Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Вычисление объемов тел с помощью интегралов

Вычисление объемов тел с помощью интегралов


Кубируемые тела


В этой лекции рассмотрим вопрос о вычислении объемов тел. Начнем с простейших тел — прямоугольных параллелепипедов.


Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Пусть A — допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины ребер которого равны a,b,c. Назовем число abc объемом этого параллелепипеда и обозначим его V(A)=abc. Очевидно, что если параллелепипед A разделен плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды B и C, то выполняется равенство


V(A)=V(B)+V(C).

Далее, если параллелепипед A' получается из параллелепипеда A параллельным переносом, то V(A')=V(A). Наконец, объем куба с длиной ребра 1 равен 1.


Мы хотим распространить понятие объема на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовем ступенчатым любое тело L, которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.


Пусть L=\bigcup\limits_{i=1}^{n}F_i — разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что V(L)=\sum_{i=1}^{n}V(F_i).. Это определение не зависит от того, каким способом тело L разложено на параллелепипеды.


Возьмем теперь любое тело T. Обозначим через X_T числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел, целиком содержащихся в T, а через Y_T — множество объемов ступенчатых тел, содержащих T:


X_T= \bigl\{V_{\text{in}}\bigr\} (внутренние ступенчатые тела),

Y_T= \bigl\{V_{\text{out}}\bigr\} (внешние ступенчатые тела),

Тогда числовое множество X_T лежит левее числового множества Y_T. В самом деле, если x\in X_T и y\in Y_T, то x=V(L_1), y=V(L_2), где L_1\subset T\subset L_2. Так как ступенчатое тело L_1 — часть ступенчатого тела L_2, то V(L_1)\leqslant V(L_2), а это и значит, что x\leqslant y.


Поскольку X_T лежит левее Y_T, то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если X_T и Y_T разделяются лишь одним числом, то тело T называют кубируемым, а число, разделяющее множества X_T и Y_T, — объемом этого тела. Его обозначают V(T).


Итак, объемом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество объемов ступенчатых тел, содержащихся в T, и множество объемов ступенчатых тел, содержащих T.


Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:


Для того чтобы тело T было аудируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого \varepsilon>0 нашлись ступенчатые тела L_1 и L_2 такие, что L_1\subset T\subset L_2 и V(L_2)-V(L_1)< \varepsilon.


Объем тел обладает свойством аддитивности: Если T_1 и T_2 — кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение T=T_1\cup T_2 также кубируемо, причем выполняется равенство


V(T)=V(T_1)+V(T_2).

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела T называется всякая точка, которая принадлежит телу T вместе с некоторой своей окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).


Далее очевидно, что если тело T кубируемо, а тело T_1 получается из T параллельным переносом, то тело T_1 также кубируемо, причем V(T_1)=V(T). Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело T_1 конгруэнтно кубируемому телу T, то T_1 кубируемо и V(T_1)=V(T').


Понятие объема можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°—4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условие нормировки.


Мы будем использовать в дальнейшем следующее достаточное условие кубируемости тела: Если для любого \varepsilon найдутся такие кубируемые тела T_1 и T_2, что T_1\subset T\subset T_2, причем V(T_2)-V(T_1)< \varepsilon, то тело T кубируемо.




Объем прямого цилиндрического тела


Пусть F — плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины h (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело L, которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием F и высотой h. Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру F^{\ast} конгруэнтную основанию F и параллельную ему.


В случае, когда F — прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же F — ступенчатая фигура, то L — ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры F на высоту тела:


V(L)=S(F)\cdot h\,.
(1)

Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:


Теорема 1. Если плоская фигура A квадрируема, то прямое цилиндрическое тело L с основанием A кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры A на высоту тела:


V(L)=S(A)\cdot h\,.

Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры A является координатной плоскостью Oxy. Так как по условию фигура A квадрируема, то для любого \varepsilon>0 найдутся ступенчатые фигуры F_1 и F_2 такие, что F_1\subset A\subset F_2, причем S(F_2)-S(F_1)< \frac{\varepsilon}{h}.


Построим ступенчатые тела L_1 и L_2 с высотой h и основаниями F_1 и F_2. Тогда имеем: L_1\subset L\subset L_2. При этом


V(L_2)-V(L_1)= S(F_2)h-S(F_1)h= h\bigl[S(F_2)-S(F_1)\bigr]< h\cdot \frac{\varepsilon}{h}= \varepsilon\,.

Таким образом, для любого \varepsilon>0 найдутся ступенчатые тела L_1 и L_2 такие, что


L_1\subset L\subset L_2,\qquad V(L_2)-V(L_1)<\varepsilon\,.

Поэтому тело L кубируемо. При этом, как мы видели, S(F_1)h<V(L)<S(F_2)h.


С другой стороны, из неравенств S(F_1)<S(A)<S(F_2) вытекает, что


S(F_1)\cdot h<S(A)\cdot h<S(F_2)\cdot h\,.

Мы видим, что числа V(L) и S(A)h разделяют одни и те же множества, а именно \bigl\{S(F_1)h\bigr\} и \bigl\{S(F_2)h\bigr\}, где, напомним, F_1 — ступенчатые фигуры, содержащиеся в A, a F_2 — ступенчатые фигуры, содержащие A. Но эти два множества, в силу квадрируемости A, разделяются лишь одним числом. Поэтому V(L)=S(A)h. Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур A.




Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений


В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объем тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.


Определение. Тело T назовем регулярным, если существует такая плоскость \Pi, что:


а) тело T лежит по одну сторону от этой плоскости;

б) все сечения тела T плоскостями, параллельными плоскости \Pi, квадрируемы;

в) площадь S(x) сечения Q(x), параллельного плоскости \Pi и отстоящего от нее на расстояние x, является непрерывной функцией от x;

г) если S(x_1)\leqslant S(x_2), то проекция сечения Q(x_2) на плоскость \Pi содержит проекцию сечения Q(x_2) на ту же плоскость.




Теорема 2. Если тело T регулярно, то оно кубируемо, причем его объем выражается формулой


V(T)= \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx\,.
(2)

Здесь S(x) — площадь сечения тела T плоскостью, параллельной плоскости \Pi и отстоящей от нее на расстояние x, нижний предел a — наименьшее из расстояний точек тела T от плоскости \Pi, верхний предел b — наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где a=0).


Площадь сечения тела T плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстоянии

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [a;b]: a=x_0<x_1< \ldots< x_n=b и на расстояниях x_0,x_1,\ldots,x_n проведем плоскости, параллельные плоскости \Pi. Данное тело T этими плоскостями разобьется на частичные "ломтики" T_0,T_1,\ldots,T_{n-1}.


Рассмотрим k-й частичный "ломтик". Его высота равна \Delta x_k=x_{k+1}-x_{k}. Так как функция y=S(x) непрерывна на отрезке [x_k;x_{k+1}], то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади сечения для этого «ломтика» обозначим s_k, а наибольшее S_k. Построим два прямых цилиндрических тела с основаниями s_k и S_k. В силу условия г) регулярности тела T цилиндрическое тело с основанием s_k лежит внутри частичного "ломтика", а цилиндрическое тело с основанием S_k целиком его содержит. Объем V_k внутреннего цилиндрического тела будет V_k=s_k\Delta x_k. Объем V_k внешнего цилиндрического тела будет V_k=S_k\Delta x_k.


Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела L_1 и L_2 такие, что L_1\subset T\subset L_2. Объем тела L_1 равен:


\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k, а объем тела L_2 равен \sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k.

Но \sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k и \sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx. Поэтому для любого \varepsilon>0 найдется такое разбиение отрезка [a;b], что


\sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k- \sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k< \varepsilon, то есть V(L_2)-V(L_1)<\varepsilon.

Отсюда следует, что тело T кубируемо. При этом объем тела V(T) удовлетворяет неравенствам


\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k\leqslant V(T)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k. Но, с другой стороны, \sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k\leqslant \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k\,..

Значит, числа V(T) и \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx разделяют одни и те же числовые множества \Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k\,\Biggr\},~ \Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k\,\Biggr\}. Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то


V(T)=\int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx\,, что и требовалось доказать.



Пример 1. Вычислить объем пирамиды, площадь основания которой равна S, а высота H (рис. 43).


Вычисление объема пирамиды, площадь основания которой равна S, а высота H

Решение. Так как \frac{S(x)}{S}=\frac{x^2}{H^2}, то S(x)=\frac{S}{H^2}\,x^2. Следовательно,


V= \int\limits_{0}^{H} \frac{S}{H^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{S}{H^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{H}= \frac{S}{H^2}\cdot \frac{H^3}{3}= \frac{1}{3}\,SH.

Пример 2. Вычислить объем шарового слоя, отсеченного от шара x^2+y^2+z^2=9 плоскостями x=1 и x=2.


Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке ху пересекает шар по кругу радиуса r=\sqrt{9-x^2}. Площадь сечения S(x)=\pi r^2=\pi(9-x^2) и, следовательно,


V= \pi\int\limits_{1}^{2} (9-x^2)\,dx= \left.{\pi\! \left(9x-\frac{x^3}{3}\right)}\right|_{1}^{2}= \frac{20}{3}\,\pi\,.



Принцип Кавальери


Из формулы (2) пункта 3 вытекает следующее утверждение, называемое принципом Кавальери.


Два кубируемых тела T_1 и T_2 (рис. 44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равные объемы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведенные на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.


Два кубируемых тела, ограниченные параллельными плоскостям

Доказательство. Обозначим через V_1 объем тела T_1, а через V_2 — объем тела T_2. Так как тела T_1 и T_2 кубируемы, то


V_1=\int\limits_{a}^{b}S_1(x)\,dx\,,\qquad V_2=\int\limits_{a}^{b}S_2(x)\,dx\,.

По условию S_1(x)=S_2(x), значит, и V_1=V_2.




Пример 3. Покажем, что объем полушара радиуса R равен разности объемов цилиндра, радиус основания и высота которого равны R, и конуса с радиусом основания R (рис. 45).


Объём полушара радиуса R и конуса с радиусом основания R

Рассмотрим полушар. Обозначим через S_1(x) площадь сечения, параллельного плоскости основания полушара, отстоящего от него на расстоянии x. Учитывая, что r^2=R^2-x^2, найдем


S_1(x)=\pi r^2=\pi (R^2-x^2)\,.

Обозначим через S_2(x) площадь сечения тела (цилиндр без конуса) плоскостью, параллельной основанию цилиндра и отстоящей от него на расстоянии x:


S_2(x)=\pi R^2-\pi\rho^2= \pi(R^2-\rho^2).

Из подобия треугольников OAB и OCD имеем: \frac{|AB|}{|CD|}= \frac{|AO|}{CO|} или \frac{R}{\rho}= \frac{R}{x}, откуда \rho=x. Следовательно, S_2(x)=\pi(R^2-x^2), а потому S_1(x)=S_2(x) и согласно принципу Кавальери объемы рассматриваемых тел равны.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved