\!\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей \langle\vec{n}_1, \vec{n}_2 \rangle=0:


A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2=0

По формуле (3.22) получаем острый угол \varphi между прямыми (3.19), если A_1A_2+B_1B_2>0 (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: A_1A_2+B_1B_2<0 (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми. На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс "+" или минус "–" соответственно.


Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:


\begin{aligned} l_1\colon~ y=k_1\cdot x+y_1, \quad k_1=\operatorname{tg}\alpha_1,~\alpha_1\ne\frac{\pi}{2};\\[3pt]  l_2\colon~ y=k_2\cdot x+y_2, \quad k_2=\operatorname{tg}\alpha_2,~\alpha_2\ne\frac{\pi}{2} \end{aligned}

то угол \varphi между ними (один из смежных углов) находится по формуле


Острый и тупой углы между двумя прямыми
\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{\operatorname{tg}\alpha_1-\operatorname{tg}\alpha_2}{1+\operatorname{tg}\alpha_1\cdot\operatorname{tg}\alpha_2}=\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}\,.
(3.23)

Если правая часть (3.23) положительна, то угол \varphi острый (рис.3.24), в противном случае — тупой. Чтобы получить острый угол \varphi, нужно правую часть (3.23) взять по абсолютной величине:


\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}\right|.

Если k_1=k_2 (условие параллельности прямых), то \varphi=0. Если k_1k_2+1=0 (условие перпендикулярности прямых), то правая часть (3.23) не определена (\operatorname{tg}\varphi=\infty). Тогда полагают, что \varphi=\frac{\pi}{2}.




Пример 3.11. Найти величину того угла, образованного прямыми l_1\colon3x-y-3=0 и l_2\colon x-2y+4=0, внутри которого лежит точка M(5;2).


Угол, образованный двумя прямыми, внутри которого лежит точка

Решение. По общим уравнениям прямых находим нормали \vec{n}_1=3\vec{i}-\vec{j} и \vec{n}_2=\vec{i}-2\vec{j}, а также величину \varphi угла между нормалями, используя (3.22):


\cos\varphi=\frac{3\cdot1+(-1)(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2}\cdot\!\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \varphi=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}.

Подставляя координаты точки M(5;2) в левые части уравнений прямых, выясняем, каким полуплоскостям принадлежит эта точка. Для прямой l_1, имеем 3\cdot5-2-3>0, значит точка M лежит в положительной полуплоскости, определяемой прямой l_1. Для прямой l_2 имеем 5-2\cdot2+4>0, значит, точка M лежит также в положительной полуплоскости, определяемой прямой l_2. Поскольку точка M принадлежит одноименным полуплоскостям (положительным), то искомый угол — это угол \psi, смежный найденному углу \varphi=\frac{\pi}{4}\colon\psi=\pi-\varphi=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}. Приведенные рассуждения кажутся ненужными, так как положение точки M сразу же выясняется по рис.3.25. Однако, как это было ранее отмечено (см. ), при аналитическом решении изображения фигур не используются, поскольку записать вывод "по рисунку видно, что…" на алгоритмическом языке невозможно.




Пример 3.12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку y_0=1 на оси ординат и образующей с прямой y=\frac{1}{2}\,x+1 угол \varphi=\frac{\pi}{4}.


Уравнение прямой, проходящей через точку и образующей угол

Решение. Искомая прямая (с угловым коэффициентом k) образует с заданной прямой l (с угловым коэффициентом \tfrac{1}{2}) острый угол \varphi=\frac{\pi}{4},~\operatorname{tg}\varphi=1. По формуле (3.23), учитывая, что угол \varphi острый, составляем уравнение и упрощаем его:


1=\left|\frac{k-\frac{1}{2}}{1+k\,\frac{1}{2}}\right|\! ~ \Leftrightarrow ~ \frac{k-\frac{1}{2}}{1+k\,\frac{1}{2}}=\pm1 ~ \Leftrightarrow ~ \!\left[\!\begin{aligned}k-\frac{1}{2}&=1+\frac{1}{2}\,k,\\k-\frac{1}{2}&=-1-\frac{1}{2}\,k.\end{aligned}\right.

Отсюда находим два решения k_1=3 или k_2=-\frac{1}{3}. Следовательно, учитывая (3.18), поставленной задаче удовлетворяют две прямые (рис.3.26)


l_1\colon\,y=3x+1; или l_2\colon\,y=-\frac{1}{3}\,x+1.

Заметим, что прямые l_1 и l_2 взаимно перпендикулярны, поскольку выполняется условие

k_1k_2+1=3\cdot\!\left(-\frac{1}{3}\right)+1=0.



Пучки прямых на плоскости


Собственным пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых плоскости, проходящих через фиксированную точку (центр пучка).

Собственный и несобственный пучок прямых

Несобственным пучком прямых называется совокупность прямых, параллельных фиксированной прямой (центром несобственного пучка прямых считается бесконечно удаленная точка плоскости).


Любые две прямые l_1 и l_2 определяют пучок прямых, содержащий заданные прямые l_1 и l_2. Если прямые l_1 и l_2 пересекаются, то точка M_0 их пересечения является центром собственного пучка (рис.3.27,а). Если l_1 и l_2 параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных прямых (рис.3.27,6).


Пусть заданы уравнения двух прямых (3.19) l_1\colon\,A_1\cdot x+B_1\cdot y+C_1=0 и l_2\colon\,A_2\cdot x+B_2\cdot y+C_2=0, линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение


\lambda_1\cdot(A_1\cdot x+B_1\cdot y+C_1)+\lambda\cdot(A_2\cdot x+B_2\cdot y+C_2)=0.
(3.24)

где числа \lambda_1,\,\lambda_2 — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме


(\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2)\cdot x+(\lambda_1\cdot B_1+\lambda_2\cdot B_2)\cdot y+\lambda_1\cdot C_1+\lambda_2\cdot C_2=0.
(3.25)

Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда оба коэффициента при неизвестных равны нулю, т.е. при \lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2=0 и \lambda_1\cdot B_1+\lambda_2\cdot B_2=0. Эти значения параметров \lambda_1 и \lambda_2 считаются недопустимыми.


Уравнение (3.24) называется уравнением пучка прямых, содержащего прямые A_1x+B_1y+C_1=0 и A_2x+B_2y+C_2=0.


При любых допустимых значениях параметров \lambda_1 и \lambda_2 уравнение (3.24) задает прямую, принадлежащую пучку, и, наоборот, для любой прямой пучка найдутся такие значения параметров \lambda_1,\,\lambda_2, что уравнение (3.24) будет задавать эту прямую.


Действительно, уравнения прямых l_1 и l_2 получаются из (3.24) при \lambda_1=1,~\lambda_2=0 и при \lambda_1=0,~\lambda_2=1 соответственно.


Если прямые l_1 и l_2 параллельны, то существует такое число \lambda\ne0, что A_1=\lambda A_2 и B_1=\lambda B_2. Тогда при любых допустимых значениях параметров \lambda_1,\,\lambda_2 прямая (3.25) параллельна прямой l_2, так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны:


\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2=(\lambda_1\cdot\lambda+\lambda_2)\cdot A_2, \quad \lambda_1\cdot B_1+\lambda_2\cdot B_2=(\lambda_1\cdot\lambda+\lambda_2)\cdot B_2.

Если прямые l_1 и l_2 пересекаются в точке M_0(x_0,y_0), то любая прямая (3.24) проходит через точку M_0(x_0,y_0) пересечения прямых l_1 и l_2, поскольку


\lambda_1\cdot\underbrace{(A_1\cdot x_0+B_1\cdot y_0+C_1)}_{0}+\lambda_2\cdot\underbrace{(A_2\cdot x_0+B_2\cdot y_0+C_2)}_{0}=0

при любых значениях \lambda_1 и \lambda_2.


Осталось показать, что для любой точки M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}) плоскости существуют такие значения параметров \lambda_1,\,\lambda_2, при которых уравнение (3.24) задает прямую l, проходящую через точку M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}). В самом деле, подставим координаты точки M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}) в уравнение (3.24):


\lambda_1\cdot\underbrace{(A_1\cdot x^{\ast}+B_1\cdot y^{\ast}+C_1)}_{\ne0}+\lambda_2\cdot\underbrace{(A_2\cdot x^{\ast}+B_2\cdot y^{\ast}+C_2)}_{\ne0}=0.

Это означает, что прямая (3.24) проходит через точку M^{\ast}. Отсюда определяется отношение \frac{\lambda_1}{\lambda_2}=-\frac{A_1x^{\ast}+B_1y^{\ast}+C_1}{A_2x^{\ast}+B_2y^{\ast}+C_2}, равное по абсолютной величине отношению расстояний от точки M^{\ast} до прямых l_1 и l_2 (см. пункт 5 замечаний 3.2). При таком выборе параметров \lambda_1,\,\lambda_2 уравнение (3.24) будет задавать прямую, проходящую через точку M^{\ast}, т.е. прямую l.




Пример 3.13. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x+y+4=0 и 3x-y-1=0 и через точку M^{\ast}(2;3).


Решение. Искомая прямая входит в пучок прямых, задаваемый уравнением


\lambda_1\cdot(2x+y+4)+\lambda_2\cdot(3x-y-1)=0.

Подставляя координаты точки M^{\ast}(2;3), получаем:


\lambda_1\cdot(2\cdot2+3+4)+\lambda_2\cdot(3\cdot2-3-1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 11\lambda_1+2\lambda_2=0.

Возьмем, например, \lambda_1=-2,~\lambda_2=11 и подставим в уравнение пучка:


-2\cdot(2x+y+4)+11\cdot(3x-y-1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 29x-13y-19=0.

Искомое уравнение получено.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved