Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
Рассмотрим несколько примеров на применение вычетов к вычислению интегралов по замкнутому контуру, т.е. на применение основной теоремы о вычетах (утверждение 4.6 , формула (4.19)). Использование формулы (4.19) предполагает выполнение ряда действий, связанных с формой ее записи.
Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощью вычетов
1. Найти особые точки функции . 2. Определить, какие из этих точек расположены в области , ограниченной контуром . Для этого достаточно сделать чертеж: изобразить контур и отметить особые точки. 3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области. 4. Записать результат по формуле (4.19):

▼ Примеры 4.28-4.35 вычисления контурных интегралов с помощью вычетов
Пример 4.28. Вычислить контурный интеграл .
Решение
Записываем решение по алгоритму. 1. Конечными особыми точками функции являются нули знаменателя, , то есть . Заметим, что все точки — простые нули знаменателя, следовательно, простые полюсы . 2. Контуром интегрирования является окружность , а точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность (рис. 4.4). Поэтому в область, ограниченную контуром, попадают точки и .Заметим, что . 3. Находим вычеты в точках и по формуле (4.24): Записываем ответ:
Пример 4.29. Вычислить интегралы: а) ; б) .
Решение
Пример 4.30. Вычислить интегралы: a) ; б) .
Решение
а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Находим конечные особые точки функции — корни уравнения , то есть , или . 2. В область входят точки . так как и . Другие точки не принадлежат кругу , так как для них . В этом можно также убедиться, сделав чертеж. 3. Точка — устранимая особая точка функции, так как ; поэтому .Точка является полюсом первого порядка , так как она — простой нуль знаменателя, а числитель при этом не обращается в нуль, т.е. функция может быть записана в виде . Вычет вычисляем по формуле (4.24): 4. Запишем ответ: . б) Воспользуемся алгоритмом. 1. Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения , или , то есть . 2. Из всех точек кругу принадлежит только одна точка . 3,4. Находим вычет в точке — простом полюсе  Записываем ответ: .
Пример 4.31. Вычислить контурные интегралы: а) ; б) .
Решение
а) Особыми точками функции являются простые полюсы и . Точка не принадлежит области , а точки расположены на окружности , следовательно, входят в область . Применяя формулу (4.19), можно найти вычеты в этих точках и получить ответ: Чтобы не вычислять вычеты в 15 особых точках , используем обобщенную теорему о вычетах (формулу (4.20)). В данном случае она имеет вид и, следовательно, Точка — простой полюс , и вычет находим по формуле (4.24): Точка — устранимая особая точка для и . Вычет вычисляем по формуле (4.26): Получаем ответ: . б) Особыми точками функции являются — простой полюс и — существенно особая точка. Обе точки принадлежат кругу . Вычет в точке находим по формуле (4.24): . Для нахождения вычета в точке -существенно особой точке — нужно найти коэффициент , т.е. записать разложение функции в ряд по степеням . Для этого записываем разложения функций и , перемножаем ряды и находим — коэффициент при степени . Если, как и в предыдущем случае, использовать формулу (4.20), то задача вычисления интеграла упрощается, так как нет необходимости вычислять вычет в существенно особой точке . Действительно, из  следует  . Поэтому и .
Пример 4.32. Вычислить интеграл , где — граница круга единичного радиуса с центром в точке a) ; б) .
Решение
Пример 4.33. Вычислить интегралы от многозначных функций: а) ; б) .
Решение
При вычислении интегралов от многозначной функции предварительно нужно убедиться, что в области, ограниченной контуром интегрирования, подынтегральная функция допускает выделение однозначных ветвей. Это возможно, если точка ветвления многозначного выражения не принадлежит области. Выделение ветви определяется заданием значения функции в некоторой точке области (случай "а")), если нет такого задания — интеграл вычисляется от всех ветвей (случай "б")). а) Точка ветвления функции не принадлежит кругу , и в этой области выражение допускает выделение однозначных ветвей . Нуль знаменателя — точка принадлежит кругу . Эта точка будет особой точкой для одной из ветвей, а именно для той ветви, для которой . Из условия и находим   при  . Но при этом . Следовательно, для выбранной ветви точка не является особой. Поэтому ветвь является в круге аналитической и интеграл равен нулю (см. формулу (2.54). б) Точка ветвления функции не принадлежит кругу . В области выделяются однозначные ветви функции  Приравнивая нулю знаменатель, находим , то есть . Точка принадлежит кругу . Так как , то равенство выполняется при только для ветви, для которой . Для этой ветви точка является полюсом первого порядка и вычет в ней вычисляется по формуле (4.24):  Получаем ответ:  . Для других ветвей подынтегральная функция является аналитической и, следовательно, (см. формулу (2.54).
Пример 4.34. Вычислить интеграл от многозначной функции .
Решение
Пример 4.35. Вычислить интегралы: a) , где — контур, состоящий из дуга окружности и отрезка прямой (рис. 4.5,а); б) , где — контур, состоящий из верхней полуокружности и отрезка действительной оси (рис. 4.5,б).
Решение
Рассмотренные выше примеры вычисления интегралов от функций комплексного переменного по замкнутому контуру с помощью вычетов показывают преимущество этого метода. Методу соответствует алгоритм, состоящий из несложных процедур. В случае вычисления вычетов в полюсах задача еще более упрощается и сводится к нахождению производных (см. формулы (4.22),(4.24)).
Прежде всего следует ожидать, что можно использовать аппарат вычетов при вычислении определенных интегралов от функции действительной переменной. В самом деле, если подобрать некоторую функцию, переводящую отрезок в замкнутую плоскую кривую , то вычисление интеграла можно свести к вычислению интеграла . Простейшая задача такого вида связана с преобразованием отрезка в окружность.
Интегралы вида 
Здесь — рациональная функция аргументов и . Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена ("универсальная" подстановка ) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби, а далее применяется соответствующий алгоритм интегрирования с простыми, но трудоемкими процедурами.
С другой стороны, отрезок изменения переменных можно рассматривать как изменение точки , принадлежащей окружности. Действительно, замена переводит отрезок в окружность . При этом для переменных и получаются несложные, причем рациональные, выражения через . По формулам Эйлера имеем
 , то есть  .
Из получаем , a поэтому . В результате получаем формулу, связывающую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:
 (4.27)
Полученный справа интеграл есть интеграл от рациональной функции, особыми точками которой являются только полюсы.
Пример 4.36. Вычислить собственный интеграл с помощью вычетов.
Решение
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Еще больший интерес представляет возможность применения вычетов для вычисления несобственных интегралов вида , где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. (здесь отрезок ). Будем рассматривать функцию , непрерывную на . Возможность использования вычетов при решении такой задачи основана на том, что отрезок действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы:
 , где  — дуга окружности  .
Несобственный интеграл определяется как предел:
Пример 4.37. Вычислить несобственный интеграл , используя вычеты.
Решение
Интерес, с точки зрения применения вычетов, представляют интегралы , где функция такова, что , как в рассмотренном примере. Классы таких функций выделяются, и для всех функций рассматриваемого класса устанавливается формула .
Интегралы вида 
Здесь — рациональная функция переменной , то есть , где и — многочлены степени и соответственно. Как отмечалось выше, рассматриваем функцию , непрерывную на , т.е. многочлен не имеет действительных нулей. В теории несобственных интегралов путем сравнения таких интегралов с интегралами , устанавливается их сходимость при условии , то есть . При таком условии и функция , доопределенная в точке предельным значением , имеет в этой точке нуль порядка не ниже второго, а поэтому может быть записана в виде , где , то есть при .
Учитывая это, проводим оценку интеграла, как в рассмотренном примере,
 и получаем  .
Таким образом, для рассматриваемого типа интегралов получаем , где — контур, состоящий из верхней полуокружности и отрезка , причем таково, что все особые точки функции , для которых , расположены в полукруге .
Очевидно, аналогичный вывод можно получить, рассматривая полукруг .
Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.
Утверждение 4.9. Пусть функция , удовлетворяет условиям:1) , т.е. степень знаменателя больше степени числителя по крайней мере на два;2) для — действительных, т. е. не имеет особых точек на действительной оси.
Тогда справедливы равенства:
 (4.28)
 (4.29)
где — все особые точки функции , расположенные выше оси в случае формулы (4.28) и ниже оси — в случае формуль (4.29).
Заметим, что если — четная функция, то можно, используя эти формулы, вычислять интегралы вида , так как для четных функций имеет место равенство .
Алгоритм вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов
1. Проверить условия применения формулы (4.28) или (4.29) (см. утверждение 4.9). 2. Найти особые точки подынтегральной функции  . 3. Вычислить вычеты в особых точках функции  , расположенных: а) выше оси  , если применяется формула (4.28); б) ниже оси  , если применяется формула (4.29). 4. Записать результат по формуле (4.28) или (4.29).
▼ Примеры 4.38-4.39
Пример 4.38. Вычислить интегралы: а) ; б) .
Решение
а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Проверяем условия утверждения 4.9: – так как в числителе многочлен степени , а в знаменателе , то условие выполняется; – уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант трехчлена . Поэтому второе условие также выполняется. 2. Особыми точками функции являются полюсы второго порядка и . 3. Применим формулу (4.28). Для этого вычислим вычет в точке  4. Записываем ответ: . б) Воспользуемся алгоритмом. 1. Условия утверждения 4.9 выполняются. Можно использовать формулу (4.28). Подынтегральная функция является четной. 2. Особыми точками функции являются полюсы третьего порядка и . 3. Находим вычет в точке  4. Записываем ответ: .
Пример 4.39. Вычислить несобственные интегралы с помощью вычетов: а) ; б) .
Решение
Условия применения формул вычисления интегралов с помощью вычетов выполняются. Заметим, что в отличие от предыдущих примеров здесь подынтегральные функции являются комплекснозначными и может быть комплексным числом. а) Особыми точками функции являются , и корни уравнения , то есть и . Три точки расположены в верхней полуплоскости, одна — в нижней. Будем применять формулу (4.29). Вычисляем вычет в точке — простом полюсе подынтегральной функции по формуле (4.24): Получаем ответ: . б) Особыми точками функции являются корни уравнения , то есть . Все особые точки — простые полюсы функции; две расположены в верхней полуплоскости, две — в нижней. Используем формулу (4.28), рассмотрим точки и . Вычисляя вычеты по формуле (4.24), записываем результат (при этом учитывается, что ): или, так как , то .
Несобственные интегралы вида 
Выше рассматривались интегралы вида , где и для . Но такими интегралами не исчерпывается класс сходящихся несобственных интегралов .
Например, сходящимися, согласно признаку Абеля, являются интегралы , где и функции удовлетворяют условиям:
а) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на , т.е. для любого справедливо неравенство ;
б) — непрерывно дифференцируема на и, монотонно убывая, стремится к нулю при , то есть
▼ Пример 4.40
Пример 4.40. Исследовать сходимость интегралов: а)  б)  в) 
Решение
В качестве обобщения можно на основании признака Абеля сделать заключение, что сходящимися являются интегралы вида
Вычисление таких интегралов и приводящихся к ним интегралов методам математического анализа (нахождение первообразной) представляет в большинстве случаев определенные трудности.
Воспользуемся предложенным выше приемом сведения вычисления несобственного интеграла к вычислению интеграла по замкнутому контуру от функции комплексного переменного:
Заметим, что запись без исследования, в частности без доказательства равенства , не имеет основания и может привести к ошибкам. Так, для интеграла из примера 4.40 имеем
где — контур, состоящий из дуги и отрезка . Поэтому в данном случае .
Будем рассматривать , где и и , а принимает действительные значения. Такой интеграл сходится, так как он может быть записан в виде суммы двух сходящихся интегралов:
 (4.30)
Лемма Жордана
Доказательство возможности применения вычетов к вычислению интеграла основано на следующем утверждении.
Утверждение Жордана (4.10). Пусть функция непрерывна в области и , где — дуга окружности . Тогда для любого справедливо равенство
 (4.31)
Замечания 4.7
1. Формула (4.31) верна для любого действительного . На рис. 4.6 изображены контур и дуга для случаев .
2. Формула (4.31) верна и при любом . При этом — дуга окружности . Справедливость этого заключения получается из леммы пуnем замены на , что в силу геометрически соответствует повороту на (рис. 4.7).
3. Большой интерес в приложениях представляет запись леммы, получаемая заменой . Геометрически это соответствует повороту на угол , так как . Для дуг окружностей 1) при и 2) при (рис. 4.8) имеет место формула
 (4.32)
В частном случае (см. рис. 4.6,б и рис. 4.7,б) лемма применяется для вычисления интегралов с помощью вычетов. Кроме того, если функция принимает только действительные значения при , то, используя равенство (4.30), получаем возможность вычислять с помощью вычетов интегралы и . Первый из них является действительной частью, второй — мнимой частью интеграла .
Для рассматриваемых в данном пункте интегралов функция удовлетворяет лемме Жордана. Подводя итог приведенным рассуждениям, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.11. Пусть — рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси (т.е. для ), для которой точка — нуль порядка не ниже первого (т.е. ). Тогда справедливы формулы:
1) при 
![\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx= 2i\pi \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr],\quad \operatorname{Im} z_k>0;](data:image/png;base64,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) (4.33)
2) при 
![\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx=-2i\pi\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr],\quad \operatorname{Im} z_k<0;](data:image/png;base64,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) (4.34)
3) при 
![\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx=-2\pi \operatorname{Im}\! \left(\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr] \right)\!,\quad \operatorname{Im}z_k>0,](data:image/png;base64,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) (4.35)
![\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx= 2\pi\operatorname{Im}\! \left(\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr] \right)\!,\quad \operatorname{Im}z_k>0.](data:image/png;base64,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) (4.36)
Алгоритм вычисления интегралов 
1. Проверить условия для функции  , записанные в утверждении 4.11. 2. Вычислить вычеты функции  во всех ее особых точках: а) лежащих выше оси  , в случае  ; б) лежащих ниже оси  , в случае  . 3. Записать результат по формуле (4.33) при  и по (4.34) при  .
4. Для вычисления интегралов и в результате, полученном в п. 3, отделить действительную и мнимую части и записать ответы для указанных интегралов по формулам (4.35) и (4.36).
▼ Примеры 4.41-4.43
Пример 4.41. Вычислить несобственные интегралы: а) ; б) .
Решение
Приведем интегралы к виду и воспользуемся алгоритмом. а) Так как подынтегральная функция четная, то можно записать  . Введем функцию  , для которой  является мнимой частью, т.е. рассмотрим  . 1. Функция удовлетворяет условиям: для действительных . 2. Так как здесь , применяем формулу (4.33) или (4.36), т.е. рассматриваем только те особые точки функции , которые лежат выше оси . Функция имеет две особые точки: и . Используя (4.24), вычисляем вычет в точке — простом полюсе: Так как , то по формуле (4.36) записываем ответ: б) Рассматриваем интеграл . 1. Условия применения формул выполняются: функция в точке имеет нуль порядка и на действительной оси не имеет особых точек. Особые точки функции: . 2. Так как , вычисляем вычет в точке — простом полюсе функции по формуле (4.24): 3. Для интеграла по формуле (4.33) получаем результат: 4. Записываем ответ: . Используя формулу (4.35), пп. 3,4 можно объединить: где ; В результате получаем ответ: .
Пример 4.42. Вычислить несобственный интеграл .
Решение
Пример 4.43. Вычислить интегралы: а) ; б) .
Решение
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|