Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Взаимное расположение плоскостей

Взаимное расположение плоскостей


Параллельные плоскости


Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}[/math] заданных общими уравнениями:


[math]\rho_{1}\colon\,A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0; \quad \rho_{2}\colon\,A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{1}=0\,.[/math]
(4.23)

Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей[math]\vec{n}_{1}=A_{1}\cdot\vec{i}+B_{1}\cdot\vec{j}+C_{1}\cdot\vec{k},[/math] [math]\vec{n}_{2}=A_{2}\cdot\vec{i}+B_{2}\cdot\vec{j}+C_{2}\cdot\vec{k}.[/math] Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то [math]\vec{n}_{1}\parallel\vec{n}_{2}[/math] т.е. существует такое число [math]\lambda\ne0[/math] что


[math]\vec{n}_{1}=\lambda\cdot\vec{n}_{2} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}A_{1}=\lambda\cdot A_{2},\\ B_{1}=\lambda\cdot B_{2},\\ C_{1}=\lambda\cdot C_{2}.\end{cases}[/math] и наоборот.

Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо [math]D_{1}=\lambda D_{2}.[/math] Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид [math]\lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0[/math] т.е. равносильно второму, поскольку [math]\lambda\ne0.[/math]


Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число [math]\lambda\ne0,[/math] что [math]A_{1}=\lambda A_{2},[/math] [math]B_{1}=\lambda B_{2},[/math] [math]C_{1}=\lambda C_{2},[/math] но [math]D_{1}\ne\lambda D_{2}.[/math] Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: [math]A_{1}=\lambda A_{2},[/math] [math]B_{1}=\lambda B_{2},[/math] [math]C_{1}=\lambda C_{2}[/math] и [math]D_{1}=\lambda D_{2}.[/math]


Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде


[math]\rho_{1}\parallel\rho_{2} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{A_{1}}{A_{2}}= \frac{B_{1}}{B_{2}}= \frac{C_{1}}{C_{2}}\ne\frac{D_{1}}{D_{2}}; \quad \rho_{1}\equiv\rho_{2} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{A_{1}}{A_{2}}= \frac{B_{1}}{B_{2}}= \frac{C_{1}}{C_{2}}= \frac{D_{1}}{D_{2}}\,.[/math]

Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):


[math]\rho_{1}\parallel\rho_{2}[/math] или [math]\rho_{1}\equiv\rho_{2} \quad \Leftrightarrow \quad \operatorname{rang}\! \begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{pmatrix}=1.[/math]



Поверхности уровня линейного четырехчлена


Семейство параллельных плоскостей

Поверхностью уровня функции [math]f(x,y,z)[/math] трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства [math]Oxyz,[/math] в которых функция принимает постоянное значение, т.е. [math]f(x,y,z)=\text{const}.[/math]


Для линейного четырехчлена [math]p(x,y,z)=Ax+By+Cz+D[/math] уравнение поверхности уровня [math]p(x,y,z)=\text{const}.[/math] имеет вид


[math]A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=\text{const}.[/math]
(4.24)

При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты [math]A,\,B[/math] и [math]C[/math] не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}.[/math] Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена [math]P(x,y,z)=Ax+By+Cz+D[/math]D представляют собой семейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали.




Пересекающиеся плоскости


Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:


[math]\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{pmatrix}=2.[/math]
(4.25)

При этом условии система уравнений


[math]\begin{cases}A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0,\\ A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0\end{cases}[/math]

имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).




Угол между плоскостями


Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до [math]\pi.[/math] В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина [math]\varphi[/math] угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию [math]0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}.[/math]


Если [math]\vec{n}_{1}= A_{1}\vec{i}+B_{1}\vec{j}+C_{1}\vec{k},~ \vec{n}_{2}= A_{2}\vec{i}+B_{2}\vec{j}+C_{2}\vec{k}[/math] — нормали к плоскостям [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}[/math] соответственно (рис.4.20,а), то величина [math]\varphi[/math] угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:


[math]\cos\varphi=\frac{|\,\langle\,\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\,\rangle\,|}{|\vec{n}_{1}|\cdot|\vec{n}_{2}|}=\frac{|A_{1}\cdot A_{2}+B_{1}\cdot B_{2}+C_{1}\cdot C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^2+B_{1}^2+C_{1}^2}\cdot\sqrt{A_{2}^2+B_{2}^2+C_{2}^2}}\,.[/math]

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е. [math]\langle\,\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\,\rangle=0:[/math]


[math]A_{1}\cdot A_{2}+B_{1}\cdot B_{2}+C_{1}\cdot C_{2}=0\,.[/math]

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рис.4.20). Величина [math]\varphi[/math] двугранного угла удовлетворяет условию [math]0<\varphi<\pi\,.[/math]


Двугранные углы, образуемые пересечением двух плоскостей

По формуле


[math]\cos\varphi=\frac{\langle\,\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\,\rangle}{|\vec{n}_{1}|\cdot|\vec{n}_{2}|}=\frac{A_{1}\cdot A_{2}+B_{1}\cdot B_{2}+C_{1}\cdot C_{2}}{\sqrt{A_{1}^2+B_{1}^2+C_{1}^2}\cdot\sqrt{A_{2}^2+B_{2}^2+C_{2}^2}}[/math]
(4.26)

получаем острый двугранный угол [math]\varphi[/math], образованный плоскостями (4.23), если [math]A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}>0[/math] (рис.4.20,а), и тупой в противном случае: [math]A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}<0[/math] (рис.4.20,б). Другими словами, по формуле (4.26) находится тот двугранный угол, образованный плоскостями, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полупространствам, определяемым данными плоскостями. На рис.4.20 изображены пересекающиеся плоскости, положительные и отрицательные полупространства отмечены знаками + или соответственно.




Пример 4.10. Найти величину того угла, образованного плоскостями [math]\rho_{1}\colon5x-3y+4z-3=0[/math] и [math]\rho_{2}\colon2x+y+2z+4=0,[/math] внутри которого лежит точка [math]M(5;2;1).[/math]


Решение. По уравнениям плоскостей находим нормали [math]\vec{n}_{1}=5\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k},[/math] [math]\vec{n}_{2}=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k},[/math] а также величину [math]\varphi[/math] угла между нормалями, используя (4.26):


[math]\cos\varphi=\frac{5\cdot2+(-3)\cdot1+4\cdot2}{\sqrt{5^2+(-3)^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{15}{3\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \Leftrightarrow \quad \varphi=\frac{\pi}{4}\,.[/math]

Подставляя координаты точки [math]M(5;2;1)[/math] в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупространствам принадлежит эта точка. Для плоскости [math]\rho_{1}[/math] имеем [math]5\cdot5-3\cdot2+4\cdot1-3>0[/math] значит, точка [math]M[/math] лежит в положительном полупространстве, определяемом плоскостью [math]\rho_{1}.[/math] Для плоскости [math]\rho_{2}[/math] имеем [math]2\cdot5+2+2\cdot1+4>0[/math] значит, точка [math]M[/math] лежит также в положительном полупространстве, определяемом плоскостью [math]\rho_{2}.[/math] Поскольку точка [math]M[/math] принадлежит одноименным полупространствам (положительным), то искомый угол — это угол [math]\psi,[/math] смежный найденному углу [math]\varphi=\frac{\pi}{4}:[/math] [math]\psi=\pi-\varphi=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\,.[/math]




Пучки плоскостей


Собственные и несобственные пучки плоскостей

Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую (ось пучка).


Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая).


Любые две плоскости [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}[/math] определяют пучок плоскостей, содержащий заданные плоскости [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}.[/math] Если плоскости [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}[/math] пересекаются, то прямая [math]m[/math] пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а). Если плоскости [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}[/math] параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,б).


Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23):


[math]\rho_{1}\colon~A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0; \quad \rho_{2}\colon~A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0.[/math]

Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение


[math]\lambda_{1}\cdot(A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1})+\lambda_{2}\cdot(A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2})=0,[/math]
(4.27)

где числа [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2}[/math] — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме


[math](\lambda_{1}\cdot A_{1}+\lambda_{2}\cdot A_{2})\cdot x+ (\lambda_{1}\cdot B_{1}+\lambda_{2}\cdot B_{2})\cdot y+ (\lambda_{1}\cdot C_{1}+\lambda_{2}\cdot C_{2})\cdot x+ \lambda_{1}\cdot D_{1}+\lambda_{2}\cdot D_{2}=0.[/math]

Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий


[math]\lambda_{1}\cdot A_{1}+\lambda_{2}\cdot A_{2}=0, \quad \lambda_{1}\cdot B_{1}+\lambda_{2}\cdot B_{2}=0, \quad \lambda_{1}\cdot C_{1}+\lambda_{2}\cdot C_{2}=0.[/math]

Эти значения параметров [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2}[/math] считаются недопустимыми.


Уравнение (4.27) называется уравнением пучка плоскостей, содержащего плоскости


[math]A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z=0, \quad A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z=0.[/math]

При любых допустимых значениях параметров [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2}[/math] уравнение (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка найдутся такие значения параметров [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2},[/math] что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость.


Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.




Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей [math]2x+2y-z+3=0,[/math] [math]6x-3y+2z+1=0[/math] и через точку [math]M^{\ast}(2;3;1).[/math]


Решение. Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27)


[math]\lambda_{1}\cdot(2\cdot x+2\cdot y-z+3)+\lambda_{2}\cdot(6\cdot x-3\cdot y+2\cdot z+1)=0.[/math]

Подставляя координаты точки [math]M^{\ast}(2;3;1),[/math] получаем:


[math]\lambda_{1}\cdot(2\cdot2+2\cdot3-1+3)+\lambda_{2}\cdot(6\cdot2-3\cdot3+2\cdot1+1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 12\cdot\lambda_{1}+6\cdot\lambda_{2}=0.[/math]

Возьмем, например, [math]\lambda_{1}=-1,~\lambda_{2}=2[/math] и подставим в уравнение пучка:


[math]-1\cdot(2x+2y-z+3)+2\cdot(6x-3y+2z+1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 10x-8y+5z-1=0.[/math]

Итак, искомое уравнение получено.




Связки плоскостей


Собственные и несобственные связки плоскостей

Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку (центр связки).


Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка).


Уравнение собственной связки плоскостей с центром [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] имеет вид


[math]A\cdot(x-x_{0})+B\cdot(y-y_{0})+C\cdot(z-z_{0})=0,[/math]

где [math]A,\,B,\,C[/math] — произвольные параметры, одновременно не равные нулю.


Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобственной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей:


[math]\lambda_{1}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\lambda_{2}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\lambda_{3}(A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,[/math]
(4.28)

где [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3}[/math] — коэффициенты линейной комбинации. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3}[/math] считаются недопустимыми.


Уравнение (4.28) называется уравнением связки плоскостей, содержащей три плоскости


[math]A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0, \quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0, \quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3}=0.[/math]

При любых допустимых значениях параметров [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3}[/math] уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров [math]\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3},[/math] что уравнение (4.28) будет задавать эту плоскость.


Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved