Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Вычисление интегралов с помощью вычетов
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Вычисление интегралов с помощью вычетов Содержание 1. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов 2. Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощью вычетов 3. Интегралы от тригонометрических функций 4. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов 5. Интегралы от рациональных функций 6. Алгоритм вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов 7. Несобственные интегралы от смешанных функций 8. Лемма Жордана 9. Примеры вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов Рассмотрим несколько примеров на применение вычетов к вычислению интегралов по замкнутому контуру, т.е. на применение основной теоремы о вычетах (утверждение 4.6 , формула (4.19)). Использование формулы (4.19) предполагает выполнение ряда действий, связанных с формой ее записи. Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощью вычетов 1. Найти особые точки функции $f(z)$ . 2. Определить, какие из этих точек расположены в области $D$ , ограниченной контуром $C$ . Для этого достаточно сделать чертеж: изобразить контур $C$ и отметить особые точки. 3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области. 4. Записать результат по формуле (4.19): $\oint\limits_{C}f(z)\,dz= 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z),\quad z_k\in D.$ ▼ Примеры 4.28-4.35 вычисления контурных интегралов с помощью вычетов Пример 4.28. Вычислить контурный интеграл $\oint\limits_{\|z-1\|=1} \frac{dz}{z^4+1}$ . Решение Записываем решение по алгоритму. 1. Конечными особыми точками функции $f(z)= \frac{1}{z^4+1}$ являются нули знаменателя, $z^4+1=0$ , то есть $z_k=\exp \left[\left(\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}\right)\!i\right]$ . Заметим, что все точки — простые нули знаменателя, следовательно, простые полюсы $f(z)$ . 2. Контуром интегрирования является окружность $\|z-1\|=1$ , а точки $z_k$ расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность $\|z\|=1$ (рис. 4.4). Поэтому в область, ограниченную контуром, попадают точки $z_1=\exp \frac{i\pi}{4}$ и $z_2= \exp \frac{i7\pi}{4}= \exp \frac{-i\pi}{4}$ .Заметим, что $z_2= \overline{z}_1$ . 3. Находим вычеты в точках $z_1$ и $z_2$ по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{1}{z^4+1}= \frac{1}{4z_1^3}= \frac{1}{4}\exp \frac{-i3\pi}{4};\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2} \frac{1}{z^4+1}= \frac{1}{4z_2^3}= \frac{1}{4}\exp \frac{i3\pi}{4}\,.$ Записываем ответ: $\oint\limits_{\|z-1\|=1} \frac{dz}{z^4+1}= 2\pi i\cdot \frac{1}{4}\! \left(\exp \frac{-i3\pi}{4}+ \exp \frac{i3\pi}{4}\right)= \pi i\cos\frac{3\pi}{4}= \pi i\! \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{i\pi\sqrt{2}}{2}\,.$ Пример 4.29. Вычислить интегралы: а) $\oint\limits_{\|z\|=1} z^3\exp \frac{1}{z}\,dz$ ; б) $\oint\limits_{\|z-1\|=2}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)\!dz$ . Решение Единственной конечной особой точкой каждой из подынтегральных функций является $z=0$ — существенно особая точка. В обоих случаях она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Вычеты находим, раскладывая функции по степеням $z$ (см. примеры 4.23, 4.24). Получаем $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0} z^3\exp \frac{1}{z}=\frac{1}{24}\,,\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)=\cos1.$ Записываем ответ: a) $\oint\limits_{\|z\|=1} z^3\exp \frac{1}{z}\,dz= \frac{i\pi}{12}$ ; б) $\oint\limits_{\|z-1\|=2} \sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)\!dz= 2\pi i\cos1$ . Пример 4.30. Вычислить интегралы: a) $\oint\limits_{\left\|z+\frac{1}{2}\right\|=1} \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}\,dz$ ; б) $\oint\limits_{\|z-i\|=1} \frac{z}{e^z-i}\,dz$ . Решение а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Находим конечные особые точки функции $f(z)= \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}$ — корни уравнения $\sin\pi z=0$ , то есть $\pi z=\pi k$ , или $z_k=k,~ k\in\mathbb{Z}$ . 2. В область $\left\|z+\frac{1}{2}\right\|<1$ входят точки $z_1=0,~z_2=-1$ . так как $\left\|z_1+\frac{1}{2}\right\|=\frac{1}{2}<1$ и $\left\|z_1+ \frac{1}{2}\right\|= \frac{1}{2}<1$ . Другие точки не принадлежат кругу $\left\|z+\frac{1}{2}\right\|<1$ , так как для них $\left\|z_k+\frac{1}{2}\right\|>1$ . В этом можно также убедиться, сделав чертеж. 3. Точка $z=0$ — устранимая особая точка функции, так как $\lim\limits_{z\to0} \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}= \lim\limits_{z\to0}\frac{iz(z-1)}{\pi z}= \frac{-i}{\pi}$ ; поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f(z)=0$ .Точка $z=-1$ является полюсом первого порядка $f(z)$ , так как она — простой нуль знаменателя, а числитель при этом не обращается в нуль, т.е. функция может быть записана в виде $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z+1}$ . Вычет вычисляем по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1}\frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}= \left.{\frac{iz(z-1)}{(\sin\pi z)'}}\right\|_{z=-1}= \left.{ \frac{iz(z-1)}{\pi\cos\pi z}}\right\|_{z=-1}= \frac{2i}{\pi\cos\pi}= \frac{-2i}{\pi}\,.$ 4. Запишем ответ: $\oint\limits_{\left\|z+\frac{1}{2}\right\|=1} \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}\,dz= 2\pi i\cdot \frac{-2i}{\pi}=4$ . б) Воспользуемся алгоритмом. 1. Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения $e^z-i=0$ , или $e^z= \exp\! \left[i\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\right]$ , то есть $z_k= i\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in\mathbb{Z}$ . 2. Из всех точек $z_k= i\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in\mathbb{Z}$ кругу $\|z-i\|<1$ принадлежит только одна точка $z=i\,\frac{\pi}{2}$ . 3,4. Находим вычет в точке $z=i\,\frac{\pi}{2}$ — простом полюсе $f(z)\colon$ $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i\,\frac{\pi}{2}} \frac{z}{e^z-i}= \left.{\frac{z}{(e^z-i)'}}\right\|_{z=i\,\frac{\pi}{2}}= \left.{\frac{z}{e^z}}\right\|_{z=i\,\frac{\pi}{2}}= i\,\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{\exp \frac{i\pi}{2}}= i\,\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{i}= \frac{\pi}{2}\,.$ Записываем ответ: $\oint\limits_{\|z-i\|=1} \frac{z}{e^z-i}\,dz= 2\pi i\cdot \frac{\pi}{2}= \pi^2i$ . Пример 4.31. Вычислить контурные интегралы: а) $\oint\limits_{\|z\|=2} \frac{dz}{(z+3)(z^{15}-1)}$ ; б) $\oint\limits_{\|z-1\|=1} \frac{dz}{z-1}\cos \frac{z}{2z-1}$ . Решение а) Особыми точками функции являются простые полюсы $z_0=-3$ и $z_k=\sqrt[\LARGE{15}]{1}= \exp \frac{i2k\pi}{15}\,,~ k=1,2,\ldots,15$ . Точка $z_0$ не принадлежит области $\|z\|<2$ , а точки $z_k$ расположены на окружности $\|z\|=1$ , следовательно, входят в область $\|z\|<2$ . Применяя формулу (4.19), можно найти вычеты в этих точках и получить ответ: $\oint\limits_{\|z\|=2} \frac{dz}{(z+3)(z^{15}-1)}= 2\pi i\cdot \sum_{k=1}^{15} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \frac{1}{(z+3)(z^{15}-1)}\,.$ Чтобы не вычислять вычеты в 15 особых точках $z_k$ , используем обобщенную теорему о вычетах (формулу (4.20)). В данном случае она имеет вид $\sum_{k=1}^{15} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z)=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-3} f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)\right)$ и, следовательно, $\oint\limits_{\|z\|=2} \frac{dz}{(z+3)(z^{15}-1)}= -2\pi i\!\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-3} f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)\right)\!.$ Точка $z=-3$ — простой полюс $f(z)$ , и вычет находим по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-3}f(z)= \left.{\frac{1}{z^{15}-1}}\right\|_{z=-3}= \frac{-1}{3^{15}+1}\,.$ Точка $z=\infty$ — устранимая особая точка для $f(z)$ и $\lim\limits_{z\to\infty} f(z)=0$ . Вычет вычисляем по формуле (4.26): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z) \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} \frac{1}{(z+3)(z^{15}-1)}= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{-z}{(z+3)(z^{15}-1)}=0.$ Получаем ответ: $\oint\limits_{\|z\|=3} \frac{dz}{(z+3)(3^{15}-1)}= \frac{2i\pi}{3^{15}+1}$ . б) Особыми точками функции являются $z=1$ — простой полюс и $z=\frac{1}{2}$ — существенно особая точка. Обе точки принадлежат кругу $\|z-1\|<1$ . Вычет в точке $z=1$ находим по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)= \left.{\cos \frac{z}{2z-1}}\right\|_{z=1}= \cos1$ . Для нахождения вычета в точке $z=\frac{1}{2}$ -существенно особой точке — нужно найти коэффициент $c_{-1}$ , т.е. записать разложение функции в ряд по степеням $\left(z-\frac{1}{2}\right)$ . Для этого записываем разложения функций $f_1(z)=\cos\frac{z}{2z-1}$ и $f_2(z)=\frac{1}{z-1}$ , перемножаем ряды и находим $c_{-1}$ — коэффициент при степени $\left(z-\frac{1}{2}\right)^{-1}= \frac{1}{z-\frac{1}{2}}$ . Если, как и в предыдущем случае, использовать формулу (4.20), то задача вычисления интеграла упрощается, так как нет необходимости вычислять вычет в существенно особой точке $z=\frac{1}{2}$ . Действительно, из $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\frac{1}{2}}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)=0$ следует $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\frac{1}{2}}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)=-\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)$ . Поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{-z\cos \frac{z}{2z-1}}{z-1}=-\cos \dfrac{1}{2}$ и $\oint\limits_{\|z-1\|=1} \frac{\cos \dfrac{z}{2z-1}}{z-1}\,dz= 2\pi i\cos\frac{1}{2}$ . Пример 4.32. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz$ , где $C$ — граница круга единичного радиуса с центром в точке $z_0\colon$ a) $z_0=1$ ; б) $z_0=-1$ . Решение Особыми точками подынтегральной функции являются $z_1=-1$ — полюс первого порядка, $z_2=-\frac{1}{2}$ — существенно особая точка и $z_3=-1$ — устранимая особая точка (см. пример 4.21). а) В круг $\|z-1\|<1$ входит одна точка $z=1$ . Находим вычет по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)= \left.{\frac{1}{2z} \sin\frac{\pi z}{2z}}\right\|_{z=1}= \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3}= \frac{\sqrt{3}}{4}\,.$ Получаем ответ: $\oint\limits_{\|z-1\|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz= \frac{i\pi}{2}\sqrt{3}$ . б) В круг $\|z+1\|<1$ входят две точки: $z=-\frac{1}{2}$ — существенно особая точка и $z=-1$ — устранимая особая точка. Поэтому $\oint\limits_{\|z+1\|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz= 2\pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-\frac{1}{2}}f(z)\right)\!,$ или, применяя формулу (4.20) (чтобы избежать вычисления вычета в существенно особой точке), получаем $\oint\limits_{\|z+1\|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz=-2\pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)\right)\!.$ Так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , находим $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)$ по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\frac{-z}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}=0.$ Получаем ответ: $\oint\limits_{\|z+1\|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz=-2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=}f(z)=-2\pi i\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=-\frac{i\pi}{2}\sqrt{3}$ . Пример 4.33. Вычислить интегралы от многозначных функций: а) $\oint\limits_{\|z+2\|=\frac{3}{2}} \frac{\sin z}{\ln z+3\pi i}\,dz,~ \ln(-e)=1-\pi i$ ; б) $\oint\limits_{\|z-1\|=\frac{3}{2}} \frac{z}{\ln(z+1)-1}\,dz$ . Решение При вычислении интегралов от многозначной функции предварительно нужно убедиться, что в области, ограниченной контуром интегрирования, подынтегральная функция допускает выделение однозначных ветвей. Это возможно, если точка ветвления многозначного выражения не принадлежит области. Выделение ветви определяется заданием значения функции в некоторой точке области (случай "а")), если нет такого задания — интеграл вычисляется от всех ветвей (случай "б")). а) Точка ветвления $z=0$ функции $\ln z$ не принадлежит кругу $\|z+2\|< \frac{3}{2}$ , и в этой области выражение $\ln z$ допускает выделение однозначных ветвей $(\ln z)_k=\ln\|z\|+i(\arg z+2k\pi),~ k\in \mathbb{Z}$ . Нуль знаменателя — точка $z_0=e^{-3\pi i}=-1$ принадлежит кругу $\|z+2\|< \frac{3}{2}$ . Эта точка будет особой точкой для одной из ветвей, а именно для той ветви, для которой $\ln(-1)=-3\pi i$ . Из условия $\ln(-e)=1-\pi i$ и $(\ln z)_k=\ln\|z\|+i(\arg z+2k\pi)$ находим $k\colon$ $\ln(-e)=\ln\|-e\|+i \bigl(\cos(-e)+2k\pi\bigr)= 1+i(\pi+2k\pi)=1-\pi i$ при $k=-1$ . Но при этом $\ln(-1)=\ln\|-1\|+i(\pi+2\cdot(-1)\pi i)=-\pi i\ne-3\pi i$ . Следовательно, для выбранной ветви точка $z=-1$ не является особой. Поэтому ветвь является в круге $\|z+2\|< \frac{3}{2}$ аналитической и интеграл равен нулю (см. формулу (2.54). б) Точка ветвления $z=-1$ функции $\ln(z+1)$ не принадлежит кругу $\|z-1\|< \frac{3}{2}$ . В области выделяются однозначные ветви функции $\ln(z+1)\colon$ $\bigl(\ln(z+1)\bigr)_k= \ln\|z+1\|+i \bigl(\arg(z+1)+2k\pi\bigr),\quad k\in \mathbb{Z}.$ Приравнивая нулю знаменатель, находим $z+1=e$ , то есть $z=e-1$ . Точка принадлежит кругу $\|z-1\|< \frac{3}{2}$ . Так как $(\ln e)_k=1+i2k\pi$ , то равенство $\ln(z+1)-1=0$ выполняется при $z=e-1$ только для ветви, для которой $k=0$ . Для этой ветви точка $z_0=e-1$ является полюсом первого порядка и вычет в ней вычисляется по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{z}{\ln(z+1)-1}= \left.{\frac{z}{\frac{1}{z+1}}}\right\|_{z=e-1}= e(e-1).$ Получаем ответ: $\oint\limits_{\|z-1\|<\frac{3}{2}}f(z)\,dz= 2\pi ie(e-1)$ . Для других ветвей подынтегральная функция является аналитической и, следовательно, $\oint\limits_{\|z-1\|<\frac{3}{2}}f(z)\,dz=0$ (см. формулу (2.54). Пример 4.34. Вычислить интеграл от многозначной функции $\oint\limits_{\|z-4\|=2} \frac{\sqrt{z}}{(z-1)(z-4)}\,dz$ . Решение Точка ветвления $z=0$ функции $\sqrt{z}$ не принадлежит области, по границе которой вычисляется интеграл. Возможно выделение однозначных ветвей и вычисление интеграла с использованием теоремы о вычетах. Каждая из двух ветвей выражения $\sqrt{z}= \sqrt{\|z\|}= \exp \frac{(\arg z+2k\pi)i}{2}$ может быть выделена заданием значения функции в одной из точек области. Обозначим, например, $(\sqrt{z})_1$ — ветвь, для которой $\sqrt{4}=2$ , и $(\sqrt{z})_2$ — ветвь, где $\overline{4}=-2$ . Для каждого случая вычисляем интеграл, т.е. $\oint\limits_{\|z-4\|=2} f_1(z)\,dz$ , где $f_1(z)= \frac{(\sqrt{z})_1}{(z-1)(z-4)}$ , и $\oint\limits_{\|z-4\|=2} f_2(z)\,dz$ , где $f_2(z)= \frac{(\sqrt{z})_2}{(z-1)(z-4)}$ . В обоих случаях в область $\|z-4\|<2$ попадает одна особая точка $z=4$ — $\Pi(1)$ . Записываем результат, вычисляя вычет в точке $z=4\colon$ $\oint\limits_{\|z-4\|=2} f_1(z)\,dz= \left.{2\pi i\cdot \frac{(\sqrt{z})_1}{z-1}}\right\|_{z=4}= \frac{2i\pi \sqrt{4}}{3}= \frac{4\pi i}{3}\,;\qquad \oint\limits_{\|z-4\|=2} f_2(z)\,dz= \left.{2\pi i\cdot \frac{(\sqrt{z})_2}{z-1}}\right\|_{z=4}= \frac{2i\pi \sqrt{4}}{3}=-\frac{4\pi i}{3}\,.$ Пример 4.35. Вычислить интегралы: a) $\oint\limits_{C} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}\,dz$ , где $C$ — контур, состоящий из дуга окружности $\|z\|=2,~ \operatorname{Im}z \geqslant-\frac{1}{2}$ и отрезка прямой $\operatorname{Im}z=-\frac{1}{2}$ (рис. 4.5,а); б) $\oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}$ , где $C$ — контур, состоящий из верхней полуокружности $\|z\|=R,~ R>1,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ и отрезка действительной оси (рис. 4.5,б). Решение a) В область, ограниченную контуром, входят две особые точки функции: $z=0$ — $\Pi(1)$ и $z=i$ — $\Pi(2)$ . Находим вычеты в этих точках: $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}&= \lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z(z^2+1)^2}=1;\\[4pt] \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}&= \lim\limits_{z\to i}\! \left(\frac{\sin z\cdot (z-i)^2}{z^2(z-i)^2(z^2+i)^2} \right)'= \lim\limits_{z\to i}\! \left(\frac{\sin z}{z^2(z^2+i)^2}\right)'= \ldots= \frac{\operatorname{ch}-3 \operatorname{sh}1}{4}\,. \end{aligned}$ Получаем результат: $\oint\limits_{C} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}\,dz= \frac{i\pi}{2}(4+\operatorname{ch}1-3\operatorname{sh}1)$ . б) В область, ограниченную контуром, попадают две особые точки функции: $z_1=\exp \frac{i\pi}{4}$ и $z_2=\exp \frac{i3\pi}{4}$ (см. пример 4.27). Обе точки — простые полюсы. Находим вычеты функции в этих точках и записываем результат: $\oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}= 2pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{1}{z^4+1}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}\frac{1}{z^4+1}\right)= 2\pi i\! \left(\frac{1}{4z_1^3}+ \frac{1}{4z_2^3}\right)= \frac{2i\pi}{4}\! \left(\frac{z_1}{z_1^4}+ \frac{z_2}{ z_2^4}\right)= \ldots= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}\,.$ Здесь учтено, что $z_1^4=z_2^4=-1$ . Рассмотренные выше примеры вычисления интегралов от функций комплексного переменного по замкнутому контуру с помощью вычетов показывают преимущество этого метода. Методу соответствует алгоритм, состоящий из несложных процедур. В случае вычисления вычетов в полюсах задача еще более упрощается и сводится к нахождению производных (см. формулы (4.22),(4.24)). Прежде всего следует ожидать, что можно использовать аппарат вычетов при вычислении определенных интегралов от функции действительной переменной. В самом деле, если подобрать некоторую функцию, переводящую отрезок $[a,b]$ в замкнутую плоскую кривую $C$ , то вычисление интеграла $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}$ можно свести к вычислению интеграла $\textstyle{\oint\limits_{C}F(z)\,dz}$ . Простейшая задача такого вида связана с преобразованием отрезка $[0;2\pi]$ в окружность. Интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{0}^{2\pi} R(\cos x,\sin x)\,dx}$ Здесь $R(\cos x,\sin x)=R(u,v)$ — рациональная функция аргументов $u$ и ${v}$ . Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена $\operatorname{tg} \frac{x}{2}=t$ ("универсальная" подстановка ) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби, а далее применяется соответствующий алгоритм интегрирования с простыми, но трудоемкими процедурами. С другой стороны, отрезок $[0;2\pi]$ изменения переменных можно рассматривать как изменение $\arg z$ точки $z$ , принадлежащей окружности. Действительно, замена $z=e^{ix}$ переводит отрезок $[0;2\pi]$ в окружность $\|z\|=1,~ 0 \leqslant\arg z \leqslant2\pi$ . При этом для переменных $u=\cos x$ и $v=\sin x$ получаются несложные, причем рациональные, выражения через $z$ . По формулам Эйлера имеем $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\quad \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ , то есть $\cos x=\frac{1}{2}\! \left(z+\frac{1}{z}\right)\!,\quad \sin x=\frac{1}{2i}\! \left(z-\frac{1}{z} \right)$ . Из $e^{ix}=z$ получаем $i\,e^{ix}\,dx=dz$ , a поэтому $dx= \frac{dz}{iz}$ . В результате получаем формулу, связывающую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного: $\int\limits_{0}^{2\pi}R(\cos x,\sin x)\,dx= \oint\limits_{\|z\|=1} R\! \left(\frac{1}{2}\! \left(z+\frac{1}{z}\right)\!,\, \frac{1}{2i}\! \left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\! \frac{dz}{iz}\,.$ (4.27) Полученный справа интеграл есть интеграл от рациональной функции, особыми точками которой являются только полюсы. Пример 4.36. Вычислить собственный интеграл $\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{dx}{(5+4\cos x)^2}$ с помощью вычетов. Решение Обозначим $e^{ix}=z$ , тогда $\cos x=\frac{1}{2}\! \left(z+\frac{1}{z}\right)\!,\qquad dx=\frac{dz}{iz},\qquad 5+4\cos x= 5+2z+\frac{2}{z}=\frac{2z^2+5z+2}{z}\,.$ Получаем интеграл $\oint\limits_{\|z\|=1} \frac{z\,dz}{(2z^2+5z+2)^2}$ . Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя — корни уравнения $2z^2+5z+ 2=0$ . Это точки $z_1=-2$ и $z_2=-\frac{1}{2}$ . Тогда знаменатель можно записать в виде $\bigl(2(z-z_1)(z-z_2)\bigr)^2= 4(z-z_1)^2(z-z_2)^2$ . Точка $z_1$ не принадлежит области $\|z\|<1$ , а точка $z_2$ принадлежит и $z_2$ — полюс 2-го порядка. Находим вычет в точке $z=-\frac{1}{2}$ — полюсе второго порядка: $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2} \frac{z}{4(z-z_1)^2(z-z_2)^2}&= \frac{1}{4i} \lim\limits_{z\to z_2}\! \left(\frac{z(z-z_2)^2}{(z-z_1)^2(z-z_2)^2}\right)'= \frac{1}{4i} \lim\limits_{z\to z_2} \frac{(z-z_1)^2-2z(z-z_1)}{(z-z_1)^4}=\\ &=\left.{\frac{1}{4i} \frac{z-z_1-2z}{(z-z_1)^3}}\right\|_{z=z_2}=-\frac{z_2+z_1}{4i(z_2-z_1)^3}= \frac{5\slash 2}{4i (3\slash 2)^3}= \frac{5}{i\,27}\,.\end{aligned}$ В результате $\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{dx}{(5+4\cos x)^2}= 2i\pi\cdot \frac{5}{i\,27}= \frac{10\pi}{27}$ . Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов Еще больший интерес представляет возможность применения вычетов для вычисления несобственных интегралов вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx}$ , где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx= \lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{-R}^{R}f(x)dx}$ (здесь отрезок $[a,b]=[-R,R]$ ). Будем рассматривать функцию $f(x)$ , непрерывную на $(-\infty,+\infty)$ . Возможность использования вычетов при решении такой задачи основана на том, что отрезок $[-R,R]$ действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура $C$ , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы: $\oint\limits_{C} f(z)\,dz= \int\limits_{-R}^{R}f(x)\,dx+ \int\limits_{C_R}f(z)\,dz$ , где $C_R$ — дуга окружности $\|z\|=R,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ . Несобственный интеграл $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx}$ определяется как предел: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C}f(z)\,dz-\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R}f(z)\,dz\,.$ Пример 4.37. Вычислить несобственный интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^4+1}$ , используя вычеты. Решение Рассмотрим контур $C$ , состоящий из дуги $C_R$ — окружности $\|z\|=R,~ \operatorname{Im}z \geqslant0$ и отрезка $[-R,R]$ . Для функции $f(z)=\frac{1}{z^4+1}$ имеем $\oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}= 2\pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}f(z) \right)= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}$ (см. пример 4.35 п."б"). С другой стороны, $\oint\limits_{C}f(z)\,dz= \int\limits_{-R}^{R}f(z)\,dz+ \oint\limits_{C_R} f(z)\,dz$ , или $\int\limits_{-R}^{R} \frac{dx}{x^4+1}= \oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}-\int\limits_{C_R} \frac{dz}{z^4+1}$ . Оценим интеграл по дуге, учитывая неравенство для подынтегральной функции $\left\|\frac{1}{z^4+1}\right\|= \frac{1}{\|z^4+1\|}< \frac{1}{\|z\|^4-1}$ , то есть $\frac{1}{\|z^4+1\|}< \frac{1}{R^4-1}$ для $z\in C_R$ , где $\|z\|=R$ . Получаем $\Biggl\|\int\limits_{C_R} \frac{dz}{z^4+1}\Biggr\|< \int\limits_{C_R} \left\|\frac{dz}{z^4+1}\right\|< \frac{1}{R^4-1} \int\limits_{C_R} \|dz\|= \frac{\pi R}{R^4-1}$ , поэтому $\int\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} \frac{dz}{z^4+1}=0$ . В результате $\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{-R}^{R} \frac{dx}{x^4+1}= \oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}$ , то есть $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^4+1}= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}$ . Интерес, с точки зрения применения вычетов, представляют интегралы $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx}$ , где функция $f(x)$ такова, что $\textstyle{\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} f(z)dz=0}$ , как в рассмотренном примере. Классы таких функций выделяются, и для всех функций рассматриваемого класса устанавливается формула $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C} f(z)dz}$ . Интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx}$ Здесь $R(x)$ — рациональная функция переменной $x$ , то есть $R(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ , где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно. Как отмечалось выше, рассматриваем функцию $R(x)$ , непрерывную на $(-\infty,+\infty)$ , т.е. многочлен $Q_m(x)$ не имеет действительных нулей. В теории несобственных интегралов путем сравнения таких интегралов с интегралами $\textstyle{\int\limits_{a}^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha}},~ a>0}$ , устанавливается их сходимость при условии $m-n>1$ , то есть $m-n \geqslant2$ . При таком условии $\lim\limits_{z\to\infty} R(z)=0$ и функция $R(z)$ , доопределенная в точке $z=\infty$ предельным значением $R(\infty)=0$ , имеет в этой точке нуль порядка не ниже второго, а поэтому может быть записана в виде $R(z)= \frac{\alpha(z)}{z}$ , где $\lim\limits_{z\to\infty} \alpha(z)=0$ , то есть $\|\alpha(z)\|<\varepsilon$ при $\|z\|\to\infty$ . Учитывая это, проводим оценку интеграла, как в рассмотренном примере, $\Biggl\|\int\limits_{C_R} R(z)\,dz\Biggr\|< \int\limits_{C_R} \frac{\|\alpha(z)\|}{\|z\|}\,\|dz\|= \frac{1}{R} \int\limits_{C_R} \|\alpha(z)\|\|dz\|= \frac{\varepsilon}{R}\,\pi R= \varepsilon\pi$ и получаем $\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} R(z)\,dz=0$ . Таким образом, для рассматриваемого типа интегралов получаем $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx= \oint\limits_{C} f(z)\,dz$ , где $C$ — контур, состоящий из верхней полуокружности $\|z\|=R,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ и отрезка $[-R,R]$ , причем $R$ таково, что все особые точки функции $f(z)$ , для которых $\operatorname{Im}z>0$ , расположены в полукруге $\|z\|<R,~ \operatorname{Im}z \geqslant0$ . Очевидно, аналогичный вывод можно получить, рассматривая полукруг $\|z\|<R,~ \operatorname{Im}z<0$ . Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения. Утверждение 4.9. Пусть функция $R(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ , удовлетворяет условиям: 1) $m-n\geqslant2$ , т.е. степень знаменателя больше степени числителя по крайней мере на два; 2) $Q_m(x)\ne0$ для $x$ — действительных, т. е. $R(z)$ не имеет особых точек на действительной оси. Тогда справедливы равенства: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx= 2\pi i \sum_{k=1}^{p} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} R(z),\quad \operatorname{Im}z_k>0,$ (4.28) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx=-2\pi i \sum_{k=1}^{p} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} R(z),\quad \operatorname{Im}z_k<0.$ (4.29) где $z_k,~k=1,2,\ldots,p$ — все особые точки функции $R(z)$ , расположенные выше оси $Ox~(\operatorname{Im}z_k>0)$ в случае формулы (4.28) и ниже оси $Ox~(\operatorname{Im}z_k<0)$ — в случае формуль (4.29). Заметим, что если $R(x)$ — четная функция, то можно, используя эти формулы, вычислять интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{0}^{+\infty} f(x)\,dx}$ , так как для четных функций имеет место равенство $\textstyle{\int\limits_{-R}^{R} f(x)\,dx= 2 \int\limits_{0}^{R} f(x)\,dx}$ . Алгоритм вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов 1. Проверить условия применения формулы (4.28) или (4.29) (см. утверждение 4.9). 2. Найти особые точки подынтегральной функции $R(x)$ . 3. Вычислить вычеты в особых точках функции $R(x)$ , расположенных: а) выше оси $Ox$ , если применяется формула (4.28); б) ниже оси $Ox$ , если применяется формула (4.29). 4. Записать результат по формуле (4.28) или (4.29). ▼ Примеры 4.38-4.39 Пример 4.38. Вычислить интегралы: а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2+3}{(x^2+2x+17)^2}\,dx$ ; б) $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x^2\,dx}{(x^2+4)^3}$ . Решение а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Проверяем условия утверждения 4.9: – так как в числителе многочлен степени $n=2$ , а в знаменателе $m=4$ , то условие $m-n\geqslant2$ выполняется; – уравнение $x^2+2x+17=0$ не имеет действительных корней, так как дискриминант трехчлена $D<0$ . Поэтому второе условие также выполняется. 2. Особыми точками функции $f(z)= \frac{z^2+3}{(z^2+2z+17)^2}$ являются полюсы второго порядка $z_1=1+4i$ и $z_2=1-4i$ . 3. Применим формулу (4.28). Для этого вычислим вычет в точке $z_1\in \operatorname{Im}z>0\colon$ $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{z^2+3}{(z-z_1)^2(z-z_2)^2}&= \lim\limits_{z\to z_1}\! \left(\frac{(z^2+3)(z-z_1)^2}{(z-z_1)^2(z-z_2)^2}\right)'= \lim\limits_{z\to z_1}\! \left(\frac{z^2+3}{(z-z_2)^2}\right)'= \lim\limits_{z\to z_1}\frac{2z^2-2zz_2-2z^2-6}{(z-z_2)^3}=\\ &= \left.{\frac{-2zz_2-6}{(z-z_2)^3}}\right\|_{z=z_1}= \frac{-2z_1z_2-6}{(z_1-z_2)^3}= \ldots= \frac{5}{16i}\,.\end{aligned}$ 4. Записываем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2+3}{(x^2+2x+17)^2}\,dx$ . б) Воспользуемся алгоритмом. 1. Условия утверждения 4.9 выполняются. Можно использовать формулу (4.28). Подынтегральная функция является четной. 2. Особыми точками функции $f(z)= \frac{z^2}{(z^2+4)^3}$ являются полюсы третьего порядка $z_1=2i$ и $z_2=-2i$ . 3. Находим вычет в точке $z_1\colon$ $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1}\frac{z^2}{(z^2+4)^3}&= \frac{1}{2} \lim\limits_{z\to z_1}\! \left(\frac{z^2(z-2i)^3}{(z-2i)^3(z+2i)^3}\right)''= \frac{1}{2}\lim\limits_{z\to z_1} \frac{(4i-2z)(z+2i)^4-4(4iz-z^2)(z+2i)^3}{(z+2i)^8}=\\ &=\left.{\frac{1}{2}\cdot \frac{2(2i-z)(2i+z)-4z(4i-z)}{(z+2i)^5}}\right\|_{z=z_1}= \frac{-2\cdot2i\cdot2i}{(4i)^5}= \frac{8}{4^5i}\,.\end{aligned}$ 4. Записываем ответ: $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2+4)^3}\,dx= \frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2+4)^3}\,dx= \pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)= \pi i\cdot \frac{8}{4^5i}= \frac{\pi}{128}$ . Пример 4.39. Вычислить несобственные интегралы с помощью вычетов: а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+1)(x^2-ix-1)^2}$ ; б) $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^4-2i}$ . Решение Условия применения формул вычисления интегралов с помощью вычетов выполняются. Заметим, что в отличие от предыдущих примеров здесь подынтегральные функции являются комплекснозначными и $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ может быть комплексным числом. а) Особыми точками функции $f(z)=\frac{1}{(z^2+1)(z^2-iz-1)^2}$ являются $z_1=i,~ z_2=-i$ , и корни уравнения $z^2-iz-1=0$ , то есть $z_3=\frac{i+ \sqrt{3}}{2}$ и $z_4=\frac{i-\sqrt{3}}{2}$ . Три точки расположены в верхней полуплоскости, одна $z=-i$ — в нижней. Будем применять формулу (4.29). Вычисляем вычет в точке $z=-i$ — простом полюсе подынтегральной функции по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-i} \frac{\dfrac{1}{(z^2-iz-1)^2}}{z^2+1}= \left.{ \dfrac{1}{2z(z^2-iz-1)^2}}\right\|_{z=-i}= \frac{1}{(-2i)(-1-1-1)^2}= \frac{-1}{18i}\,.$ Получаем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+1)(x^2-ix-1)^2}=-2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-i}f(z)=\frac{\pi}{9}$ . б) Особыми точками функции $f(z)=\frac{1}{z^4-2i}$ являются корни уравнения $z^4=2i$ , то есть $z_k=\sqrt[\LARGE{4}]{2}\exp\left[\left(\frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{2}k\right)\!i \right],~ k=0,1,2,3$ . Все особые точки — простые полюсы функции; две расположены в верхней полуплоскости, две — в нижней. Используем формулу (4.28), рассмотрим точки $z_1= \sqrt[\LARGE{4}]{2}\exp \frac{i\pi}{8}$ и $z_2=\sqrt[\LARGE{\LARGE{4}}]{2}\exp \frac{i5\pi}{8}=\sqrt[\LARGE{\LARGE{4}}]{2}\exp \frac{i\pi}{8}\exp \frac{i\pi}{2}=i\cdot z_1$ . Вычисляя вычеты по формуле (4.24), записываем результат (при этом учитывается, что $z_1^4=z_2^4=2i$ ): $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^4-2i}= i\pi\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{1}{x^4-2i}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2} \frac{1}{x^4-2i}\right)= i\pi\! \left(\frac{1}{4z_1^3}+ \frac{1}{4z_2^3}\right)= \frac{i\pi}{4}\! \left(\frac{z_1}{z_1^4}+ \frac{z_2}{z_2^4}\right)= \frac{i\pi}{4\cdot2i}(z_1+z_2)= \frac{\pi}{8}(1+i)\exp \frac{i\pi}{8}\,.$ или, так как $1+i=\exp \frac{i\pi}{4}$ , то $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^4-2i}= \frac{\pi}{8}\exp \frac{i3\pi}{8}$ . Несобственные интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}R(x)\,dx}$ Выше рассматривались интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx}$ , где $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)},~ m-n\geqslant2$ и $Q_m(x)\ne0$ для $z\in R$ . Но такими интегралами не исчерпывается класс сходящихся несобственных интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ . Например, сходящимися, согласно признаку Абеля, являются интегралы $\textstyle{\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)\,dx}$ , где $f(x)=\varphi(x)\cdot g(x)$ и функции $\varphi(x),~g(x)$ удовлетворяют условиям: а) $\varphi(x)$ непрерывна и имеет ограниченную первообразную на $[a;+\infty)$ , т.е. для любого $A\geqslant a$ справедливо неравенство $\textstyle{\left\|\int\limits_{a}^{A} \varphi(x)\,dx\right\|<M}$ ; б) $g(x)$ — непрерывно дифференцируема на $[a;+\infty)$ и, монотонно убывая, стремится к нулю при $x\to+\infty$ , то есть $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=0,\quad g'(x)=0,\quad x\in[a;+\infty).$ ▼ Пример 4.40 Пример 4.40. Исследовать сходимость интегралов: а) $\int\limits_{a}^{+\infty} \sin x\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \cos x\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{dx}{x},\quad \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{x\,dx}{1+x^2} ;$ б) $\int\limits_{a}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{\cos x}{x}\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{x\cos x}{1+x^2}\,dx,~ a>0;$ в) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cos x}{1+x^2}\,dx,\quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx\,.$ Решение а) Все интегралы расходятся по определению, так как не существует конечного предела $\lim\limits_{A\to+\infty} \int\limits_{a}^{A}f(x)\,dx$ . б) Все интегралы сходятся по признаку Абеля. Функции $\varphi(x)= \sin x$ или $\varphi(x)=\cos x,~ g(x)=\frac{1}{x}$ или $g(x)=\frac{x}{1+x^2}$ удовлетворяют указанным выше условиям. в) Запишем $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ в виде суммы: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\,dx+ \int\limits_{-1}^{1} f(x)\,dx+ \int\limits_{1}^{+\infty} f(x)\,dx\,.$ Определенный интеграл $\textstyle{\int\limits_{-1}^{1} f(x)\,dx}$ есть число, а первое слагаемое заменой $x=-t$ приведем к виду $\textstyle{\int\limits_{1}^{+\infty} f(-t)\,dt}$ , то есть $\int\limits_{1}^{+\infty} \varphi(t)\,dt$ . Тогда на основании результата, полученного в п. "б", можно сделать вывод о том, что оба интеграла, рассматриваемые в данном пункте, сходятся. При этом $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\cos x}{1+x^2}\,dx=0}$ как интеграл от нечетной функции, a $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= 2\int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx}$ как интеграл от четной функции. В качестве обобщения можно на основании признака Абеля сделать заключение, что сходящимися являются интегралы вида $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\cos\lambda x\,dx,\quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\sin\lambda x\,dx$ , где $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)},~m-n\geqslant1$ и $Q_m(x)\ne0$ для $x\in\mathbb{R}$ . Вычисление таких интегралов и приводящихся к ним интегралов методам математического анализа (нахождение первообразной) представляет в большинстве случаев определенные трудности. Воспользуемся предложенным выше приемом сведения вычисления несобственного интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ к вычислению интеграла по замкнутому контуру от функции комплексного переменного: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C}f(z)\,dz-\lim\limits_{R\to\infty} \oint\limits_{C_R} f(z)\,dz\,.$ Заметим, что запись $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C} f(z)\,dz}$ без исследования, в частности без доказательства равенства $\textstyle{\lim\limits_{R\to\infty} \oint\limits_{C_R} f(z)\,dz}$ , не имеет основания и может привести к ошибкам. Так, для интеграла из примера 4.40 имеем $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cos x}{1+x^2}\,dx=0$ , но $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{z\cos z}{1+z^2}= \frac{i\cos i}{2i}= \frac{\operatorname{ch}1}{2}$ и $\oint\limits_{C} f(z)\,dz=i\pi \operatorname{ch}1$ , где $C$ — контур, состоящий из дуги $\|z\|=R,~ R>1,~ \operatorname{Im}z \geqslant 0$ и отрезка $[-R;R]$ . Поэтому в данном случае $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx\ne \oint\limits_{C} f(z)\,dz}$ . Будем рассматривать $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ , где $f(x)=R(x)e^{i\lambda x}$ и $R(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)},~m-n \geqslant 1$ и $Q_m(x)\ne0,~ x\in R$ , а $R(x)$ принимает действительные значения. Такой интеграл сходится, так как он может быть записан в виде суммы двух сходящихся интегралов: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\cos\lambda x\,dx+ i\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\sin\lambda x\,dx\,.$ (4.30) Лемма Жордана Доказательство возможности применения вычетов к вычислению интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ основано на следующем утверждении. Утверждение Жордана (4.10). Пусть функция $f(z)$ непрерывна в области $D\colon\, \|z\| \geqslant R_0,~ \operatorname{Im}z \geqslant-a$ и $\lim\limits_{R\to\infty} \max_{C_R}\|f(z)\|=0$ , где $C_R$ — дуга окружности $\|z\|=R,~ \operatorname{Im}z\geqslant-a$ . Тогда для любого $\lambda>0$ справедливо равенство $\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} e^{i\lambda z}f(z)\,dz=0.$ (4.31) Замечания 4.7 1. Формула (4.31) верна для любого действительного $a$ . На рис. 4.6 изображены контур $C$ и дуга $C_R$ для случаев $a>0,~ a=0,~a<0$ . 2. Формула (4.31) верна и при любом $\lambda<0$ . При этом $C_R$ — дуга окружности $\|z\|=R,~ \operatorname{Im}z \leqslant a$ . Справедливость этого заключения получается из леммы пуnем замены $z$ на $(-z)$ , что в силу $(-z)=z\,e^{i\pi}$ геометрически соответствует повороту на $\pi$ (рис. 4.7). 3. Большой интерес в приложениях представляет запись леммы, получаемая заменой $iz=p$ . Геометрически это соответствует повороту на угол $\frac{\pi}{2}$ , так как $p=z\exp \frac{i\pi}{2}$ . Для дуг окружностей $C_R\colon$ 1) $C_R\colon \|p\|=R,~ \operatorname{Re}p \leqslant a$ при $t>0$ и 2) $C_R\colon \|p\|=R,~ \operatorname{Re}p \geqslant-a$ при $t<0$ (рис. 4.8) имеет место формула $\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} F(p)e^{p\,t}\,dp=0.$ (4.32) В частном случае $a=0$ (см. рис. 4.6,б и рис. 4.7,б) лемма применяется для вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ с помощью вычетов. Кроме того, если функция $f(x)$ принимает только действительные значения при $x\in\mathbb{R}$ , то, используя равенство (4.30), получаем возможность вычислять с помощью вычетов интегралы $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx}$ и $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx}$ . Первый из них является действительной частью, второй — мнимой частью интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ . Для рассматриваемых в данном пункте интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ функция $f(z)=R(z)$ удовлетворяет лемме Жордана. Подводя итог приведенным рассуждениям, запишем следующее утверждение. Утверждение 4.11. Пусть $R(x)$ — рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси (т.е. $Q(x)\ne0$ для $x\in\mathbb{R}$ ), для которой точка $z=\infty$ — нуль порядка не ниже первого (т.е. $m-n\geqslant1$ ). Тогда справедливы формулы: 1) при $\lambda>0$ $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx= 2i\pi \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr],\quad \operatorname{Im} z_k>0;$ (4.33) 2) при $\lambda<0$ $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx=-2i\pi\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr],\quad \operatorname{Im} z_k<0;$ (4.34) 3) при $\lambda>0$ $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx=-2\pi \operatorname{Im}\! \left(\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr] \right)\!,\quad \operatorname{Im}z_k>0,$ (4.35) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx= 2\pi\operatorname{Im}\! \left(\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr] \right)\!,\quad \operatorname{Im}z_k>0.$ (4.36) Алгоритм вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ 1. Проверить условия для функции $R(x)$ , записанные в утверждении 4.11. 2. Вычислить вычеты функции $R(z)e^{i\lambda z}$ во всех ее особых точках: а) лежащих выше оси $Ox$ , в случае $\lambda>0$ ; б) лежащих ниже оси $Ox$ , в случае $\lambda<0$ . 3. Записать результат по формуле (4.33) при $\lambda>0$ и по (4.34) при $\lambda<0$ . 4. Для вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx}$ и $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx}$ в результате, полученном в п. 3, отделить действительную и мнимую части и записать ответы для указанных интегралов по формулам (4.35) и (4.36). ▼ Примеры 4.41-4.43 Пример 4.41. Вычислить несобственные интегралы: а) $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx$ ; б) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+1)\cos x}{x^2-2x+2}\,dx$ . Решение Приведем интегралы к виду $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ и воспользуемся алгоритмом. а) Так как подынтегральная функция четная, то можно записать $\textstyle{\int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= \dfrac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx}$ . Введем функцию $f(x)= R(x)e^{ix}$ , для которой $\dfrac{x\sin x}{1+x^2}$ является мнимой частью, т.е. рассмотрим $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\,e^{ix}}{1+x^2}\,dx}$ . 1. Функция $R(x)= \frac{x}{1+x^2}$ удовлетворяет условиям: $m-n=2-1=1;~ 1+x^2\ne0$ для действительных $x$ . 2. Так как здесь $\lambda=1>0$ , применяем формулу (4.33) или (4.36), т.е. рассматриваем только те особые точки функции $f(z)$ , которые лежат выше оси $Ox$ . Функция $R(z)= \frac{z}{1+z^2}$ имеет две особые точки: $z_1=i$ и $z_2=-i$ . Используя (4.24), вычисляем вычет в точке $z=i$ — простом полюсе: $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{z}{1+z^2}\,e^{iz}= \left.{\frac{z}{2z}\,e^{iz}}\right\|_{z=i}= \frac{1}{2}\,e^{-1}.$ Так как $\operatorname{Re} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{z}{1+z^2}\,e^{iz} = \frac{e^{-1}}{2}$ , то по формуле (4.36) записываем ответ: $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= \frac{1}{2} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= \frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot \frac{e^{-1}}{2}= \frac{\pi}{2}\,e^{-1}.$ б) Рассматриваем интеграл $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(x+1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx}$ . 1. Условия применения формул выполняются: функция $R(z)= \frac{z+1}{z^2-2z+2}$ в точке $z=\infty$ имеет нуль порядка $n=1$ и на действительной оси не имеет особых точек. Особые точки функции: $z_1=1+i,~ z_2=1-i$ . 2. Так как $\lambda=1>0$ , вычисляем вычет в точке $z_1=1+i$ — простом полюсе функции по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{z+1}{z^2-2z+2}\,e^{iz}= \left.{\frac{z+1}{2z-2}\,e^{iz}}\right\|_{z_1}= \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}.$ 3. Для интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(x+1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx}$ по формуле (4.33) получаем результат: $2i\pi\cdot \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}= \pi\,e^{-1}(2+i)e^{i}= \pi\,e^{-1}(2+i)(\cos1+ i\sin1).$ 4. Записываем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+1)\cos x}{x^2-2x+2}\,dx= \operatorname{Re} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(x+1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx= \operatorname{Re} \bigl(\pi\,e^{-1}(2+i)e^{i}\bigr)= \pi\,e^{-1}(2\cos1-\sin1)$ . Используя формулу (4.35), пп. 3,4 можно объединить: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+1)\cos x}{x^2-2x+2}\,dx=-2\pi \operatorname{Im} \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}.$ где $\frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}= \frac{1}{2}(1-2i)e^{-1}(\cos1+i\sin1)= \frac{1}{2}\,e^{1} \bigl[(\cos1+2\sin1)+i(-2\cos1+\sin1)\bigr]$ ; $\operatorname{Im} \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}= \frac{1}{2}\,e^{-1}(\sin1-2\cos1).$ В результате получаем ответ: $\pi\,e^{-1}(2\cos1-\sin1)$ . Пример 4.42. Вычислить несобственный интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos5x}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\,dx$ . Решение Находим особые точки функции $R(x)= \frac{1}{(x^2+1)^2(x^2+ 4)}\colon\, z=\pm i$ и $z=\pm2i$ . Так как $\lambda=5>0$ , рассматриваем точки $z_1=i$ и $z_2=2i\colon\, z_1=i$ — $\Pi(2)$ ; $z_2=2i$ — $\Pi(1)$ . Находим вычеты функции $\frac{e^{5iz}}{(z^2+1)^2(z^2+4)}$ в этих точках: $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{e^{5iz}}{(z^2+4)(z-i)^2(z+i)^2}&= \ldots=-\frac{4}{9}\,e^{-5}i\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} \frac{e^{5iz}}{(z^2+4)(z^2+1)^2}&= \ldots=-\frac{e^{-10}}{36}\,i.\end{aligned}$ Используя формулу (4.35), получаем $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos5x}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\,dx=-2\pi \operatorname{Im}\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)\right)=\frac{2\pi}{9}\,e^{-5}\! \left(4+\frac{1}{4}e^{-5}\right)\!.$ Заметим, что $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin5x}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\,dx=0}$ , так как функция $f(x)$ — нечетная, что соответствует вычислениям по формуле (4.36): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} f(z)=-\frac{4i}{9}\,e^{-5}-\frac{i}{36}e^{-10}$ — мнимое число и $\operatorname{Re}\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z) \right)=0$ . Пример 4.43. Вычислить интегралы: а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}\,dx}{(x^2+2ix-2)^2}$ ; б) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix} \sqrt{x+i}}{x^2+1}\,dx,~ \Bigl.{\sqrt{z+i}}\Bigr\|_{z=0}=\exp \frac{i\pi}{4}$ . Решение а) Применяем формулу (4.33), так как $\lambda=1>0$ , т.е. рассматриваем только точки верхней полуплоскости. Но обе особые точки функции $f(z)= \frac{1}{z^2+2iz-2}$ , точки $z_1=-i+\sqrt{3}$ и $z_2=-i-\sqrt{3}$ расположены в нижней полуплоскости. Поэтому интеграл равен нулю. б) Требуется, как и в предыдущем пункте, вычислить интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной. При вычислении рассматривается та ветвь двузначного выражения $\sqrt{z+i}$ , для которой задано значение в точке $\sqrt{i}=\exp \frac{i\pi}{4}$ . Функция $R(z)= \frac{\sqrt{z+i}}{z^2+1}$ удовлетворяет условиям применения формулы (4.33). Так как здесь $\lambda=1>0$ , рассматриваем вычет в точке $z=i\colon$ $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{e^{iz} \sqrt{z+i}}{z^2+1}= \ldots= \left.{ \frac{e^{iz} \sqrt{z+i}}{2z}}\right\|_{z=i}= \frac{e^{-1}}{2i} \sqrt{2i}= \frac{e^{-1}}{2i} \sqrt{2}\exp \frac{i\pi}{4}\,.$ Получаем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix} \sqrt{x+i}}{x^2+1}\,dx= 2\pi i\cdot \frac{e^{-1}}{2i} \sqrt{2}\exp \frac{i\pi}{4}= \pi e^{-1}(1+i).$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Вычисление интегралов с помощью вычетов

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Вычисление интегралов с помощью вычетов

Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов

Рассмотрим несколько примеров на применение вычетов к вычислению интегралов по замкнутому контуру, т.е. на применение основной теоремы о вычетах (утверждение 4.6 , формула (4.19)). Использование формулы (4.19) предполагает выполнение ряда действий, связанных с формой ее записи.

Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощью вычетов

1. Найти особые точки функции $f(z)$ .

2. Определить, какие из этих точек расположены в области $D$ , ограниченной контуром $C$ . Для этого достаточно сделать чертеж: изобразить контур $C$ и отметить особые точки.

3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области.

4. Записать результат по формуле (4.19):

$\oint\limits_{C}f(z)\,dz= 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z),\quad z_k\in D.$

▼ Примеры 4.28-4.35 вычисления контурных интегралов с помощью вычетов

Пример 4.28. Вычислить контурный интеграл $\oint\limits_{|z-1|=1} \frac{dz}{z^4+1}$ .

Решение

Записываем решение по алгоритму.

1. Конечными особыми точками функции $f(z)= \frac{1}{z^4+1}$ являются нули знаменателя, $z^4+1=0$ , то есть $z_k=\exp \left[\left(\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}\right)\!i\right]$ . Заметим, что все точки — простые нули знаменателя, следовательно, простые полюсы $f(z)$ .

2. Контуром интегрирования является окружность $|z-1|=1$ , а точки $z_k$ расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность $|z|=1$ (рис. 4.4). Поэтому в область, ограниченную контуром, попадают точки $z_1=\exp \frac{i\pi}{4}$ и $z_2= \exp \frac{i7\pi}{4}= \exp \frac{-i\pi}{4}$ .Заметим, что $z_2= \overline{z}_1$ .

3. Находим вычеты в точках $z_1$ и $z_2$ по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{1}{z^4+1}= \frac{1}{4z_1^3}= \frac{1}{4}\exp \frac{-i3\pi}{4};\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2} \frac{1}{z^4+1}= \frac{1}{4z_2^3}= \frac{1}{4}\exp \frac{i3\pi}{4}\,.$

Записываем ответ:

$\oint\limits_{|z-1|=1} \frac{dz}{z^4+1}= 2\pi i\cdot \frac{1}{4}\! \left(\exp \frac{-i3\pi}{4}+ \exp \frac{i3\pi}{4}\right)= \pi i\cos\frac{3\pi}{4}= \pi i\! \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{i\pi\sqrt{2}}{2}\,.$

Пример 4.29. Вычислить интегралы: а) $\oint\limits_{|z|=1} z^3\exp \frac{1}{z}\,dz$ ; б) $\oint\limits_{|z-1|=2}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)\!dz$ .

Решение

Единственной конечной особой точкой каждой из подынтегральных функций является $z=0$ — существенно особая точка. В обоих случаях она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Вычеты находим, раскладывая функции по степеням $z$ (см. примеры 4.23, 4.24). Получаем

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0} z^3\exp \frac{1}{z}=\frac{1}{24}\,,\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)=\cos1.$

Записываем ответ: a) $\oint\limits_{|z|=1} z^3\exp \frac{1}{z}\,dz= \frac{i\pi}{12}$ ; б) $\oint\limits_{|z-1|=2} \sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)\!dz= 2\pi i\cos1$ .

Пример 4.30. Вычислить интегралы: a) $\oint\limits_{\left|z+\frac{1}{2}\right|=1} \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}\,dz$ ; б) $\oint\limits_{|z-i|=1} \frac{z}{e^z-i}\,dz$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Находим конечные особые точки функции $f(z)= \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}$ — корни уравнения $\sin\pi z=0$ , то есть $\pi z=\pi k$ , или $z_k=k,~ k\in\mathbb{Z}$ .

2. В область $\left|z+\frac{1}{2}\right|<1$ входят точки $z_1=0,~z_2=-1$ . так как $\left|z_1+\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$ и $\left|z_1+ \frac{1}{2}\right|= \frac{1}{2}<1$ . Другие точки не принадлежат кругу $\left|z+\frac{1}{2}\right|<1$ , так как для них $\left|z_k+\frac{1}{2}\right|>1$ . В этом можно также убедиться, сделав чертеж.

3. Точка $z=0$ — устранимая особая точка функции, так как $\lim\limits_{z\to0} \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}= \lim\limits_{z\to0}\frac{iz(z-1)}{\pi z}= \frac{-i}{\pi}$ ; поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f(z)=0$ .Точка $z=-1$ является полюсом первого порядка $f(z)$ , так как она — простой нуль знаменателя, а числитель при этом не обращается в нуль, т.е. функция может быть записана в виде $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z+1}$ . Вычет вычисляем по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1}\frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}= \left.{\frac{iz(z-1)}{(\sin\pi z)'}}\right|_{z=-1}= \left.{ \frac{iz(z-1)}{\pi\cos\pi z}}\right|_{z=-1}= \frac{2i}{\pi\cos\pi}= \frac{-2i}{\pi}\,.$

4. Запишем ответ: $\oint\limits_{\left|z+\frac{1}{2}\right|=1} \frac{iz(z-1)}{\sin\pi z}\,dz= 2\pi i\cdot \frac{-2i}{\pi}=4$ .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения $e^z-i=0$ , или $e^z= \exp\! \left[i\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\right]$ , то есть $z_k= i\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in\mathbb{Z}$ .

2. Из всех точек $z_k= i\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\!,~ k\in\mathbb{Z}$ кругу $|z-i|<1$ принадлежит только одна точка $z=i\,\frac{\pi}{2}$ .

3,4. Находим вычет в точке $z=i\,\frac{\pi}{2}$ — простом полюсе $f(z)\colon$

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i\,\frac{\pi}{2}} \frac{z}{e^z-i}= \left.{\frac{z}{(e^z-i)'}}\right|_{z=i\,\frac{\pi}{2}}= \left.{\frac{z}{e^z}}\right|_{z=i\,\frac{\pi}{2}}= i\,\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{\exp \frac{i\pi}{2}}= i\,\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{i}= \frac{\pi}{2}\,.$

Записываем ответ: $\oint\limits_{|z-i|=1} \frac{z}{e^z-i}\,dz= 2\pi i\cdot \frac{\pi}{2}= \pi^2i$ .

Пример 4.31. Вычислить контурные интегралы: а) $\oint\limits_{|z|=2} \frac{dz}{(z+3)(z^{15}-1)}$ ; б) $\oint\limits_{|z-1|=1} \frac{dz}{z-1}\cos \frac{z}{2z-1}$ .

Решение

а) Особыми точками функции являются простые полюсы $z_0=-3$ и $z_k=\sqrt[\LARGE{15}]{1}= \exp \frac{i2k\pi}{15}\,,~ k=1,2,\ldots,15$ . Точка $z_0$ не принадлежит области $|z|<2$ , а точки $z_k$ расположены на окружности $|z|=1$ , следовательно, входят в область $|z|<2$ . Применяя формулу (4.19), можно найти вычеты в этих точках и получить ответ:

$\oint\limits_{|z|=2} \frac{dz}{(z+3)(z^{15}-1)}= 2\pi i\cdot \sum_{k=1}^{15} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \frac{1}{(z+3)(z^{15}-1)}\,.$

Чтобы не вычислять вычеты в 15 особых точках $z_k$ , используем обобщенную теорему о вычетах (формулу (4.20)). В данном случае она имеет вид $\sum_{k=1}^{15} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z)=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-3} f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)\right)$ и, следовательно,

$\oint\limits_{|z|=2} \frac{dz}{(z+3)(z^{15}-1)}= -2\pi i\!\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-3} f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)\right)\!.$

Точка $z=-3$ — простой полюс $f(z)$ , и вычет находим по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-3}f(z)= \left.{\frac{1}{z^{15}-1}}\right|_{z=-3}= \frac{-1}{3^{15}+1}\,.$

Точка $z=\infty$ — устранимая особая точка для $f(z)$ и $\lim\limits_{z\to\infty} f(z)=0$ . Вычет вычисляем по формуле (4.26):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z) \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} \frac{1}{(z+3)(z^{15}-1)}= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{-z}{(z+3)(z^{15}-1)}=0.$

Получаем ответ: $\oint\limits_{|z|=3} \frac{dz}{(z+3)(3^{15}-1)}= \frac{2i\pi}{3^{15}+1}$ .

б) Особыми точками функции являются $z=1$ — простой полюс и $z=\frac{1}{2}$ — существенно особая точка. Обе точки принадлежат кругу $|z-1|<1$ .

Вычет в точке $z=1$ находим по формуле (4.24): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)= \left.{\cos \frac{z}{2z-1}}\right|_{z=1}= \cos1$ . Для нахождения вычета в точке $z=\frac{1}{2}$ -существенно особой точке — нужно найти коэффициент $c_{-1}$ , т.е. записать разложение функции в ряд по степеням $\left(z-\frac{1}{2}\right)$ . Для этого записываем разложения функций $f_1(z)=\cos\frac{z}{2z-1}$ и $f_2(z)=\frac{1}{z-1}$ , перемножаем ряды и находим $c_{-1}$ — коэффициент при степени $\left(z-\frac{1}{2}\right)^{-1}= \frac{1}{z-\frac{1}{2}}$ .

Если, как и в предыдущем случае, использовать формулу (4.20), то задача вычисления интеграла упрощается, так как нет необходимости вычислять вычет в существенно особой точке $z=\frac{1}{2}$ . Действительно, из

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\frac{1}{2}}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)=0$ следует $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\frac{1}{2}}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)=-\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)$ .

Поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{-z\cos \frac{z}{2z-1}}{z-1}=-\cos \dfrac{1}{2}$ и $\oint\limits_{|z-1|=1} \frac{\cos \dfrac{z}{2z-1}}{z-1}\,dz= 2\pi i\cos\frac{1}{2}$ .

Пример 4.32. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz$ , где $C$ — граница круга единичного радиуса с центром в точке $z_0\colon$ a) $z_0=1$ ; б) $z_0=-1$ .

Решение

Особыми точками подынтегральной функции являются $z_1=-1$ — полюс первого порядка, $z_2=-\frac{1}{2}$ — существенно особая точка и $z_3=-1$ — устранимая особая точка (см. пример 4.21).

а) В круг $|z-1|<1$ входит одна точка $z=1$ . Находим вычет по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)= \left.{\frac{1}{2z} \sin\frac{\pi z}{2z}}\right|_{z=1}= \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3}= \frac{\sqrt{3}}{4}\,.$

Получаем ответ: $\oint\limits_{|z-1|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz= \frac{i\pi}{2}\sqrt{3}$ .

б) В круг $|z+1|<1$ входят две точки: $z=-\frac{1}{2}$ — существенно особая точка и $z=-1$ — устранимая особая точка. Поэтому

$\oint\limits_{|z+1|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz= 2\pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-\frac{1}{2}}f(z)\right)\!,$

или, применяя формулу (4.20) (чтобы избежать вычисления вычета в существенно особой точке), получаем

$\oint\limits_{|z+1|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz=-2\pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)\right)\!.$

Так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , находим $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)$ по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\frac{-z}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}=0.$

Получаем ответ: $\oint\limits_{|z+1|=1} \frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{2z+1}\,dz=-2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=}f(z)=-2\pi i\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=-\frac{i\pi}{2}\sqrt{3}$ .

Пример 4.33. Вычислить интегралы от многозначных функций:

а) $\oint\limits_{|z+2|=\frac{3}{2}} \frac{\sin z}{\ln z+3\pi i}\,dz,~ \ln(-e)=1-\pi i$ ; б) $\oint\limits_{|z-1|=\frac{3}{2}} \frac{z}{\ln(z+1)-1}\,dz$ .

Решение

При вычислении интегралов от многозначной функции предварительно нужно убедиться, что в области, ограниченной контуром интегрирования, подынтегральная функция допускает выделение однозначных ветвей. Это возможно, если точка ветвления многозначного выражения не принадлежит области. Выделение ветви определяется заданием значения функции в некоторой точке области (случай "а")), если нет такого задания — интеграл вычисляется от всех ветвей (случай "б")).

а) Точка ветвления $z=0$ функции $\ln z$ не принадлежит кругу $|z+2|< \frac{3}{2}$ , и в этой области выражение $\ln z$ допускает выделение однозначных ветвей $(\ln z)_k=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi),~ k\in \mathbb{Z}$ . Нуль знаменателя — точка $z_0=e^{-3\pi i}=-1$ принадлежит кругу $|z+2|< \frac{3}{2}$ . Эта точка будет особой точкой для одной из ветвей, а именно для той ветви, для которой $\ln(-1)=-3\pi i$ . Из условия $\ln(-e)=1-\pi i$ и $(\ln z)_k=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)$ находим $k\colon$

$\ln(-e)=\ln|-e|+i \bigl(\cos(-e)+2k\pi\bigr)= 1+i(\pi+2k\pi)=1-\pi i$ при $k=-1$ .

Но при этом $\ln(-1)=\ln|-1|+i(\pi+2\cdot(-1)\pi i)=-\pi i\ne-3\pi i$ . Следовательно, для выбранной ветви точка $z=-1$ не является особой. Поэтому ветвь является в круге $|z+2|< \frac{3}{2}$ аналитической и интеграл равен нулю (см. формулу (2.54).

б) Точка ветвления $z=-1$ функции $\ln(z+1)$ не принадлежит кругу $|z-1|< \frac{3}{2}$ . В области выделяются однозначные ветви функции $\ln(z+1)\colon$

$\bigl(\ln(z+1)\bigr)_k= \ln|z+1|+i \bigl(\arg(z+1)+2k\pi\bigr),\quad k\in \mathbb{Z}.$

Приравнивая нулю знаменатель, находим $z+1=e$ , то есть $z=e-1$ . Точка принадлежит кругу $|z-1|< \frac{3}{2}$ . Так как $(\ln e)_k=1+i2k\pi$ , то равенство $\ln(z+1)-1=0$ выполняется при $z=e-1$ только для ветви, для которой $k=0$ . Для этой ветви точка $z_0=e-1$ является полюсом первого порядка и вычет в ней вычисляется по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{z}{\ln(z+1)-1}= \left.{\frac{z}{\frac{1}{z+1}}}\right|_{z=e-1}= e(e-1).$ Получаем ответ: $\oint\limits_{|z-1|<\frac{3}{2}}f(z)\,dz= 2\pi ie(e-1)$ .

Для других ветвей подынтегральная функция является аналитической и, следовательно, $\oint\limits_{|z-1|<\frac{3}{2}}f(z)\,dz=0$ (см. формулу (2.54).

Пример 4.34. Вычислить интеграл от многозначной функции $\oint\limits_{|z-4|=2} \frac{\sqrt{z}}{(z-1)(z-4)}\,dz$ .

Решение

Точка ветвления $z=0$ функции $\sqrt{z}$ не принадлежит области, по границе которой вычисляется интеграл. Возможно выделение однозначных ветвей и вычисление интеграла с использованием теоремы о вычетах.

Каждая из двух ветвей выражения $\sqrt{z}= \sqrt{|z|}= \exp \frac{(\arg z+2k\pi)i}{2}$ может быть выделена заданием значения функции в одной из точек области. Обозначим, например, $(\sqrt{z})_1$ — ветвь, для которой $\sqrt{4}=2$ , и $(\sqrt{z})_2$ — ветвь, где $\overline{4}=-2$ . Для каждого случая вычисляем интеграл, т.е.

$\oint\limits_{|z-4|=2} f_1(z)\,dz$ , где $f_1(z)= \frac{(\sqrt{z})_1}{(z-1)(z-4)}$ , и $\oint\limits_{|z-4|=2} f_2(z)\,dz$ , где $f_2(z)= \frac{(\sqrt{z})_2}{(z-1)(z-4)}$ .

В обоих случаях в область $|z-4|<2$ попадает одна особая точка $z=4$ — $\Pi(1)$ . Записываем результат, вычисляя вычет в точке $z=4\colon$

$\oint\limits_{|z-4|=2} f_1(z)\,dz= \left.{2\pi i\cdot \frac{(\sqrt{z})_1}{z-1}}\right|_{z=4}= \frac{2i\pi \sqrt{4}}{3}= \frac{4\pi i}{3}\,;\qquad \oint\limits_{|z-4|=2} f_2(z)\,dz= \left.{2\pi i\cdot \frac{(\sqrt{z})_2}{z-1}}\right|_{z=4}= \frac{2i\pi \sqrt{4}}{3}=-\frac{4\pi i}{3}\,.$

Пример 4.35. Вычислить интегралы:

a) $\oint\limits_{C} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}\,dz$ , где $C$ — контур, состоящий из дуга окружности $|z|=2,~ \operatorname{Im}z \geqslant-\frac{1}{2}$ и отрезка прямой $\operatorname{Im}z=-\frac{1}{2}$ (рис. 4.5,а);

б) $\oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}$ , где $C$ — контур, состоящий из верхней полуокружности $|z|=R,~ R>1,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ и отрезка действительной оси (рис. 4.5,б).

Решение

a) В область, ограниченную контуром, входят две особые точки функции: $z=0$ — $\Pi(1)$ и $z=i$ — $\Pi(2)$ . Находим вычеты в этих точках:

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}&= \lim\limits_{z\to0} \frac{\sin z}{z(z^2+1)^2}=1;\\[4pt] \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}&= \lim\limits_{z\to i}\! \left(\frac{\sin z\cdot (z-i)^2}{z^2(z-i)^2(z^2+i)^2} \right)'= \lim\limits_{z\to i}\! \left(\frac{\sin z}{z^2(z^2+i)^2}\right)'= \ldots= \frac{\operatorname{ch}-3 \operatorname{sh}1}{4}\,. \end{aligned}$

Получаем результат: $\oint\limits_{C} \frac{\sin z}{z^2(z^2+1)^2}\,dz= \frac{i\pi}{2}(4+\operatorname{ch}1-3\operatorname{sh}1)$ .

б) В область, ограниченную контуром, попадают две особые точки функции: $z_1=\exp \frac{i\pi}{4}$ и $z_2=\exp \frac{i3\pi}{4}$ (см. пример 4.27). Обе точки — простые полюсы. Находим вычеты функции в этих точках и записываем результат:

$\oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}= 2pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{1}{z^4+1}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}\frac{1}{z^4+1}\right)= 2\pi i\! \left(\frac{1}{4z_1^3}+ \frac{1}{4z_2^3}\right)= \frac{2i\pi}{4}\! \left(\frac{z_1}{z_1^4}+ \frac{z_2}{ z_2^4}\right)= \ldots= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}\,.$

Здесь учтено, что $z_1^4=z_2^4=-1$ .

Рассмотренные выше примеры вычисления интегралов от функций комплексного переменного по замкнутому контуру с помощью вычетов показывают преимущество этого метода. Методу соответствует алгоритм, состоящий из несложных процедур. В случае вычисления вычетов в полюсах задача еще более упрощается и сводится к нахождению производных (см. формулы (4.22),(4.24)).

Прежде всего следует ожидать, что можно использовать аппарат вычетов при вычислении определенных интегралов от функции действительной переменной. В самом деле, если подобрать некоторую функцию, переводящую отрезок $[a,b]$ в замкнутую плоскую кривую $C$ , то вычисление интеграла $\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}$ можно свести к вычислению интеграла $\textstyle{\oint\limits_{C}F(z)\,dz}$ . Простейшая задача такого вида связана с преобразованием отрезка $[0;2\pi]$ в окружность.

Интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{0}^{2\pi} R(\cos x,\sin x)\,dx}$

Здесь $R(\cos x,\sin x)=R(u,v)$ — рациональная функция аргументов $u$ и ${v}$ . Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена $\operatorname{tg} \frac{x}{2}=t$ ("универсальная" подстановка ) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби, а далее применяется соответствующий алгоритм интегрирования с простыми, но трудоемкими процедурами.

С другой стороны, отрезок $[0;2\pi]$ изменения переменных можно рассматривать как изменение $\arg z$ точки $z$ , принадлежащей окружности. Действительно, замена $z=e^{ix}$ переводит отрезок $[0;2\pi]$ в окружность $|z|=1,~ 0 \leqslant\arg z \leqslant2\pi$ . При этом для переменных $u=\cos x$ и $v=\sin x$ получаются несложные, причем рациональные, выражения через $z$ . По формулам Эйлера имеем

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\quad \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ , то есть $\cos x=\frac{1}{2}\! \left(z+\frac{1}{z}\right)\!,\quad \sin x=\frac{1}{2i}\! \left(z-\frac{1}{z} \right)$ .

Из $e^{ix}=z$ получаем $i\,e^{ix}\,dx=dz$ , a поэтому $dx= \frac{dz}{iz}$ . В результате получаем формулу, связывающую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:

$\int\limits_{0}^{2\pi}R(\cos x,\sin x)\,dx= \oint\limits_{|z|=1} R\! \left(\frac{1}{2}\! \left(z+\frac{1}{z}\right)\!,\, \frac{1}{2i}\! \left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\! \frac{dz}{iz}\,.$

(4.27)

Полученный справа интеграл есть интеграл от рациональной функции, особыми точками которой являются только полюсы.

Пример 4.36. Вычислить собственный интеграл $\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{dx}{(5+4\cos x)^2}$ с помощью вычетов.

Решение

Обозначим $e^{ix}=z$ , тогда

$\cos x=\frac{1}{2}\! \left(z+\frac{1}{z}\right)\!,\qquad dx=\frac{dz}{iz},\qquad 5+4\cos x= 5+2z+\frac{2}{z}=\frac{2z^2+5z+2}{z}\,.$

Получаем интеграл $\oint\limits_{|z|=1} \frac{z\,dz}{(2z^2+5z+2)^2}$ . Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя — корни уравнения $2z^2+5z+ 2=0$ . Это точки $z_1=-2$ и $z_2=-\frac{1}{2}$ . Тогда знаменатель можно записать в виде $\bigl(2(z-z_1)(z-z_2)\bigr)^2= 4(z-z_1)^2(z-z_2)^2$ . Точка $z_1$ не принадлежит области $|z|<1$ , а точка $z_2$ принадлежит и $z_2$ — полюс 2-го порядка. Находим вычет в точке $z=-\frac{1}{2}$ — полюсе второго порядка:

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2} \frac{z}{4(z-z_1)^2(z-z_2)^2}&= \frac{1}{4i} \lim\limits_{z\to z_2}\! \left(\frac{z(z-z_2)^2}{(z-z_1)^2(z-z_2)^2}\right)'= \frac{1}{4i} \lim\limits_{z\to z_2} \frac{(z-z_1)^2-2z(z-z_1)}{(z-z_1)^4}=\\ &=\left.{\frac{1}{4i} \frac{z-z_1-2z}{(z-z_1)^3}}\right|_{z=z_2}=-\frac{z_2+z_1}{4i(z_2-z_1)^3}= \frac{5\slash 2}{4i (3\slash 2)^3}= \frac{5}{i\,27}\,.\end{aligned}$

В результате $\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{dx}{(5+4\cos x)^2}= 2i\pi\cdot \frac{5}{i\,27}= \frac{10\pi}{27}$ .

Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов

Еще больший интерес представляет возможность применения вычетов для вычисления несобственных интегралов вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx}$ , где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx= \lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{-R}^{R}f(x)dx}$ (здесь отрезок $[a,b]=[-R,R]$ ). Будем рассматривать функцию $f(x)$ , непрерывную на $(-\infty,+\infty)$ . Возможность использования вычетов при решении такой задачи основана на том, что отрезок $[-R,R]$ действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура $C$ , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы:

$\oint\limits_{C} f(z)\,dz= \int\limits_{-R}^{R}f(x)\,dx+ \int\limits_{C_R}f(z)\,dz$ , где $C_R$ — дуга окружности $|z|=R,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ .

Несобственный интеграл $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx}$ определяется как предел:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C}f(z)\,dz-\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R}f(z)\,dz\,.$

Пример 4.37. Вычислить несобственный интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^4+1}$ , используя вычеты.

Решение

Рассмотрим контур $C$ , состоящий из дуги $C_R$ — окружности $|z|=R,~ \operatorname{Im}z \geqslant0$ и отрезка $[-R,R]$ . Для функции $f(z)=\frac{1}{z^4+1}$ имеем

$\oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}= 2\pi i\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}f(z) \right)= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}$ (см. пример 4.35 п."б").

С другой стороны,

$\oint\limits_{C}f(z)\,dz= \int\limits_{-R}^{R}f(z)\,dz+ \oint\limits_{C_R} f(z)\,dz$ , или $\int\limits_{-R}^{R} \frac{dx}{x^4+1}= \oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}-\int\limits_{C_R} \frac{dz}{z^4+1}$ .

Оценим интеграл по дуге, учитывая неравенство для подынтегральной функции

$\left|\frac{1}{z^4+1}\right|= \frac{1}{|z^4+1|}< \frac{1}{|z|^4-1}$ , то есть $\frac{1}{|z^4+1|}< \frac{1}{R^4-1}$ для $z\in C_R$ , где $|z|=R$ .

Получаем $\Biggl|\int\limits_{C_R} \frac{dz}{z^4+1}\Biggr|< \int\limits_{C_R} \left|\frac{dz}{z^4+1}\right|< \frac{1}{R^4-1} \int\limits_{C_R} |dz|= \frac{\pi R}{R^4-1}$ , поэтому $\int\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} \frac{dz}{z^4+1}=0$ .

В результате $\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{-R}^{R} \frac{dx}{x^4+1}= \oint\limits_{C} \frac{dz}{z^4+1}= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}$ , то есть $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^4+1}= \frac{\pi \sqrt{2}}{2}$ .

Интерес, с точки зрения применения вычетов, представляют интегралы $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx}$ , где функция $f(x)$ такова, что $\textstyle{\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} f(z)dz=0}$ , как в рассмотренном примере. Классы таких функций выделяются, и для всех функций рассматриваемого класса устанавливается формула $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C} f(z)dz}$ .

Интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx}$

Здесь $R(x)$ — рациональная функция переменной $x$ , то есть $R(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ , где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно. Как отмечалось выше, рассматриваем функцию $R(x)$ , непрерывную на $(-\infty,+\infty)$ , т.е. многочлен $Q_m(x)$ не имеет действительных нулей. В теории несобственных интегралов путем сравнения таких интегралов с интегралами $\textstyle{\int\limits_{a}^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha}},~ a>0}$ , устанавливается их сходимость при условии $m-n>1$ , то есть $m-n \geqslant2$ . При таком условии $\lim\limits_{z\to\infty} R(z)=0$ и функция $R(z)$ , доопределенная в точке $z=\infty$ предельным значением $R(\infty)=0$ , имеет в этой точке нуль порядка не ниже второго, а поэтому может быть записана в виде $R(z)= \frac{\alpha(z)}{z}$ , где $\lim\limits_{z\to\infty} \alpha(z)=0$ , то есть $|\alpha(z)|<\varepsilon$ при $|z|\to\infty$ .

Учитывая это, проводим оценку интеграла, как в рассмотренном примере,

$\Biggl|\int\limits_{C_R} R(z)\,dz\Biggr|< \int\limits_{C_R} \frac{|\alpha(z)|}{|z|}\,|dz|= \frac{1}{R} \int\limits_{C_R} |\alpha(z)||dz|= \frac{\varepsilon}{R}\,\pi R= \varepsilon\pi$ и получаем $\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} R(z)\,dz=0$ .

Таким образом, для рассматриваемого типа интегралов получаем $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx= \oint\limits_{C} f(z)\,dz$ , где $C$ — контур, состоящий из верхней полуокружности $|z|=R,~ \operatorname{Im}z\geqslant0$ и отрезка $[-R,R]$ , причем $R$ таково, что все особые точки функции $f(z)$ , для которых $\operatorname{Im}z>0$ , расположены в полукруге $|z|<R,~ \operatorname{Im}z \geqslant0$ .

Очевидно, аналогичный вывод можно получить, рассматривая полукруг $|z|<R,~ \operatorname{Im}z<0$ .

Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Утверждение 4.9. Пусть функция $R(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ , удовлетворяет условиям:
1) $m-n\geqslant2$ , т.е. степень знаменателя больше степени числителя по крайней мере на два;
2) $Q_m(x)\ne0$ для $x$ — действительных, т. е. $R(z)$ не имеет особых точек на действительной оси.

Тогда справедливы равенства:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx= 2\pi i \sum_{k=1}^{p} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} R(z),\quad \operatorname{Im}z_k>0,$

(4.28)

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx=-2\pi i \sum_{k=1}^{p} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} R(z),\quad \operatorname{Im}z_k<0.$

(4.29)

где $z_k,~k=1,2,\ldots,p$ — все особые точки функции $R(z)$ , расположенные выше оси $Ox~(\operatorname{Im}z_k>0)$ в случае формулы (4.28) и ниже оси $Ox~(\operatorname{Im}z_k<0)$ — в случае формуль (4.29).

Заметим, что если $R(x)$ — четная функция, то можно, используя эти формулы, вычислять интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{0}^{+\infty} f(x)\,dx}$ , так как для четных функций имеет место равенство $\textstyle{\int\limits_{-R}^{R} f(x)\,dx= 2 \int\limits_{0}^{R} f(x)\,dx}$ .

Алгоритм вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов

1. Проверить условия применения формулы (4.28) или (4.29) (см. утверждение 4.9).
2. Найти особые точки подынтегральной функции $R(x)$ .
3. Вычислить вычеты в особых точках функции $R(x)$ , расположенных:

а) выше оси $Ox$ , если применяется формула (4.28);
б) ниже оси $Ox$ , если применяется формула (4.29).

4. Записать результат по формуле (4.28) или (4.29).

▼ Примеры 4.38-4.39

Пример 4.38. Вычислить интегралы: а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2+3}{(x^2+2x+17)^2}\,dx$ ; б) $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x^2\,dx}{(x^2+4)^3}$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Проверяем условия утверждения 4.9:

– так как в числителе многочлен степени $n=2$ , а в знаменателе $m=4$ , то условие $m-n\geqslant2$ выполняется;

– уравнение $x^2+2x+17=0$ не имеет действительных корней, так как дискриминант трехчлена $D<0$ . Поэтому второе условие также выполняется.

2. Особыми точками функции $f(z)= \frac{z^2+3}{(z^2+2z+17)^2}$ являются полюсы второго порядка $z_1=1+4i$ и $z_2=1-4i$ .

3. Применим формулу (4.28). Для этого вычислим вычет в точке $z_1\in \operatorname{Im}z>0\colon$

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{z^2+3}{(z-z_1)^2(z-z_2)^2}&= \lim\limits_{z\to z_1}\! \left(\frac{(z^2+3)(z-z_1)^2}{(z-z_1)^2(z-z_2)^2}\right)'= \lim\limits_{z\to z_1}\! \left(\frac{z^2+3}{(z-z_2)^2}\right)'= \lim\limits_{z\to z_1}\frac{2z^2-2zz_2-2z^2-6}{(z-z_2)^3}=\\ &= \left.{\frac{-2zz_2-6}{(z-z_2)^3}}\right|_{z=z_1}= \frac{-2z_1z_2-6}{(z_1-z_2)^3}= \ldots= \frac{5}{16i}\,.\end{aligned}$

4. Записываем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2+3}{(x^2+2x+17)^2}\,dx$ .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Условия утверждения 4.9 выполняются. Можно использовать формулу (4.28). Подынтегральная функция является четной.

2. Особыми точками функции $f(z)= \frac{z^2}{(z^2+4)^3}$ являются полюсы третьего порядка $z_1=2i$ и $z_2=-2i$ .

3. Находим вычет в точке $z_1\colon$

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1}\frac{z^2}{(z^2+4)^3}&= \frac{1}{2} \lim\limits_{z\to z_1}\! \left(\frac{z^2(z-2i)^3}{(z-2i)^3(z+2i)^3}\right)''= \frac{1}{2}\lim\limits_{z\to z_1} \frac{(4i-2z)(z+2i)^4-4(4iz-z^2)(z+2i)^3}{(z+2i)^8}=\\ &=\left.{\frac{1}{2}\cdot \frac{2(2i-z)(2i+z)-4z(4i-z)}{(z+2i)^5}}\right|_{z=z_1}= \frac{-2\cdot2i\cdot2i}{(4i)^5}= \frac{8}{4^5i}\,.\end{aligned}$

4. Записываем ответ: $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2+4)^3}\,dx= \frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2+4)^3}\,dx= \pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)= \pi i\cdot \frac{8}{4^5i}= \frac{\pi}{128}$ .

Пример 4.39. Вычислить несобственные интегралы с помощью вычетов:

а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+1)(x^2-ix-1)^2}$ ; б) $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^4-2i}$ .

Решение

Условия применения формул вычисления интегралов с помощью вычетов выполняются.

Заметим, что в отличие от предыдущих примеров здесь подынтегральные функции являются комплекснозначными и $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ может быть комплексным числом.

а) Особыми точками функции $f(z)=\frac{1}{(z^2+1)(z^2-iz-1)^2}$ являются $z_1=i,~ z_2=-i$ , и корни уравнения $z^2-iz-1=0$ , то есть $z_3=\frac{i+ \sqrt{3}}{2}$ и $z_4=\frac{i-\sqrt{3}}{2}$ . Три точки расположены в верхней полуплоскости, одна $z=-i$ — в нижней. Будем применять формулу (4.29). Вычисляем вычет в точке $z=-i$ — простом полюсе подынтегральной функции по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-i} \frac{\dfrac{1}{(z^2-iz-1)^2}}{z^2+1}= \left.{ \dfrac{1}{2z(z^2-iz-1)^2}}\right|_{z=-i}= \frac{1}{(-2i)(-1-1-1)^2}= \frac{-1}{18i}\,.$

Получаем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+1)(x^2-ix-1)^2}=-2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-i}f(z)=\frac{\pi}{9}$ .

б) Особыми точками функции $f(z)=\frac{1}{z^4-2i}$ являются корни уравнения $z^4=2i$ , то есть $z_k=\sqrt[\LARGE{4}]{2}\exp\left[\left(\frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{2}k\right)\!i \right],~ k=0,1,2,3$ . Все особые точки — простые полюсы функции; две расположены в верхней полуплоскости, две — в нижней. Используем формулу (4.28), рассмотрим точки $z_1= \sqrt[\LARGE{4}]{2}\exp \frac{i\pi}{8}$ и $z_2=\sqrt[\LARGE{\LARGE{4}}]{2}\exp \frac{i5\pi}{8}=\sqrt[\LARGE{\LARGE{4}}]{2}\exp \frac{i\pi}{8}\exp \frac{i\pi}{2}=i\cdot z_1$ .

Вычисляя вычеты по формуле (4.24), записываем результат (при этом учитывается, что $z_1^4=z_2^4=2i$ ):

$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^4-2i}= i\pi\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{1}{x^4-2i}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2} \frac{1}{x^4-2i}\right)= i\pi\! \left(\frac{1}{4z_1^3}+ \frac{1}{4z_2^3}\right)= \frac{i\pi}{4}\! \left(\frac{z_1}{z_1^4}+ \frac{z_2}{z_2^4}\right)= \frac{i\pi}{4\cdot2i}(z_1+z_2)= \frac{\pi}{8}(1+i)\exp \frac{i\pi}{8}\,.$

или, так как $1+i=\exp \frac{i\pi}{4}$ , то $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^4-2i}= \frac{\pi}{8}\exp \frac{i3\pi}{8}$ .

Несобственные интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}R(x)\,dx}$

Выше рассматривались интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx}$ , где $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)},~ m-n\geqslant2$ и $Q_m(x)\ne0$ для $z\in R$ . Но такими интегралами не исчерпывается класс сходящихся несобственных интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ .

Например, сходящимися, согласно признаку Абеля, являются интегралы $\textstyle{\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)\,dx}$ , где $f(x)=\varphi(x)\cdot g(x)$ и функции $\varphi(x),~g(x)$ удовлетворяют условиям:

а) $\varphi(x)$ непрерывна и имеет ограниченную первообразную на $[a;+\infty)$ , т.е. для любого $A\geqslant a$ справедливо неравенство $\textstyle{\left|\int\limits_{a}^{A} \varphi(x)\,dx\right|<M}$ ;

б) $g(x)$ — непрерывно дифференцируема на $[a;+\infty)$ и, монотонно убывая, стремится к нулю при $x\to+\infty$ , то есть

$\lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=0,\quad g'(x)=0,\quad x\in[a;+\infty).$

▼ Пример 4.40

Пример 4.40. Исследовать сходимость интегралов:

а) $\int\limits_{a}^{+\infty} \sin x\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \cos x\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{dx}{x},\quad \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{x\,dx}{1+x^2} ;$

б) $\int\limits_{a}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{\cos x}{x}\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx,\quad \int\limits_{a}^{+\infty} \frac{x\cos x}{1+x^2}\,dx,~ a>0;$

в) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cos x}{1+x^2}\,dx,\quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx\,.$

Решение

а) Все интегралы расходятся по определению, так как не существует конечного предела $\lim\limits_{A\to+\infty} \int\limits_{a}^{A}f(x)\,dx$ .

б) Все интегралы сходятся по признаку Абеля. Функции $\varphi(x)= \sin x$ или $\varphi(x)=\cos x,~ g(x)=\frac{1}{x}$ или $g(x)=\frac{x}{1+x^2}$ удовлетворяют указанным выше условиям.

в) Запишем $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ в виде суммы:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\,dx+ \int\limits_{-1}^{1} f(x)\,dx+ \int\limits_{1}^{+\infty} f(x)\,dx\,.$

Определенный интеграл $\textstyle{\int\limits_{-1}^{1} f(x)\,dx}$ есть число, а первое слагаемое заменой $x=-t$ приведем к виду $\textstyle{\int\limits_{1}^{+\infty} f(-t)\,dt}$ , то есть $\int\limits_{1}^{+\infty} \varphi(t)\,dt$ . Тогда на основании результата, полученного в п. "б", можно сделать вывод о том, что оба интеграла, рассматриваемые в данном пункте, сходятся. При этом $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\cos x}{1+x^2}\,dx=0}$ как интеграл от нечетной функции, a $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= 2\int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx}$ как интеграл от четной функции.

В качестве обобщения можно на основании признака Абеля сделать заключение, что сходящимися являются интегралы вида

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\cos\lambda x\,dx,\quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\sin\lambda x\,dx$ , где $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)},~m-n\geqslant1$ и $Q_m(x)\ne0$ для $x\in\mathbb{R}$ .

Вычисление таких интегралов и приводящихся к ним интегралов методам математического анализа (нахождение первообразной) представляет в большинстве случаев определенные трудности.

Воспользуемся предложенным выше приемом сведения вычисления несобственного интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ к вычислению интеграла по замкнутому контуру от функции комплексного переменного:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C}f(z)\,dz-\lim\limits_{R\to\infty} \oint\limits_{C_R} f(z)\,dz\,.$

Заметим, что запись $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \oint\limits_{C} f(z)\,dz}$ без исследования, в частности без доказательства равенства $\textstyle{\lim\limits_{R\to\infty} \oint\limits_{C_R} f(z)\,dz}$ , не имеет основания и может привести к ошибкам. Так, для интеграла из примера 4.40 имеем

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cos x}{1+x^2}\,dx=0$ , но $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{z\cos z}{1+z^2}= \frac{i\cos i}{2i}= \frac{\operatorname{ch}1}{2}$ и $\oint\limits_{C} f(z)\,dz=i\pi \operatorname{ch}1$ ,

где $C$ — контур, состоящий из дуги $|z|=R,~ R>1,~ \operatorname{Im}z \geqslant 0$ и отрезка $[-R;R]$ . Поэтому в данном случае $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx\ne \oint\limits_{C} f(z)\,dz}$ .

Будем рассматривать $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx}$ , где $f(x)=R(x)e^{i\lambda x}$ и $R(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)},~m-n \geqslant 1$ и $Q_m(x)\ne0,~ x\in R$ , а $R(x)$ принимает действительные значения. Такой интеграл сходится, так как он может быть записан в виде суммы двух сходящихся интегралов:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\cos\lambda x\,dx+ i\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)\sin\lambda x\,dx\,.$

(4.30)

Лемма Жордана

Доказательство возможности применения вычетов к вычислению интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ основано на следующем утверждении.

Утверждение Жордана (4.10). Пусть функция $f(z)$ непрерывна в области $D\colon\, |z| \geqslant R_0,~ \operatorname{Im}z \geqslant-a$ и $\lim\limits_{R\to\infty} \max_{C_R}|f(z)|=0$ , где $C_R$ — дуга окружности $|z|=R,~ \operatorname{Im}z\geqslant-a$ . Тогда для любого $\lambda>0$ справедливо равенство

$\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} e^{i\lambda z}f(z)\,dz=0.$

(4.31)

Замечания 4.7

1. Формула (4.31) верна для любого действительного $a$ . На рис. 4.6 изображены контур $C$ и дуга $C_R$ для случаев $a>0,~ a=0,~a<0$ .

2. Формула (4.31) верна и при любом $\lambda<0$ . При этом $C_R$ — дуга окружности $|z|=R,~ \operatorname{Im}z \leqslant a$ . Справедливость этого заключения получается из леммы пуnем замены $z$ на $(-z)$ , что в силу $(-z)=z\,e^{i\pi}$ геометрически соответствует повороту на $\pi$ (рис. 4.7).

3. Большой интерес в приложениях представляет запись леммы, получаемая заменой $iz=p$ . Геометрически это соответствует повороту на угол $\frac{\pi}{2}$ , так как $p=z\exp \frac{i\pi}{2}$ . Для дуг окружностей $C_R\colon$ 1) $C_R\colon |p|=R,~ \operatorname{Re}p \leqslant a$ при $t>0$ и 2) $C_R\colon |p|=R,~ \operatorname{Re}p \geqslant-a$ при $t<0$ (рис. 4.8) имеет место формула

$\lim\limits_{R\to\infty} \int\limits_{C_R} F(p)e^{p\,t}\,dp=0.$

(4.32)

В частном случае $a=0$ (см. рис. 4.6,б и рис. 4.7,б) лемма применяется для вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ с помощью вычетов. Кроме того, если функция $f(x)$ принимает только действительные значения при $x\in\mathbb{R}$ , то, используя равенство (4.30), получаем возможность вычислять с помощью вычетов интегралы $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx}$ и $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx}$ . Первый из них является действительной частью, второй — мнимой частью интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ .

Для рассматриваемых в данном пункте интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ функция $f(z)=R(z)$ удовлетворяет лемме Жордана. Подводя итог приведенным рассуждениям, запишем следующее утверждение.

Утверждение 4.11. Пусть $R(x)$ — рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси (т.е. $Q(x)\ne0$ для $x\in\mathbb{R}$ ), для которой точка $z=\infty$ — нуль порядка не ниже первого (т.е. $m-n\geqslant1$ ). Тогда справедливы формулы:

1) при $\lambda>0$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx= 2i\pi \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr],\quad \operatorname{Im} z_k>0;$

(4.33)

2) при $\lambda<0$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx=-2i\pi\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr],\quad \operatorname{Im} z_k<0;$

(4.34)

3) при $\lambda>0$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx=-2\pi \operatorname{Im}\! \left(\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr] \right)\!,\quad \operatorname{Im}z_k>0,$

(4.35)

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx= 2\pi\operatorname{Im}\! \left(\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k} \bigl[R(z)e^{i\lambda z}\bigr] \right)\!,\quad \operatorname{Im}z_k>0.$

(4.36)

Алгоритм вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$

1. Проверить условия для функции $R(x)$ , записанные в утверждении 4.11.
2. Вычислить вычеты функции $R(z)e^{i\lambda z}$ во всех ее особых точках:

а) лежащих выше оси $Ox$ , в случае $\lambda>0$ ;
б) лежащих ниже оси $Ox$ , в случае $\lambda<0$ .

3. Записать результат по формуле (4.33) при $\lambda>0$ и по (4.34) при $\lambda<0$ .

4. Для вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos\lambda x\,dx}$ и $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin\lambda x\,dx}$ в результате, полученном в п. 3, отделить действительную и мнимую части и записать ответы для указанных интегралов по формулам (4.35) и (4.36).

▼ Примеры 4.41-4.43

Пример 4.41. Вычислить несобственные интегралы: а) $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx$ ; б) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+1)\cos x}{x^2-2x+2}\,dx$ .

Решение

Приведем интегралы к виду $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{i\lambda x}\,dx}$ и воспользуемся алгоритмом.

а) Так как подынтегральная функция четная, то можно записать

$\textstyle{\int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= \dfrac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\sin x}{1+x^2}\,dx}$ . Введем функцию $f(x)= R(x)e^{ix}$ , для которой $\dfrac{x\sin x}{1+x^2}$ является мнимой частью, т.е. рассмотрим $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\,e^{ix}}{1+x^2}\,dx}$ .

1. Функция $R(x)= \frac{x}{1+x^2}$ удовлетворяет условиям: $m-n=2-1=1;~ 1+x^2\ne0$ для действительных $x$ .

2. Так как здесь $\lambda=1>0$ , применяем формулу (4.33) или (4.36), т.е. рассматриваем только те особые точки функции $f(z)$ , которые лежат выше оси $Ox$ . Функция $R(z)= \frac{z}{1+z^2}$ имеет две особые точки: $z_1=i$ и $z_2=-i$ . Используя (4.24), вычисляем вычет в точке $z=i$ — простом полюсе:

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{z}{1+z^2}\,e^{iz}= \left.{\frac{z}{2z}\,e^{iz}}\right|_{z=i}= \frac{1}{2}\,e^{-1}.$

Так как $\operatorname{Re} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{z}{1+z^2}\,e^{iz} = \frac{e^{-1}}{2}$ , то по формуле (4.36) записываем ответ:

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= \frac{1}{2} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx= \frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot \frac{e^{-1}}{2}= \frac{\pi}{2}\,e^{-1}.$

б) Рассматриваем интеграл $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(x+1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx}$ .

1. Условия применения формул выполняются: функция $R(z)= \frac{z+1}{z^2-2z+2}$ в точке $z=\infty$ имеет нуль порядка $n=1$ и на действительной оси не имеет особых точек. Особые точки функции: $z_1=1+i,~ z_2=1-i$ .

2. Так как $\lambda=1>0$ , вычисляем вычет в точке $z_1=1+i$ — простом полюсе функции по формуле (4.24):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_1} \frac{z+1}{z^2-2z+2}\,e^{iz}= \left.{\frac{z+1}{2z-2}\,e^{iz}}\right|_{z_1}= \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}.$

3. Для интеграла $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(x+1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx}$ по формуле (4.33) получаем результат:

$2i\pi\cdot \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}= \pi\,e^{-1}(2+i)e^{i}= \pi\,e^{-1}(2+i)(\cos1+ i\sin1).$

4. Записываем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+1)\cos x}{x^2-2x+2}\,dx= \operatorname{Re} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(x+1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx= \operatorname{Re} \bigl(\pi\,e^{-1}(2+i)e^{i}\bigr)= \pi\,e^{-1}(2\cos1-\sin1)$ .

Используя формулу (4.35), пп. 3,4 можно объединить:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+1)\cos x}{x^2-2x+2}\,dx=-2\pi \operatorname{Im} \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}.$

где $\frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}= \frac{1}{2}(1-2i)e^{-1}(\cos1+i\sin1)= \frac{1}{2}\,e^{1} \bigl[(\cos1+2\sin1)+i(-2\cos1+\sin1)\bigr]$ ;

$\operatorname{Im} \frac{2+i}{2i}\,e^{i-1}= \frac{1}{2}\,e^{-1}(\sin1-2\cos1).$

В результате получаем ответ: $\pi\,e^{-1}(2\cos1-\sin1)$ .

Пример 4.42. Вычислить несобственный интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos5x}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\,dx$ .

Решение

Находим особые точки функции $R(x)= \frac{1}{(x^2+1)^2(x^2+ 4)}\colon\, z=\pm i$ и $z=\pm2i$ . Так как $\lambda=5>0$ , рассматриваем точки $z_1=i$ и $z_2=2i\colon\, z_1=i$ — $\Pi(2)$ ; $z_2=2i$ — $\Pi(1)$ . Находим вычеты функции $\frac{e^{5iz}}{(z^2+1)^2(z^2+4)}$ в этих точках:

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{e^{5iz}}{(z^2+4)(z-i)^2(z+i)^2}&= \ldots=-\frac{4}{9}\,e^{-5}i\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} \frac{e^{5iz}}{(z^2+4)(z^2+1)^2}&= \ldots=-\frac{e^{-10}}{36}\,i.\end{aligned}$

Используя формулу (4.35), получаем

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos5x}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\,dx=-2\pi \operatorname{Im}\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)\right)=\frac{2\pi}{9}\,e^{-5}\! \left(4+\frac{1}{4}e^{-5}\right)\!.$

Заметим, что $\textstyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin5x}{(x^2+1)^2(x^2+4)}\,dx=0}$ , так как функция $f(x)$ — нечетная, что соответствует вычислениям по формуле (4.36): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} f(z)=-\frac{4i}{9}\,e^{-5}-\frac{i}{36}e^{-10}$ — мнимое число и $\operatorname{Re}\! \left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z) \right)=0$ .

Пример 4.43. Вычислить интегралы: а) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}\,dx}{(x^2+2ix-2)^2}$ ; б) $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix} \sqrt{x+i}}{x^2+1}\,dx,~ \Bigl.{\sqrt{z+i}}\Bigr|_{z=0}=\exp \frac{i\pi}{4}$ .

Решение

а) Применяем формулу (4.33), так как $\lambda=1>0$ , т.е. рассматриваем только точки верхней полуплоскости.

Но обе особые точки функции $f(z)= \frac{1}{z^2+2iz-2}$ , точки $z_1=-i+\sqrt{3}$ и $z_2=-i-\sqrt{3}$ расположены в нижней полуплоскости. Поэтому интеграл равен нулю.

б) Требуется, как и в предыдущем пункте, вычислить интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной. При вычислении рассматривается та ветвь двузначного выражения $\sqrt{z+i}$ , для которой задано значение в точке $\sqrt{i}=\exp \frac{i\pi}{4}$ .

Функция $R(z)= \frac{\sqrt{z+i}}{z^2+1}$ удовлетворяет условиям применения формулы (4.33). Так как здесь $\lambda=1>0$ , рассматриваем вычет в точке $z=i\colon$

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=i} \frac{e^{iz} \sqrt{z+i}}{z^2+1}= \ldots= \left.{ \frac{e^{iz} \sqrt{z+i}}{2z}}\right|_{z=i}= \frac{e^{-1}}{2i} \sqrt{2i}= \frac{e^{-1}}{2i} \sqrt{2}\exp \frac{i\pi}{4}\,.$

Получаем ответ: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix} \sqrt{x+i}}{x^2+1}\,dx= 2\pi i\cdot \frac{e^{-1}}{2i} \sqrt{2}\exp \frac{i\pi}{4}= \pi e^{-1}(1+i).$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]