Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов и не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скалярное произведение через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.
Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:
— если векторы и относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
 (1.9)
— если векторы и относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
 (1.10)
Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:
![\begin{gathered} \langle\vec{i},\vec{i}\rangle=1,\qquad \langle\vec{i},\vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{i},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{j},\vec{i}\rangle=0,\qquad \langle\vec{j},\vec{j}\rangle=1,\qquad \langle\vec{j},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle= 0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle=1. \end{gathered}](data:image/png;base64,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) (1.11)
Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов и получаем:
Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому
что и требовалось доказать.
Замечания 1.10
1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов и можно получить из (1.10), полагая .
2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если и координатные столбцы векторов и в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:
Для векторов на плоскости соответственно получаем
3. Координаты вектора в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:
В самом деле, подставляя в (1.10) координаты базисного вектора , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).
4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.
Пример 1.15. Даны векторы . Найти скалярные произведения
Решение. По формуле (1.10) вычисляем
Сравнивая вектор со скалярными произведениями обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.
Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам соответствуют координатные столбцы Поэтому
что совпадает с полученными ранее результатами.
Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед построен на векторах (см. рис. 1.38). Точка — центр грани , точка делит ребро в отношении . Требуется найти:
а) величину угла между векторами и ;
б) длину ортогональной проекции вектора на прямую .
 Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе :
![\begin{aligned}&\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+4\cdot\vec{k};\\[3pt]&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k};\\[3pt] &\overrightarrow{PQ}= -2\cdot\vec{i}+ 4\cdot\vec{j}+ 2\cdot\vec{k}.\end{aligned}](data:image/png;base64,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) (см. решение примера 1.12)
По формуле (1.10) находим скалярные произведения:
а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):
Длина была найдена в примере 1.12.
Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла
 т.е. 
Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:
Скалярное произведение векторов в произвольном базисе
Пусть — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов и :
Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел , называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов :
![G\bigl(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\bigl)= \begin{pmatrix} \langle\vec{e}_1, \vec{e}_1 \rangle & \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle& \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle& \langle \vec{e}_2, \vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle \vec{e}_3, \vec{e}_1 \rangle & \langle \vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_3,\vec{e}_3\rangle\end{pmatrix}](data:image/png;base64,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) (1.12)
Координаты каждого из векторов и представим в виде столбцов
 и  соответственно. Тогда для скалярного произведения получим или, короче,
 (1.13)
Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле (1.13), где — координатные столбцы векторов и соответственно, a —матрица Грама (1.12) базиса .
Замечания 1.11.
1. Для ортонормированного базиса матрица Грама имеет вид
т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем
 что совпадает с (1.10).
2. Для произвольного базиса на плоскости скалярное произведение векторов и находится по формуле:
где — координатные столбцы векторов и соответственно, a — матрица Грама базиса .
В частности, для ортонормированного базиса матрица Грама является единичной: , поэтому скалярное произведение векторов и находится по формуле , что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при .
 Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:
а) два единичных вектора , служащие сторонами правильного треугольника (рис.1.39,а);
б) три единичных вектора , служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).
Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: .
Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен , получаем
Записываем матрицу Грама 
Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора .
Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: . Следовательно, .
б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен , получаем
Записываем матрицу Грама: . Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:
Следовательно, 
Скалярное произведение векторов во взаимных базисах
Пусть на плоскости задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если
Пусть в пространстве задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если
Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.
1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.
2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.
3. Пусть векторы и заданы своими координатами относительно взаимных базисов:
Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: , т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.
4. Если и взаимные базисы, то координаты любого вектора относительно базиса находятся по формулам
Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис (рис.1.40,а). Вектор взаимного базиса перпендикулярен вектору , так как (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора выбираем то, которое образует острый угол с вектором , так как . Следовательно, направление вектора определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): , так как .
 Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора . Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.
Заметим, что для стандартного базиса на плоскости (или базиса в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом (соответственно )
Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:
что и требовалось доказать.
Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, . Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.
Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).
б) Внутри угла величиной взята точка , удаленная от сторон и на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка (рис.1.41,б).
Решение. а) Так как базисный вектор единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор можно построить следующим образом. Через начало вектора (точку ) и конец вектора (точку ) проводим прямые, перпендикулярные векторам и соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора (его начало совпадает с точкой ). Аналогично строится вектор (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо , а также . Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): , т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами и равен (напомним, что ), то из прямоугольного треугольника с катетом . Длина вектора такая же.
б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов , который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора на оси, определяемые векторами взаимного базиса: . По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем
где — координаты вектора в базисе . Так как (см. пункт "а"), то . Длину вектора вычисляем по формуле, следующей из пункта 2 замечаний 1.10 при , используя матрицу Грама для базиса , найденную в примере 1.17 пункт "а":
Следовательно, .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|