Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Вычисление моментов инерции

Вычисление моментов инерции


Моменты инерции материальной кривой


Моментом инерции материальной точки A относительно оси \ell называется число md^2, где m — масса точки, а d — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.


Пусть \Gamma — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине d\ell, а момент инерции d\ell_x такого участка относительно оси абсцисс равен y^2\,d\ell. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:


I_x=\int\limits_{0}^{\ell} y^2\,d\ell. Так же доказывается, что I_y= \int\limits_{0}^{\ell} x^2\,d\ell и I_0=\int\limits_{0}^{\ell} \bigl(x^2+y^2\bigr)d\ell,

где I_0 — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что I_0=I_x+I_y.


Если линия \Gamma задана параметрическими уравнениями \begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant \ell, то


I_x=\int\limits_{0}^{\ell} \psi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.

Аналогичные формулы справедливы для I_y и I_0:


I_y=\int\limits_{0}^{\ell} \varphi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,;\qquad I_0=\int\limits_{0}^{\ell} \bigl(\varphi^2(t)+\psi^2(t)\bigr)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,



Моменты инерции криволинейной трапеции


Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами k и \ell относительно стороны k. Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами k и dy (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна k\,dy. Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно стороны k равен ky^2\,dy, а момент инерции всего прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой


\int\limits_{0}^{\ell} ky^2\,dy= \left.{\frac{k}{3}\,y^3}\right|_{0}^{\ell}= \frac{k\ell^2}{3}\,.

Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами |y| и dx. Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой \frac{|y|^3}{3}\,dx= \frac{|y|y^2}{3}\,dx. Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:


I_x=\frac{1}{3} \int\limits_{a}^{b} |y|y^2\,dx\,.

Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой


I_y= \int\limits_{a}^{b} |y|x^2\,dx

(момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен x^2|y|\,dx).


Полярный момент инерции (т. е. момент относительно начала координат) в этом случае выражается формулой


I_0= \int\limits_{a}^{b} |y|\! \left(x^2+\frac{1}{3}\,y^2\right)\!dx\,.



Пример 9. Вычислить момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.


Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.


Чертёж равнобедренного треугольника на плоскости

Пусть основание треугольника |AC|=b, высота |BO|=h. Прямая (BC) проходит через точки B(0;h) и C\! \left(\frac{b}{2}; 0\right). Ее уравнение \frac{x-0}{b/2-0}= \frac{y-h}{0-h}, то есть y=\frac{h}{b}(b-2x).


Ясно, что момент инерции I_x треугольника ABC относительно оси Ox равен удвоенному моменту инерции треугольника BOC относительно той же оси. Значит,


I_x=\frac{2}{3} \int\limits_{0}^{b/2} y^3\,dx= \frac{2}{3} \int\limits_{0}^{b/2} \frac{h^3}{b^3}(b-2x)^3\,dx= \left.{\frac{2h^3}{3b^3\cdot 4(-2)}(b-2x)^4}\right|_{0}^{b/2}= \frac{bh^3}{12}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved