Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Вычисление площадей плоских фигур
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Вычисление площадей плоских фигур Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств Ранее мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. Здесь мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т. е. к множествам, состоящим из точек плоскости. Напомним, что открытым кругом с центром $a$ и радиусов $r$ называют множество $U(a,r)$ точек плоскости, расстояние которых от точки $a$ меньше $r$ . Любой открытый круг с центром $a$ называют окрестностью точки $a$ . Пусть на плоскости задано некоторое множество $X$ . Назовем точку $a$ этого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в $X$ . Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множества $X$ . Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множества $X$ , называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множеству $X$ , так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множества $X$ образует границу этого множества. Если все граничные точки множества $X$ принадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множеству $X$ , то его называют открытым. На рисунке 20 изображен квадрат. Точка е является внутренней для этого квадрата, точка $f$ — внешней, а точка $g$ — граничной. Граница квадрата состоит из отрезков $ab,\,bc,\,cd$ и $da$ . В дальнейшем будем говорить, что фигуры $F$ и $G$ налегают друг на друга, если у них есть хоть одна общая внутренняя точка (рис. 21). Если фигура $F$ является объединением попарно не налегающих друг на друга фигур $F_1,F_2,\ldots,F_n$ , то говорят, что $F$ разбита на фигуры $F_1,F_2,\ldots,F_n$ ; при этом не исключается, что некоторые из них имеют общие граничные точки (рис. 22). Квадрируемые области Перейдем к определению понятия площади. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат $Oxy$ . Назовем прямоугольник допустимым, если его стороны параллельны осям координат, причем не будем исключать и вырожденные прямоугольники, т. е. прямоугольники, у которых длина одной или обеих сторон равна нулю. Подмножество $F$ плоскости, которое можно разбить на конечное число допустимых прямоугольников, назовем ступенчатой фигурой (рис. 23). Очевидно, что объединение и пересечение двух ступенчатых фигур являются ступенчатыми фигурами. Назовем площадью допустимого прямоугольника $F$ произведение длин его сторон $a$ и $b:$ $S(F)=S_F=a\cdot b\,.$ При этом площадь вырожденного прямоугольника равна нулю. Очевидно, что если прямоугольник разбит на два прямоугольника (рис. 24), $F=F_1\cup F_2$ это площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей: $S(F)=S(F_1)+S(F_1)\,.$ Вообще, если прямоугольник $F$ разбит на конечное число прямоугольников $F_1,F_2,\ldots,F_n$ , то $S(F)=S(F_1)+ S(F_2)+ \ldots+ S(F_n)= \sum_{i=1}^{n}S(F_i).$ Кроме того, если прямоугольник $F_1$ получается из прямоугольника $F$ параллельным переносом, то $S(F_1)=S(F)$ . Отметим, что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, равную 1. Определим далее площадь ступенчатой фигуры. Пусть ступенчатая фигура $F$ разбита на прямоугольники $F_1,F_2, \ldots,F_n$ . Положим тогда $S(F)= \sum_{i=1}^{n}S(F_i)$ . Одна и та же ступенчатая фигура может разбиваться на прямоугольники различными способами. Легко доказать, что ее площадь не зависит от способа разбиения. Мы определили функцию $S(F)$ на множестве ступенчатых фигур. Она обладает следующими свойствами: а) Если ступенчатые фигуры $F_1$ и $F_2$ не имеют общих внутренних точек, то $S\bigl(F_1\cup F_2\bigr)= S\bigl(F_1\bigr)+ S\bigl(F_2\bigr).$ б) Если ступенчатая фигура $F_1$ получается из ступенчатой фигуры $F_2$ параллельным переносом, то $S(F_1)=S(F_2)$ . Из свойства а), в частности, следует, что если $F_1$ и $F_2$ — ступенчатые фигуры и $F_1\subset F_2$ , то $S(F_1)\leqslant S(F_2)$ . В самом деле, если присоединить к $F_2\setminus F_1$ граничные точки, то получится ступенчатая фигура $G$ , не налегающая на $F_1$ и такая, что $F_2=F_1\cup G$ . Значит, $S(F_2)= S(F_1)+S(G)\geqslant S(F_1).$ Совокупность ступенчатых фигур не охватывает таких фигур, как, например, треугольник, параллелограмм общего вида, круг, эллипс. Даже повернутый прямоугольник уже не является ступенчатой фигурой (стороны ступенчатой фигуры параллельны осям координат). Поэтому надо распространить понятие площади на более широкий класс фигур. Возьмем на плоскости фигуру $A$ и поставим ей в соответствие два числовых множества. Множество $X_A$ состоит из площадей ступенчатых фигур, все точки которых принадлежат фигуре $A$ , а множество $Y_A$ — из площадей ступенчатых фигур, содержащих фигуру $A$ . Очевидно, что множество $X_A$ расположено слева от множества $Y_A$ . Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Введем следующее определение. Фигура $A$ называется квадрируемой (имеющей площадь), если соответствующие ей числовые множества разделяются единственным числом. Это единственное число $S(A)$ , разделяющее $X_A$ и $Y_A$ , назовем площадью фигуры $A$ . Применяя критерий единственности разделяющего числа, получаем необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры $A:$ Для того чтобы фигура $A$ была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлись такие ступенчатые фигуры $F_1$ и $F_2$ , что $F_1\subset A\subset F_2$ , причем $S(F_2)-S(F_1)< \varepsilon$ . Отметим, что граница фигуры $A$ лежит в области, заключенной между границами ступенчатых фигур $F_1$ и $F_2$ . Эта область сама является ступенчатой фигурой (рис. 25). Поэтому указанное условие можно сформулировать и так: Для того чтобы фигура $A$ была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ границу фигуры $A$ можно было заключить в ступенчатую фигуру, площадь которой меньше $\varepsilon$ . Достаточное условие квадрируемости Отметим следующее достаточное условие квадрируемости. Теорема 1. Для того чтобы фигура $A$ была квадрируемой, достаточно, чтобы ее граница состояла из конечного числа дуг $\Gamma_k$ , являющихся графиками непрерывных функций $y=\varphi_k(x)$ или $x=\psi_k(y)$ . Доказательство. Покажем сначала, что дугу $\Gamma\colon \begin{cases} y=f(x),\\ a\leqslant x\leqslant b,\end{cases}$ можно заключить в ступенчатую фигуру, имеющую сколь угодно малую площадь. Зададим $\varepsilon>0$ . Так как функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ , найдется разбиение $a=x_0<x_1< \ldots< x_n=b$ этого отрезка такое, что для любого $k$ выполняется неравенство $\max_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)-\min_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)< \frac{\varepsilon}{b-a}\quad \left(M_k-m_k< \frac{\varepsilon}{b-a}\right)\!,$ где $m_k,M_k$ — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции $y=f(x)$ на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ . Но тогда дуга целиком содержится в объединении прямоугольников, имеющих основания $\Delta x_k$ и высоты $\bigl(M_k-m_k\bigr)$ (рис. 26). Общая площадь этих прямоугольников не превосходит числа $\sum_{k}\bigl(M_k-m_k\bigr)\Delta x_k< \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{k}\Delta x_k= \frac{\varepsilon}{b-a}\cdot(b-a)= \varepsilon\,.$ Объединение этих прямоугольников образует ступенчатую фигуру, содержащую дугу $\Gamma$ и имеющую площадь, меньшую, чем $\varepsilon$ . Поскольку граница фигуры $A$ состоит из конечного числа таких дуг, ее тоже можно накрыть ступенчатой фигурой сколь угодно малой площади, и потому область квадрируема. Например, круг квадрируем, так как его граница состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями $y=\sqrt{R^2-x^2}$ и $y=-\sqrt{R^2-x^2}$ при $-R\leqslant x\leqslant R$ , а эти функции непрерывны. Иногда оказывается полезным следующее достаточное условие квадрируемости фигур. Теорема 2. Если для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие квадрируемые фигуры $A_1$ и $A_2$ , что $A_1\subset A\subset A_2$ и $S(A_2)-S(A_1)< \varepsilon$ , то фигура $A$ тоже квадрируема. Доказательство. Зададим $\varepsilon>0$ и выберем такие квадрируемые фигуры $A_1$ и $A_2$ , что $A_1\subset A\subset A_2$ и $S(A_2)-S(A_1)< \frac{\varepsilon}{3}$ . Так как $A_1$ и $A_2$ квадрируемы, то найдутся такие ступенчатые фигуры $F_1$ и $F_2$ , что $F_1\subset A_1,$ $A_2\subset F_2$ , причем $S(A_1)-S(F_1)< \frac{\varepsilon}{3}\,,\qquad S(F_2)-S(A_2)< \frac{\varepsilon}{3}\,.$ Но тогда $F_1\subset A\subset F_2$ и $S(F_2)-S(F_1)= \bigl[S(F_2)-S(A_2)\bigr]+ \bigl[S(A_2)-S(A_1)\bigr]+ \bigl[S(A_1)-S(F_1)\bigr]< \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3}= \varepsilon\,.$ Это и доказывает квадрируемость плоской фигуры $A$ . Свойства площадей квадрируемых фигур Покажем, что площади квадрируемых фигур обладают свойствами, похожими на свойства площадей ступенчатых фигур. Сначала докажем следующее утверждение: 1. Пусть квадрируемые фигуры $A$ и $B$ не имеют общих внутренних точек и $C=A\cup B$ . Тогда фигура $C$ тоже квадрируема, причем ее площадь равна сумме площадей фигур $A$ и $B:$ $S\bigl(A\cup B\bigr)= S\bigl(A\bigr)+ S\bigl(B\bigr).$ (1) В самом деле, из квадрируемости фигур $A$ и $B$ вытекает, что для любого $\varepsilon>0$ существуют такие ступенчатые фигуры $F_1,F_2, G_1,G_2$ , что $F_1\subset A\subset F_2,$ $G_1\subset B\subset G_2$ , причем $S(F_2)-S(F_1)< \frac{\varepsilon}{2}\,,\qquad S(G_2)-S(G_1)< \frac{\varepsilon}{2}\,.$ Положим $H_1=F_1\cup G_1$ и $H_2=F_2\cup G_2$ . Тогда $H_1$ — ступенчатая фигура, содержащаяся в $A\cup B$ , а $H_2$ — ступенчатая фигура, содержащая $A\cup B:$ $H_1\subset A\cup B\subset H_2$ . При этом фигуры $F_1$ и $G_1$ не имеют общих внутренних точек (рис. 27), и потому $S(H_1)= S(F_1)+S(G_1).$ (2) Фигуры $F_2$ и $G_2$ могут иметь общие внутренние точки (рис. 28), а потому можно утверждать лишь, что $S(H_2)\leqslant S(F_2)+S(G_2).$ (3) Отсюда следует, что $\begin{gathered} S(H_2)-S(H_1)\leqslant \bigl[S(F_2)+S(G_2)\bigr]- \bigl[S(F_1)+ S(G_1)\bigr]=\\ = \bigl[S(F_2)-S(F_1)\bigr]+ \bigl[S(G_2)-S(G_1)\bigr]< \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon\,.\end{gathered}$ Итак, для любого $\varepsilon>0$ нашлись ступенчатые фигуры $H_1$ и $H_2$ такие, что $H_1\subset A\cup B\subset H_2$ , причем $S(H_2)-S(H_1)< \varepsilon$ . Поэтому фигура $C=A\cup B$ квадрируема. Из неравенств $S(F_1)\leqslant S(A)\leqslant S(F_2)$ и $S(G_1)\leqslant S(B)\leqslant S(G_2)$ вытекает, что $S(F_1)+S(G_1)\leqslant S(A)+S(B)\leqslant S(F_1)+S(F_2).$ С другой стороны, $S(H_1)\leqslant S(A\cup B)\leqslant S(H_2)$ , а потому в силу соотношений (2) и (3) имеем $S(F_1)+S(G_1)\leqslant S(A\cup B)\leqslant S(F_2)+S(G_2).$ Мы видим, что числа $S(A)+S(B)$ и $S(A\cup B)$ разделяют одни и те же множества $\bigl\{S(F_1)+S(G_1)\bigr\},$ $\bigl\{S(F_2)+S(G_2)\bigr\}$ . При этом, как было показано, для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие $F_1,F_2,G_1,G_2$ , что $\bigl[S(F_2)+S(G_2)\bigr]- \bigl[S(F_1)+S(G_1)\bigr]< \varepsilon\,.$ Поэтому указанные множества могут разделяться лишь одним числом. Это и доказывает соотношение (1). Доказанное свойство называют аддитивностью площади. Второе свойство площадей состоит в том, что площадь квадрируемой фигуры не изменяется при параллельном переносе. Это следует из того, что при этом переносе каждая внутренняя ступенчатая фигура для $A$ переходит во внутреннюю ступенчатую фигуру для образа фигуры $A$ , и то же самое верно для внешних ступенчатых фигур. Но это значит, что при параллельном переносе не изменяются ни множество $X_A$ , ни множество $Y_A$ , а потому неизменным остается и разделяющее их число, т. е. площадь фигуры. Недостатком данного выше определения площади является то, что оно связано с выбором системы координат на плоскости. Мы доказали лишь, что площадь не изменяется (инвариантна) при параллельных переносах, но не доказали такого же утверждения относительно других перемещений (симметрии, поворотов и т. д.). Справедливо более общее утверждение: 2. Если фигура $A$ квадрируема и $A_1$ — конгруэнтная ей фигура, то $A_1$ тоже квадрируема, причем $S(A_1)= S(A)$ . В курсе геометрии доказывают, что любое перемещение является композицией осевых симметрии. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая, когда $A_1$ получается из $A$ с помощью осевой симметрии. Рассмотрим сначала случай, когда $A$ — прямоугольник, одна из сторон которого параллельна оси симметрии $\ell$ (рис. 29). В этом случае образ $A_1$ этого прямоугольника может быть получен из $A$ не только с помощью осевой симметрии, но и с помощью параллельного переноса. Поэтому $S(A)=S(A_1)$ . Но любую квадрируемую фигуру можно с любой степенью точности заменить фигурой, состоящей из прямоугольников, одна из сторон которых параллельна оси симметрии. Применяя доказанное утверждение для каждого из этих прямоугольников и складывая полученные равенства, убеждаемся, что равенство $S(A)=S(A_1)$ верно для любых квадрируемых фигур. Мы доказали, что в классе квадрируемых фигур площадь обладает следующими свойствами: 1°. Для любой фигуры $F$ ее площадь $S(F)$ — неотрицательное число (неотрицательность площади). 2°. Площади конгруэнтных фигур равны (инвариантность площади относительно перемещений). 3°. Если фигуры $F$ и $G$ не имеют общих внутренних точек, то $S(F\cup G)=S(F)+S(G)$ (аддитивность площади). 4°. Площадь единичного квадрата равна единице (условие нормировки). Можно доказать, что условия 1°–4° однозначно определяют площадь в классе квадрируемых фигур. Это позволяет понятию площади дать аксиоматическое определение, сказав, что на совокупности фигур $M$ определено понятие площади, если на $M$ задана числовая функция $S(F)$ , удовлетворяющая условиям 1°–4° (при этом, разумеется, требуется, чтобы совокупность $M$ вместе с двумя не налегающими друг на друга фигурами содержала их объединение). Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Вычисление площадей плоских фигур

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Вычисление площадей плоских фигур

Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств

Ранее мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. Здесь мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т. е. к множествам, состоящим из точек плоскости.

Напомним, что открытым кругом с центром $a$ и радиусов $r$ называют множество $U(a,r)$ точек плоскости, расстояние которых от точки $a$ меньше $r$ . Любой открытый круг с центром $a$ называют окрестностью точки $a$ .

Пусть на плоскости задано некоторое множество $X$ . Назовем точку $a$ этого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в $X$ . Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множества $X$ . Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множества $X$ , называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множеству $X$ , так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множества $X$ образует границу этого множества. Если все граничные точки множества $X$ принадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множеству $X$ , то его называют открытым.

На рисунке 20 изображен квадрат. Точка е является внутренней для этого квадрата, точка $f$ — внешней, а точка $g$ — граничной. Граница квадрата состоит из отрезков $ab,\,bc,\,cd$ и $da$ .

В дальнейшем будем говорить, что фигуры $F$ и $G$ налегают друг на друга, если у них есть хоть одна общая внутренняя точка (рис. 21). Если фигура $F$ является объединением попарно не налегающих друг на друга фигур $F_1,F_2,\ldots,F_n$ , то говорят, что $F$ разбита на фигуры $F_1,F_2,\ldots,F_n$ ; при этом не исключается, что некоторые из них имеют общие граничные точки (рис. 22).

Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств

Квадрируемые области

Перейдем к определению понятия площади. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат $Oxy$ . Назовем прямоугольник допустимым, если его стороны параллельны осям координат, причем не будем исключать и вырожденные прямоугольники, т. е. прямоугольники, у которых длина одной или обеих сторон равна нулю. Подмножество $F$ плоскости, которое можно разбить на конечное число допустимых прямоугольников, назовем ступенчатой фигурой (рис. 23). Очевидно, что объединение и пересечение двух ступенчатых фигур являются ступенчатыми фигурами.

Назовем площадью допустимого прямоугольника $F$ произведение длин его сторон $a$ и $b:$

$S(F)=S_F=a\cdot b\,.$

При этом площадь вырожденного прямоугольника равна нулю. Очевидно, что если прямоугольник разбит на два прямоугольника (рис. 24), $F=F_1\cup F_2$ это площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей:

$S(F)=S(F_1)+S(F_1)\,.$

Вообще, если прямоугольник $F$ разбит на конечное число прямоугольников $F_1,F_2,\ldots,F_n$ , то

$S(F)=S(F_1)+ S(F_2)+ \ldots+ S(F_n)= \sum_{i=1}^{n}S(F_i).$

Кроме того, если прямоугольник $F_1$ получается из прямоугольника $F$ параллельным переносом, то $S(F_1)=S(F)$ .

Отметим, что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, равную 1.

Определим далее площадь ступенчатой фигуры. Пусть ступенчатая фигура $F$ разбита на прямоугольники $F_1,F_2, \ldots,F_n$ . Положим тогда $S(F)= \sum_{i=1}^{n}S(F_i)$ .

Одна и та же ступенчатая фигура может разбиваться на прямоугольники различными способами. Легко доказать, что ее площадь не зависит от способа разбиения.

Мы определили функцию $S(F)$ на множестве ступенчатых фигур. Она обладает следующими свойствами:

а) Если ступенчатые фигуры $F_1$ и $F_2$ не имеют общих внутренних точек, то

$S\bigl(F_1\cup F_2\bigr)= S\bigl(F_1\bigr)+ S\bigl(F_2\bigr).$

б) Если ступенчатая фигура $F_1$ получается из ступенчатой фигуры $F_2$ параллельным переносом, то $S(F_1)=S(F_2)$ .

Из свойства а), в частности, следует, что если $F_1$ и $F_2$ — ступенчатые фигуры и $F_1\subset F_2$ , то $S(F_1)\leqslant S(F_2)$ . В самом деле, если присоединить к $F_2\setminus F_1$ граничные точки, то получится ступенчатая фигура $G$ , не налегающая на $F_1$ и такая, что $F_2=F_1\cup G$ . Значит,

$S(F_2)= S(F_1)+S(G)\geqslant S(F_1).$

Совокупность ступенчатых фигур не охватывает таких фигур, как, например, треугольник, параллелограмм общего вида, круг, эллипс. Даже повернутый прямоугольник уже не является ступенчатой фигурой (стороны ступенчатой фигуры параллельны осям координат). Поэтому надо распространить понятие площади на более широкий класс фигур.

Возьмем на плоскости фигуру $A$ и поставим ей в соответствие два числовых множества. Множество $X_A$ состоит из площадей ступенчатых фигур, все точки которых принадлежат фигуре $A$ , а множество $Y_A$ — из площадей ступенчатых фигур, содержащих фигуру $A$ . Очевидно, что множество $X_A$ расположено слева от множества $Y_A$ . Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества.

Введем следующее определение.

Фигура $A$ называется квадрируемой (имеющей площадь), если соответствующие ей числовые множества разделяются единственным числом. Это единственное число $S(A)$ , разделяющее $X_A$ и $Y_A$ , назовем площадью фигуры $A$ .

Применяя критерий единственности разделяющего числа, получаем необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры $A:$

Для того чтобы фигура $A$ была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлись такие ступенчатые фигуры $F_1$ и $F_2$ , что $F_1\subset A\subset F_2$ , причем $S(F_2)-S(F_1)< \varepsilon$ .

Отметим, что граница фигуры $A$ лежит в области, заключенной между границами ступенчатых фигур $F_1$ и $F_2$ . Эта область сама является ступенчатой фигурой (рис. 25). Поэтому указанное условие можно сформулировать и так:

Для того чтобы фигура $A$ была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ границу фигуры $A$ можно было заключить в ступенчатую фигуру, площадь которой меньше $\varepsilon$ .

Достаточное условие квадрируемости

Отметим следующее достаточное условие квадрируемости.

Теорема 1. Для того чтобы фигура $A$ была квадрируемой, достаточно, чтобы ее граница состояла из конечного числа дуг $\Gamma_k$ , являющихся графиками непрерывных функций $y=\varphi_k(x)$ или $x=\psi_k(y)$ .

Доказательство. Покажем сначала, что дугу $\Gamma\colon \begin{cases} y=f(x),\\ a\leqslant x\leqslant b,\end{cases}$ можно заключить в ступенчатую фигуру, имеющую сколь угодно малую площадь. Зададим $\varepsilon>0$ . Так как функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ , найдется разбиение $a=x_0<x_1< \ldots< x_n=b$ этого отрезка такое, что для любого $k$ выполняется неравенство

$\max_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)-\min_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)< \frac{\varepsilon}{b-a}\quad \left(M_k-m_k< \frac{\varepsilon}{b-a}\right)\!,$

где $m_k,M_k$ — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции $y=f(x)$ на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ . Но тогда дуга целиком содержится в объединении прямоугольников, имеющих основания $\Delta x_k$ и высоты $\bigl(M_k-m_k\bigr)$ (рис. 26). Общая площадь этих прямоугольников не превосходит числа

$\sum_{k}\bigl(M_k-m_k\bigr)\Delta x_k< \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{k}\Delta x_k= \frac{\varepsilon}{b-a}\cdot(b-a)= \varepsilon\,.$

Объединение этих прямоугольников образует ступенчатую фигуру, содержащую дугу $\Gamma$ и имеющую площадь, меньшую, чем $\varepsilon$ .

Поскольку граница фигуры $A$ состоит из конечного числа таких дуг, ее тоже можно накрыть ступенчатой фигурой сколь угодно малой площади, и потому область квадрируема.

Например, круг квадрируем, так как его граница состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями $y=\sqrt{R^2-x^2}$ и $y=-\sqrt{R^2-x^2}$ при $-R\leqslant x\leqslant R$ , а эти функции непрерывны.

Иногда оказывается полезным следующее достаточное условие квадрируемости фигур.

Теорема 2. Если для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие квадрируемые фигуры $A_1$ и $A_2$ , что $A_1\subset A\subset A_2$ и $S(A_2)-S(A_1)< \varepsilon$ , то фигура $A$ тоже квадрируема.

Доказательство. Зададим $\varepsilon>0$ и выберем такие квадрируемые фигуры $A_1$ и $A_2$ , что $A_1\subset A\subset A_2$ и $S(A_2)-S(A_1)< \frac{\varepsilon}{3}$ . Так как $A_1$ и $A_2$ квадрируемы, то найдутся такие ступенчатые фигуры $F_1$ и $F_2$ , что $F_1\subset A_1,$ $A_2\subset F_2$ , причем

$S(A_1)-S(F_1)< \frac{\varepsilon}{3}\,,\qquad S(F_2)-S(A_2)< \frac{\varepsilon}{3}\,.$

Но тогда $F_1\subset A\subset F_2$ и

$S(F_2)-S(F_1)= \bigl[S(F_2)-S(A_2)\bigr]+ \bigl[S(A_2)-S(A_1)\bigr]+ \bigl[S(A_1)-S(F_1)\bigr]< \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3}= \varepsilon\,.$

Это и доказывает квадрируемость плоской фигуры $A$ .

Свойства площадей квадрируемых фигур

Покажем, что площади квадрируемых фигур обладают свойствами, похожими на свойства площадей ступенчатых фигур. Сначала докажем следующее утверждение:

1. Пусть квадрируемые фигуры $A$ и $B$ не имеют общих внутренних точек и $C=A\cup B$ . Тогда фигура $C$ тоже квадрируема, причем ее площадь равна сумме площадей фигур $A$ и $B:$

$S\bigl(A\cup B\bigr)= S\bigl(A\bigr)+ S\bigl(B\bigr).$

(1)

В самом деле, из квадрируемости фигур $A$ и $B$ вытекает, что для любого $\varepsilon>0$ существуют такие ступенчатые фигуры $F_1,F_2, G_1,G_2$ , что $F_1\subset A\subset F_2,$ $G_1\subset B\subset G_2$ , причем

$S(F_2)-S(F_1)< \frac{\varepsilon}{2}\,,\qquad S(G_2)-S(G_1)< \frac{\varepsilon}{2}\,.$

Положим $H_1=F_1\cup G_1$ и $H_2=F_2\cup G_2$ . Тогда $H_1$ — ступенчатая фигура, содержащаяся в $A\cup B$ , а $H_2$ — ступенчатая фигура, содержащая $A\cup B:$ $H_1\subset A\cup B\subset H_2$ . При этом фигуры $F_1$ и $G_1$ не имеют общих внутренних точек (рис. 27), и потому

$S(H_1)= S(F_1)+S(G_1).$

(2)

Фигуры $F_2$ и $G_2$ могут иметь общие внутренние точки (рис. 28), а потому можно утверждать лишь, что

$S(H_2)\leqslant S(F_2)+S(G_2).$

(3)

Отсюда следует, что

$\begin{gathered} S(H_2)-S(H_1)\leqslant \bigl[S(F_2)+S(G_2)\bigr]- \bigl[S(F_1)+ S(G_1)\bigr]=\\ = \bigl[S(F_2)-S(F_1)\bigr]+ \bigl[S(G_2)-S(G_1)\bigr]< \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon\,.\end{gathered}$

Итак, для любого $\varepsilon>0$ нашлись ступенчатые фигуры $H_1$ и $H_2$ такие, что $H_1\subset A\cup B\subset H_2$ , причем $S(H_2)-S(H_1)< \varepsilon$ . Поэтому фигура $C=A\cup B$ квадрируема.

Из неравенств $S(F_1)\leqslant S(A)\leqslant S(F_2)$ и $S(G_1)\leqslant S(B)\leqslant S(G_2)$ вытекает, что

$S(F_1)+S(G_1)\leqslant S(A)+S(B)\leqslant S(F_1)+S(F_2).$

С другой стороны, $S(H_1)\leqslant S(A\cup B)\leqslant S(H_2)$ , а потому в силу соотношений (2) и (3) имеем

$S(F_1)+S(G_1)\leqslant S(A\cup B)\leqslant S(F_2)+S(G_2).$

Мы видим, что числа $S(A)+S(B)$ и $S(A\cup B)$ разделяют одни и те же множества $\bigl\{S(F_1)+S(G_1)\bigr\},$ $\bigl\{S(F_2)+S(G_2)\bigr\}$ . При этом, как было показано, для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие $F_1,F_2,G_1,G_2$ , что

$\bigl[S(F_2)+S(G_2)\bigr]- \bigl[S(F_1)+S(G_1)\bigr]< \varepsilon\,.$

Поэтому указанные множества могут разделяться лишь одним числом. Это и доказывает соотношение (1).

Доказанное свойство называют аддитивностью площади.

Второе свойство площадей состоит в том, что площадь квадрируемой фигуры не изменяется при параллельном переносе. Это следует из того, что при этом переносе каждая внутренняя ступенчатая фигура для $A$ переходит во внутреннюю ступенчатую фигуру для образа фигуры $A$ , и то же самое верно для внешних ступенчатых фигур. Но это значит, что при параллельном переносе не изменяются ни множество $X_A$ , ни множество $Y_A$ , а потому неизменным остается и разделяющее их число, т. е. площадь фигуры.

Недостатком данного выше определения площади является то, что оно связано с выбором системы координат на плоскости. Мы доказали лишь, что площадь не изменяется (инвариантна) при параллельных переносах, но не доказали такого же утверждения относительно других перемещений (симметрии, поворотов и т. д.). Справедливо более общее утверждение:

2. Если фигура $A$ квадрируема и $A_1$ — конгруэнтная ей фигура, то $A_1$ тоже квадрируема, причем $S(A_1)= S(A)$ .

В курсе геометрии доказывают, что любое перемещение является композицией осевых симметрии. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая, когда $A_1$ получается из $A$ с помощью осевой симметрии.

Прямоугольники, параллельные оси симметрии

Рассмотрим сначала случай, когда $A$ — прямоугольник, одна из сторон которого параллельна оси симметрии $\ell$ (рис. 29). В этом случае образ $A_1$ этого прямоугольника может быть получен из $A$ не только с помощью осевой симметрии, но и с помощью параллельного переноса. Поэтому $S(A)=S(A_1)$ . Но любую квадрируемую фигуру можно с любой степенью точности заменить фигурой, состоящей из прямоугольников, одна из сторон которых параллельна оси симметрии. Применяя доказанное утверждение для каждого из этих прямоугольников и складывая полученные равенства, убеждаемся, что равенство $S(A)=S(A_1)$ верно для любых квадрируемых фигур.

Мы доказали, что в классе квадрируемых фигур площадь обладает следующими свойствами:

1°. Для любой фигуры $F$ ее площадь $S(F)$ — неотрицательное число (неотрицательность площади).

2°. Площади конгруэнтных фигур равны (инвариантность площади относительно перемещений).

3°. Если фигуры $F$ и $G$ не имеют общих внутренних точек, то

$S(F\cup G)=S(F)+S(G)$ (аддитивность площади).

4°. Площадь единичного квадрата равна единице (условие нормировки).

Можно доказать, что условия 1°–4° однозначно определяют площадь в классе квадрируемых фигур. Это позволяет понятию площади дать аксиоматическое определение, сказав, что на совокупности фигур $M$ определено понятие площади, если на $M$ задана числовая функция $S(F)$ , удовлетворяющая условиям 1°–4° (при этом, разумеется, требуется, чтобы совокупность $M$ вместе с двумя не налегающими друг на друга фигурами содержала их объединение).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]