Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Вычисление длин дуг кривых

Вычисление длин дуг кривых


Понятие спрямляемой кривой


В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин отрезков прямой, длины окружности, а также различных ее частей. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.


В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.


Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая [math]\Gamma:[/math]


[math]\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} a\leqslant t\leqslant b.[/math]
(1)

Напомним, что функции [math]x=\varphi(t)[/math] и [math]y=\psi(t)[/math] непрерывны на отрезке. Разобьем отрезок [math][a;b][/math] на части числами


[math]t_0,t_1,\ldots,t_n\colon~ a=t_0< t_1<\ldots< t_n=b.[/math]

Каждому числу [math]t[/math] соответствует точка [math]M_k\bigl(\varphi(t_k),\psi(t_k)\bigr)[/math] кривой [math]\Gamma[/math]. Проводя отрезки [math]M_0,M_1,\ldots,M_{n-1},M_n[/math], получим ломаную линию [math]\gamma[/math], вписанную в кривую [math]\Gamma[/math]. Обозначим ее длину через [math]\ell(\gamma)[/math].


Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество [math]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/math] длин вписанных в эту кривую ломаных у ограничено сверху. Точная верхняя граница множества [math]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/math] называется длиной кривой [math]\Gamma[/math] и обозначается [math]\ell(\Gamma):[/math]


[math]\ell(\Gamma)= \sup\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}.[/math]
(2)

Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.


Пусть жорданова кривая [math]\Gamma[/math] разбита на кривые [math]\Gamma_1[/math] и [math]\Gamma_2[/math]. Если эти кривые спрямляемы, то кривая [math]\Gamma[/math] спрямляема, причем [math]\ell(\Gamma)= \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)[/math].


В самом деле, пусть [math]\gamma[/math] — любая ломаная, вписанная в кривую [math]\Gamma[/math], и пусть [math]M[/math] —точка, разбивающая [math]\Gamma[/math] на [math]\Gamma_1[/math] и [math]\Gamma_2[/math]. Добавляя эту точку к вершинам ломаной [math]\gamma[/math], получим ломаную [math]\gamma'[/math], длина которой не меньше длины ломаной [math]\gamma,~ \ell(\gamma')\geqslant \ell(\gamma)[/math]. Но ломаная [math]\gamma'[/math] состоит из двух частей [math]\Gamma'_1[/math] и [math]\gamma'_2[/math], вписанных соответственно в кривые [math]\Gamma_1[/math] и [math]\Gamma_2[/math], причем [math]\ell(\gamma'_1)\leqslant \ell(\Gamma_1)[/math] и [math]\ell(\gamma'_2)\leqslant \ell(\Gamma_2)[/math]. Поэтому


[math]\ell(\gamma)\leqslant \ell(\gamma')= \ell(\gamma'_1)+ \ell(\gamma'_2)\leqslant \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2).[/math]

Это неравенство показывает, что число [math]\ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)[/math] является одной из верхних границ для множества [math]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/math] длин ломаных, вписанных в кривую [math]\Gamma[/math]. Но для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдутся ломаные [math]\gamma_1[/math] и [math]\gamma_2[/math], вписанные в [math]\Gamma_1[/math] и [math]\Gamma_2[/math], такие, что


[math]\ell(\gamma_1)> \ell(\Gamma_1)- \frac{\varepsilon}{2}\,,\qquad \ell(\gamma_2)> \ell(\Gamma_2)- \frac{\varepsilon}{2}\,.[/math]

Объединяя [math]\gamma_1[/math] и [math]\gamma_2[/math], получаем ломаную [math]\gamma[/math], вписанную в [math]\Gamma[/math] и такую, что


[math]\ell(\gamma)> \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)- \varepsilon\,.[/math]

А это и значит, что [math]\ell(\Gamma)= \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2).[/math] — точная верхняя граница множества {/ (y)}, т. е. ' (Г) = / (Гх) + / (Г2).




Достаточное условие спрямляемости кривой


Приращение кривой на интервале

Назовем жорданову кривую [math]\Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases}a\leqslant t\leqslant b[/math], регулярной, если функции [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math] имеют на отрезке [math][a;b][/math] непрерывные производные. Справедлива следующая теорема.


Теорема 1. Всякая регулярная жорданова кривая [math]\Gamma[/math] спрямляема.


Доказательство. Разобьем отрезок [math][a;b][/math] на части точками [math]a=t_0< t_1<\ldots<t_n=b[/math] и впишем в кривую [math]\Gamma[/math] ломаную, соответствующую этому разбиению. Рассмотрим одно звено [math]M_kM_{k+1}[/math] этой ломаной, [math]M_k\bigl(\varphi(t_k),\psi(t_k)\bigr),[/math] [math]M_{k+1}\bigl(\varphi(t_{k+1}), \psi(t_{k+1})\bigr),[/math] (рис. 49). Длина этого звена равна


[math]\ell_k=\bigl|M_kM_{k+1}\bigr|= \sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}= \sqrt{\bigl[\varphi(t_{k+1})-\varpgi(t_k)\bigr]^2+ \bigl[\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr]^2}\,.[/math]

Но по теореме Лагранжа найдутся такие [math]c_k[/math] и [math]c_{k}^{\ast}[/math], что


[math]\begin{aligned}\varphi(t_{k+1})- \varphi(t_k)&= \varphi'(c_k)\cdot (t_{k+1}-t_k)= \varphi'(c_k)\cdot\Delta t_k\,,\\ \psi(t_{k+1})- \psi(t_k)&= \psi'(c_{k}^{\ast})\cdot (t_{k+1}-t_k)= \psi'(c_{k}^{\ast})\cdot\Delta t_k\,. \end{aligned}[/math]

и поэтому [math]\ell_k= \sqrt{\bigl(\varphi'(c_k)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr)^2}\cdot\Delta t_k[/math].


Значит, длина всей ломаной [math]\ell_{\text{lom}}[/math] выражается формулой


[math]\ell_{\text{lom}}= \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\bigl(\varphi'(c_k)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr)^2}\cdot\Delta t_k\,.[/math]
(3)

По условию производные [math]\varphi'(t)[/math] и [math]\psi'(t)[/math] непрерывны на отрезке [math][a;b][/math]. Поэтому для [math]\bigl|\varphi'(t)\bigr|[/math] и [math]\bigl|\psi'(t)\bigr|[/math] на отрезке [math][a;b][/math] есть наибольшие значения. Обозначим их [math]A[/math] и [math]B:[/math]


[math]A=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\bigl|\varphi'(t)\bigr|,\qquad B=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\bigl|\psi'(t)\bigr|.[/math]

Но тогда [math]\bigl|\varphi'(c_k)\bigr|\leqslant A,~ \bigl|\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr|\leqslant B[/math], а потому в силу (3)


[math]\ell_{\text{lom}}\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{A^2+B^2}\Delta t_k= \sqrt{A^2+B^2} \sum_{k=0}^{n-1}\Delta t_k\,.[/math]

Поскольку [math]\sum_{k=0}^{n-1}\Delta t_k=b-a[/math], то для всех ломаных, вписанных в кривую [math]\Gamma[/math],


[math]\ell_{\text{lom}}\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot (b-a).[/math]
(4)

Поэтому кривая [math]\Gamma[/math] спрямляема.


Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:


[math]\ell_{\text{lom}}\geqslant \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot (b-a).[/math]
(5)

где [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] — наименьшие значения для [math]\bigl|\varphi'(t) \bigr|[/math] и [math]\bigl|\psi'(t)\bigr|[/math] на отрезке [math][a;b][/math].


Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой [math]\ell_{\text{kr}}:[/math]


[math]\ell_{\text{kr}}\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot (b-a),[/math]
(6)

[math]\ell_{\text{kr}}\geqslant \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot (b-a).[/math]
(7)

Неравенство (7) следует из неравенства (5) и из того, что [math]\ell_{\text{kr}}\geqslant \ell_{\text{lom}}[/math]. Чтобы доказать неравенство (6), заметим, что в силу неравенства (4) [math]\sqrt{A^2+B^2}(b-a)[/math] является одной из верхних границ для длин вписанных в [math]\Gamma[/math] ломаных, число же [math]\ell_{\text{kr}}[/math] — точная верхняя граница для этих длин, т. е. наименьшая из верхних границ. Отсюда и следует неравенство (6).




Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой


Данное ранее условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома). Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.


Рассмотрим функцию [math]y=f(x)[/math], определенную на отрезке [math][a;b][/math], и произвольное разбиение [math]P[/math] этого отрезка:


[math]a=x_0<x_1< x_2<\ldots<x_n=b.[/math]

Для каждого частичного промежутка [math][x_k;x_{k+1}][/math] разбиения [math]P[/math] образуем разность [math]\bigl(f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr)[/math] — приращение функции на этом промежутке. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Заменим все эти разности их модулями и сложим их. Получим сумму


[math]V_{a,p}^{b}(f)= \sum_{k=0}^{n=1}\bigl|f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr|.[/math]

Полученная сумма называется изменением функции [math]y=f(x)[/math], соответствующим разбиению [math]P[/math] отрезка [math][a;b][/math].


Рассмотрим множество [math]\bigl\{V_{a,p}^{b}(f)\bigr\}[/math] изменений функции [math]y=f(x),~ a \leqslant x \leqslant b[/math], соответствующих всевозможным разбиениям отрезка [math][a;b][/math]. Если это множество ограничено сверху, то говорят, что функция [math]y=f(x)[/math] имеет ограниченное изменение на отрезке [math][a;b][/math], а точную верхнюю границу этого множества называют изменением функции [math]t=f(x)[/math] на отрезке [math][a;b][/math] и обозначают [math]V_{a}^{b}(f)[/math]. Таким образом,


[math]V_{a}^{b}(f)= \sup_{P}\bigl\{V_{a,p}^{b}(f)\bigr\}.[/math]

Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.




Теорема 3. Для того чтобы жорданова кривая [math]\Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} a \leqslant t \leqslant b[/math] спрямляемой, необходимой достаточно, чтобы непрерывные функции [math]x=\varphi(t)[/math] и [math]y=\psi(t)[/math] имели ограниченное изменение на отрезке [math][a;b][/math].


Приращение дуги кривой

Доказательство. Покажем сначала, что ограниченность изменения функций [math]x=\varphi(t)[/math] и [math]y=\psi(t)[/math] на отрезке [math][a;b][/math] является необходимым условием спрямляемости кривой [math]\Gamma[/math]. В самом деле, если кривая [math]\Gamma[/math] спрямляема, то множество [math]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/math] длин вписанных в нее ломаных ограничено сверху некоторым числом [math]M[/math]. Это означает, что для любой вписанной в [math]\Gamma[/math] ломаной имеем:


[math]\ell(\gamma)= \sum_{k=0}^{n-1} \ell_k\leqslant M.[/math]

Но из рисунка 54 видно, что [math]\ell_k \geqslant |x_{k+1}-x_k|[/math] и [math]\ell_k \geqslant |y_{k+1}-y_k|[/math], а потому


[math]\ell(\gamma) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr|,\qquad \ell(\gamma) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|y_{k+1}-y_k\bigr|.[/math]

Эти неравенства можно переписать следующим образом:


[math]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr| \leqslant \ell(\gamma) \leqslant M,\qquad \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr| \leqslant \ell(\gamma) \leqslant M.[/math]

Они показывают, что для любого разбиения [math]P[/math] отрезка [math][a;b][/math] имеем [math]V_{a,P}^{b}(\varphi) \leqslant M[/math] и [math]V_{a,P}^{b}(\psi) \leqslant M[/math], т. е. функции [math]x=\varphi(t)[/math] и [math]y=\psi(t)[/math] имеют ограниченное изменение на отрезке [math][a;b][/math].


Теперь докажем, что если функции [math]x=\varphi(t)[/math] и [math]y=\psi(t)[/math] имеют ограниченное изменение на отрезке [math][a;b][/math], то кривая [math]\Gamma[/math] спрямляема на этом отрезке. В самом деле, в этом случае существует такое число [math]M[/math], что


[math]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr| \leqslant M,\qquad \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr| \leqslant M.[/math]

Иными словами, [math]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr| \leqslant M[/math] и [math]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|y_{k+1}-y_k\bigr| \leqslant M[/math]. Но из рисунка 54 видно, что


[math]\ell_k \leqslant \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|+ \bigl|y_{k+1}-y_{k}\bigr|.[/math]

Поэтому для любой ломаной [math]\gamma[/math], вписанной в кривую [math]\Gamma[/math], имеем:


[math]\ell(\gamma)= \sum_{k=0}^{n-1}\ell_{k} \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|+ \bigl|y_{k+1}-y_{k}\bigr|\Bigr) \leqslant 2M.[/math]

Значит, множество [math]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/math] ограничено сверху числом [math]2M[/math], и потому кривая [math]\Gamma[/math] спрямляема.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved