Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости[

Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости


Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости.


Нули функции [math]f(z)[/math] являются, очевидно, полюсами функции вида [math]\frac{\varphi(z)}{f(z)}[/math], если [math]\varphi(z)[/math] не обращается в нуль в этих точках. В частности, в качестве вспомогательной для исследования нулей функции [math]f(z)[/math] можно рассмотреть функцию, полностью определяемую только самой функцией [math]f(z)[/math], а именно [math]\frac{\varphi(z)}{f(z)}= \frac{f'(z)}{f(z)}[/math]. Из-за очевидного равенства [math]\frac{f'(z)}{f(z)}=(\ln f(z))'[/math], эту функцию называют логарифмической произведной функции [math]f(z)[/math]. Ее особыми точками являются особые точки и нули [math]f(z)[/math]. Поэтому нули функции [math]f(z)[/math] можно исследовать как особые точки [math](\ln f(z))'[/math]. Можно применить аппарат теории вычетов, в частности основную теорему о вычетах. Имеет место следующее утверждение.




Теорема о логарифмическом вычете


Утверждение 4.12 (теорема о логарифмическом вычете).


1. Пусть функция [math]f(z)[/math] — аналитическая в [math]\overline{D}[/math] за исключением, быть может, конечного числа полюсов, на [math]C[/math] — границе области [math]D[/math] не имеет ни полюсов, ни нулей. Тогда справедлива формула


[math]\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P.[/math]
(4.37)

где [math]N[/math] — число нулей, [math]P[/math] — число полюсов функции [math]f(z)[/math] в области [math]D[/math] с учетом их кратностей, т.е. каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — такое количество раз, каков его порядок.


2. В частности, если функция [math]f(z)[/math] в [math]\overline{D}[/math] не имеет особых точек и на [math]C[/math] не имеет нулей, то


[math]\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N.[/math]
(4.38)

Доказательство формулы (4.37) получается следующим образом. Пусть [math]z_0[/math] — нуль порядка [math]n[/math] функции [math]f(z)[/math], тогда справедливо равенство [math]f(z)= (z-z_0)^n\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0[/math]. Дифференцируя это равенство, получаем [math]f'(z)=n(z-z_0)^{n-1}\cdot \varphi(z)+\varphi'(z)\cdot (z-z_0)^n[/math]. Поэтому для логарифмической производной имеем [math]\frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{n}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}[/math]. Здесь [math]\frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}[/math] — аналитическая в точке [math]z_0[/math] функция, так как [math]\varphi(z)[/math] аналитическая и [math]\varphi(z_0)\ne0[/math]. Поэтому в последнем равенстве слагаемое [math]\frac{n}{z-z_0}[/math] является главной частью разложения [math]\frac{f'(z)}{f(z)}[/math] в окрестности [math]z_0[/math], из чего следует, что [math]n= \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}[/math], т.е. вычет логарифмической производной функции [math]f(z)[/math] в ее нуле равен кратности этого нуля.


Аналогично, для [math]z_0[/math][math]\Pi(p)[/math] функции [math]f(z)[/math] из равенств


[math]f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^p},\quad \varphi(z_0)\ne0[/math] и [math]f'(z)=-p(z-z_0)^{-p-1}\cdot \varphi(z)+ (z-z_0)^{-p} \varphi'(z)[/math] получаем [math]\frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{-p}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}[/math],

из чего заключаем, что [math]-p=\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}[/math], т.е. вычет логарифмической производной функции [math]f(z)[/math] в ее полюсе равен порядку полюса с противоположным знаком.


Применяя теорему о вычетах к вычислению интеграла [math]\textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz}[/math] устанавливаем справедливость формулы (4.37).


Пример 4.44. Вычислить контурный интеграл [math]\textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz}[/math] с помощью вычетов


а) [math]f(z)= \frac{(z-1)^3(z^2+4)^2}{(z+1)^7},\quad C\colon |z|=3[/math]; б) [math]f(z)= \frac{(z-1)^3(z+3)\sin z}{(z-i)^2(z+5)^2},\quad C\colon |z|=2[/math].


▼ Решение

Для каждой функции находим нули и полюсы, которые принадлежат области, ограниченной контуром [math]C[/math], и применяем формулу (4.37):


а) функция [math]f(z)[/math] имеет нули: [math]z_1=1[/math] кратности 5 и [math]z_{2,3}= \pm2i[/math] каждый кратности 2, а также полюс в точке [math]z_1=1[/math] порядка 7. Все найденные точки расположены в круге [math]|z|<3[/math]. Следовательно,


[math]N=5+2+2=9,\quad P=7[/math] и [math]\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (9-7)=4\pi i[/math].

б) в круге [math]|z|<2[/math] функция имеет нули: [math]z=1[/math] кратности 3 и [math]z=0[/math] кратности 1, а также полюс порядка 2 в точке [math]z=i[/math]. Другие нули: [math]z_k=k\pi,~ k\ne0,~ z=-3[/math] и полюс [math]z=-5[/math] не принадлежат области [math]|z|<2[/math] и поэтому не учитываются. Следовательно,


[math]N=3+1=4,\quad P=2[/math] и [math]\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (4-2)=4\pi i[/math].

Формула (4.38), очевидно, может быть использована для исследования нулей функции [math]f(z)[/math], если удастся получить удобный алгоритм для вычисления интеграла, стоящего слева в (4.38).


Воспользуемся равенством [math]\operatorname{Ln}f(z)= \ln|f(z)|+i \operatorname{Arg}f(z)[/math]. Так как [math]f(z)[/math] — аналитическая на [math]C[/math] и на [math]C[/math] не имеет нулей, то в некоторой области, содержащей [math]C[/math], возможно выделение однозначных ветвей [math]\operatorname{Arg}f(z)[/math], и, следовательно, на [math]C[/math] имеем однозначную аналитическую функию [math]\ln f(z)=\ln|f(z)|+i\arg f(z)[/math], где [math]\arg f(z)[/math] — одно из значений аргумента, в частности главное значение. Запишем интеграл (логарифмический вычет):


[math]\oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz= \oint\limits_{C} d\bigl(\ln f(z)\bigr)= \oint\limits_{C} d \bigl(\ln|f(z)|\bigr)+ i \oint\limits_{C}d \bigl(\arg f(z)\bigr).[/math]

Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции дву: действительных переменных [math]d \bigl(\ln|f(z)|\bigr)[/math].


Второе слагаемое определяет приращение аргумента образа точки при отображении [math]w=f(z)[/math] в то время, когда точка [math]z[/math] совершает полные обход контура [math]C[/math] в положительном направлении (рис. 4.9,а), то есть [math]\textstyle{\oint\limits_{C} d \bigl(\arg f(z)\bigr)= \Delta_C\arg f(z)}[/math]. Если точка [math]w_0=f(z_0)[/math] не совершает обхода вокруг [math]w=0[/math], то [math]\Delta_C\arg f(z)[/math] (рис. 4.9,б) . Если точка [math]w_0=f(z_0)[/math] совершает, оборотов, то [math]\Delta_C\arg f(z)=2k\pi[/math] (на рис. 4.9,в [math]k=2[/math]), причем в этом равенстве [math]k>0[/math] при положительном обходе (против часовой стрелки) и [math]k<0[/math] при отрицательном (по часовой стрелке). Величина [math]\left|\frac{1}{2\pi} \Delta_C\arg f(z)\right|=|k|[/math] определяет число оборотов вектора [math]w=f(z)[/math], а знак — направление обхода.


Приведенные рассуждения отражают геометрический смысл формулы (4.38).




Принцип аргумента


Утверждение 4.13 (принцип аргумента)


1. Разность между числом нулей и полюсов функции [math]f(z)[/math] в области ограниченной контуром [math]C[/math], равна числу оборотов вектора [math]w=f(z)[/math] при nt ремещении точки [math]{w}[/math] по кривой [math]\Gamma[/math] — образу [math]C[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math] и однократном обходе точкой [math]z[/math] контура [math]C\colon[/math]


[math]N-P= \frac{1}{2\pi}\cdot\Delta_C\arg f(z).[/math]
(4.39)

2. Если функция [math]f(z)[/math] — аналитическая в [math]\overline{D}[/math] и на [math]C[/math] — границе [math]D[/math] нет нулей [math]f(z)[/math], то (4.39) принимает вид


[math]N= \frac{1}{2\pi}\cdot \Delta_C\arg f(z).[/math]
(4.40)

т.е. число нулей [math]N[/math] в области [math]D[/math] функции [math]f(z)[/math], аналитической в этой области, равно числу оборотов вектора [math]w=f(z)[/math] вокруг начала координат.


Принцип аргумента, в частности формула (4.40), имеет многочисленные приложения. Приведем, например, следующие две теоремы.




Теорема Руше


Утверждение 4.14 (теорема Руше). Пусть функции [math]f(z)[/math] и [math]\varphi(z)[/math] являются аналитическими в односвязной области [math]D[/math] и на ее границе [math]C[/math] и в точках границы выполняются условия [math]|f(z)|>|\varphi(z)|,~ z\in \mathbb{C}[/math]. Тогда число нулей функции [math]f(z)[/math] и [math]F(z)= f(z)+\varphi(z)[/math] в области [math]D[/math] одинаково.


Приведем доказательство. Прежде всего проверим, что функции [math]f(z)[/math] и [math]F(z)[/math] удовлетворяют условиям применения принципа аргумента, а именно не имеют нулей на контуре [math]C[/math]. Действительно, из неравенства [math]|f(z)|>|\varphi(z)|,~ z\in \mathbb{C}[/math] и [math]|\varphi(z)|\geqslant0[/math] получаем [math]|f(z)|>0,~ z\in \mathbb{C}[/math], то есть [math]f(z)\ne0[/math]. Аналогично для функции [math]F(z)\colon[/math]


[math]\bigl|f(z)+\varphi(z)\bigr|= \bigl|f(z)-(-\varphi(z))\bigr| \geqslant \bigl|f(z)\bigr|-\bigl|\varphi(z)\bigr|>0,\quad z\in \mathbb{C}[/math], то есть [math]F(z)\ne0,\quad z\in \mathbb{C}[/math].

Далее покажем, что [math]\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)[/math]. Для этого запишем функцию [math]F(z)[/math] в виде произведения [math]F(z)= f(z)+\varphi(z)= f(z)\cdot\! \left(1+ \frac{\varphi(z)}{f(z)}\right)[/math]. Тогда [math]\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)+\Delta_C\arg w(z)[/math], где [math]w(z)=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}[/math]. На границе [math]C[/math] имеем [math]|w-1|= \left|\frac{\varphi(z)}{f(z)}\right|= \frac{|\varphi(z)|}{|f(z)|}<1[/math], т.e. образом кривой [math]C[/math] при отображении [math]w=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}[/math] является окружность [math]|w-1|=1[/math], из чего следует, что радиус-вектор точки [math]{w}[/math] не обходит начало координат, поэтому [math]\Delta_C\arg w(z)=0[/math]. Таким образом, получаем [math]\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)[/math].




Основная теорема алгебры


Утверждение 4.15 (основная теорема алгебры). Многочлен степени [math]n[/math] с комплексными коэффициентами имеет [math]n[/math] корней.


Для доказательства представляем многочлен [math]P_n(z)= a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0[/math] в виде суммы:


[math]P_n(z)=f(z)+\varphi(z)[/math], где [math]f(z)=a_nz^n[/math] и [math]\varphi(z)= a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0[/math].

Так как [math]\lim\limits_{z\to\infty} \frac{\varphi(z)}{f(z)}=0[/math]. то найдется такое число [math]R>0[/math], что для z, удовлетворяющих условию [math]|z|\geqslant R[/math], выполняется неравенство [math]|f(z)|>|\varphi(z)|[/math]. За счет выбора достаточно большого [math]R[/math] можно получить, что все нули многочлена расположены в круге [math]|z|<R[/math]. На границе круга, т.е. на [math]|z|=R[/math], выполняется условие [math]|f(z)|>|\varphi(z)|[/math]. По теореме Руше многочлен имеет в [math]|z|<R[/math], а следовательно, и всюду такое же число нулей, как и функция [math]f(z)[/math]. Но [math]f(z)=a_nz^n[/math] имеет и нулей в круге [math]|z|<R[/math], так как [math]z=0[/math] является нулем кратности [math]n[/math].


Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел [math]\mathbb{C}[/math] как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество [math]\mathbb{C}[/math]. Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству [math]\mathbb{C}[/math], и, значит, новых чисел, не входящих в [math]\mathbb{C}[/math], для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел.


Практическое применение формулы (4.40) при решении задач определения числа нулей аналитической функции в области [math]D[/math] заключается в следующем. Строится годограф — кривая, которая является образом границы области [math]D[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math]. Далее по рисунку определяется число оборотов вектора [math]{w}[/math] при однократном обходе точкой [math]z[/math] границы области [math]D[/math]. Наконец, по формуле (4.40) определяется число нулей функции [math]f(z)[/math] в области [math]D[/math].


Область [math]D[/math] может быть неограниченной, например полуплоскость [math]\operatorname{Re}z>a[/math]. С задачей определения числа нулей многочлена [math]f(z)= P(z)[/math] в полуплоскости [math]\operatorname{Re}z>0[/math] связана важнейшая проблема механики — проблема устойчивости электрических и механических систем.


В качестве контура [math]C[/math] в таком случае выбирается полуокружность [math]|z|=R,~ \operatorname{Re}z>0[/math] и ее диаметр (рис. 4.10,a), число [math]R[/math] выбирается достаточно большим, чтобы все нули многочлена, расположенные в правой полуплоскости [math](\operatorname{Re}z>0)[/math], попали в полукруг [math]|z|<R,~ \operatorname{Re}z>0[/math], и рассматривается [math]\lim\limits_{R\to\infty} \Delta_C\arg P(z)[/math]. Задача определения числа нулей в левой полуплоскости решается аналогично. При этом рассматривается левая полуокружность [math]|z|=R,~ \operatorname{Re}z>0[/math] и ее диаметр (рис. 4.10,б).


Так как контур [math]C[/math] состоит из дуги [math]C_R\colon\, |z|=R[/math] и отрезка [math]AB[/math], то имеем [math]\Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{AB}\arg P(z)[/math] в случае [math]\operatorname{Re}z>0[/math] и [math]\Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{BA}\arg P(z)[/math] в случае [math]\operatorname{Re}z<0[/math].


Для удобства будем считать, что [math]a_n=1[/math], так как величина коэффициента [math]a_n\ne0[/math] не влияет на число корней уравнения [math]P_n(z)=0[/math].


Для определения [math]\Delta_{C_R}\arg P(z)[/math] многочлен [math]P(z)= z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots+a_0[/math] записывается в виде произведения [math]P(z)=z^n\cdot \varphi(z)[/math], где [math]\varphi(z)= \left(1+\frac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\frac{a_0}{z^n}\right)[/math].


Поэтому [math]\Delta_{C_R}\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg z^n+ \Delta_{C_R}\arg \varphi(z)[/math]. При этом [math]\Delta_{C_R}\arg z^n= n \Delta_{C_R}\arg z[/math], а из [math]\lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)=1[/math] получаем [math]\Delta_{C_R}\arg \varphi(z)=0[/math]. Таким образом, имеем [math]\Delta_{C_R}\arg P(z)= n\Delta_{C_R}\arg z[/math]. Величина [math]\Delta_{C_R}\arg z[/math] определяется как разность: [math]\Delta_{C_R}\arg z= \arg z_2-\arg z_1[/math], где [math]z_1[/math] — начальная точка на дуге [math]C_R[/math], a [math]z_2[/math] — конечная. В обоих случаях, изображенных на рис. 4.10,а и 4.10,б, [math]\Delta_{C_R}\arg z=\pi[/math] и [math]\Delta_{C_R}\arg z^n=n\pi[/math].


Чтобы определить приращение аргумента [math]P(z)[/math] при перемещении точки [math]z[/math] по мнимой оси (отрезок [math]AB[/math] на рис. 4.10,а или [math]BA[/math] на рис. 4.10,б при [math]R\to\infty[/math]) строится, как сказано выше, годограф — образ мнимой оси при отображении [math]w=P(z)[/math]. Для этого записываем параметрическое уравнение мнимой оси [math]z=it,~ t\in(-\infty,+\infty)[/math], подставляем в [math]w=P(z)[/math] и получаем параметрическое уравнение образа. Чтобы построить годограф, отделяем в полученном уравнении действительную и мнимую части [math]\operatorname{Re}w=u,~ \operatorname{Im}w=v[/math]. Получаем уравнение образа в действительной параметрической форме [math]u=u(t),~ v=v(t)[/math].


Для схематичного построения кривой в плоскости [math]Ouv[/math] достаточно найти несколько значений переменных [math]{u}[/math] и [math]{v}[/math] для различных значений [math]t[/math], в частности нули функций [math]u(t),\,v(t)[/math], а также их значения при [math]t\to-\infty[/math] и [math]t\to+\infty[/math]. Часто полезно найти угловой коэффициент касательной при [math]t\to\infty[/math], то есть [math]\lim\limits_{t\to\pm\infty} \frac{v(t)}{u(t)}[/math]. Все данные целесообразно занести в таблицу и по точкам построить кривую. По графику определяем число оборотов вектора [math]w=P(z)[/math] вокруг нуля и приращение аргумента [math]w=P(z)[/math] на мнимой оси. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от [math]t\to+\infty[/math] к [math]t\to-\infty[/math] (рис. 4.10,а), а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от [math]t\to-\infty[/math] к [math]t\to+\infty[/math] (рис. 4.10,б). Результаты рассуждений запишем в виде алгоритма.




Алгоритм применения принципа аргумента для отыскания числа нулей многочлена


1. Определить приращение аргумента на дуге [math]C_R\colon[/math]


[math]\Delta_{C_R}\arg P(z)=n\pi[/math], где [math]n[/math] — степень многочлена [math]P(z)[/math].

2. Определить приращение аргумента [math]P(z)[/math] на мнимой оси. Для этого:

а) найти [math]u(t)=\operatorname{Re}P(it)[/math] и [math]v(t)=\operatorname{Im}P(it)[/math];

б) построить годограф, [math]\begin{cases}u=u(t),\\ v=v(t),\end{cases}t\in(-\infty,+\infty);[/math]

в) определить число оборотов [math]k[/math] радиуса-вектора вокруг нуля и приращение [math]2k\pi[/math]. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от [math]t=+\infty[/math] к [math]t=-\infty[/math], а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от [math]t=-\infty[/math] к [math]t=+\infty[/math]. При обходе нуля против часовой стрелки [math]k>0[/math], а по часовой стрелке [math]k<0[/math].


3. Вычислить [math]\Delta_C\arg P(z)=n\pi+2k\pi[/math].


4. По формуле (4.40) найти [math]N=\frac{1}{2\pi}\Delta_{C} \arg P(z)= \frac{2k+n}{2}[/math] — число нулей многочлена [math]P(z)[/math] в полуплоскости.




Примеры нахождения нулей многочленов


Пример 4.45. Найти число нулей многочлена [math]P(z)=z^4-2z^3+z^2-1[/math] в правой полуплоскости.


▼ Решение

1. Определим [math]\Delta_{C_R} \arg P(z)=4\pi[/math], так как [math]n=4[/math].


2. Положим [math]z=it\colon\, P(it)=t^4+2it^3-t^2-1=t^4-t^2-1+2it^3[/math]:


а) выделим действительную и мнимую части [math]u(t)=t^4-t^2-1,~ v(t)=2t^3[/math];


б) исследуем поведение функций [math]u(t),\,v(t)\colon\, v(t)=0[/math] при [math]t=0,~ v(t)>0[/math] при [math]t>0[/math] и [math]v(t)<0[/math] при [math]t<0;~ v=v(t)[/math] — функция нечетная.


Для нахождения нулей [math]u(t)[/math] — корней биквадратного уравнения [math]t^4-t^2-1=0[/math], введем обозначение [math]y=t^2[/math]. Находим корни [math]y_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/math], поэтому [math]y^2-y-1= (y-y_1)(y-y_2)[/math]. Так как [math]y_1>0[/math], а [math]y_2<0[/math] , обозначим [math]y_1=b^2,~ y_2=-a^2[/math] и запишем разложение многочлена:


[math]t^4-t^2-1=(t-t_1)(t-t_2)(t^2+a^2)[/math], где [math]t_{1,2}= \pm\sqrt{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}[/math].

Для значений [math]t\in(t_1,t_2)[/math] имеем [math]u(t)<0[/math], вне этого промежутка [math]u(t)>0[/math].


Так как многочлены [math]u(t)[/math] и [math]v(t)[/math] не имеют общих нулей, то [math]P(z)\ne0[/math] при [math]z=it[/math], т.е. на границе области [math]\operatorname{Re}z>0[/math] нет нулей многочлена [math]P(z)[/math]. Поэтому можно применить принцип аргумента.


Полученные данные запишем в табл. 4.1 и построим по точкам кривую (рис. 4.11).


[math]\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \multicolumn{10}{r}{\mathit{Table~4.1}}\\\hline t& +\infty& (\infty,t_1)& t_1& (t_1,0)& 0& (0,t_2)& t_2& (t_2,-\infty)& -\infty\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& -1& <0& 0& >0& +\infty\\\hline v& +\infty& >0& \approx4,\!4& >0& 0& <0& \approx-4,\!4& <0&-\infty\\\hline \end{array}[/math]

в) Из рис. 4.11 видно, что при однократном обходе точкой [math]z[/math] мнимой оси сверху вниз ([math]t[/math] изменяется от [math]+\infty[/math] к [math]-\infty[/math]), радиус-вектор [math]w=P(z)[/math] поворачивается на [math]2\pi[/math] против часовой стрелки, т.е. [math]k=1[/math].


3,4. Получаем [math]\Delta\arg P(z)=2\pi[/math] и [math]\Delta_{C}\arg P(z)=4\pi+2\pi=6\pi[/math]. Поэтому по формуле (4.40) находим [math]N=\frac{\Delta_{C}\arg P(z)}{2\pi}=3[/math].


Заметим, что заданный многочлен можно разложить на множители [math]P(z)= (z^2-z-1)(z^2-z+1)[/math] и выписать все его нули: [math]z_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2},~ z_{3,4}= \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}[/math]. В правой полуплоскости расположены нули [math]z_1=\frac{1+ \sqrt{5}}{2},~z_3,\,z_4[/math], а в левой — один нуль [math]z_2[/math].


Заметим, что для определения числа нулей в левой полуплоскости следует изменять [math]t[/math] в направлении от [math]t=-\infty[/math] к [math]t=+\infty[/math]. При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и [math]k=-1[/math]. Поэтому [math]N=\frac{4\pi-2\pi}{2\pi}=1[/math].


Пример 4.46. Найти число нулей многочлена [math]P(z)= 2z^5+z^4-6z^3+3z^2+4z+2[/math] в левой полуплоскости.


▼ Решение

Воспользуемся алгоритмом.


1. Находим [math]\Delta_{C_R}\arg P(z)=5\pi[/math], так как [math]n=5[/math].


2. Положим [math]z=it\colon\, P(it)=2it^5+t^4+6it^3-3t^2+4it+2=(t^4-3t^2+2)+i(2t^5+6t^3+4t)\colon[/math]


а) найдем действительную и мнимую части:


[math]u(t)= \operatorname{Re}P(it)= t^4-3t^2+2,\quad v(t)= \operatorname{Im}P(it)= 2t^5+6t^3+4t\,;[/math]

б) исследуем поведение функций [math]u(t),\,v(t)\colon[/math]


[math]u(t)=t^4-3t^2+2= (t^2-2)(t^2-1)= (t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})(t-1)(t+1);[/math]

[math]u(t)=0[/math] при [math]t_{1,2}=\pm \sqrt{2},~~ t_{3,4}=\pm1\,;[/math]

[math]v(t)= t(2t^4+6t^2+4)= 2t(t^2+2)(t^2+1);[/math]

[math]v(t)=0[/math] при [math]t=0,~ ~v(t)>0[/math] при [math]t>0[/math] и [math]v(t)<0[/math] при [math]t<0[/math].

Так как [math]v(t_{1,2})\ne0,~ v(t_{3,4})\ne0,~ u(0)\ne0[/math], то многочлен [math]P(z)[/math] не имеет нулей на мнимой оси и принцип аргумента применим.


Данные занесем в табл. 4.2, причем достаточно провести вычисления только на интервале [math](-\infty;0)[/math], так как можно использовать свойства функций: [math]u(t)[/math] — четная, a [math]v(t)[/math] — нечетная.


[math]\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \multicolumn{8}{r}{\mathit{Table~4.2}}\\\hline t&-\infty& (-\infty,\sqrt{2})&-\sqrt{2}& (-\sqrt{2},-1)&-1& (-1;0)& 0\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& 0& >0& 2\\\hline v&-\infty& <0&-24 \sqrt{2}& <0&-12&<0&0\\\hline \end{array}[/math]

в) Из рис. 4.12 видно, что [math]\arg P(z)=\frac{\pi}{2}[/math] при [math]t\to+\infty[/math] и [math]\arg P(z)=-\frac{\pi}{2}[/math] при [math]t\to-\infty[/math], поэтому [math]\Delta\arg P(z)= \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi[/math] ([math]k=\frac{1}{2}[/math], так как годограф обходит нуль, поворачиваясь против часовой стрелки).


3,4. [math]\Delta_{C}\arg P(z)=5\pi+\pi=6\pi,~ N=\frac{6\pi}{2\pi}=3[/math].


Заметим, что для определения числа нулей в правой полуплоскости следует изменять [math]t[/math] в направлении от [math]t=+\infty[/math] к [math]t=-\infty[/math]. При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и [math]k=-\frac{1}{2}[/math]. Поэтому [math]N=\frac{5\pi-\pi}{2\pi}=2[/math].


Пример 4.47. Найти число нулей многочлена [math]P(z)=z^8+3z^5-5z^4+15z^3+ 18z+4[/math] в правой полуплоскости.


▼ Решение

1. Находим [math]\Delta_{C_R}=8\pi[/math], так как [math]n=8[/math].


2. Положим [math]z=it\colon\, P(it)=t^8+3it^5-5t^4-15it^3+18it+4=t^8-5t^4+4+i(3t^5-15t^3+ 18t)\colon[/math]


а) запишем действительную и мнимую части:


[math]\begin{aligned} u(t)&=t^8-5t^4+4=(t^4-1)(t^4-4)= (t^2-1)(t^2-2)(t^4+3t^2+2),\\ v(t)&=3t^5-15t^3+ 18t=3t(t^2-2)(t^2-3); \end{aligned}[/math]

б) исследуем поведение функций [math]u(t),\,v(t)[/math]. Так как многочлены [math]u(t)[/math] и [math]v(t)[/math] имеет общие корни [math]t_{1,2}=\pm \sqrt{2}[/math], то при [math]z=it[/math] имеем [math]P(z)=0[/math] и принцип аргумента для данного многочлена непосредственно применить нельзя.


С другой стороны, так как многочлены имеют общий множитель, то из [math]P(it)=u(t)+iv(t)[/math] находим [math]P(it)= (t^2-2)(u_1(t)+i\,v_1(t))[/math]. При [math]z=it[/math],т.е. при [math]t=-iz[/math], получаем: [math]P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z)[/math], и далее задача может состоять в определении числа нулей многочлена [math]Q(z)[/math].


Разложение [math]P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z)[/math] можно получить непосредственно группировкой:


[math]\begin{aligned}P(z)&= z^8-5z^4+4+3z(z^4+5z^2+6)= (z^4-1)(z^4-4)+3z(z^2+2)(z^2+3)=\\ &=(z^2+2) \bigl((z^2-2)(z^4-1)+3z(z^2+3)\bigr)= (z^2+2)(z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2). \end{aligned}[/math]

Из разложения следует, что многочлен [math]P(z)[/math] имеет два нуля на мнимой оси: [math]z=\pm \sqrt{2}[/math]. Другие его нули определяются как нули многочлена [math]Q(z)= z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2[/math]. Задачу далее решаем по алгоритму с применением принципа аргумента. В результате получим:


[math]\Delta_{C}\arg Q(z)=6\pi-2\pi=4\pi,\quad N=2.[/math]

Пример 4.48. Найти число нулей многочлена [math]P(z)=z^3-2z-5[/math] в области [math]D\colon[/math] a) [math]D\colon|z|<1[/math]; б) [math]D\colon1<|z|<3[/math].


▼ Решение

Воспользуемся теоремой Руше.


а) Обозначим [math]f(z)=5,~ \varphi(z)=z^3-2z[/math]. На границе области, т.е. для точек, удовлетворяющих условию [math]|z|=1[/math], имеем


[math]|f(z)|=5,\qquad |\varphi(z)|=|z^3-2z|<|z|^3+2|z|,\qquad \Bigl.{|\varphi(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}<3.[/math]

Условия теоремы Руше выполняются и, следовательно, число нулей данного многочлена в области [math]|z|<1[/math] совпадает с числом нулей функции [math]f(z)=5[/math] в этой области. Так как многочлен [math]f(z)=5[/math] не имеет корней, то заключаем, что многочлен [math]z^3-2z-5[/math] в области [math]|z|<1[/math] не имеет нулей.


б) В силу того, что в круге [math]|z|<1[/math] многочлен не имеет нулей, то для нахождения нулей в кольце [math]D\colon 1<|z|<3[/math] достаточно найти их число в круге [math]|z|<3[/math]. Обозначим [math]f(z)=z^3,~ \varphi(z)=-2z-5[/math]. На границе области, т.е. для [math]z[/math], удовлетворяющих условию [math]|z|=3[/math], имеем


[math]\Bigl.{|f(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}= \Bigl.{|z|^3}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}=27,\qquad |\varphi(z)|= |2z+5|<2\cdot|z|+5,\qquad \Bigl.{|\varphi(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}<11.[/math]

Условия теоремы Руше выполняются, и искомое число нулей совпадает с числом нулей многочлена [math]f(z)=z^3[/math]. Так как этот многочлен в области [math]|z|<3[/math] имеет корень [math]z=0[/math] кратности [math]n=3[/math], то получаем, что многочлен [math]z^3-2z-5[/math] в кольце [math]D\colon 1<|z|<3[/math] имеет три нуля.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved