Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Вычисление объемов тел с помощью интегралов

Вычисление объемов тел с помощью интегралов


Кубируемые тела


В этой лекции рассмотрим вопрос о вычислении объемов тел. Начнем с простейших тел — прямоугольных параллелепипедов.


Выберем в пространстве прямоугольную систему координат [math]Oxyz[/math]. Пусть [math]A[/math] — допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины ребер которого равны [math]a,b,c[/math]. Назовем число [math]abc[/math] объемом этого параллелепипеда и обозначим его [math]V(A)=abc[/math]. Очевидно, что если параллелепипед [math]A[/math] разделен плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды [math]B[/math] и [math]C[/math], то выполняется равенство


[math]V(A)=V(B)+V(C).[/math]

Далее, если параллелепипед [math]A'[/math] получается из параллелепипеда [math]A[/math] параллельным переносом, то [math]V(A')=V(A)[/math]. Наконец, объем куба с длиной ребра 1 равен 1.


Мы хотим распространить понятие объема на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовем ступенчатым любое тело [math]L[/math], которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.


Пусть [math]L=\bigcup\limits_{i=1}^{n}F_i[/math] — разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что [math]V(L)=\sum_{i=1}^{n}V(F_i).[/math]. Это определение не зависит от того, каким способом тело [math]L[/math] разложено на параллелепипеды.


Возьмем теперь любое тело [math]T[/math]. Обозначим через [math]X_T[/math] числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел, целиком содержащихся в [math]T[/math], а через [math]Y_T[/math] — множество объемов ступенчатых тел, содержащих [math]T:[/math]


[math]X_T= \bigl\{V_{\text{in}}\bigr\}[/math] (внутренние ступенчатые тела),

[math]Y_T= \bigl\{V_{\text{out}}\bigr\}[/math] (внешние ступенчатые тела),

Тогда числовое множество [math]X_T[/math] лежит левее числового множества [math]Y_T[/math]. В самом деле, если [math]x\in X_T[/math] и [math]y\in Y_T[/math], то [math]x=V(L_1),[/math] [math]y=V(L_2)[/math], где [math]L_1\subset T\subset L_2[/math]. Так как ступенчатое тело [math]L_1[/math] — часть ступенчатого тела [math]L_2[/math], то [math]V(L_1)\leqslant V(L_2)[/math], а это и значит, что [math]x\leqslant y[/math].


Поскольку [math]X_T[/math] лежит левее [math]Y_T[/math], то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если [math]X_T[/math] и [math]Y_T[/math] разделяются лишь одним числом, то тело [math]T[/math] называют кубируемым, а число, разделяющее множества [math]X_T[/math] и [math]Y_T[/math], — объемом этого тела. Его обозначают [math]V(T)[/math].


Итак, объемом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество объемов ступенчатых тел, содержащихся в [math]T[/math], и множество объемов ступенчатых тел, содержащих [math]T[/math].


Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:


Для того чтобы тело [math]T[/math] было аудируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого [math]\varepsilon>0[/math] нашлись ступенчатые тела [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] такие, что [math]L_1\subset T\subset L_2[/math] и [math]V(L_2)-V(L_1)< \varepsilon[/math].


Объем тел обладает свойством аддитивности: Если [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] — кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение [math]T=T_1\cup T_2[/math] также кубируемо, причем выполняется равенство


[math]V(T)=V(T_1)+V(T_2).[/math]

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела [math]T[/math] называется всякая точка, которая принадлежит телу [math]T[/math] вместе с некоторой своей окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).


Далее очевидно, что если тело [math]T[/math] кубируемо, а тело [math]T_1[/math] получается из [math]T[/math] параллельным переносом, то тело [math]T_1[/math] также кубируемо, причем [math]V(T_1)=V(T)[/math]. Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело [math]T_1[/math] конгруэнтно кубируемому телу [math]T[/math], то [math]T_1[/math] кубируемо и [math]V(T_1)=V(T')[/math].


Понятие объема можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°—4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условие нормировки.


Мы будем использовать в дальнейшем следующее достаточное условие кубируемости тела: Если для любого [math]\varepsilon[/math] найдутся такие кубируемые тела [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math], что [math]T_1\subset T\subset T_2[/math], причем [math]V(T_2)-V(T_1)< \varepsilon[/math], то тело [math]T[/math] кубируемо.




Объем прямого цилиндрического тела


Пусть [math]F[/math] — плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины [math]h[/math] (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело [math]L[/math], которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием [math]F[/math] и высотой [math]h[/math]. Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру [math]F^{\ast}[/math] конгруэнтную основанию [math]F[/math] и параллельную ему.


В случае, когда [math]F[/math] — прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же [math]F[/math] — ступенчатая фигура, то [math]L[/math] — ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры [math]F[/math] на высоту тела:


[math]V(L)=S(F)\cdot h\,.[/math]
(1)

Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:


Теорема 1. Если плоская фигура [math]A[/math] квадрируема, то прямое цилиндрическое тело [math]L[/math] с основанием [math]A[/math] кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры [math]A[/math] на высоту тела:[/b]


[math]V(L)=S(A)\cdot h\,.[/math]

Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры [math]A[/math] является координатной плоскостью [math]Oxy[/math]. Так как по условию фигура [math]A[/math] квадрируема, то для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдутся ступенчатые фигуры [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math] такие, что [math]F_1\subset A\subset F_2[/math], причем [math]S(F_2)-S(F_1)< \frac{\varepsilon}{h}[/math].


Построим ступенчатые тела [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] с высотой [math]h[/math] и основаниями [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math]. Тогда имеем: [math]L_1\subset L\subset L_2[/math]. При этом


[math]V(L_2)-V(L_1)= S(F_2)h-S(F_1)h= h\bigl[S(F_2)-S(F_1)\bigr]< h\cdot \frac{\varepsilon}{h}= \varepsilon\,.[/math]

Таким образом, для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдутся ступенчатые тела [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] такие, что


[math]L_1\subset L\subset L_2,\qquad V(L_2)-V(L_1)<\varepsilon\,.[/math]

Поэтому тело [math]L[/math] кубируемо. При этом, как мы видели, [math]S(F_1)h<V(L)<S(F_2)h[/math].


С другой стороны, из неравенств [math]S(F_1)<S(A)<S(F_2)[/math] вытекает, что


[math]S(F_1)\cdot h<S(A)\cdot h<S(F_2)\cdot h\,.[/math]

Мы видим, что числа [math]V(L)[/math] и [math]S(A)h[/math] разделяют одни и те же множества, а именно [math]\bigl\{S(F_1)h\bigr\}[/math] и [math]\bigl\{S(F_2)h\bigr\}[/math], где, напомним, [math]F_1[/math] — ступенчатые фигуры, содержащиеся в [math]A[/math], a [math]F_2[/math] — ступенчатые фигуры, содержащие [math]A[/math]. Но эти два множества, в силу квадрируемости [math]A[/math], разделяются лишь одним числом. Поэтому [math]V(L)=S(A)h[/math]. Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур [math]A[/math].




Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений


В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объем тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.


Определение. Тело [math]T[/math] назовем регулярным, если существует такая плоскость [math]\Pi[/math], что:


а) тело [math]T[/math] лежит по одну сторону от этой плоскости;

б) все сечения тела [math]T[/math] плоскостями, параллельными плоскости [math]\Pi[/math], квадрируемы;

в) площадь [math]S(x)[/math] сечения [math]Q(x)[/math], параллельного плоскости [math]\Pi[/math] и отстоящего от нее на расстояние [math]x[/math], является непрерывной функцией от [math]x[/math];

г) если [math]S(x_1)\leqslant S(x_2)[/math], то проекция сечения [math]Q(x_2)[/math] на плоскость [math]\Pi[/math] содержит проекцию сечения [math]Q(x_2)[/math] на ту же плоскость.




Теорема 2. [i]Если тело [math]T[/math] регулярно, то оно кубируемо, причем его объем выражается формулой


[math]V(T)= \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx\,.[/math]
(2)

Здесь [math]S(x)[/math] — площадь сечения тела [math]T[/math] плоскостью, параллельной плоскости [math]\Pi[/math] и отстоящей от нее на расстояние [math]x[/math], нижний предел [math]a[/math] — наименьшее из расстояний точек тела [math]T[/math] от плоскости [math]\Pi[/math], верхний предел [math]b[/math] — наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где [math]a=0[/math]).


Площадь сечения тела T плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстоянии

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [math][a;b]:[/math] [math]a=x_0<x_1< \ldots< x_n=b[/math] и на расстояниях [math]x_0,x_1,\ldots,x_n[/math] проведем плоскости, параллельные плоскости [math]\Pi[/math]. Данное тело [math]T[/math] этими плоскостями разобьется на частичные "ломтики" [math]T_0,T_1,\ldots,T_{n-1}[/math].


Рассмотрим k-й частичный "ломтик". Его высота равна [math]\Delta x_k=x_{k+1}-x_{k}[/math]. Так как функция [math]y=S(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][x_k;x_{k+1}][/math], то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади сечения для этого «ломтика» обозначим [math]s_k[/math], а наибольшее [math]S_k[/math]. Построим два прямых цилиндрических тела с основаниями [math]s_k[/math] и [math]S_k[/math]. В силу условия г) регулярности тела [math]T[/math] цилиндрическое тело с основанием [math]s_k[/math] лежит внутри частичного "ломтика", а цилиндрическое тело с основанием [math]S_k[/math] целиком его содержит. Объем [math]V_k[/math] внутреннего цилиндрического тела будет [math]V_k=s_k\Delta x_k[/math]. Объем [math]V_k[/math] внешнего цилиндрического тела будет [math]V_k=S_k\Delta x_k[/math].


Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] такие, что [math]L_1\subset T\subset L_2[/math]. Объем тела [math]L_1[/math] равен:


[math]\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k[/math], а объем тела [math]L_2[/math] равен [math]\sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k[/math].

Но [math]\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k[/math] и [math]\sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k[/math] являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла [math]\int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx[/math]. Поэтому для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдется такое разбиение отрезка [math][a;b][/math], что


[math]\sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k- \sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k< \varepsilon[/math], то есть [math]V(L_2)-V(L_1)<\varepsilon[/math].

Отсюда следует, что тело [math]T[/math] кубируемо. При этом объем тела [math]V(T)[/math] удовлетворяет неравенствам


[math]\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k\leqslant V(T)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k[/math]. Но, с другой стороны, [math]\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k\leqslant \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k\,.[/math].

Значит, числа [math]V(T)[/math] и [math]\int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx[/math] разделяют одни и те же числовые множества [math]\Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1} s_k\Delta x_k\,\Biggr\},~ \Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1} S_k\Delta x_k\,\Biggr\}[/math]. Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то


[math]V(T)=\int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx\,[/math], что и требовалось доказать.



Пример 1. Вычислить объем пирамиды, площадь основания которой равна [math]S[/math], а высота [math]H[/math] (рис. 43).


Вычисление объема пирамиды, площадь основания которой равна S, а высота H

Решение. Так как [math]\frac{S(x)}{S}=\frac{x^2}{H^2}[/math], то [math]S(x)=\frac{S}{H^2}\,x^2[/math]. Следовательно,


[math]V= \int\limits_{0}^{H} \frac{S}{H^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{S}{H^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{H}= \frac{S}{H^2}\cdot \frac{H^3}{3}= \frac{1}{3}\,SH.[/math]

Пример 2. Вычислить объем шарового слоя, отсеченного от шара [math]x^2+y^2+z^2=9[/math] плоскостями [math]x=1[/math] и [math]x=2[/math].


Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке ху пересекает шар по кругу радиуса [math]r=\sqrt{9-x^2}[/math]. Площадь сечения [math]S(x)=\pi r^2=\pi(9-x^2)[/math] и, следовательно,


[math]V= \pi\int\limits_{1}^{2} (9-x^2)\,dx= \left.{\pi\! \left(9x-\frac{x^3}{3}\right)}\right|_{1}^{2}= \frac{20}{3}\,\pi\,.[/math]



Принцип Кавальери


Из формулы (2) пункта 3 вытекает следующее утверждение, называемое принципом Кавальери.


Два кубируемых тела [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] (рис. 44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равные объемы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведенные на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.


Два кубируемых тела, ограниченные параллельными плоскостям

Доказательство. Обозначим через [math]V_1[/math] объем тела [math]T_1[/math], а через [math]V_2[/math] — объем тела [math]T_2[/math]. Так как тела [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] кубируемы, то


[math]V_1=\int\limits_{a}^{b}S_1(x)\,dx\,,\qquad V_2=\int\limits_{a}^{b}S_2(x)\,dx\,.[/math]

По условию [math]S_1(x)=S_2(x)[/math], значит, и [math]V_1=V_2[/math].




Пример 3. Покажем, что объем полушара радиуса [math]R[/math] равен разности объемов цилиндра, радиус основания и высота которого равны [math]R[/math], и конуса с радиусом основания [math]R[/math] (рис. 45).


Объём полушара радиуса R и конуса с радиусом основания R

Рассмотрим полушар. Обозначим через [math]S_1(x)[/math] площадь сечения, параллельного плоскости основания полушара, отстоящего от него на расстоянии [math]x[/math]. Учитывая, что [math]r^2=R^2-x^2[/math], найдем


[math]S_1(x)=\pi r^2=\pi (R^2-x^2)\,.[/math]

Обозначим через [math]S_2(x)[/math] площадь сечения тела (цилиндр без конуса) плоскостью, параллельной основанию цилиндра и отстоящей от него на расстоянии [math]x:[/math]


[math]S_2(x)=\pi R^2-\pi\rho^2= \pi(R^2-\rho^2).[/math]

Из подобия треугольников [math]OAB[/math] и [math]OCD[/math] имеем: [math]\frac{|AB|}{|CD|}= \frac{|AO|}{CO|}[/math] или [math]\frac{R}{\rho}= \frac{R}{x}[/math], откуда [math]\rho=x[/math]. Следовательно, [math]S_2(x)=\pi(R^2-x^2)[/math], а потому [math]S_1(x)=S_2(x)[/math] и согласно принципу Кавальери объемы рассматриваемых тел равны.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved