Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Выражение скалярного произведения через координаты векторов


Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов \vec{a} и \vec{b} не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скалярное произведение \langle\vec{a},\vec{b}\rangle через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.


Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе


Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:


— если векторы \vec{a} и \vec{b} относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты x_a,y_a и x_b,y_b соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле


\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b;
(1.9)

— если векторы \vec{a} и \vec{b} относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты x_a,y_a,z_a и x_b,y_b,z_b соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле


\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b\,.
(1.10)

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис \vec{i},\vec{j},\vec{k}. Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:


\begin{gathered} \langle\vec{i},\vec{i}\rangle=1,\qquad \langle\vec{i},\vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{i},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{j},\vec{i}\rangle=0,\qquad \langle\vec{j},\vec{j}\rangle=1,\qquad \langle\vec{j},\vec{k}\rangle=0,\\[3pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle= 0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle=0,\qquad \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle=1. \end{gathered}
(1.11)

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов \vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k} и \vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k} получаем:


\begin{gathered}\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\bigl\langle x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},\,x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b,\vec{k}\bigr\rangle=\\[3pt]x_ax_b\langle\vec{i},\vec{i}\rangle+x_ay_b\langle\vec{i},\vec{j}\rangle+x_az_b\langle\vec{i},\vec{k}\rangle+y_ax_b\langle\vec{j},\vec{i}\rangle+y_ay_b\langle\vec{j},\vec{j}\rangle+y_az_b\langle\vec{j},\vec{k}\rangle+z_ax_b\langle\vec{k},\vec{i}\rangle+z_ay_b\langle\vec{k},\vec{j}\rangle+z_az_b\langle\vec{k},\vec{k}\rangle. \end{gathered}

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому


\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=x_a \cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a \cdot z_b,

что и требовалось доказать.




Замечания 1.10


1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом \vec{i},\vec{j} можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом \vec{i},\vec{j},\vec{k}, у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов \vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j} и \vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j} можно получить из (1.10), полагая z_a=z_b=0.


2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T и b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T координатные столбцы векторов \vec{a} и \vec{b} в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:


\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}.

Для векторов на плоскости соответственно получаем


\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T\cdot b=\begin{pmatrix}x_a&y_a\end{pmatrix}^T\cdot\begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix}.

3. Координаты вектора \vec{a} в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:


x_a=\langle\vec{a},\vec{i}\rangle,~~~y_a=\langle\vec{a},\vec{j}\rangle,~~~z_a=\langle\vec{a},\vec{k}\rangle.

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты (1;0;0) базисного вектора \vec{i}, приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).


4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.




Пример 1.15. Даны векторы \vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k},~\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k},~\vec{c}=\vec{j}-\vec{k}. Найти скалярные произведения


\langle\vec{a},\vec{b}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{b},\vec{c}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{i}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{j}\rangle,\quad \langle\vec{a},\vec{k}\rangle.

Решение. По формуле (1.10) вычисляем


\begin{aligned} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{c}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot(-1)=-4;\\[3pt] \langle\vec{b},\vec{c}\rangle&=\langle2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}\rangle=2\cdot0+3\cdot1+2\cdot(-1)=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{i}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{j}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot1+2\cdot0=-2;\\[3pt] \langle\vec{a},\vec{k}\rangle&=\langle1\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}+2\cdot\vec{k},\,0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}\rangle=1\cdot0+(-2)\cdot0+2\cdot1=2. \end{aligned}

Сравнивая вектор \vec{a}=\vec{i}-2\,\vec{j}+2\,\vec{k} со скалярными произведениями \langle\vec{a},\vec{i}\rangle=1,~\langle\vec{a},\vec{j}\rangle=-2,~\langle\vec{a},\vec{k}\rangle=2 обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.


Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам \vec{a},\vec{b},\,\vec{i} соответствуют координатные столбцы


a=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\!,~~~b=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\!,\quad i=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.
Поэтому
\begin{gathered} \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a^T \cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot2+(-2)\cdot3+2\cdot2=0;\\ \langle\vec{a},\vec{i}\rangle=a^T \cdot i=\begin{pmatrix}1&-2&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=1\cdot1+(-2)\cdot0+2\cdot0=1, \end{gathered}

что совпадает с полученными ранее результатами.




Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 построен на векторах \overrightarrow{AB}=4\,\vec{i},~\overrightarrow{AD}=5\,\vec{j},~\overrightarrow{AA_1}=4\,\vec{k} (см. рис. 1.38). Точка P — центр грани ABB_1A_1, точка Q делит ребро A_1D_1 в отношении A_1Q:QD_1=4:1. Требуется найти:


а) величину \varphi угла между векторами \overrightarrow{AC_1} и \overrightarrow{PQ};


б) длину ортогональной проекции вектора \overrightarrow{PQ} на прямую AC.


Прямоугольный параллелепипед, построенный на векторах

Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе \vec{i},\vec{j},\vec{k}:


\begin{aligned}&\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+4\cdot\vec{k};\\[3pt]&\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=4\cdot\vec{i}+5\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k};\\[3pt] &\overrightarrow{PQ}= -2\cdot\vec{i}+ 4\cdot\vec{j}+ 2\cdot\vec{k}.\end{aligned}(см. решение примера 1.12)

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:


\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+ 5\cdot4+ 4\cdot2=20;\quad \bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{PQ}\bigr\rangle=4\cdot(-2)+5\cdot4+0\cdot2=12.

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):


|AC_1|=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{AC_1}\bigr\rangle}=\sqrt{4^2+5^2+4^2}=\sqrt{57};\quad \bigr|AC\bigr|= \sqrt{\bigl\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}\bigr\rangle}= \sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}.

Длина \left|\overrightarrow{PQ}\right|=2\sqrt{6} была найдена в примере 1.12.


Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла


\cos\varphi=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{PQ}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{AC_1}\bigr|\cdot\bigr|\overrightarrow{PQ}\bigr|}=\frac{20}{\sqrt{57}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{10}{3\sqrt{38}}, т.е. \varphi=\arccos\frac{10}{3\sqrt{38}}.

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:


\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{PQ}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{AC}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{AC}\bigr|}=\frac{12}{\sqrt{41}}.



Скалярное произведение векторов в произвольном базисе


Пусть \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов \vec{a}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3 и \vec{b}=b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3:


\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,b_1\vec{e}_1+b_2\vec{e}_2+b_3\vec{e}_3 \bigr\rangle= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_i\cdot b_j\cdot \bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle.

Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел \bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigr\rangle, называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3:


G\bigl(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\bigl)= \begin{pmatrix} \langle\vec{e}_1, \vec{e}_1 \rangle & \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle& \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle& \langle \vec{e}_2, \vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle \vec{e}_3, \vec{e}_1 \rangle & \langle \vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_3,\vec{e}_3\rangle\end{pmatrix}
(1.12)

Координаты каждого из векторов \vec{a} и \vec{b} представим в виде столбцов


a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} и b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} соответственно.
Тогда для скалярного произведения получим
\bigl\langle\vec{a}, \vec{b}\bigr\rangle\,= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_ib_j\bigl\langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\bigr\rangle\,= \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle\\[2pt] \langle\vec{e}_2, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_2, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle\\[2pt]\langle\vec{e}_3, \vec{e}_1\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_2\rangle & \langle\vec{e}_3, \vec{e}_3\rangle\!\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt] b_3\end{pmatrix}
или, короче,
\bigl\langle\vec{a}, \vec{b} \bigr\rangle\,= a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigr)\cdot b\,.
(1.13)



Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} вычисляется по формуле (1.13), где \vec{a},\vec{b} — координатные столбцы векторов \vec{a} и \vec{b} соответственно, a G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) —матрица Грама (1.12) базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.


Замечания 1.11.


1. Для ортонормированного базиса \vec{i},\vec{j},\vec{k} матрица Грама имеет вид


G\bigl(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{i},\vec{i}\rangle&\langle\vec{i},\vec{j}\rangle&\langle\vec{i},\vec{k}\rangle\\[2pt]\langle\vec{j},\vec{i}\rangle&\langle\vec{j},\vec{j}\rangle&\langle\vec{j},\vec{k}\rangle\\[2pt] \langle\vec{k}, \vec{i}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{j}\rangle & \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}

т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем


\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j}+z_a\cdot\vec{k},\, x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}+z_b\cdot\vec{k} \bigr\rangle=\\=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b,\end{gathered} что совпадает с (1.10).

2. Для произвольного базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2 на плоскости скалярное произведение векторов \vec{a}=a_1\cdot\vec{e}_1+a_2\cdot\vec{e}_2 и \vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2 находится по формуле:


\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)\cdot b,

где a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\!,~ b= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} — координатные столбцы векторов \vec{a} и \vec{b} соответственно, a G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix} — матрица Грама базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2.


В частности, для ортонормированного базиса \vec{i},\vec{j} матрица Грама является единичной: G\bigl(\vec{i},\vec{j}\bigl)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, поэтому скалярное произведение векторов \vec{a}=x_a\cdot\vec{i}+y_a\cdot\vec{j} и \vec{b}=x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j} находится по формуле \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=x_ax_b+y_ay_b, что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при z_a=z_b=0.




Треугольник и тетраэдр, построенные на векторах

Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:


а) два единичных вектора \vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}, служащие сторонами правильного треугольника OAB (рис.1.39,а);


б) три единичных вектора \vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB},~\vec{e}_3=\overrightarrow{OC}, служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).


Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: \vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2;~\vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3.


Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен \frac{\pi}{3}, получаем


\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=1,\qquad \langle\vec{e}_1, \vec{e}_2\rangle= \langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\frac{1}{2},\qquad \langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=1.

Записываем матрицу Грама G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2\bigl)=\begin{pmatrix}\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle\\\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle&\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}.


Найдем теперь длину вектора \vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2. Составляем координатный столбец этого вектора a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.


Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: \langle\vec{a},\vec{a}\rangle=a^TG(\vec{e}_1,\vec{e}_2)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix} 1&1/2\\ 1/2&1 \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=7. Следовательно, |\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{7}.


б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен \frac{\pi}{3}, получаем


\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=1;\qquad \langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_1,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_1\rangle=\langle\vec{e}_2,\vec{e}_3\rangle=\langle\vec{e}_3,\vec{e}_2\rangle=\frac{1}{2}.

Записываем матрицу Грама: G(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)=\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2& 1& 1/2\\ 1/2& 1/2&1 \end{pmatrix}. Найдем теперь длину вектора \vec{b}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+3\vec{e}_3. Составляем координатный столбец этого вектора b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}^T. Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:


\bigl\langle\vec{b},\vec{b}\bigr\rangle=b^T\cdot G\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\bigl)\cdot b=\begin{pmatrix}1&-2&3\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&1/2&1/2\\ 1/2&1&1/2\\ 1/2&1/2&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\!\!=9

Следовательно, |\vec{b}|= \sqrt{\langle\vec{b}, \vec{b}\rangle}=3.




Скалярное произведение векторов во взаимных базисах


Пусть на плоскости задан базис \vec{e}_1,\vec{e}_2. Базис \vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^* называется взаимным по отношению к базису \vec{e}_1,\vec{e}_2, если


\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=1,~~\bigl\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=0,~~\bigl\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle=1.

Пусть в пространстве задан базис \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3. Базис \vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^* называется взаимным по отношению к базису \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, если


\bigl\langle\vec{e}_i,\vec{e}_j\,\!\!^*\bigr\rangle=\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\ne j,\end{cases}i=1,2,3;~j=1,2,3.



Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.


1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.


2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.


3. Пусть векторы \vec{a} и \vec{b} заданы своими координатами относительно взаимных базисов:


\vec{a}=a_1\,\!\!^*\cdot\vec{e}_1\,\!\!^*+a_2\,\!\!^*\cdot\vec{e}_2\,\!\!^*+a_3\,\!\!^*\cdot\vec{e}_3\,\!\!^*,~~~~\vec{b}=b_1\cdot\vec{e}_1+b_2\cdot\vec{e}_2+b_3\cdot\vec{e}_3.

Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: \bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=a_1\,\!\!^*b_1+a_2\,\!\!^*b_2+a_3^3b_3, т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.


4. Если \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 и \vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^* взаимные базисы, то координаты a_1,a_2,a_3 любого вектора \vec{a} относительно базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 находятся по формулам


a_1=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle,~~~a_2=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_2\,\!\!^*\bigr\rangle,~~~a_3=\bigl\langle\vec{a},\vec{e}_3\,\!\!^*\bigr\rangle.



Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис \vec{e}_1,\vec{e}_2 (рис.1.40,а). Вектор \vec{e}_1\,\!\!^* взаимного базиса перпендикулярен вектору \vec{e}_2, так как \langle\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора \vec{e}_1\,\!\!^* выбираем то, которое образует острый угол \varphi<\frac{\pi}{2} с вектором \vec{e}_1, так как \langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1>0. Следовательно, направление вектора \vec{e}_1\,\!\!^* определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): \bigr|\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr|=\frac{1}{\bigr|\vec{e}_1\bigr|{\cdot}\cos\varphi}, так как \langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1.


Взаимный базис

Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора \vec{e}_2\,\!\!^*. Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.


Заметим, что для стандартного базиса \vec{i},\vec{j} на плоскости (или базиса \vec{i},\vec{j},\vec{k} в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом \vec{i},\vec{j} (соответственно \vec{i},\vec{j},\vec{k})


Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:


\begin{gathered}\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle=\bigl\langle\vec{a}_1\,\!\!^*\vec{e}_1\,\!\!^*+\vec{a}_2\,\!\!^*\vec{e}_2\,\!\!^*+\vec{a}_3\,\!\!^*\vec{e}_3\,\!\!^*,\vec{b}_1\vec{e}_1+\vec{b}_2\vec{e}_2+\vec{b}_3\vec{e}_3\bigr\rangle=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^*b_j\bigl\langle\vec{e}_i\,\!\!^*,\vec{e}_j\bigr\rangle=\\[3pt]=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_i\,\!\!^*b_j\bigl\langle\vec{e}_j,\vec{e}_i\,\!\!^*\bigr\rangle=a_1\,\!\!^*b_1+a_2\,\!\!^*b_2+a_3\,\!\!^*b_3,\end{gathered}

что и требовалось доказать.


Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, \langle\vec{a},\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=\bigl\langle a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3,\,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr\rangle=a_1. Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.




Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).


б) Внутри угла AOB величиной \frac{\pi}{3} взята точка C, удаленная от сторон OA и OB на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка OC (рис.1.41,б).


Базис и взаимные базисы

Решение. а) Так как базисный вектор \vec{e}_1 единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор \vec{e}_1\,\!\!^* можно построить следующим образом. Через начало вектора \vec{e}_2=\overrightarrow{OB} (точку O) и конец вектора \vec{e}_1=\overrightarrow{OA} (точку A) проводим прямые, перпендикулярные векторам \vec{e}_2 и \vec{e}_1 соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора \vec{e}_1\,\!\!^* (его начало совпадает с точкой O). Аналогично строится вектор \vec{e}_2\,\!\!^* (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо \vec{e}_1\,\!\!^*\perp\vec{e}_2,~\vec{e}_2\,\!\!^*\perp\vec{e}_1, а также \operatorname{pr}_{\vec{e}_1}\vec{e}_1\,\!\!^*=|\vec{e}_1|=1,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2}\vec{e}_2\,\!\!^*=|\vec{e}_2|=1. Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): \langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\,\!\!^*\rangle=0,~\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\rangle=1,~\langle\vec{e}_2,\vec{e}_2\,\!\!^*\rangle=1, т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами \vec{e}_1 и \vec{e}_1\,\!\!^* равен \frac{\pi}{6} (напомним, что \angle AOB=\frac{\pi}{3}), то из прямоугольного треугольника с катетом OA\colon |\vec{e}_1\,\!\!^*|=\frac{|\vec{e}_1|}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}. Длина вектора \vec{e}_2\,\!\!^* такая же.


б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов \vec{e}_1=\overrightarrow{OA},~\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}, который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора { \overrightarrow{OC}} на оси, определяемые векторами взаимного базиса: \operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=2,~\operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=11. По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем


\operatorname{pr}_{\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|}=\frac{x_1}{\bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|}=2;\qquad \operatorname{pr}_{\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}}\overrightarrow{OC}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr\rangle}{\bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|}=\frac{x_2}{\bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|}=11,

где x_1,x_2 — координаты вектора { \overrightarrow{OC}} в базисе \vec{e}_1,\vec{e}_2. Так как \bigr|\vec{e}_1\,\!\!^{\ast}\bigr|\,= \bigr|\vec{e}_2\,\!\!^{\ast}\bigr|\,= \frac{2}{\sqrt{3}} (см. пункт "а"), то x_1=\frac{4}{\sqrt{3}},~x_2=\frac{22}{\sqrt{3}}. Длину вектора { \overrightarrow{OC}} вычисляем по формуле, следующей из пункта 2 замечаний 1.10 при \vec{a}=\vec{b}, используя матрицу Грама для базиса \vec{e}_1,\vec{e}_2, найденную в примере 1.17 пункт "а":


\bigl\langle\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OC} \bigr\rangle\,=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt{3}}&\dfrac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}\frac{4}{\sqrt{3}}\\\frac{22}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}=196.

Следовательно, \bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|\,= \sqrt{\bigl \langle\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}=\sqrt{196}=14..

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved