Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Выражение скалярного произведения через координаты векторов


Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скалярное произведение [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle[/math] через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.


Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе


Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:


— если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты [math]x_a,y_a[/math] и [math]x_b,y_b[/math] соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b;[/math]
(1.9)

— если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты [math]x_a,y_a,z_a[/math] и [math]x_b,y_b,z_b[/math] соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b\,.[/math]
(1.10)

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math]. Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:


[math]\begin{gathered} \langle\vec{i},\vec{i}\rangle=1,\qquad \langle\vec{i},\vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{i},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{j},\vec{i}\rangle=0,\qquad \langle\vec{j},\vec{j}\rangle=1,\qquad \langle\vec{j},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle= 0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle=1. \end{gathered}[/math]
(1.11)

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов [math]\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k}[/math] и [math]\vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}[/math] получаем:


[math]\begin{gathered}\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\bigl\langle x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},\,x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}\bigr\rangle=\\[3pt]x_ax_b\langle\vec{i},\vec{i}\rangle+x_ay_b\langle\vec{i},\vec{j}\rangle+x_az_b\langle\vec{i},\vec{k}\rangle+y_ax_b\langle\vec{j},\vec{i}\rangle+y_ay_b\langle\vec{j},\vec{j}\rangle+y_az_b\langle\vec{j},\vec{k}\rangle+z_ax_b\langle\vec{k},\vec{i}\rangle+z_ay_b\langle\vec{k},\vec{j}\rangle+z_az_b\langle\vec{k},\vec{k}\rangle. \end{gathered}[/math]

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b,[/math]
что и требовалось доказать.



Замечания 1.10


1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом [math]\vec{i},\vec{j}[/math] можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math], у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов [math]\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}[/math] и [math]\vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}[/math] можно получить из (1.10), полагая [math]z_a=z_b=0[/math].


2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если [math]a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T[/math] и [math]b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T[/math] координатные столбцы векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}.[/math]

Для векторов на плоскости соответственно получаем


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}.[/math]

3. Координаты вектора [math]\vec{a}[/math] в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:


[math]x_a=\langle\vec{a},\vec{i}\rangle,~~~y_a=\langle\vec{a},\vec{j}\rangle,~~~z_a=\langle\vec{a},\vec{k}\rangle.[/math]

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты [math](1;0;0)[/math] базисного вектора [math]\vec{i}[/math], приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).


4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.




Пример 1.15. Даны векторы [math]\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k},~\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k},~\vec{c}=\vec{j}-\vec{k}[/math]. Найти скалярные произведения


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{b},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{i}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{j}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{k}\rangle.[/math]

Решение. По формуле (1.10) вычисляем


[math]\begin{aligned} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{c}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot(-1)=-4;\\[3pt] \langle\vec{b},\vec{c}\rangle&=\langle2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=2\cdot0+3\cdot1+2\cdot(-1)=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{i}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{j}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot0=-2;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{k}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot0+2\cdot1=2. \end{aligned}[/math]

Сравнивая вектор [math]\vec{a}=\vec{i}-2\,\vec{j}+2\,\vec{k}[/math] со скалярными произведениями [math]\langle\vec{a},\vec{i}\rangle=1,~\langle\vec{a},\vec{j}\rangle=-2,~\langle\vec{a},\vec{k}\rangle=2[/math] обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.


Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам [math]\vec{a},\vec{b},\,\vec{i}[/math] соответствуют координатные столбцы


[math]a=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\!,~~~b=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\!,\quad i=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.[/math]
Поэтому
[math]\begin{gathered} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T \cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\ \langle\vec{a},\vec{i}\rangle=a^T \cdot i=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1, \end{gathered}[/math]

что совпадает с полученными ранее результатами.



Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед [math]ABCDA_1B_1C_1D_1[/math] построен на векторах [math]\overrightarrow{AB}=4\,\vec{i},~\overrightarrow{AD}=5\,\vec{j},~\overrightarrow{AA_1}=4\,\vec{k}[/math] (см. рис. 1.38). Точка [math]P[/math] — центр грани [math]ABB_1A_1[/math], точка [math]Q[/math] делит ребро [math]A_1D_1[/math] в отношении [math]A_1Q:QD_1=4:1[/math]. Требуется найти:


а) величину [math]\varphi[/math] угла между векторами [math]\overrightarrow{AC_1}[/math] и [math]\overrightarrow{PQ}[/math];


б) длину ортогональной проекции вектора [math]\overrightarrow{PQ}[/math] на прямую [math]AC[/math].


Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math]:


[math]\begin{aligned}&\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+4\cdot\vec{k};\\[3pt]&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k};\\[3pt] &\overrightarrow{PQ}= -2\cdot\vec{i}+ 4\cdot\vec{j}+ 2\cdot\vec{k}.\end{aligned}[/math](см. решение примера 1.12)

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:


[math]\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+ 5\cdot4+ 4\cdot2=20;\quad \bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+5\cdot4+0\cdot2=12.[/math]

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):

[math]|AC_1|=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{AC_1}\bigr\rangle}=\sqrt{4^2+5^2+4^2}=\sqrt{57};\quad \bigr|AC\bigr|= \sqrt{\bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}\bigr\rangle}= \sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}.[/math]

Длина [math]\left|\overrightarrow{PQ}\right|=2\sqrt{6}[/math] была найдена в примере 1.12.


Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла


[math]\cos\varphi=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{AC_1}\bigr|\cdot\bigr|\overrightarrow{PQ}\bigr|}=\frac{20}{\sqrt{57}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{10}{3\sqrt{38}},[/math] т.е. [math]\varphi=\arccos\frac{10}{3\sqrt{38}}.[/math]

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:


[math]\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{PQ}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{AC}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{AC}\bigr|}=\frac{12}{\sqrt{41}}.[/math]




Скалярное произведение векторов в произвольном базисе


Пусть [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов [math]\vec{a}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3[/math] и [math]\vec{b}=b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3[/math]:


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3 \bigr\rangle= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i\cdot b_j\cdot \bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle.[/math]

Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел [math]\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle[/math], называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов [math]\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3[/math]:


[math]G\bigl(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\bigl)= \begin{pmatrix} \langle\vec{e}_1, \vec{e}_1 \rangle & \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle& \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle& \langle \vec{e}_2, \vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle \vec{e}_3, \vec{e}_1 \rangle & \langle \vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_3,\vec{e}_3\rangle\end{pmatrix}[/math]
(1.12)

Координаты каждого из векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] представим в виде столбцов


[math]a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}[/math] и [math]b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}[/math] соответственно.
Тогда для скалярного произведения получим
[math]\bigl\langle\vec{a}, \vec{b}\bigr\rangle\,= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_j\bigl\langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\bigr\rangle\,= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_2, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_3, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_3\rangle\!\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt] b_3\end{pmatrix}[/math]
или, короче,
[math]\bigl\langle\vec{a}, \vec{b} \bigr\rangle\,= a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigr)\cdot b\,.[/math]
(1.13)



Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе [math]\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3[/math] скалярное произведение векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] вычисляется по формуле (1.13), где [math]\vec{a},\vec{b}[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] соответственно, a [math]G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)[/math] —матрица Грама (1.12) базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math].



Замечания 1.11.


1. Для ортонормированного базиса [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] матрица Грама имеет вид


[math]G\bigl(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{i},\vec{i}\rangle&\langle\vec{i},\vec{j}\rangle&\langle\vec{i},\vec{k}\rangle\\[2pt]\langle\vec{j},\vec{i}\rangle&\langle\vec{j},\vec{j}\rangle&\langle\vec{j},\vec{k}\rangle\\[2pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}[/math]

т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем

[math]\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}+z_a\cdot\vec{k},\, x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}+z_b\cdot\vec{k} \bigr\rangle=\\=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b,\end{gathered}[/math] что совпадает с (1.10).

2. Для произвольного базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] на плоскости скалярное произведение векторов [math]\vec{a}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2[/math] и [math]\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2[/math] находится по формуле:


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)\cdot b,[/math]

где [math]a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\!,~ b= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] соответственно, a [math]G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}[/math] — матрица Грама базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math].


В частности, для ортонормированного базиса [math]\vec{i},\vec{j}[/math] матрица Грама является единичной: [math]G\bigl(\vec{i},\vec{j}\bigl)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math], поэтому скалярное произведение векторов [math]\vec{a}=x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}[/math] и [math]\vec{b}=x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}[/math] находится по формуле [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_ax_b+y_ay_b[/math], что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при [math]z_a=z_b=0[/math].




Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:


а) два единичных вектора [math]\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}[/math], служащие сторонами правильного треугольника [math]OAB[/math] (рис.1.39,а);


б) три единичных вектора [math]\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB},~\vec{e}_3=\overrightarrow{OC}[/math], служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).


Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: [math]\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2;~\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3[/math].


Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен [math]\frac{\pi}{3}[/math], получаем


[math]\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=1,\qquad \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle= \langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\frac{1}{2},\qquad \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=1.[/math]

Записываем матрицу Грама [math]G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}.[/math]


Найдем теперь длину вектора [math]\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2[/math]. Составляем координатный столбец этого вектора [math]a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}[/math].


Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: [math]\langle\vec{a},\vec{a}\rangle=a^TG(\vec{e}_1,\vec{e}_2)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix} 1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=7[/math]. Следовательно, [math]|\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{7}[/math].


б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен [math]\frac{\pi}{3}[/math], получаем


[math]\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=1;\qquad \langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_2\rangle=\frac{1}{2}.[/math]

Записываем матрицу Грама: [math]G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)=\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2& 1& 1/2\\ 1/2& 1/2&1 \end{pmatrix}[/math]. Найдем теперь длину вектора [math]\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3[/math]. Составляем координатный столбец этого вектора [math]b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}^T[/math]. Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:


[math]\bigl\langle\vec{b},\vec{b}\bigr\rangle=b^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigl)\cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2&1&1/2\\ 1/2&1/2&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\!\!=9[/math]

Следовательно, [math]|\vec{b}|= \sqrt{\langle\vec{b}, \vec{b}\rangle}=3.[/math]




Скалярное произведение векторов во взаимных базисах


Пусть на плоскости задан базис [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math]. Базис [math]\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*[/math] называется взаимным по отношению к базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math], если


[math]\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=1,~~\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle=1.[/math]

Пусть в пространстве задан базис [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math]. Базис [math]\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^*[/math] называется взаимным по отношению к базису [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math], если


[math]\bigl\langle\vec{e}_i,\vec{e}_j\,\!\!^*\bigr\rangle=\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\ne j,\end{cases}i=1,2,3;~j=1,2,3.[/math]



Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.


1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.


2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.


3. Пусть векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] заданы своими координатами относительно взаимных базисов:


[math]\vec{a}=a_1\,\!\!^*\cdot\vec{e}_1\,\!\!^*+a_2\,\!\!^*\cdot\vec{e}_2\,\!\!^*+a_3\,\!\!^*\cdot\vec{e}_3\,\!\!^*,~~~~\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2+b_3\cdot\vec{e}_3.[/math]

Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: [math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a_1\,\!\!^*b_1+a_2\,\!\!^*b_2+a_3^3b_3[/math], т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.


4. Если [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] и [math]\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^*[/math] взаимные базисы, то координаты [math]a_1,a_2,a_3[/math] любого вектора [math]\vec{a}[/math] относительно базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] находятся по формулам


[math]a_1=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle,~~~a_2=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle,~~~a_3=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_3\,\!\!^*\bigr\rangle.[/math]



Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math] (рис.1.40,а). Вектор [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] взаимного базиса перпендикулярен вектору [math]\vec{e}_2[/math], так как [math]\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle[/math] (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] выбираем то, которое образует острый угол [math]\varphi<\frac{\pi}{2}[/math] с вектором [math]\vec{e}_1[/math], так как [math]\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1>0[/math]. Следовательно, направление вектора [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): [math]\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr|=\frac{1}{\bigr|\vec{e}_1\bigr|{\cdot}\cos\varphi}[/math], так как [math]\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1[/math].


Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора [math]\vec{e}_2\,\!\!^*[/math]. Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.


Заметим, что для стандартного базиса [math]\vec{i},\vec{j}[/math] на плоскости (или базиса [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом [math]\vec{i},\vec{j}[/math] (соответственно [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math])


Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:


[math]\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle\vec{a}_1\,\!\!^*\vec{e}_1\,\!\!^*+\vec{a}_2\,\!\!^*\vec{e}_2\,\!\!^*+\vec{a}_3\,\!\!^*\vec{e}_3\,\!\!^*,\vec{b}_1\vec{e}_1+\vec{b}_2\vec{e}_2+\vec{b}_3\vec{e}_3\bigr\rangle=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^*b_j\bigl\langle\vec{e}_i\,\!\!^*,\vec{e}_j\bigr\rangle=\\[3pt]=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^*b_j\bigl\langle\vec{e}_j,\vec{e}_i\,\!\!^*\bigr\rangle=a_1\,\!\!^*b_1+a_2\,\!\!^*b_2+a_3\,\!\!^*b_3,\end{gathered}[/math]

что и требовалось доказать.

Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, [math]\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=a_1[/math]. Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.




Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).


б) Внутри угла [math]AOB[/math] величиной [math]\frac{\pi}{3}[/math] взята точка [math]C[/math], удаленная от сторон [math]OA[/math] и [math]OB[/math] на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка [math]OC[/math] (рис.1.41,б).


Базис и взаимные базисы

Решение. а) Так как базисный вектор [math]\vec{e}_1[/math] единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] можно построить следующим образом. Через начало вектора [math]\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}[/math] (точку [math]O[/math]) и конец вектора [math]\vec{e}_1=\overrightarrow{OA}[/math] (точку [math]A[/math]) проводим прямые, перпендикулярные векторам [math]\vec{e}_2[/math] и [math]\vec{e}_1[/math] соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] (его начало совпадает с точкой [math]O[/math]). Аналогично строится вектор [math]\vec{e}_2\,\!\!^*[/math] (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо [math]\vec{e}_1\,\!\!^*\perp\vec{e}_2,~\vec{e}_2\,\!\!^*\perp\vec{e}_1[/math], а также [math]\operatorname{pr}_{\vec{e}_1}\vec{e}_1\,\!\!^*=|\vec{e}_1|=1,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2}\vec{e}_2\,\!\!^*=|\vec{e}_2|=1[/math]. Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): [math]\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^*\rangle=0,~\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1,~\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^*\rangle=1[/math], т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами [math]\vec{e}_1[/math] и [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] равен [math]\frac{\pi}{6}[/math] (напомним, что [math]\angle AOB=\frac{\pi}{3}[/math]), то из прямоугольного треугольника с катетом [math]OA\colon |\vec{e}_1\,\!\!^*|=\frac{|\vec{e}_1|}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}[/math]. Длина вектора [math]\vec{e}_2\,\!\!^*[/math] такая же.


б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов [math]\vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}[/math], который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] на оси, определяемые векторами взаимного базиса: [math]\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=2,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=11[/math]. По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем


[math]\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|}=\frac{x_1}{\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|}=2;\qquad \operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|}=\frac{x_2}{\bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|}=11,[/math]

где [math]x_1,x_2[/math] — координаты вектора [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] в базисе [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math]. Так как [math]\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|\,= \bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|\,= \frac{2}{\sqrt{3}}[/math] (см. пункт "а"), то [math]x_1=\frac{4}{\sqrt{3}},~x_2=\frac{22}{\sqrt{3}}[/math]. Длину вектора [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] вычисляем по формуле, следующей из пункта 2 замечаний 1.10 при [math]\vec{a}=\vec{b}[/math], используя матрицу Грама для базиса [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2[/math], найденную в примере 1.17 пункт "а":


[math]\bigl\langle\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OC} \bigr\rangle\,=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{3}}&\dfrac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt{3}}\\\frac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}=196.[/math]

Следовательно, [math]\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|\,= \sqrt{\bigl \langle\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}=\sqrt{196}=14.[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved