Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Выражение скалярного произведения через координаты векторов Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скалярное произведение $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$ через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов: — если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты $x_a,y_a$ и $x_b,y_b$ соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b;$ (1.9) — если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты $x_a,y_a,z_a$ и $x_b,y_b,z_b$ соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b\,.$ (1.10) Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению: $\begin{gathered} \langle\vec{i},\vec{i}\rangle=1,\qquad \langle\vec{i},\vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{i},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{j},\vec{i}\rangle=0,\qquad \langle\vec{j},\vec{j}\rangle=1,\qquad \langle\vec{j},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle= 0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle=1. \end{gathered}$ (1.11) Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов $\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k}$ и $\vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}$ получаем: $\begin{gathered}\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\bigl\langle x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},\,x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}\bigr\rangle=\\[3pt]x_ax_b\langle\vec{i},\vec{i}\rangle+x_ay_b\langle\vec{i},\vec{j}\rangle+x_az_b\langle\vec{i},\vec{k}\rangle+y_ax_b\langle\vec{j},\vec{i}\rangle+y_ay_b\langle\vec{j},\vec{j}\rangle+y_az_b\langle\vec{j},\vec{k}\rangle+z_ax_b\langle\vec{k},\vec{i}\rangle+z_ay_b\langle\vec{k},\vec{j}\rangle+z_az_b\langle\vec{k},\vec{k}\rangle. \end{gathered}$ Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому $\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b,$ что и требовалось доказать. Замечания 1.10 1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом $\vec{i},\vec{j}$ можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов $\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}$ и $\vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}$ можно получить из (1.10), полагая $z_a=z_b=0$ . 2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если $a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T$ и $b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T$ координатные столбцы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле: $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}.$ Для векторов на плоскости соответственно получаем $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}.$ 3. Координаты вектора $\vec{a}$ в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы: $x_a=\langle\vec{a},\vec{i}\rangle,~~~y_a=\langle\vec{a},\vec{j}\rangle,~~~z_a=\langle\vec{a},\vec{k}\rangle.$ В самом деле, подставляя в (1.10) координаты $(1;0;0)$ базисного вектора $\vec{i}$ , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично). 4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения. Пример 1.15. Даны векторы $\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k},~\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k},~\vec{c}=\vec{j}-\vec{k}$ . Найти скалярные произведения $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{b},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{i}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{j}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{k}\rangle.$ Решение. По формуле (1.10) вычисляем $\begin{aligned} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{c}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot(-1)=-4;\\[3pt] \langle\vec{b},\vec{c}\rangle&=\langle2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=2\cdot0+3\cdot1+2\cdot(-1)=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{i}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{j}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot0=-2;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{k}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot0+2\cdot1=2. \end{aligned}$ Сравнивая вектор $\vec{a}=\vec{i}-2\,\vec{j}+2\,\vec{k}$ со скалярными произведениями $\langle\vec{a},\vec{i}\rangle=1,~\langle\vec{a},\vec{j}\rangle=-2,~\langle\vec{a},\vec{k}\rangle=2$ обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10. Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам $\vec{a},\vec{b},\,\vec{i}$ соответствуют координатные столбцы $a=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\!,~~~b=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\!,\quad i=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$ Поэтому $\begin{gathered} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T \cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\ \langle\vec{a},\vec{i}\rangle=a^T \cdot i=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1, \end{gathered}$ что совпадает с полученными ранее результатами. Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построен на векторах $\overrightarrow{AB}=4\,\vec{i},~\overrightarrow{AD}=5\,\vec{j},~\overrightarrow{AA_1}=4\,\vec{k}$ (см. рис. 1.38). Точка $P$ — центр грани $ABB_1A_1$ , точка $Q$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1Q:QD_1=4:1$ . Требуется найти: а) величину $\varphi$ угла между векторами $\overrightarrow{AC_1}$ и $\overrightarrow{PQ}$ ; б) длину ортогональной проекции вектора $\overrightarrow{PQ}$ на прямую $AC$ . Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ : $\begin{aligned}&\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+4\cdot\vec{k};\\[3pt]&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k};\\[3pt] &\overrightarrow{PQ}= -2\cdot\vec{i}+ 4\cdot\vec{j}+ 2\cdot\vec{k}.\end{aligned}$ (см. решение примера 1.12) По формуле (1.10) находим скалярные произведения: $\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+ 5\cdot4+ 4\cdot2=20;\quad \bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+5\cdot4+0\cdot2=12.$ а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения): $\|AC_1\|=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{AC_1}\bigr\rangle}=\sqrt{4^2+5^2+4^2}=\sqrt{57};\quad \bigr\|AC\bigr\|= \sqrt{\bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}\bigr\rangle}= \sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}.$ Длина $\left\|\overrightarrow{PQ}\right\|=2\sqrt{6}$ была найдена в примере 1.12. Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла $\cos\varphi=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle}{\bigr\|\overrightarrow{AC_1}\bigr\|\cdot\bigr\|\overrightarrow{PQ}\bigr\|}=\frac{20}{\sqrt{57}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{10}{3\sqrt{38}},$ т.е. $\varphi=\arccos\frac{10}{3\sqrt{38}}.$ Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3: $\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{PQ}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{AC}\bigr\rangle}{\bigr\|\overrightarrow{AC}\bigr\|}=\frac{12}{\sqrt{41}}.$ Скалярное произведение векторов в произвольном базисе Пусть $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3$ и $\vec{b}=b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3$ : $\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3 \bigr\rangle= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i\cdot b_j\cdot \bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle.$ Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел $\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle$ , называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ : $G\bigl(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\bigl)= \begin{pmatrix} \langle\vec{e}_1, \vec{e}_1 \rangle & \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle& \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle& \langle \vec{e}_2, \vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle \vec{e}_3, \vec{e}_1 \rangle & \langle \vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_3,\vec{e}_3\rangle\end{pmatrix}$ (1.12) Координаты каждого из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ представим в виде столбцов $a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ и $b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ соответственно. Тогда для скалярного произведения получим $\bigl\langle\vec{a}, \vec{b}\bigr\rangle\,= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_j\bigl\langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\bigr\rangle\,= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_2, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_3, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_3\rangle\!\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt] b_3\end{pmatrix}$ или, короче, $\bigl\langle\vec{a}, \vec{b} \bigr\rangle\,= a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigr)\cdot b\,.$ (1.13) Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле (1.13), где $\vec{a},\vec{b}$ — координатные столбцы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, a $G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ —матрица Грама (1.12) базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ . Замечания 1.11. 1. Для ортонормированного базиса $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ матрица Грама имеет вид $G\bigl(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{i},\vec{i}\rangle&\langle\vec{i},\vec{j}\rangle&\langle\vec{i},\vec{k}\rangle\\[2pt]\langle\vec{j},\vec{i}\rangle&\langle\vec{j},\vec{j}\rangle&\langle\vec{j},\vec{k}\rangle\\[2pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}$ т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем $\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}+z_a\cdot\vec{k},\, x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}+z_b\cdot\vec{k} \bigr\rangle=\\=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b,\end{gathered}$ что совпадает с (1.10). 2. Для произвольного базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ на плоскости скалярное произведение векторов $\vec{a}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2$ и $\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2$ находится по формуле: $\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)\cdot b,$ где $a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\!,~ b= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ — координатные столбцы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, a $G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}$ — матрица Грама базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ . В частности, для ортонормированного базиса $\vec{i},\vec{j}$ матрица Грама является единичной: $G\bigl(\vec{i},\vec{j}\bigl)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому скалярное произведение векторов $\vec{a}=x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}$ и $\vec{b}=x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}$ находится по формуле $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_ax_b+y_ay_b$ , что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при $z_a=z_b=0$ . Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов: а) два единичных вектора $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}$ , служащие сторонами правильного треугольника $OAB$ (рис.1.39,а); б) три единичных вектора $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB},~\vec{e}_3=\overrightarrow{OC}$ , служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6). Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: $\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2;~\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3$ . Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен $\frac{\pi}{3}$ , получаем $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=1,\qquad \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle= \langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\frac{1}{2},\qquad \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=1.$ Записываем матрицу Грама $G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}.$ Найдем теперь длину вектора $\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2$ . Составляем координатный столбец этого вектора $a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: $\langle\vec{a},\vec{a}\rangle=a^TG(\vec{e}_1,\vec{e}_2)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix} 1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=7$ . Следовательно, $\|\vec{a}\|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{7}$ . б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен $\frac{\pi}{3}$ , получаем $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=1;\qquad \langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_2\rangle=\frac{1}{2}.$ Записываем матрицу Грама: $G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)=\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2& 1& 1/2\\ 1/2& 1/2&1 \end{pmatrix}$ . Найдем теперь длину вектора $\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3$ . Составляем координатный столбец этого вектора $b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}^T$ . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: $\bigl\langle\vec{b},\vec{b}\bigr\rangle=b^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigl)\cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2&1&1/2\\ 1/2&1/2&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\!\!=9$ Следовательно, $\|\vec{b}\|= \sqrt{\langle\vec{b}, \vec{b}\rangle}=3.$ Скалярное произведение векторов во взаимных базисах Пусть на плоскости задан базис $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ . Базис $\vec{e}_1\,\!\!^,\vec{e}_2\,\!\!^$ называется взаимным по отношению к базису $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ , если $\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^\bigr\rangle=1,~~\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^\bigr\rangle=1.$ Пусть в пространстве задан базис $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ . Базис $\vec{e}_1\,\!\!^,\vec{e}_2\,\!\!^,\vec{e}_3\,\!\!^$ называется взаимным по отношению к базису $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ , если $\bigl\langle\vec{e}_i,\vec{e}_j\,\!\!^\bigr\rangle=\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\ne j,\end{cases}i=1,2,3;~j=1,2,3.$ Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами. 1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму. 2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис. 3. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими координатами относительно взаимных базисов: $\vec{a}=a_1\,\!\!^\cdot\vec{e}_1\,\!\!^+a_2\,\!\!^\cdot\vec{e}_2\,\!\!^+a_3\,\!\!^\cdot\vec{e}_3\,\!\!^,~~~~\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2+b_3\cdot\vec{e}_3.$ Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: $\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a_1\,\!\!^b_1+a_2\,\!\!^b_2+a_3^3b_3$ , т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса. 4. Если $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ и $\vec{e}_1\,\!\!^,\vec{e}_2\,\!\!^,\vec{e}_3\,\!\!^$ взаимные базисы, то координаты $a_1,a_2,a_3$ любого вектора $\vec{a}$ относительно базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ находятся по формулам $a_1=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^\bigr\rangle,~~~a_2=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_2\,\!\!^\bigr\rangle,~~~a_3=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_3\,\!\!^\bigr\rangle.$ Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ (рис.1.40,а). Вектор $\vec{e}_1\,\!\!^$ взаимного базиса перпендикулярен вектору $\vec{e}_2$ , так как $\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^\rangle$ (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора $\vec{e}_1\,\!\!^$ выбираем то, которое образует острый угол $\varphi<\frac{\pi}{2}$ с вектором $\vec{e}_1$ , так как $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^\rangle=1>0$ . Следовательно, направление вектора $\vec{e}_1\,\!\!^$ определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): $\bigr\|\vec{e}_1\,\!\!^\bigr\|=\frac{1}{\bigr\|\vec{e}_1\bigr\|{\cdot}\cos\varphi}$ , так как $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^\rangle=1$ . Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора $\vec{e}_2\,\!\!^$ . Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично. Заметим, что для стандартного базиса $\vec{i},\vec{j}$ на плоскости (или базиса $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом $\vec{i},\vec{j}$ (соответственно $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ ) Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов: $\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle\vec{a}_1\,\!\!^\vec{e}_1\,\!\!^+\vec{a}_2\,\!\!^\vec{e}_2\,\!\!^+\vec{a}_3\,\!\!^\vec{e}_3\,\!\!^,\vec{b}_1\vec{e}_1+\vec{b}_2\vec{e}_2+\vec{b}_3\vec{e}_3\bigr\rangle=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^b_j\bigl\langle\vec{e}_i\,\!\!^,\vec{e}_j\bigr\rangle=\\[3pt]=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^b_j\bigl\langle\vec{e}_j,\vec{e}_i\,\!\!^\bigr\rangle=a_1\,\!\!^b_1+a_2\,\!\!^b_2+a_3\,\!\!^b_3,\end{gathered}$ что и требовалось доказать. Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, $\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,\vec{e}_1\,\!\!^\bigr\rangle=a_1$ . Аналогично доказываются остальные формулы в п.4. Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а). б) Внутри угла $AOB$ величиной $\frac{\pi}{3}$ взята точка $C$ , удаленная от сторон $OA$ и $OB$ на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка $OC$ (рис.1.41,б). Решение. а) Так как базисный вектор $\vec{e}_1$ единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор $\vec{e}_1\,\!\!^$ можно построить следующим образом. Через начало вектора $\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}$ (точку $O$ ) и конец вектора $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA}$ (точку $A$ ) проводим прямые, перпендикулярные векторам $\vec{e}_2$ и $\vec{e}_1$ соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора $\vec{e}_1\,\!\!^$ (его начало совпадает с точкой $O$ ). Аналогично строится вектор $\vec{e}_2\,\!\!^$ (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо $\vec{e}_1\,\!\!^\perp\vec{e}_2,~\vec{e}_2\,\!\!^\perp\vec{e}_1$ , а также $\operatorname{pr}_{\vec{e}_1}\vec{e}_1\,\!\!^=\|\vec{e}_1\|=1,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2}\vec{e}_2\,\!\!^=\|\vec{e}_2\|=1$ . Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^\rangle=0,~\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^\rangle=1,~\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^\rangle=1$ , т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_1\,\!\!^$ равен $\frac{\pi}{6}$ (напомним, что $\angle AOB=\frac{\pi}{3}$ ), то из прямоугольного треугольника с катетом $OA\colon \|\vec{e}_1\,\!\!^\|=\frac{\|\vec{e}_1\|}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Длина вектора $\vec{e}_2\,\!\!^$ такая же. б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}$ , который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора ${ \overrightarrow{OC}}$ на оси, определяемые векторами взаимного базиса: $\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=2,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=11$ . По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем $\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr\|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\|}=\frac{x_1}{\bigr\|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\|}=2;\qquad \operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr\|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\|}=\frac{x_2}{\bigr\|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\|}=11,$ где $x_1,x_2$ — координаты вектора ${ \overrightarrow{OC}}$ в базисе $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ . Так как $\bigr\|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\|\,= \bigr\|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\|\,= \frac{2}{\sqrt{3}}$ (см. пункт "а"), то $x_1=\frac{4}{\sqrt{3}},~x_2=\frac{22}{\sqrt{3}}$ . Длину вектора ${ \overrightarrow{OC}}$ вычисляем по формуле, следующей из пункта 2 замечаний 1.10 при $\vec{a}=\vec{b}$ , используя матрицу Грама для базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ , найденную в примере 1.17 пункт "а": $\bigl\langle\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OC} \bigr\rangle\,=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{3}}&\dfrac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt{3}}\\\frac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}=196.$ Следовательно, $\bigr\|\overrightarrow{OC}\bigr\|\,= \sqrt{\bigl \langle\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}=\sqrt{196}=14.$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скалярное произведение $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$ через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.

Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе

Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:

— если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты $x_a,y_a$ и $x_b,y_b$ соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b;$

(1.9)

— если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты $x_a,y_a,z_a$ и $x_b,y_b,z_b$ соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b\,.$

(1.10)

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:

$\begin{gathered} \langle\vec{i},\vec{i}\rangle=1,\qquad \langle\vec{i},\vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{i},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{j},\vec{i}\rangle=0,\qquad \langle\vec{j},\vec{j}\rangle=1,\qquad \langle\vec{j},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle= 0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle=1. \end{gathered}$

(1.11)

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов $\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k}$ и $\vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}$ получаем:

$\begin{gathered}\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\bigl\langle x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},\,x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}\bigr\rangle=\\[3pt]x_ax_b\langle\vec{i},\vec{i}\rangle+x_ay_b\langle\vec{i},\vec{j}\rangle+x_az_b\langle\vec{i},\vec{k}\rangle+y_ax_b\langle\vec{j},\vec{i}\rangle+y_ay_b\langle\vec{j},\vec{j}\rangle+y_az_b\langle\vec{j},\vec{k}\rangle+z_ax_b\langle\vec{k},\vec{i}\rangle+z_ay_b\langle\vec{k},\vec{j}\rangle+z_az_b\langle\vec{k},\vec{k}\rangle. \end{gathered}$

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому

$\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b,$

что и требовалось доказать.

Замечания 1.10

1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом $\vec{i},\vec{j}$ можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов $\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}$ и $\vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}$ можно получить из (1.10), полагая $z_a=z_b=0$ .

2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если $a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T$ и $b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T$ координатные столбцы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:

$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}.$

Для векторов на плоскости соответственно получаем

$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}.$

3. Координаты вектора $\vec{a}$ в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:

$x_a=\langle\vec{a},\vec{i}\rangle,~~~y_a=\langle\vec{a},\vec{j}\rangle,~~~z_a=\langle\vec{a},\vec{k}\rangle.$

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты $(1;0;0)$ базисного вектора $\vec{i}$ , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).

4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.

Пример 1.15. Даны векторы $\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k},~\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k},~\vec{c}=\vec{j}-\vec{k}$ . Найти скалярные произведения

$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{b},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{i}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{j}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{k}\rangle.$

Решение. По формуле (1.10) вычисляем

$\begin{aligned} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{c}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot(-1)=-4;\\[3pt] \langle\vec{b},\vec{c}\rangle&=\langle2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=2\cdot0+3\cdot1+2\cdot(-1)=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{i}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{j}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot0=-2;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{k}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot0+2\cdot1=2. \end{aligned}$

Сравнивая вектор $\vec{a}=\vec{i}-2\,\vec{j}+2\,\vec{k}$ со скалярными произведениями $\langle\vec{a},\vec{i}\rangle=1,~\langle\vec{a},\vec{j}\rangle=-2,~\langle\vec{a},\vec{k}\rangle=2$ обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.

Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам $\vec{a},\vec{b},\,\vec{i}$ соответствуют координатные столбцы

$a=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\!,~~~b=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\!,\quad i=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$

Поэтому

$\begin{gathered} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T \cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\ \langle\vec{a},\vec{i}\rangle=a^T \cdot i=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1, \end{gathered}$

что совпадает с полученными ранее результатами.

Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построен на векторах $\overrightarrow{AB}=4\,\vec{i},~\overrightarrow{AD}=5\,\vec{j},~\overrightarrow{AA_1}=4\,\vec{k}$ (см. рис. 1.38). Точка $P$ — центр грани $ABB_1A_1$ , точка $Q$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1Q:QD_1=4:1$ . Требуется найти:

а) величину $\varphi$ угла между векторами $\overrightarrow{AC_1}$ и $\overrightarrow{PQ}$ ;

б) длину ортогональной проекции вектора $\overrightarrow{PQ}$ на прямую $AC$ .

Прямоугольный параллелепипед, построенный на векторах

Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ :

$\begin{aligned}&\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+4\cdot\vec{k};\\[3pt]&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k};\\[3pt] &\overrightarrow{PQ}= -2\cdot\vec{i}+ 4\cdot\vec{j}+ 2\cdot\vec{k}.\end{aligned}$ (см. решение примера 1.12)

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:

$\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+ 5\cdot4+ 4\cdot2=20;\quad \bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+5\cdot4+0\cdot2=12.$

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):

$|AC_1|=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{AC_1}\bigr\rangle}=\sqrt{4^2+5^2+4^2}=\sqrt{57};\quad \bigr|AC\bigr|= \sqrt{\bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}\bigr\rangle}= \sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}.$

Длина $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=2\sqrt{6}$ была найдена в примере 1.12.

Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла

$\cos\varphi=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{AC_1}\bigr|\cdot\bigr|\overrightarrow{PQ}\bigr|}=\frac{20}{\sqrt{57}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{10}{3\sqrt{38}},$ т.е. $\varphi=\arccos\frac{10}{3\sqrt{38}}.$

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:

$\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{PQ}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{AC}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{AC}\bigr|}=\frac{12}{\sqrt{41}}.$

Скалярное произведение векторов в произвольном базисе

Пусть $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3$ и $\vec{b}=b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3$ :

$\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3 \bigr\rangle= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i\cdot b_j\cdot \bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle.$

Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел $\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle$ , называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ :

$G\bigl(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\bigl)= \begin{pmatrix} \langle\vec{e}_1, \vec{e}_1 \rangle & \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle& \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle& \langle \vec{e}_2, \vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle \vec{e}_3, \vec{e}_1 \rangle & \langle \vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_3,\vec{e}_3\rangle\end{pmatrix}$

(1.12)

Координаты каждого из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ представим в виде столбцов

$a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ и $b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ соответственно.

Тогда для скалярного произведения получим

$\bigl\langle\vec{a}, \vec{b}\bigr\rangle\,= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_j\bigl\langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\bigr\rangle\,= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_2, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_3, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_3\rangle\!\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt] b_3\end{pmatrix}$

или, короче,

$\bigl\langle\vec{a}, \vec{b} \bigr\rangle\,= a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigr)\cdot b\,.$

(1.13)

Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле (1.13), где $\vec{a},\vec{b}$ — координатные столбцы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, a $G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ —матрица Грама (1.12) базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ .

Замечания 1.11.

1. Для ортонормированного базиса $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ матрица Грама имеет вид

$G\bigl(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{i},\vec{i}\rangle&\langle\vec{i},\vec{j}\rangle&\langle\vec{i},\vec{k}\rangle\\[2pt]\langle\vec{j},\vec{i}\rangle&\langle\vec{j},\vec{j}\rangle&\langle\vec{j},\vec{k}\rangle\\[2pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}$

т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем

$\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}+z_a\cdot\vec{k},\, x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}+z_b\cdot\vec{k} \bigr\rangle=\\=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b,\end{gathered}$ что совпадает с (1.10).

2. Для произвольного базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ на плоскости скалярное произведение векторов $\vec{a}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2$ и $\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2$ находится по формуле:

$\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)\cdot b,$

где $a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\!,~ b= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ — координатные столбцы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, a $G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}$ — матрица Грама базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ .

В частности, для ортонормированного базиса $\vec{i},\vec{j}$ матрица Грама является единичной: $G\bigl(\vec{i},\vec{j}\bigl)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому скалярное произведение векторов $\vec{a}=x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}$ и $\vec{b}=x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}$ находится по формуле $\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_ax_b+y_ay_b$ , что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при $z_a=z_b=0$ .

Треугольник и тетраэдр, построенные на векторах

Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:

а) два единичных вектора $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}$ , служащие сторонами правильного треугольника $OAB$ (рис.1.39,а);

б) три единичных вектора $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB},~\vec{e}_3=\overrightarrow{OC}$ , служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).

Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: $\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2;~\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3$ .

Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен $\frac{\pi}{3}$ , получаем

$\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=1,\qquad \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle= \langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\frac{1}{2},\qquad \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=1.$

Записываем матрицу Грама $G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}.$

Найдем теперь длину вектора $\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2$ . Составляем координатный столбец этого вектора $a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ .

Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: $\langle\vec{a},\vec{a}\rangle=a^TG(\vec{e}_1,\vec{e}_2)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix} 1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=7$ . Следовательно, $|\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{7}$ .

б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен $\frac{\pi}{3}$ , получаем

$\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=1;\qquad \langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_2\rangle=\frac{1}{2}.$

Записываем матрицу Грама: $G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)=\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2& 1& 1/2\\ 1/2& 1/2&1 \end{pmatrix}$ . Найдем теперь длину вектора $\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3$ . Составляем координатный столбец этого вектора $b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}^T$ . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:

$\bigl\langle\vec{b},\vec{b}\bigr\rangle=b^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigl)\cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2&1&1/2\\ 1/2&1/2&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\!\!=9$

Следовательно, $|\vec{b}|= \sqrt{\langle\vec{b}, \vec{b}\rangle}=3.$

Скалярное произведение векторов во взаимных базисах

Пусть на плоскости задан базис $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ . Базис $\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*$ называется взаимным по отношению к базису $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ , если

$\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=1,~~\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle=1.$

Пусть в пространстве задан базис $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ . Базис $\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^*$ называется взаимным по отношению к базису $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ , если

$\bigl\langle\vec{e}_i,\vec{e}_j\,\!\!^*\bigr\rangle=\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\ne j,\end{cases}i=1,2,3;~j=1,2,3.$

Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.

1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.

2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.

3. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими координатами относительно взаимных базисов:

$\vec{a}=a_1\,\!\!^*\cdot\vec{e}_1\,\!\!^*+a_2\,\!\!^*\cdot\vec{e}_2\,\!\!^*+a_3\,\!\!^*\cdot\vec{e}_3\,\!\!^*,~~~~\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2+b_3\cdot\vec{e}_3.$

Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: $\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a_1\,\!\!^*b_1+a_2\,\!\!^*b_2+a_3^3b_3$ , т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.

4. Если $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ и $\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^*$ взаимные базисы, то координаты $a_1,a_2,a_3$ любого вектора $\vec{a}$ относительно базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$ находятся по формулам

$a_1=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle,~~~a_2=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle,~~~a_3=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_3\,\!\!^*\bigr\rangle.$

Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ (рис.1.40,а). Вектор $\vec{e}_1\,\!\!^*$ взаимного базиса перпендикулярен вектору $\vec{e}_2$ , так как $\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle$ (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора $\vec{e}_1\,\!\!^*$ выбираем то, которое образует острый угол $\varphi<\frac{\pi}{2}$ с вектором $\vec{e}_1$ , так как $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1>0$ . Следовательно, направление вектора $\vec{e}_1\,\!\!^*$ определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): $\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr|=\frac{1}{\bigr|\vec{e}_1\bigr|{\cdot}\cos\varphi}$ , так как $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1$ .

Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора $\vec{e}_2\,\!\!^*$ . Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.

Заметим, что для стандартного базиса $\vec{i},\vec{j}$ на плоскости (или базиса $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом $\vec{i},\vec{j}$ (соответственно $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ )

Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:

$\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle\vec{a}_1\,\!\!^*\vec{e}_1\,\!\!^*+\vec{a}_2\,\!\!^*\vec{e}_2\,\!\!^*+\vec{a}_3\,\!\!^*\vec{e}_3\,\!\!^*,\vec{b}_1\vec{e}_1+\vec{b}_2\vec{e}_2+\vec{b}_3\vec{e}_3\bigr\rangle=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^*b_j\bigl\langle\vec{e}_i\,\!\!^*,\vec{e}_j\bigr\rangle=\\[3pt]=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^*b_j\bigl\langle\vec{e}_j,\vec{e}_i\,\!\!^*\bigr\rangle=a_1\,\!\!^*b_1+a_2\,\!\!^*b_2+a_3\,\!\!^*b_3,\end{gathered}$

что и требовалось доказать.

Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, $\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=a_1$ . Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.

Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).

б) Внутри угла $AOB$ величиной $\frac{\pi}{3}$ взята точка $C$ , удаленная от сторон $OA$ и $OB$ на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка $OC$ (рис.1.41,б).

Решение. а) Так как базисный вектор $\vec{e}_1$ единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор $\vec{e}_1\,\!\!^*$ можно построить следующим образом. Через начало вектора $\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}$ (точку $O$ ) и конец вектора $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA}$ (точку $A$ ) проводим прямые, перпендикулярные векторам $\vec{e}_2$ и $\vec{e}_1$ соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора $\vec{e}_1\,\!\!^*$ (его начало совпадает с точкой $O$ ). Аналогично строится вектор $\vec{e}_2\,\!\!^*$ (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо $\vec{e}_1\,\!\!^*\perp\vec{e}_2,~\vec{e}_2\,\!\!^*\perp\vec{e}_1$ , а также $\operatorname{pr}_{\vec{e}_1}\vec{e}_1\,\!\!^*=|\vec{e}_1|=1,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2}\vec{e}_2\,\!\!^*=|\vec{e}_2|=1$ . Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): $\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^*\rangle=0,~\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1,~\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^*\rangle=1$ , т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_1\,\!\!^*$ равен $\frac{\pi}{6}$ (напомним, что $\angle AOB=\frac{\pi}{3}$ ), то из прямоугольного треугольника с катетом $OA\colon |\vec{e}_1\,\!\!^*|=\frac{|\vec{e}_1|}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Длина вектора $\vec{e}_2\,\!\!^*$ такая же.

б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов $\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}$ , который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора ${ \overrightarrow{OC}}$ на оси, определяемые векторами взаимного базиса: $\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=2,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=11$ . По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем

$\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|}=\frac{x_1}{\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|}=2;\qquad \operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|}=\frac{x_2}{\bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|}=11,$

где $x_1,x_2$ — координаты вектора ${ \overrightarrow{OC}}$ в базисе $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ . Так как $\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|\,= \bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|\,= \frac{2}{\sqrt{3}}$ (см. пункт "а"), то $x_1=\frac{4}{\sqrt{3}},~x_2=\frac{22}{\sqrt{3}}$ . Длину вектора ${ \overrightarrow{OC}}$ вычисляем по формуле, следующей из пункта 2 замечаний 1.10 при $\vec{a}=\vec{b}$ , используя матрицу Грама для базиса $\vec{e}_1,\vec{e}_2$ , найденную в примере 1.17 пункт "а":

$\bigl\langle\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OC} \bigr\rangle\,=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{3}}&\dfrac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt{3}}\\\frac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}=196.$

Следовательно, $\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|\,= \sqrt{\bigl \langle\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}=\sqrt{196}=14.$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]