Вычисление моментов инерции
Моменты инерции материальной кривой
Моментом инерции материальной точки относительно оси называется число , где — масса точки, а — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.
Пусть — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине , а момент инерции такого участка относительно оси абсцисс равен . Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:
 . Так же доказывается, что  и  ,
где — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что .
Если линия задана параметрическими уравнениями , то
Аналогичные формулы справедливы для и 
Моменты инерции криволинейной трапеции
Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами и относительно стороны . Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами и (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна . Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно стороны равен , а момент инерции всего прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой
Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами и . Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой . Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:
Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой
(момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен ).
Полярный момент инерции (т. е. момент относительно начала координат) в этом случае выражается формулой
Пример 9. Вычислить момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.
Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.
 Пусть основание треугольника , высота . Прямая проходит через точки и . Ее уравнение , то есть .
Ясно, что момент инерции треугольника относительно оси равен удвоенному моменту инерции треугольника относительно той же оси. Значит,
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|