Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости
Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости.
Нули функции являются, очевидно, полюсами функции вида , если не обращается в нуль в этих точках. В частности, в качестве вспомогательной для исследования нулей функции можно рассмотреть функцию, полностью определяемую только самой функцией , а именно . Из-за очевидного равенства , эту функцию называют логарифмической произведной функции . Ее особыми точками являются особые точки и нули . Поэтому нули функции можно исследовать как особые точки . Можно применить аппарат теории вычетов, в частности основную теорему о вычетах. Имеет место следующее утверждение.
Теорема о логарифмическом вычете
Утверждение 4.12 (теорема о логарифмическом вычете).
1. Пусть функция — аналитическая в за исключением, быть может, конечного числа полюсов, на — границе области не имеет ни полюсов, ни нулей. Тогда справедлива формула
 (4.37)
где — число нулей, — число полюсов функции в области с учетом их кратностей, т.е. каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — такое количество раз, каков его порядок.
2. В частности, если функция в не имеет особых точек и на не имеет нулей, то
 (4.38)
Доказательство формулы (4.37) получается следующим образом. Пусть — нуль порядка функции , тогда справедливо равенство . Дифференцируя это равенство, получаем . Поэтому для логарифмической производной имеем . Здесь — аналитическая в точке функция, так как аналитическая и . Поэтому в последнем равенстве слагаемое является главной частью разложения в окрестности , из чего следует, что , т.е. вычет логарифмической производной функции в ее нуле равен кратности этого нуля.
Аналогично, для — функции из равенств
из чего заключаем, что , т.е. вычет логарифмической производной функции в ее полюсе равен порядку полюса с противоположным знаком.
Применяя теорему о вычетах к вычислению интеграла устанавливаем справедливость формулы (4.37).
Пример 4.44. Вычислить контурный интеграл с помощью вычетов
а) ; б) .
Решение
Формула (4.38), очевидно, может быть использована для исследования нулей функции , если удастся получить удобный алгоритм для вычисления интеграла, стоящего слева в (4.38).
Воспользуемся равенством . Так как — аналитическая на и на не имеет нулей, то в некоторой области, содержащей , возможно выделение однозначных ветвей , и, следовательно, на имеем однозначную аналитическую функию , где — одно из значений аргумента, в частности главное значение. Запишем интеграл (логарифмический вычет):
Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции дву: действительных переменных .
Второе слагаемое определяет приращение аргумента образа точки при отображении в то время, когда точка совершает полные обход контура в положительном направлении (рис. 4.9,а), то есть . Если точка не совершает обхода вокруг , то (рис. 4.9,б) . Если точка совершает, оборотов, то (на рис. 4.9,в ), причем в этом равенстве при положительном обходе (против часовой стрелки) и при отрицательном (по часовой стрелке). Величина определяет число оборотов вектора , а знак — направление обхода.
Приведенные рассуждения отражают геометрический смысл формулы (4.38).
Принцип аргумента
Утверждение 4.13 (принцип аргумента)
1. Разность между числом нулей и полюсов функции в области ограниченной контуром , равна числу оборотов вектора при nt ремещении точки по кривой — образу при отображении и однократном обходе точкой контура 
 (4.39)
2. Если функция — аналитическая в и на — границе нет нулей , то (4.39) принимает вид
 (4.40)
т.е. число нулей в области функции , аналитической в этой области, равно числу оборотов вектора вокруг начала координат.
Принцип аргумента, в частности формула (4.40), имеет многочисленные приложения. Приведем, например, следующие две теоремы.
Теорема Руше
Утверждение 4.14 (теорема Руше). Пусть функции и являются аналитическими в односвязной области и на ее границе и в точках границы выполняются условия . Тогда число нулей функции и в области одинаково.
Приведем доказательство. Прежде всего проверим, что функции и удовлетворяют условиям применения принципа аргумента, а именно не имеют нулей на контуре . Действительно, из неравенства и получаем , то есть . Аналогично для функции 
 , то есть  .
Далее покажем, что . Для этого запишем функцию в виде произведения . Тогда , где . На границе имеем , т.e. образом кривой при отображении является окружность , из чего следует, что радиус-вектор точки не обходит начало координат, поэтому . Таким образом, получаем .
Основная теорема алгебры
Утверждение 4.15 (основная теорема алгебры). Многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет корней.
Для доказательства представляем многочлен в виде суммы:
Так как . то найдется такое число , что для z, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . За счет выбора достаточно большого можно получить, что все нули многочлена расположены в круге . На границе круга, т.е. на , выполняется условие . По теореме Руше многочлен имеет в , а следовательно, и всюду такое же число нулей, как и функция . Но имеет и нулей в круге , так как является нулем кратности .
Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество . Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству , и, значит, новых чисел, не входящих в , для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел.
Практическое применение формулы (4.40) при решении задач определения числа нулей аналитической функции в области заключается в следующем. Строится годограф — кривая, которая является образом границы области при отображении . Далее по рисунку определяется число оборотов вектора при однократном обходе точкой границы области . Наконец, по формуле (4.40) определяется число нулей функции в области .
Область может быть неограниченной, например полуплоскость . С задачей определения числа нулей многочлена в полуплоскости связана важнейшая проблема механики — проблема устойчивости электрических и механических систем.
В качестве контура в таком случае выбирается полуокружность и ее диаметр (рис. 4.10,a), число выбирается достаточно большим, чтобы все нули многочлена, расположенные в правой полуплоскости , попали в полукруг , и рассматривается . Задача определения числа нулей в левой полуплоскости решается аналогично. При этом рассматривается левая полуокружность и ее диаметр (рис. 4.10,б).
Так как контур состоит из дуги и отрезка , то имеем в случае и в случае .
Для удобства будем считать, что , так как величина коэффициента не влияет на число корней уравнения .
Для определения многочлен записывается в виде произведения , где .
Поэтому . При этом , а из получаем . Таким образом, имеем . Величина определяется как разность: , где — начальная точка на дуге , a — конечная. В обоих случаях, изображенных на рис. 4.10,а и 4.10,б, и .
Чтобы определить приращение аргумента при перемещении точки по мнимой оси (отрезок на рис. 4.10,а или на рис. 4.10,б при ) строится, как сказано выше, годограф — образ мнимой оси при отображении . Для этого записываем параметрическое уравнение мнимой оси , подставляем в и получаем параметрическое уравнение образа. Чтобы построить годограф, отделяем в полученном уравнении действительную и мнимую части . Получаем уравнение образа в действительной параметрической форме .
Для схематичного построения кривой в плоскости достаточно найти несколько значений переменных и для различных значений , в частности нули функций , а также их значения при и . Часто полезно найти угловой коэффициент касательной при , то есть . Все данные целесообразно занести в таблицу и по точкам построить кривую. По графику определяем число оборотов вектора вокруг нуля и приращение аргумента на мнимой оси. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от к (рис. 4.10,а), а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от к (рис. 4.10,б). Результаты рассуждений запишем в виде алгоритма.
Алгоритм применения принципа аргумента для отыскания числа нулей многочлена
1. Определить приращение аргумента на дуге 
 , где  — степень многочлена  .
2. Определить приращение аргумента на мнимой оси. Для этого: а) найти и ; б) построить годограф,  в) определить число оборотов радиуса-вектора вокруг нуля и приращение . При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от к , а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от к . При обходе нуля против часовой стрелки , а по часовой стрелке .
3. Вычислить .
4. По формуле (4.40) найти — число нулей многочлена в полуплоскости.
Примеры нахождения нулей многочленов
Пример 4.45. Найти число нулей многочлена в правой полуплоскости.
Решение
1. Определим , так как . 2. Положим : а) выделим действительную и мнимую части ; б) исследуем поведение функций при при и при — функция нечетная. Для нахождения нулей — корней биквадратного уравнения , введем обозначение . Находим корни , поэтому . Так как , а , обозначим и запишем разложение многочлена:  , где  . Для значений имеем , вне этого промежутка . Так как многочлены и не имеют общих нулей, то при , т.е. на границе области нет нулей многочлена . Поэтому можно применить принцип аргумента. Полученные данные запишем в табл. 4.1 и построим по точкам кривую (рис. 4.11). в) Из рис. 4.11 видно, что при однократном обходе точкой мнимой оси сверху вниз ( изменяется от к ), радиус-вектор поворачивается на против часовой стрелки, т.е. . 3,4. Получаем и . Поэтому по формуле (4.40) находим . Заметим, что заданный многочлен можно разложить на множители и выписать все его нули: . В правой полуплоскости расположены нули , а в левой — один нуль . Заметим, что для определения числа нулей в левой полуплоскости следует изменять в направлении от к . При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и . Поэтому .
Пример 4.46. Найти число нулей многочлена в левой полуплоскости.
Решение
Воспользуемся алгоритмом. 1. Находим , так как . 2. Положим  а) найдем действительную и мнимую части: б) исследуем поведение функций   при  Так как , то многочлен не имеет нулей на мнимой оси и принцип аргумента применим. Данные занесем в табл. 4.2, причем достаточно провести вычисления только на интервале , так как можно использовать свойства функций: — четная, a — нечетная. в) Из рис. 4.12 видно, что при и при , поэтому ( , так как годограф обходит нуль, поворачиваясь против часовой стрелки). 3,4. . Заметим, что для определения числа нулей в правой полуплоскости следует изменять в направлении от к . При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и . Поэтому .
Пример 4.47. Найти число нулей многочлена в правой полуплоскости.
Решение
Пример 4.48. Найти число нулей многочлена в области a) ; б) .
Решение
Воспользуемся теоремой Руше. а) Обозначим . На границе области, т.е. для точек, удовлетворяющих условию , имеем Условия теоремы Руше выполняются и, следовательно, число нулей данного многочлена в области совпадает с числом нулей функции в этой области. Так как многочлен не имеет корней, то заключаем, что многочлен в области не имеет нулей. б) В силу того, что в круге многочлен не имеет нулей, то для нахождения нулей в кольце достаточно найти их число в круге . Обозначим . На границе области, т.е. для , удовлетворяющих условию , имеем Условия теоремы Руше выполняются, и искомое число нулей совпадает с числом нулей многочлена . Так как этот многочлен в области имеет корень кратности , то получаем, что многочлен в кольце имеет три нуля.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|