Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Кубируемые тела
В этой лекции рассмотрим вопрос о вычислении объемов тел. Начнем с простейших тел — прямоугольных параллелепипедов.
Выберем в пространстве прямоугольную систему координат . Пусть — допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины ребер которого равны . Назовем число объемом этого параллелепипеда и обозначим его . Очевидно, что если параллелепипед разделен плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды и , то выполняется равенство
Далее, если параллелепипед получается из параллелепипеда параллельным переносом, то . Наконец, объем куба с длиной ребра 1 равен 1.
Мы хотим распространить понятие объема на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовем ступенчатым любое тело , которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.
Пусть — разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что . Это определение не зависит от того, каким способом тело разложено на параллелепипеды.
Возьмем теперь любое тело . Обозначим через числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел, целиком содержащихся в , а через — множество объемов ступенчатых тел, содержащих
(внутренние ступенчатые тела),
(внешние ступенчатые тела),
Тогда числовое множество лежит левее числового множества . В самом деле, если и , то , где . Так как ступенчатое тело — часть ступенчатого тела , то , а это и значит, что .
Поскольку лежит левее , то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если и разделяются лишь одним числом, то тело называют кубируемым, а число, разделяющее множества и , — объемом этого тела. Его обозначают .
Итак, объемом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество объемов ступенчатых тел, содержащихся в , и множество объемов ступенчатых тел, содержащих .
Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:
Для того чтобы тело было аудируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись ступенчатые тела и такие, что и .
Объем тел обладает свойством аддитивности: Если и — кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение также кубируемо, причем выполняется равенство
Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела называется всякая точка, которая принадлежит телу вместе с некоторой своей окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).
Далее очевидно, что если тело кубируемо, а тело получается из параллельным переносом, то тело также кубируемо, причем . Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело конгруэнтно кубируемому телу , то кубируемо и .
Понятие объема можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°—4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условие нормировки.
Мы будем использовать в дальнейшем следующее достаточное условие кубируемости тела: Если для любого найдутся такие кубируемые тела и , что , причем , то тело кубируемо.
Объем прямого цилиндрического тела
Пусть — плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело , которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием и высотой . Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру конгруэнтную основанию и параллельную ему.
В случае, когда — прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же — ступенчатая фигура, то — ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры на высоту тела:
(1)
Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Если плоская фигура квадрируема, то прямое цилиндрическое тело с основанием кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры на высоту тела:
Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры является координатной плоскостью . Так как по условию фигура квадрируема, то для любого найдутся ступенчатые фигуры и такие, что , причем .
Построим ступенчатые тела и с высотой и основаниями и . Тогда имеем: . При этом
Таким образом, для любого найдутся ступенчатые тела и такие, что
Поэтому тело кубируемо. При этом, как мы видели, .
С другой стороны, из неравенств вытекает, что
Мы видим, что числа и разделяют одни и те же множества, а именно и , где, напомним, — ступенчатые фигуры, содержащиеся в , a — ступенчатые фигуры, содержащие . Но эти два множества, в силу квадрируемости , разделяются лишь одним числом. Поэтому . Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур .
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объем тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.
Определение. Тело назовем регулярным, если существует такая плоскость , что:
а) тело лежит по одну сторону от этой плоскости; б) все сечения тела плоскостями, параллельными плоскости , квадрируемы; в) площадь сечения , параллельного плоскости и отстоящего от нее на расстояние , является непрерывной функцией от ; г) если , то проекция сечения на плоскость содержит проекцию сечения на ту же плоскость.
Теорема 2. Если тело регулярно, то оно кубируемо, причем его объем выражается формулой
(2)
Здесь — площадь сечения тела плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от нее на расстояние , нижний предел — наименьшее из расстояний точек тела от плоскости , верхний предел — наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где ).
Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка и на расстояниях проведем плоскости, параллельные плоскости . Данное тело этими плоскостями разобьется на частичные "ломтики" .
Рассмотрим k-й частичный "ломтик". Его высота равна . Так как функция непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади сечения для этого «ломтика» обозначим , а наибольшее . Построим два прямых цилиндрических тела с основаниями и . В силу условия г) регулярности тела цилиндрическое тело с основанием лежит внутри частичного "ломтика", а цилиндрическое тело с основанием целиком его содержит. Объем внутреннего цилиндрического тела будет . Объем внешнего цилиндрического тела будет .
Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела и такие, что . Объем тела равен:
Но и являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла . Поэтому для любого найдется такое разбиение отрезка , что
, то есть .
Отсюда следует, что тело кубируемо. При этом объем тела удовлетворяет неравенствам
. Но, с другой стороны, .
Значит, числа и разделяют одни и те же числовые множества . Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то
, что и требовалось доказать.
Пример 1. Вычислить объем пирамиды, площадь основания которой равна , а высота (рис. 43).
Решение. Так как , то . Следовательно,
Пример 2. Вычислить объем шарового слоя, отсеченного от шара плоскостями и .
Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке ху пересекает шар по кругу радиуса . Площадь сечения и, следовательно,
Принцип Кавальери
Из формулы (2) пункта 3 вытекает следующее утверждение, называемое принципом Кавальери.
Два кубируемых тела и (рис. 44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равные объемы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведенные на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.
Доказательство. Обозначим через объем тела , а через — объем тела . Так как тела и кубируемы, то
По условию , значит, и .
Пример 3. Покажем, что объем полушара радиуса равен разности объемов цилиндра, радиус основания и высота которого равны , и конуса с радиусом основания (рис. 45).
Рассмотрим полушар. Обозначим через площадь сечения, параллельного плоскости основания полушара, отстоящего от него на расстоянии . Учитывая, что , найдем
Обозначим через площадь сечения тела (цилиндр без конуса) плоскостью, параллельной основанию цилиндра и отстоящей от него на расстоянии
Из подобия треугольников и имеем: или , откуда . Следовательно, , а потому и согласно принципу Кавальери объемы рассматриваемых тел равны.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|