Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Вычисление моментов инерции

Вычисление моментов инерции


Моменты инерции материальной кривой


Моментом инерции материальной точки [math]A[/math] относительно оси [math]\ell[/math] называется число [math]md^2[/math], где [math]m[/math] — масса точки, а [math]d[/math] — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.


Пусть [math]\Gamma[/math] — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине [math]d\ell[/math], а момент инерции [math]d\ell_x[/math] такого участка относительно оси абсцисс равен [math]y^2\,d\ell[/math]. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:


[math]I_x=\int\limits_{0}^{\ell} y^2\,d\ell[/math]. Так же доказывается, что [math]I_y= \int\limits_{0}^{\ell} x^2\,d\ell[/math] и [math]I_0=\int\limits_{0}^{\ell} \bigl(x^2+y^2\bigr)d\ell[/math],

где [math]I_0[/math] — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что [math]I_0=I_x+I_y[/math].


Если линия [math]\Gamma[/math] задана параметрическими уравнениями [math]\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant \ell[/math], то


[math]I_x=\int\limits_{0}^{\ell} \psi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.[/math]

Аналогичные формулы справедливы для [math]I_y[/math] и [math]I_0:[/math]


[math]I_y=\int\limits_{0}^{\ell} \varphi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,;\qquad I_0=\int\limits_{0}^{\ell} \bigl(\varphi^2(t)+\psi^2(t)\bigr)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,[/math]



Моменты инерции криволинейной трапеции


Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами [math]k[/math] и [math]\ell[/math] относительно стороны [math]k[/math]. Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами [math]k[/math] и [math]dy[/math] (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна [math]k\,dy[/math]. Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно стороны [math]k[/math] равен [math]ky^2\,dy[/math], а момент инерции всего прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой


[math]\int\limits_{0}^{\ell} ky^2\,dy= \left.{\frac{k}{3}\,y^3}\right|_{0}^{\ell}= \frac{k\ell^2}{3}\,.[/math]

Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами [math]|y|[/math] и [math]dx[/math]. Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой [math]\frac{|y|^3}{3}\,dx= \frac{|y|y^2}{3}\,dx[/math]. Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:


[math]I_x=\frac{1}{3} \int\limits_{a}^{b} |y|y^2\,dx\,.[/math]

Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой


[math]I_y= \int\limits_{a}^{b} |y|x^2\,dx[/math]

(момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен [math]x^2|y|\,dx[/math]).


Полярный момент инерции (т. е. момент относительно начала координат) в этом случае выражается формулой


[math]I_0= \int\limits_{a}^{b} |y|\! \left(x^2+\frac{1}{3}\,y^2\right)\!dx\,.[/math]



Пример 9. Вычислить момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.


Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.


Чертёж равнобедренного треугольника на плоскости

Пусть основание треугольника [math]|AC|=b[/math], высота [math]|BO|=h[/math]. Прямая [math](BC)[/math] проходит через точки [math]B(0;h)[/math] и [math]C\! \left(\frac{b}{2}; 0\right)[/math]. Ее уравнение [math]\frac{x-0}{b/2-0}= \frac{y-h}{0-h}[/math], то есть [math]y=\frac{h}{b}(b-2x)[/math].


Ясно, что момент инерции [math]I_x[/math] треугольника [math]ABC[/math] относительно оси [math]Ox[/math] равен удвоенному моменту инерции треугольника [math]BOC[/math] относительно той же оси. Значит,


[math]I_x=\frac{2}{3} \int\limits_{0}^{b/2} y^3\,dx= \frac{2}{3} \int\limits_{0}^{b/2} \frac{h^3}{b^3}(b-2x)^3\,dx= \left.{\frac{2h^3}{3b^3\cdot 4(-2)}(b-2x)^4}\right|_{0}^{b/2}= \frac{bh^3}{12}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved