Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Вычисление длин дуг кривых

Вычисление длин дуг кривых


Понятие спрямляемой кривой


В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин отрезков прямой, длины окружности, а также различных ее частей. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.


В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.


Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая \Gamma:


\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} a\leqslant t\leqslant b.
(1)

Напомним, что функции x=\varphi(t) и y=\psi(t) непрерывны на отрезке. Разобьем отрезок [a;b] на части числами


t_0,t_1,\ldots,t_n\colon~ a=t_0< t_1<\ldots< t_n=b.

Каждому числу t соответствует точка M_k\bigl(\varphi(t_k),\psi(t_k)\bigr) кривой \Gamma. Проводя отрезки M_0,M_1,\ldots,M_{n-1},M_n, получим ломаную линию \gamma, вписанную в кривую \Gamma. Обозначим ее длину через \ell(\gamma).


Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество \bigl\{\ell(\gamma)\bigr\} длин вписанных в эту кривую ломаных у ограничено сверху. Точная верхняя граница множества \bigl\{\ell(\gamma)\bigr\} называется длиной кривой \Gamma и обозначается \ell(\Gamma):


\ell(\Gamma)= \sup\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}.
(2)

Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.


Пусть жорданова кривая \Gamma разбита на кривые \Gamma_1 и \Gamma_2. Если эти кривые спрямляемы, то кривая \Gamma спрямляема, причем \ell(\Gamma)= \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2).


В самом деле, пусть \gamma — любая ломаная, вписанная в кривую \Gamma, и пусть M —точка, разбивающая \Gamma на \Gamma_1 и \Gamma_2. Добавляя эту точку к вершинам ломаной \gamma, получим ломаную \gamma', длина которой не меньше длины ломаной \gamma,~ \ell(\gamma')\geqslant \ell(\gamma). Но ломаная \gamma' состоит из двух частей \Gamma'_1 и \gamma'_2, вписанных соответственно в кривые \Gamma_1 и \Gamma_2, причем \ell(\gamma'_1)\leqslant \ell(\Gamma_1) и \ell(\gamma'_2)\leqslant \ell(\Gamma_2). Поэтому


\ell(\gamma)\leqslant \ell(\gamma')= \ell(\gamma'_1)+ \ell(\gamma'_2)\leqslant \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2).

Это неравенство показывает, что число \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2) является одной из верхних границ для множества \bigl\{\ell(\gamma)\bigr\} длин ломаных, вписанных в кривую \Gamma. Но для любого \varepsilon>0 найдутся ломаные \gamma_1 и \gamma_2, вписанные в \Gamma_1 и \Gamma_2, такие, что


\ell(\gamma_1)> \ell(\Gamma_1)- \frac{\varepsilon}{2}\,,\qquad \ell(\gamma_2)> \ell(\Gamma_2)- \frac{\varepsilon}{2}\,.

Объединяя \gamma_1 и \gamma_2, получаем ломаную \gamma, вписанную в \Gamma и такую, что


\ell(\gamma)> \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)- \varepsilon\,.

А это и значит, что \ell(\Gamma)= \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2). — точная верхняя граница множества {/ (y)}, т. е. ' (Г) = / (Гх) + / (Г2).




Достаточное условие спрямляемости кривой


Приращение кривой на интервале

Назовем жорданову кривую \Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases}a\leqslant t\leqslant b, регулярной, если функции \varphi и \psi имеют на отрезке [a;b] непрерывные производные. Справедлива следующая теорема.


Теорема 1. Всякая регулярная жорданова кривая \Gamma спрямляема.


Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] на части точками a=t_0< t_1<\ldots<t_n=b и впишем в кривую \Gamma ломаную, соответствующую этому разбиению. Рассмотрим одно звено M_kM_{k+1} этой ломаной, M_k\bigl(\varphi(t_k),\psi(t_k)\bigr), M_{k+1}\bigl(\varphi(t_{k+1}), \psi(t_{k+1})\bigr), (рис. 49). Длина этого звена равна


\ell_k=\bigl|M_kM_{k+1}\bigr|= \sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}= \sqrt{\bigl[\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr]^2+ \bigl[\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr]^2}\,.

Но по теореме Лагранжа найдутся такие c_k и c_{k}^{\ast}, что


\begin{aligned}\varphi(t_{k+1})- \varphi(t_k)&= \varphi'(c_k)\cdot (t_{k+1}-t_k)= \varphi'(c_k)\cdot\Delta t_k\,,\\ \psi(t_{k+1})- \psi(t_k)&= \psi'(c_{k}^{\ast})\cdot (t_{k+1}-t_k)= \psi'(c_{k}^{\ast})\cdot\Delta t_k\,. \end{aligned}

и поэтому \ell_k= \sqrt{\bigl(\varphi'(c_k)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr)^2}\cdot\Delta t_k.


Значит, длина всей ломаной \ell_{\text{lom}} выражается формулой


\ell_{\text{lom}}= \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\bigl(\varphi'(c_k)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr)^2}\cdot\Delta t_k\,.
(3)

По условию производные \varphi'(t) и \psi'(t) непрерывны на отрезке [a;b]. Поэтому для \bigl|\varphi'(t)\bigr| и \bigl|\psi'(t)\bigr| на отрезке [a;b] есть наибольшие значения. Обозначим их A и B:


A=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\bigl|\varphi'(t)\bigr|,\qquad B=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\bigl|\psi'(t)\bigr|.

Но тогда \bigl|\varphi'(c_k)\bigr|\leqslant A,~ \bigl|\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr|\leqslant B, а потому в силу (3)


\ell_{\text{lom}}\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{A^2+B^2}\Delta t_k= \sqrt{A^2+B^2} \sum_{k=0}^{n-1}\Delta t_k\,.

Поскольку \sum_{k=0}^{n-1}\Delta t_k=b-a, то для всех ломаных, вписанных в кривую \Gamma,


\ell_{\text{lom}}\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot (b-a).
(4)

Поэтому кривая \Gamma спрямляема.


Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:


\ell_{\text{lom}}\geqslant \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot (b-a).
(5)

где \alpha и \beta — наименьшие значения для \bigl|\varphi'(t) \bigr| и \bigl|\psi'(t)\bigr| на отрезке [a;b].


Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой \ell_{\text{kr}}:


\ell_{\text{kr}}\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot (b-a),
(6)

\ell_{\text{kr}}\geqslant \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot (b-a).
(7)

Неравенство (7) следует из неравенства (5) и из того, что \ell_{\text{kr}}\geqslant \ell_{\text{lom}}. Чтобы доказать неравенство (6), заметим, что в силу неравенства (4) \sqrt{A^2+B^2}(b-a) является одной из верхних границ для длин вписанных в \Gamma ломаных, число же \ell_{\text{kr}} — точная верхняя граница для этих длин, т. е. наименьшая из верхних границ. Отсюда и следует неравенство (6).




Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой


Данное ранее условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома). Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.


Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [a;b], и произвольное разбиение P этого отрезка:


a=x_0<x_1< x_2<\ldots<x_n=b.

Для каждого частичного промежутка [x_k;x_{k+1}] разбиения P образуем разность \bigl(f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr) — приращение функции на этом промежутке. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Заменим все эти разности их модулями и сложим их. Получим сумму


V_{a,p}^{b}(f)= \sum_{k=0}^{n=1}\bigl|f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr|.

Полученная сумма называется изменением функции y=f(x), соответствующим разбиению P отрезка [a;b].


Рассмотрим множество \bigl\{V_{a,p}^{b}(f)\bigr\} изменений функции y=f(x),~ a \leqslant x \leqslant b, соответствующих всевозможным разбиениям отрезка [a;b]. Если это множество ограничено сверху, то говорят, что функция y=f(x) имеет ограниченное изменение на отрезке [a;b], а точную верхнюю границу этого множества называют изменением функции t=f(x) на отрезке [a;b] и обозначают V_{a}^{b}(f). Таким образом,


V_{a}^{b}(f)= \sup_{P}\bigl\{V_{a,p}^{b}(f)\bigr\}.

Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.




Теорема 3. Для того чтобы жорданова кривая \Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} a \leqslant t \leqslant b спрямляемой, необходимой достаточно, чтобы непрерывные функции x=\varphi(t) и y=\psi(t) имели ограниченное изменение на отрезке [a;b].


Приращение дуги кривой

Доказательство. Покажем сначала, что ограниченность изменения функций x=\varphi(t) и y=\psi(t) на отрезке [a;b] является необходимым условием спрямляемости кривой \Gamma. В самом деле, если кривая \Gamma спрямляема, то множество \bigl\{\ell(\gamma)\bigr\} длин вписанных в нее ломаных ограничено сверху некоторым числом M. Это означает, что для любой вписанной в \Gamma ломаной имеем:


\ell(\gamma)= \sum_{k=0}^{n-1} \ell_k\leqslant M.

Но из рисунка 54 видно, что \ell_k \geqslant |x_{k+1}-x_k| и \ell_k \geqslant |y_{k+1}-y_k|, а потому


\ell(\gamma) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr|,\qquad \ell(\gamma) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|y_{k+1}-y_k\bigr|.

Эти неравенства можно переписать следующим образом:


\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr| \leqslant \ell(\gamma) \leqslant M,\qquad \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr| \leqslant \ell(\gamma) \leqslant M.

Они показывают, что для любого разбиения P отрезка [a;b] имеем V_{a,P}^{b}(\varphi) \leqslant M и V_{a,P}^{b}(\psi) \leqslant M, т. е. функции x=\varphi(t) и y=\psi(t) имеют ограниченное изменение на отрезке [a;b].


Теперь докажем, что если функции x=\varphi(t) и y=\psi(t) имеют ограниченное изменение на отрезке [a;b], то кривая \Gamma спрямляема на этом отрезке. В самом деле, в этом случае существует такое число M, что


\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr| \leqslant M,\qquad \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr| \leqslant M.

Иными словами, \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr| \leqslant M и \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|y_{k+1}-y_k\bigr| \leqslant M. Но из рисунка 54 видно, что


\ell_k \leqslant \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|+ \bigl|y_{k+1}-y_{k}\bigr|.

Поэтому для любой ломаной \gamma, вписанной в кривую \Gamma, имеем:


\ell(\gamma)= \sum_{k=0}^{n-1}\ell_{k} \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|+ \bigl|y_{k+1}-y_{k}\bigr|\Bigr) \leqslant 2M.

Значит, множество \bigl\{\ell(\gamma)\bigr\} ограничено сверху числом 2M, и потому кривая \Gamma спрямляема.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved