Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости. Нули функции $f(z)$ являются, очевидно, полюсами функции вида $\frac{\varphi(z)}{f(z)}$ , если $\varphi(z)$ не обращается в нуль в этих точках. В частности, в качестве вспомогательной для исследования нулей функции $f(z)$ можно рассмотреть функцию, полностью определяемую только самой функцией $f(z)$ , а именно $\frac{\varphi(z)}{f(z)}= \frac{f'(z)}{f(z)}$ . Из-за очевидного равенства $\frac{f'(z)}{f(z)}=(\ln f(z))'$ , эту функцию называют логарифмической произведной функции $f(z)$ . Ее особыми точками являются особые точки и нули $f(z)$ . Поэтому нули функции $f(z)$ можно исследовать как особые точки $(\ln f(z))'$ . Можно применить аппарат теории вычетов, в частности основную теорему о вычетах. Имеет место следующее утверждение. Теорема о логарифмическом вычете Утверждение 4.12 (теорема о логарифмическом вычете). 1. Пусть функция $f(z)$ — аналитическая в $\overline{D}$ за исключением, быть может, конечного числа полюсов, на $C$ — границе области $D$ не имеет ни полюсов, ни нулей. Тогда справедлива формула $\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P.$ (4.37) где $N$ — число нулей, $P$ — число полюсов функции $f(z)$ в области $D$ с учетом их кратностей, т.е. каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — такое количество раз, каков его порядок. 2. В частности, если функция $f(z)$ в $\overline{D}$ не имеет особых точек и на $C$ не имеет нулей, то $\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N.$ (4.38) Доказательство формулы (4.37) получается следующим образом. Пусть $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $f(z)$ , тогда справедливо равенство $f(z)= (z-z_0)^n\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0$ . Дифференцируя это равенство, получаем $f'(z)=n(z-z_0)^{n-1}\cdot \varphi(z)+\varphi'(z)\cdot (z-z_0)^n$ . Поэтому для логарифмической производной имеем $\frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{n}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ . Здесь $\frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ — аналитическая в точке $z_0$ функция, так как $\varphi(z)$ аналитическая и $\varphi(z_0)\ne0$ . Поэтому в последнем равенстве слагаемое $\frac{n}{z-z_0}$ является главной частью разложения $\frac{f'(z)}{f(z)}$ в окрестности $z_0$ , из чего следует, что $n= \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}$ , т.е. вычет логарифмической производной функции $f(z)$ в ее нуле равен кратности этого нуля. Аналогично, для $z_0$ — $\Pi(p)$ функции $f(z)$ из равенств $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^p},\quad \varphi(z_0)\ne0$ и $f'(z)=-p(z-z_0)^{-p-1}\cdot \varphi(z)+ (z-z_0)^{-p} \varphi'(z)$ получаем $\frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{-p}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ , из чего заключаем, что $-p=\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}$ , т.е. вычет логарифмической производной функции $f(z)$ в ее полюсе равен порядку полюса с противоположным знаком. Применяя теорему о вычетах к вычислению интеграла $\textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz}$ устанавливаем справедливость формулы (4.37). Пример 4.44. Вычислить контурный интеграл $\textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz}$ с помощью вычетов а) $f(z)= \frac{(z-1)^3(z^2+4)^2}{(z+1)^7},\quad C\colon \|z\|=3$ ; б) $f(z)= \frac{(z-1)^3(z+3)\sin z}{(z-i)^2(z+5)^2},\quad C\colon \|z\|=2$ . Решение Для каждой функции находим нули и полюсы, которые принадлежат области, ограниченной контуром $C$ , и применяем формулу (4.37): а) функция $f(z)$ имеет нули: $z_1=1$ кратности 5 и $z_{2,3}= \pm2i$ каждый кратности 2, а также полюс в точке $z_1=1$ порядка 7. Все найденные точки расположены в круге $\|z\|<3$ . Следовательно, $N=5+2+2=9,\quad P=7$ и $\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (9-7)=4\pi i$ . б) в круге $\|z\|<2$ функция имеет нули: $z=1$ кратности 3 и $z=0$ кратности 1, а также полюс порядка 2 в точке $z=i$ . Другие нули: $z_k=k\pi,~ k\ne0,~ z=-3$ и полюс $z=-5$ не принадлежат области $\|z\|<2$ и поэтому не учитываются. Следовательно, $N=3+1=4,\quad P=2$ и $\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (4-2)=4\pi i$ . Формула (4.38), очевидно, может быть использована для исследования нулей функции $f(z)$ , если удастся получить удобный алгоритм для вычисления интеграла, стоящего слева в (4.38). Воспользуемся равенством $\operatorname{Ln}f(z)= \ln\|f(z)\|+i \operatorname{Arg}f(z)$ . Так как $f(z)$ — аналитическая на $C$ и на $C$ не имеет нулей, то в некоторой области, содержащей $C$ , возможно выделение однозначных ветвей $\operatorname{Arg}f(z)$ , и, следовательно, на $C$ имеем однозначную аналитическую функию $\ln f(z)=\ln\|f(z)\|+i\arg f(z)$ , где $\arg f(z)$ — одно из значений аргумента, в частности главное значение. Запишем интеграл (логарифмический вычет): $\oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz= \oint\limits_{C} d\bigl(\ln f(z)\bigr)= \oint\limits_{C} d \bigl(\ln\|f(z)\|\bigr)+ i \oint\limits_{C}d \bigl(\arg f(z)\bigr).$ Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции дву: действительных переменных $d \bigl(\ln\|f(z)\|\bigr)$ . Второе слагаемое определяет приращение аргумента образа точки при отображении $w=f(z)$ в то время, когда точка $z$ совершает полные обход контура $C$ в положительном направлении (рис. 4.9,а), то есть $\textstyle{\oint\limits_{C} d \bigl(\arg f(z)\bigr)= \Delta_C\arg f(z)}$ . Если точка $w_0=f(z_0)$ не совершает обхода вокруг $w=0$ , то $\Delta_C\arg f(z)$ (рис. 4.9,б) . Если точка $w_0=f(z_0)$ совершает, оборотов, то $\Delta_C\arg f(z)=2k\pi$ (на рис. 4.9,в $k=2$ ), причем в этом равенстве $k>0$ при положительном обходе (против часовой стрелки) и $k<0$ при отрицательном (по часовой стрелке). Величина $\left\|\frac{1}{2\pi} \Delta_C\arg f(z)\right\|=\|k\|$ определяет число оборотов вектора $w=f(z)$ , а знак — направление обхода. Приведенные рассуждения отражают геометрический смысл формулы (4.38). Принцип аргумента Утверждение 4.13 (принцип аргумента) 1. Разность между числом нулей и полюсов функции $f(z)$ в области ограниченной контуром $C$ , равна числу оборотов вектора $w=f(z)$ при nt ремещении точки ${w}$ по кривой $\Gamma$ — образу $C$ при отображении $w=f(z)$ и однократном обходе точкой $z$ контура $C\colon$ $N-P= \frac{1}{2\pi}\cdot\Delta_C\arg f(z).$ (4.39) 2. Если функция $f(z)$ — аналитическая в $\overline{D}$ и на $C$ — границе $D$ нет нулей $f(z)$ , то (4.39) принимает вид $N= \frac{1}{2\pi}\cdot \Delta_C\arg f(z).$ (4.40) т.е. число нулей $N$ в области $D$ функции $f(z)$ , аналитической в этой области, равно числу оборотов вектора $w=f(z)$ вокруг начала координат. Принцип аргумента, в частности формула (4.40), имеет многочисленные приложения. Приведем, например, следующие две теоремы. Теорема Руше Утверждение 4.14 (теорема Руше). Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в односвязной области $D$ и на ее границе $C$ и в точках границы выполняются условия $\|f(z)\|>\|\varphi(z)\|,~ z\in \mathbb{C}$ . Тогда число нулей функции $f(z)$ и $F(z)= f(z)+\varphi(z)$ в области $D$ одинаково. Приведем доказательство. Прежде всего проверим, что функции $f(z)$ и $F(z)$ удовлетворяют условиям применения принципа аргумента, а именно не имеют нулей на контуре $C$ . Действительно, из неравенства $\|f(z)\|>\|\varphi(z)\|,~ z\in \mathbb{C}$ и $\|\varphi(z)\|\geqslant0$ получаем $\|f(z)\|>0,~ z\in \mathbb{C}$ , то есть $f(z)\ne0$ . Аналогично для функции $F(z)\colon$ $\bigl\|f(z)+\varphi(z)\bigr\|= \bigl\|f(z)-(-\varphi(z))\bigr\| \geqslant \bigl\|f(z)\bigr\|-\bigl\|\varphi(z)\bigr\|>0,\quad z\in \mathbb{C}$ , то есть $F(z)\ne0,\quad z\in \mathbb{C}$ . Далее покажем, что $\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)$ . Для этого запишем функцию $F(z)$ в виде произведения $F(z)= f(z)+\varphi(z)= f(z)\cdot\! \left(1+ \frac{\varphi(z)}{f(z)}\right)$ . Тогда $\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)+\Delta_C\arg w(z)$ , где $w(z)=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}$ . На границе $C$ имеем $\|w-1\|= \left\|\frac{\varphi(z)}{f(z)}\right\|= \frac{\|\varphi(z)\|}{\|f(z)\|}<1$ , т.e. образом кривой $C$ при отображении $w=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}$ является окружность $\|w-1\|=1$ , из чего следует, что радиус-вектор точки ${w}$ не обходит начало координат, поэтому $\Delta_C\arg w(z)=0$ . Таким образом, получаем $\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)$ . Основная теорема алгебры Утверждение 4.15 (основная теорема алгебры). Многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет $n$ корней. Для доказательства представляем многочлен $P_n(z)= a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0$ в виде суммы: $P_n(z)=f(z)+\varphi(z)$ , где $f(z)=a_nz^n$ и $\varphi(z)= a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0$ . Так как $\lim\limits_{z\to\infty} \frac{\varphi(z)}{f(z)}=0$ . то найдется такое число $R>0$ , что для z, удовлетворяющих условию $\|z\|\geqslant R$ , выполняется неравенство $\|f(z)\|>\|\varphi(z)\|$ . За счет выбора достаточно большого $R$ можно получить, что все нули многочлена расположены в круге $\|z\|<R$ . На границе круга, т.е. на $\|z\|=R$ , выполняется условие $\|f(z)\|>\|\varphi(z)\|$ . По теореме Руше многочлен имеет в $\|z\|<R$ , а следовательно, и всюду такое же число нулей, как и функция $f(z)$ . Но $f(z)=a_nz^n$ имеет и нулей в круге $\|z\|<R$ , так как $z=0$ является нулем кратности $n$ . Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество $\mathbb{C}$ . Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству $\mathbb{C}$ , и, значит, новых чисел, не входящих в $\mathbb{C}$ , для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел. Практическое применение формулы (4.40) при решении задач определения числа нулей аналитической функции в области $D$ заключается в следующем. Строится годограф — кривая, которая является образом границы области $D$ при отображении $w=f(z)$ . Далее по рисунку определяется число оборотов вектора ${w}$ при однократном обходе точкой $z$ границы области $D$ . Наконец, по формуле (4.40) определяется число нулей функции $f(z)$ в области $D$ . Область $D$ может быть неограниченной, например полуплоскость $\operatorname{Re}z>a$ . С задачей определения числа нулей многочлена $f(z)= P(z)$ в полуплоскости $\operatorname{Re}z>0$ связана важнейшая проблема механики — проблема устойчивости электрических и механических систем. В качестве контура $C$ в таком случае выбирается полуокружность $\|z\|=R,~ \operatorname{Re}z>0$ и ее диаметр (рис. 4.10,a), число $R$ выбирается достаточно большим, чтобы все нули многочлена, расположенные в правой полуплоскости $(\operatorname{Re}z>0)$ , попали в полукруг $\|z\|<R,~ \operatorname{Re}z>0$ , и рассматривается $\lim\limits_{R\to\infty} \Delta_C\arg P(z)$ . Задача определения числа нулей в левой полуплоскости решается аналогично. При этом рассматривается левая полуокружность $\|z\|=R,~ \operatorname{Re}z>0$ и ее диаметр (рис. 4.10,б). Так как контур $C$ состоит из дуги $C_R\colon\, \|z\|=R$ и отрезка $AB$ , то имеем $\Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{AB}\arg P(z)$ в случае $\operatorname{Re}z>0$ и $\Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{BA}\arg P(z)$ в случае $\operatorname{Re}z<0$ . Для удобства будем считать, что $a_n=1$ , так как величина коэффициента $a_n\ne0$ не влияет на число корней уравнения $P_n(z)=0$ . Для определения $\Delta_{C_R}\arg P(z)$ многочлен $P(z)= z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots+a_0$ записывается в виде произведения $P(z)=z^n\cdot \varphi(z)$ , где $\varphi(z)= \left(1+\frac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\frac{a_0}{z^n}\right)$ . Поэтому $\Delta_{C_R}\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg z^n+ \Delta_{C_R}\arg \varphi(z)$ . При этом $\Delta_{C_R}\arg z^n= n \Delta_{C_R}\arg z$ , а из $\lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)=1$ получаем $\Delta_{C_R}\arg \varphi(z)=0$ . Таким образом, имеем $\Delta_{C_R}\arg P(z)= n\Delta_{C_R}\arg z$ . Величина $\Delta_{C_R}\arg z$ определяется как разность: $\Delta_{C_R}\arg z= \arg z_2-\arg z_1$ , где $z_1$ — начальная точка на дуге $C_R$ , a $z_2$ — конечная. В обоих случаях, изображенных на рис. 4.10,а и 4.10,б, $\Delta_{C_R}\arg z=\pi$ и $\Delta_{C_R}\arg z^n=n\pi$ . Чтобы определить приращение аргумента $P(z)$ при перемещении точки $z$ по мнимой оси (отрезок $AB$ на рис. 4.10,а или $BA$ на рис. 4.10,б при $R\to\infty$ ) строится, как сказано выше, годограф — образ мнимой оси при отображении $w=P(z)$ . Для этого записываем параметрическое уравнение мнимой оси $z=it,~ t\in(-\infty,+\infty)$ , подставляем в $w=P(z)$ и получаем параметрическое уравнение образа. Чтобы построить годограф, отделяем в полученном уравнении действительную и мнимую части $\operatorname{Re}w=u,~ \operatorname{Im}w=v$ . Получаем уравнение образа в действительной параметрической форме $u=u(t),~ v=v(t)$ . Для схематичного построения кривой в плоскости $Ouv$ достаточно найти несколько значений переменных ${u}$ и ${v}$ для различных значений $t$ , в частности нули функций $u(t),\,v(t)$ , а также их значения при $t\to-\infty$ и $t\to+\infty$ . Часто полезно найти угловой коэффициент касательной при $t\to\infty$ , то есть $\lim\limits_{t\to\pm\infty} \frac{v(t)}{u(t)}$ . Все данные целесообразно занести в таблицу и по точкам построить кривую. По графику определяем число оборотов вектора $w=P(z)$ вокруг нуля и приращение аргумента $w=P(z)$ на мнимой оси. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от $t\to+\infty$ к $t\to-\infty$ (рис. 4.10,а), а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от $t\to-\infty$ к $t\to+\infty$ (рис. 4.10,б). Результаты рассуждений запишем в виде алгоритма. Алгоритм применения принципа аргумента для отыскания числа нулей многочлена 1. Определить приращение аргумента на дуге $C_R\colon$ $\Delta_{C_R}\arg P(z)=n\pi$ , где $n$ — степень многочлена $P(z)$ . 2. Определить приращение аргумента $P(z)$ на мнимой оси. Для этого: а) найти $u(t)=\operatorname{Re}P(it)$ и $v(t)=\operatorname{Im}P(it)$ ; б) построить годограф, $\begin{cases}u=u(t),\\ v=v(t),\end{cases}t\in(-\infty,+\infty);$ в) определить число оборотов $k$ радиуса-вектора вокруг нуля и приращение $2k\pi$ . При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от $t=+\infty$ к $t=-\infty$ , а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от $t=-\infty$ к $t=+\infty$ . При обходе нуля против часовой стрелки $k>0$ , а по часовой стрелке $k<0$ . 3. Вычислить $\Delta_C\arg P(z)=n\pi+2k\pi$ . 4. По формуле (4.40) найти $N=\frac{1}{2\pi}\Delta_{C} \arg P(z)= \frac{2k+n}{2}$ — число нулей многочлена $P(z)$ в полуплоскости. Примеры нахождения нулей многочленов Пример 4.45. Найти число нулей многочлена $P(z)=z^4-2z^3+z^2-1$ в правой полуплоскости. Решение 1. Определим $\Delta_{C_R} \arg P(z)=4\pi$ , так как $n=4$ . 2. Положим $z=it\colon\, P(it)=t^4+2it^3-t^2-1=t^4-t^2-1+2it^3$ : а) выделим действительную и мнимую части $u(t)=t^4-t^2-1,~ v(t)=2t^3$ ; б) исследуем поведение функций $u(t),\,v(t)\colon\, v(t)=0$ при $t=0,~ v(t)>0$ при $t>0$ и $v(t)<0$ при $t<0;~ v=v(t)$ — функция нечетная. Для нахождения нулей $u(t)$ — корней биквадратного уравнения $t^4-t^2-1=0$ , введем обозначение $y=t^2$ . Находим корни $y_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ , поэтому $y^2-y-1= (y-y_1)(y-y_2)$ . Так как $y_1>0$ , а $y_2<0$ , обозначим $y_1=b^2,~ y_2=-a^2$ и запишем разложение многочлена: $t^4-t^2-1=(t-t_1)(t-t_2)(t^2+a^2)$ , где $t_{1,2}= \pm\sqrt{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}$ . Для значений $t\in(t_1,t_2)$ имеем $u(t)<0$ , вне этого промежутка $u(t)>0$ . Так как многочлены $u(t)$ и $v(t)$ не имеют общих нулей, то $P(z)\ne0$ при $z=it$ , т.е. на границе области $\operatorname{Re}z>0$ нет нулей многочлена $P(z)$ . Поэтому можно применить принцип аргумента. Полученные данные запишем в табл. 4.1 и построим по точкам кривую (рис. 4.11). $\begin{aligned}\mathit{Table~4.1}&\\[-2pt] \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline t& +\infty& (\infty,t_1)& t_1& (t_1,0)& 0& (0,t_2)& t_2& (t_2,-\infty)& -\infty\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& -1& <0& 0& >0& +\infty\\\hline v& +\infty& >0& \approx4,\!4& >0& 0& <0& \approx-4,\!4& <0&-\infty\\\hline \end{array}&\end{aligned}$ в) Из рис. 4.11 видно, что при однократном обходе точкой $z$ мнимой оси сверху вниз ( $t$ изменяется от $+\infty$ к $-\infty$ ), радиус-вектор $w=P(z)$ поворачивается на $2\pi$ против часовой стрелки, т.е. $k=1$ . 3,4. Получаем $\Delta\arg P(z)=2\pi$ и $\Delta_{C}\arg P(z)=4\pi+2\pi=6\pi$ . Поэтому по формуле (4.40) находим $N=\frac{\Delta_{C}\arg P(z)}{2\pi}=3$ . Заметим, что заданный многочлен можно разложить на множители $P(z)= (z^2-z-1)(z^2-z+1)$ и выписать все его нули: $z_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2},~ z_{3,4}= \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ . В правой полуплоскости расположены нули $z_1=\frac{1+ \sqrt{5}}{2},~z_3,\,z_4$ , а в левой — один нуль $z_2$ . Заметим, что для определения числа нулей в левой полуплоскости следует изменять $t$ в направлении от $t=-\infty$ к $t=+\infty$ . При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и $k=-1$ . Поэтому $N=\frac{4\pi-2\pi}{2\pi}=1$ . Пример 4.46. Найти число нулей многочлена $P(z)= 2z^5+z^4-6z^3+3z^2+4z+2$ в левой полуплоскости. Решение Воспользуемся алгоритмом. 1. Находим $\Delta_{C_R}\arg P(z)=5\pi$ , так как $n=5$ . 2. Положим $z=it\colon\, P(it)=2it^5+t^4+6it^3-3t^2+4it+2=(t^4-3t^2+2)+i(2t^5+6t^3+4t)\colon$ а) найдем действительную и мнимую части: $u(t)= \operatorname{Re}P(it)= t^4-3t^2+2,\quad v(t)= \operatorname{Im}P(it)= 2t^5+6t^3+4t\,;$ б) исследуем поведение функций $u(t),\,v(t)\colon$ $u(t)=t^4-3t^2+2= (t^2-2)(t^2-1)= (t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})(t-1)(t+1);$ $u(t)=0$ при $t_{1,2}=\pm \sqrt{2},~~ t_{3,4}=\pm1\,;$ $v(t)= t(2t^4+6t^2+4)= 2t(t^2+2)(t^2+1);$ $v(t)=0$ при $t=0,~ ~v(t)>0$ при $t>0$ и $v(t)<0$ при $t<0$ . Так как $v(t_{1,2})\ne0,~ v(t_{3,4})\ne0,~ u(0)\ne0$ , то многочлен $P(z)$ не имеет нулей на мнимой оси и принцип аргумента применим. Данные занесем в табл. 4.2, причем достаточно провести вычисления только на интервале $(-\infty;0)$ , так как можно использовать свойства функций: $u(t)$ — четная, a $v(t)$ — нечетная. $\begin{aligned}\mathit{Table~4.2}&\\[-2pt] \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline t&-\infty& (-\infty,\sqrt{2})&-\sqrt{2}& (-\sqrt{2},-1)&-1& (-1;0)& 0\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& 0& >0& 2\\\hline v&-\infty& <0&-24 \sqrt{2}& <0&-12&<0&0\\\hline \end{array}&\end{aligned}$ в) Из рис. 4.12 видно, что $\arg P(z)=\frac{\pi}{2}$ при $t\to+\infty$ и $\arg P(z)=-\frac{\pi}{2}$ при $t\to-\infty$ , поэтому $\Delta\arg P(z)= \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$ ( $k=\frac{1}{2}$ , так как годограф обходит нуль, поворачиваясь против часовой стрелки). 3,4. $\Delta_{C}\arg P(z)=5\pi+\pi=6\pi,~ N=\frac{6\pi}{2\pi}=3$ . Заметим, что для определения числа нулей в правой полуплоскости следует изменять $t$ в направлении от $t=+\infty$ к $t=-\infty$ . При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и $k=-\frac{1}{2}$ . Поэтому $N=\frac{5\pi-\pi}{2\pi}=2$ . Пример 4.47. Найти число нулей многочлена $P(z)=z^8+3z^5-5z^4+15z^3+ 18z+4$ в правой полуплоскости. Решение 1. Находим $\Delta_{C_R}=8\pi$ , так как $n=8$ . 2. Положим $z=it\colon\, P(it)=t^8+3it^5-5t^4-15it^3+18it+4=t^8-5t^4+4+i(3t^5-15t^3+ 18t)\colon$ а) запишем действительную и мнимую части: $\begin{aligned} u(t)&=t^8-5t^4+4=(t^4-1)(t^4-4)= (t^2-1)(t^2-2)(t^4+3t^2+2),\\ v(t)&=3t^5-15t^3+ 18t=3t(t^2-2)(t^2-3); \end{aligned}$ б) исследуем поведение функций $u(t),\,v(t)$ . Так как многочлены $u(t)$ и $v(t)$ имеет общие корни $t_{1,2}=\pm \sqrt{2}$ , то при $z=it$ имеем $P(z)=0$ и принцип аргумента для данного многочлена непосредственно применить нельзя. С другой стороны, так как многочлены имеют общий множитель, то из $P(it)=u(t)+iv(t)$ находим $P(it)= (t^2-2)(u_1(t)+i\,v_1(t))$ . При $z=it$ ,т.е. при $t=-iz$ , получаем: $P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z)$ , и далее задача может состоять в определении числа нулей многочлена $Q(z)$ . Разложение $P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z)$ можно получить непосредственно группировкой: $\begin{aligned}P(z)&= z^8-5z^4+4+3z(z^4+5z^2+6)= (z^4-1)(z^4-4)+3z(z^2+2)(z^2+3)=\\ &=(z^2+2) \bigl((z^2-2)(z^4-1)+3z(z^2+3)\bigr)= (z^2+2)(z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2). \end{aligned}$ Из разложения следует, что многочлен $P(z)$ имеет два нуля на мнимой оси: $z=\pm \sqrt{2}$ . Другие его нули определяются как нули многочлена $Q(z)= z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2$ . Задачу далее решаем по алгоритму с применением принципа аргумента. В результате получим: $\Delta_{C}\arg Q(z)=6\pi-2\pi=4\pi,\quad N=2.$ Пример 4.48. Найти число нулей многочлена $P(z)=z^3-2z-5$ в области $D\colon$ a) $D\colon\|z\|<1$ ; б) $D\colon1<\|z\|<3$ . Решение Воспользуемся теоремой Руше. а) Обозначим $f(z)=5,~ \varphi(z)=z^3-2z$ . На границе области, т.е. для точек, удовлетворяющих условию $\|z\|=1$ , имеем $\|f(z)\|=5,\qquad \|\varphi(z)\|=\|z^3-2z\|<\|z\|^3+2\|z\|,\qquad \Bigl.{\|\varphi(z)\|}\Bigr\|_{z\in \mathbb{C}}<3.$ Условия теоремы Руше выполняются и, следовательно, число нулей данного многочлена в области $\|z\|<1$ совпадает с числом нулей функции $f(z)=5$ в этой области. Так как многочлен $f(z)=5$ не имеет корней, то заключаем, что многочлен $z^3-2z-5$ в области $\|z\|<1$ не имеет нулей. б) В силу того, что в круге $\|z\|<1$ многочлен не имеет нулей, то для нахождения нулей в кольце $D\colon 1<\|z\|<3$ достаточно найти их число в круге $\|z\|<3$ . Обозначим $f(z)=z^3,~ \varphi(z)=-2z-5$ . На границе области, т.е. для $z$ , удовлетворяющих условию $\|z\|=3$ , имеем $\Bigl.{\|f(z)\|}\Bigr\|_{z\in \mathbb{C}}= \Bigl.{\|z\|^3}\Bigr\|_{z\in \mathbb{C}}=27,\qquad \|\varphi(z)\|= \|2z+5\|<2\cdot\|z\|+5,\qquad \Bigl.{\|\varphi(z)\|}\Bigr\|_{z\in \mathbb{C}}<11.$ Условия теоремы Руше выполняются, и искомое число нулей совпадает с числом нулей многочлена $f(z)=z^3$ . Так как этот многочлен в области $\|z\|<3$ имеет корень $z=0$ кратности $n=3$ , то получаем, что многочлен $z^3-2z-5$ в кольце $D\colon 1<\|z\|<3$ имеет три нуля. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости

Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости.

Нули функции $f(z)$ являются, очевидно, полюсами функции вида $\frac{\varphi(z)}{f(z)}$ , если $\varphi(z)$ не обращается в нуль в этих точках. В частности, в качестве вспомогательной для исследования нулей функции $f(z)$ можно рассмотреть функцию, полностью определяемую только самой функцией $f(z)$ , а именно $\frac{\varphi(z)}{f(z)}= \frac{f'(z)}{f(z)}$ . Из-за очевидного равенства $\frac{f'(z)}{f(z)}=(\ln f(z))'$ , эту функцию называют логарифмической произведной функции $f(z)$ . Ее особыми точками являются особые точки и нули $f(z)$ . Поэтому нули функции $f(z)$ можно исследовать как особые точки $(\ln f(z))'$ . Можно применить аппарат теории вычетов, в частности основную теорему о вычетах. Имеет место следующее утверждение.

Теорема о логарифмическом вычете

Утверждение 4.12 (теорема о логарифмическом вычете).

1. Пусть функция $f(z)$ — аналитическая в $\overline{D}$ за исключением, быть может, конечного числа полюсов, на $C$ — границе области $D$ не имеет ни полюсов, ни нулей. Тогда справедлива формула

$\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P.$

(4.37)

где $N$ — число нулей, $P$ — число полюсов функции $f(z)$ в области $D$ с учетом их кратностей, т.е. каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — такое количество раз, каков его порядок.

2. В частности, если функция $f(z)$ в $\overline{D}$ не имеет особых точек и на $C$ не имеет нулей, то

$\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N.$

(4.38)

Доказательство формулы (4.37) получается следующим образом. Пусть $z_0$ — нуль порядка $n$ функции $f(z)$ , тогда справедливо равенство $f(z)= (z-z_0)^n\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0$ . Дифференцируя это равенство, получаем $f'(z)=n(z-z_0)^{n-1}\cdot \varphi(z)+\varphi'(z)\cdot (z-z_0)^n$ . Поэтому для логарифмической производной имеем $\frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{n}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ . Здесь $\frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ — аналитическая в точке $z_0$ функция, так как $\varphi(z)$ аналитическая и $\varphi(z_0)\ne0$ . Поэтому в последнем равенстве слагаемое $\frac{n}{z-z_0}$ является главной частью разложения $\frac{f'(z)}{f(z)}$ в окрестности $z_0$ , из чего следует, что $n= \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}$ , т.е. вычет логарифмической производной функции $f(z)$ в ее нуле равен кратности этого нуля.

Аналогично, для $z_0$ — $\Pi(p)$ функции $f(z)$ из равенств

$f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^p},\quad \varphi(z_0)\ne0$ и $f'(z)=-p(z-z_0)^{-p-1}\cdot \varphi(z)+ (z-z_0)^{-p} \varphi'(z)$ получаем $\frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{-p}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ ,

из чего заключаем, что $-p=\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}$ , т.е. вычет логарифмической производной функции $f(z)$ в ее полюсе равен порядку полюса с противоположным знаком.

Применяя теорему о вычетах к вычислению интеграла $\textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz}$ устанавливаем справедливость формулы (4.37).

Пример 4.44. Вычислить контурный интеграл $\textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz}$ с помощью вычетов

а) $f(z)= \frac{(z-1)^3(z^2+4)^2}{(z+1)^7},\quad C\colon |z|=3$ ; б) $f(z)= \frac{(z-1)^3(z+3)\sin z}{(z-i)^2(z+5)^2},\quad C\colon |z|=2$ .

Решение

Для каждой функции находим нули и полюсы, которые принадлежат области, ограниченной контуром $C$ , и применяем формулу (4.37):

а) функция $f(z)$ имеет нули: $z_1=1$ кратности 5 и $z_{2,3}= \pm2i$ каждый кратности 2, а также полюс в точке $z_1=1$ порядка 7. Все найденные точки расположены в круге $|z|<3$ . Следовательно,

$N=5+2+2=9,\quad P=7$ и $\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (9-7)=4\pi i$ .

б) в круге $|z|<2$ функция имеет нули: $z=1$ кратности 3 и $z=0$ кратности 1, а также полюс порядка 2 в точке $z=i$ . Другие нули: $z_k=k\pi,~ k\ne0,~ z=-3$ и полюс $z=-5$ не принадлежат области $|z|<2$ и поэтому не учитываются. Следовательно,

$N=3+1=4,\quad P=2$ и $\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (4-2)=4\pi i$ .

Формула (4.38), очевидно, может быть использована для исследования нулей функции $f(z)$ , если удастся получить удобный алгоритм для вычисления интеграла, стоящего слева в (4.38).

Воспользуемся равенством $\operatorname{Ln}f(z)= \ln|f(z)|+i \operatorname{Arg}f(z)$ . Так как $f(z)$ — аналитическая на $C$ и на $C$ не имеет нулей, то в некоторой области, содержащей $C$ , возможно выделение однозначных ветвей $\operatorname{Arg}f(z)$ , и, следовательно, на $C$ имеем однозначную аналитическую функию $\ln f(z)=\ln|f(z)|+i\arg f(z)$ , где $\arg f(z)$ — одно из значений аргумента, в частности главное значение. Запишем интеграл (логарифмический вычет):

$\oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz= \oint\limits_{C} d\bigl(\ln f(z)\bigr)= \oint\limits_{C} d \bigl(\ln|f(z)|\bigr)+ i \oint\limits_{C}d \bigl(\arg f(z)\bigr).$

Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции дву: действительных переменных $d \bigl(\ln|f(z)|\bigr)$ .

Второе слагаемое определяет приращение аргумента образа точки при отображении $w=f(z)$ в то время, когда точка $z$ совершает полные обход контура $C$ в положительном направлении (рис. 4.9,а), то есть $\textstyle{\oint\limits_{C} d \bigl(\arg f(z)\bigr)= \Delta_C\arg f(z)}$ . Если точка $w_0=f(z_0)$ не совершает обхода вокруг $w=0$ , то $\Delta_C\arg f(z)$ (рис. 4.9,б) . Если точка $w_0=f(z_0)$ совершает, оборотов, то $\Delta_C\arg f(z)=2k\pi$ (на рис. 4.9,в $k=2$ ), причем в этом равенстве $k>0$ при положительном обходе (против часовой стрелки) и $k<0$ при отрицательном (по часовой стрелке). Величина $\left|\frac{1}{2\pi} \Delta_C\arg f(z)\right|=|k|$ определяет число оборотов вектора $w=f(z)$ , а знак — направление обхода.

Приведенные рассуждения отражают геометрический смысл формулы (4.38).

Принцип аргумента

Утверждение 4.13 (принцип аргумента)

1. Разность между числом нулей и полюсов функции $f(z)$ в области ограниченной контуром $C$ , равна числу оборотов вектора $w=f(z)$ при nt ремещении точки ${w}$ по кривой $\Gamma$ — образу $C$ при отображении $w=f(z)$ и однократном обходе точкой $z$ контура $C\colon$

$N-P= \frac{1}{2\pi}\cdot\Delta_C\arg f(z).$

(4.39)

2. Если функция $f(z)$ — аналитическая в $\overline{D}$ и на $C$ — границе $D$ нет нулей $f(z)$ , то (4.39) принимает вид

$N= \frac{1}{2\pi}\cdot \Delta_C\arg f(z).$

(4.40)

т.е. число нулей $N$ в области $D$ функции $f(z)$ , аналитической в этой области, равно числу оборотов вектора $w=f(z)$ вокруг начала координат.

Принцип аргумента, в частности формула (4.40), имеет многочисленные приложения. Приведем, например, следующие две теоремы.

Теорема Руше

Утверждение 4.14 (теорема Руше). Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в односвязной области $D$ и на ее границе $C$ и в точках границы выполняются условия $|f(z)|>|\varphi(z)|,~ z\in \mathbb{C}$ . Тогда число нулей функции $f(z)$ и $F(z)= f(z)+\varphi(z)$ в области $D$ одинаково.

Приведем доказательство. Прежде всего проверим, что функции $f(z)$ и $F(z)$ удовлетворяют условиям применения принципа аргумента, а именно не имеют нулей на контуре $C$ . Действительно, из неравенства $|f(z)|>|\varphi(z)|,~ z\in \mathbb{C}$ и $|\varphi(z)|\geqslant0$ получаем $|f(z)|>0,~ z\in \mathbb{C}$ , то есть $f(z)\ne0$ . Аналогично для функции $F(z)\colon$

$\bigl|f(z)+\varphi(z)\bigr|= \bigl|f(z)-(-\varphi(z))\bigr| \geqslant \bigl|f(z)\bigr|-\bigl|\varphi(z)\bigr|>0,\quad z\in \mathbb{C}$ , то есть $F(z)\ne0,\quad z\in \mathbb{C}$ .

Далее покажем, что $\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)$ . Для этого запишем функцию $F(z)$ в виде произведения $F(z)= f(z)+\varphi(z)= f(z)\cdot\! \left(1+ \frac{\varphi(z)}{f(z)}\right)$ . Тогда $\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)+\Delta_C\arg w(z)$ , где $w(z)=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}$ . На границе $C$ имеем $|w-1|= \left|\frac{\varphi(z)}{f(z)}\right|= \frac{|\varphi(z)|}{|f(z)|}<1$ , т.e. образом кривой $C$ при отображении $w=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}$ является окружность $|w-1|=1$ , из чего следует, что радиус-вектор точки ${w}$ не обходит начало координат, поэтому $\Delta_C\arg w(z)=0$ . Таким образом, получаем $\Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)$ .

Основная теорема алгебры

Утверждение 4.15 (основная теорема алгебры). Многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет $n$ корней.

Для доказательства представляем многочлен $P_n(z)= a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0$ в виде суммы:

$P_n(z)=f(z)+\varphi(z)$ , где $f(z)=a_nz^n$ и $\varphi(z)= a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0$ .

Так как $\lim\limits_{z\to\infty} \frac{\varphi(z)}{f(z)}=0$ . то найдется такое число $R>0$ , что для z, удовлетворяющих условию $|z|\geqslant R$ , выполняется неравенство $|f(z)|>|\varphi(z)|$ . За счет выбора достаточно большого $R$ можно получить, что все нули многочлена расположены в круге $|z|<R$ . На границе круга, т.е. на $|z|=R$ , выполняется условие $|f(z)|>|\varphi(z)|$ . По теореме Руше многочлен имеет в $|z|<R$ , а следовательно, и всюду такое же число нулей, как и функция $f(z)$ . Но $f(z)=a_nz^n$ имеет и нулей в круге $|z|<R$ , так как $z=0$ является нулем кратности $n$ .

Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество $\mathbb{C}$ . Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству $\mathbb{C}$ , и, значит, новых чисел, не входящих в $\mathbb{C}$ , для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел.

Практическое применение формулы (4.40) при решении задач определения числа нулей аналитической функции в области $D$ заключается в следующем. Строится годограф — кривая, которая является образом границы области $D$ при отображении $w=f(z)$ . Далее по рисунку определяется число оборотов вектора ${w}$ при однократном обходе точкой $z$ границы области $D$ . Наконец, по формуле (4.40) определяется число нулей функции $f(z)$ в области $D$ .

Область $D$ может быть неограниченной, например полуплоскость $\operatorname{Re}z>a$ . С задачей определения числа нулей многочлена $f(z)= P(z)$ в полуплоскости $\operatorname{Re}z>0$ связана важнейшая проблема механики — проблема устойчивости электрических и механических систем.

В качестве контура $C$ в таком случае выбирается полуокружность $|z|=R,~ \operatorname{Re}z>0$ и ее диаметр (рис. 4.10,a), число $R$ выбирается достаточно большим, чтобы все нули многочлена, расположенные в правой полуплоскости $(\operatorname{Re}z>0)$ , попали в полукруг $|z|<R,~ \operatorname{Re}z>0$ , и рассматривается $\lim\limits_{R\to\infty} \Delta_C\arg P(z)$ . Задача определения числа нулей в левой полуплоскости решается аналогично. При этом рассматривается левая полуокружность $|z|=R,~ \operatorname{Re}z>0$ и ее диаметр (рис. 4.10,б).

Так как контур $C$ состоит из дуги $C_R\colon\, |z|=R$ и отрезка $AB$ , то имеем $\Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{AB}\arg P(z)$ в случае $\operatorname{Re}z>0$ и $\Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{BA}\arg P(z)$ в случае $\operatorname{Re}z<0$ .

Для удобства будем считать, что $a_n=1$ , так как величина коэффициента $a_n\ne0$ не влияет на число корней уравнения $P_n(z)=0$ .

Для определения $\Delta_{C_R}\arg P(z)$ многочлен $P(z)= z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots+a_0$ записывается в виде произведения $P(z)=z^n\cdot \varphi(z)$ , где $\varphi(z)= \left(1+\frac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\frac{a_0}{z^n}\right)$ .

Поэтому $\Delta_{C_R}\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg z^n+ \Delta_{C_R}\arg \varphi(z)$ . При этом $\Delta_{C_R}\arg z^n= n \Delta_{C_R}\arg z$ , а из $\lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)=1$ получаем $\Delta_{C_R}\arg \varphi(z)=0$ . Таким образом, имеем $\Delta_{C_R}\arg P(z)= n\Delta_{C_R}\arg z$ . Величина $\Delta_{C_R}\arg z$ определяется как разность: $\Delta_{C_R}\arg z= \arg z_2-\arg z_1$ , где $z_1$ — начальная точка на дуге $C_R$ , a $z_2$ — конечная. В обоих случаях, изображенных на рис. 4.10,а и 4.10,б, $\Delta_{C_R}\arg z=\pi$ и $\Delta_{C_R}\arg z^n=n\pi$ .

Чтобы определить приращение аргумента $P(z)$ при перемещении точки $z$ по мнимой оси (отрезок $AB$ на рис. 4.10,а или $BA$ на рис. 4.10,б при $R\to\infty$ ) строится, как сказано выше, годограф — образ мнимой оси при отображении $w=P(z)$ . Для этого записываем параметрическое уравнение мнимой оси $z=it,~ t\in(-\infty,+\infty)$ , подставляем в $w=P(z)$ и получаем параметрическое уравнение образа. Чтобы построить годограф, отделяем в полученном уравнении действительную и мнимую части $\operatorname{Re}w=u,~ \operatorname{Im}w=v$ . Получаем уравнение образа в действительной параметрической форме $u=u(t),~ v=v(t)$ .

Для схематичного построения кривой в плоскости $Ouv$ достаточно найти несколько значений переменных ${u}$ и ${v}$ для различных значений $t$ , в частности нули функций $u(t),\,v(t)$ , а также их значения при $t\to-\infty$ и $t\to+\infty$ . Часто полезно найти угловой коэффициент касательной при $t\to\infty$ , то есть $\lim\limits_{t\to\pm\infty} \frac{v(t)}{u(t)}$ . Все данные целесообразно занести в таблицу и по точкам построить кривую. По графику определяем число оборотов вектора $w=P(z)$ вокруг нуля и приращение аргумента $w=P(z)$ на мнимой оси. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от $t\to+\infty$ к $t\to-\infty$ (рис. 4.10,а), а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от $t\to-\infty$ к $t\to+\infty$ (рис. 4.10,б). Результаты рассуждений запишем в виде алгоритма.

Алгоритм применения принципа аргумента для отыскания числа нулей многочлена

1. Определить приращение аргумента на дуге $C_R\colon$

$\Delta_{C_R}\arg P(z)=n\pi$ , где $n$ — степень многочлена $P(z)$ .

2. Определить приращение аргумента $P(z)$ на мнимой оси. Для этого:

а) найти $u(t)=\operatorname{Re}P(it)$ и $v(t)=\operatorname{Im}P(it)$ ;

б) построить годограф, $\begin{cases}u=u(t),\\ v=v(t),\end{cases}t\in(-\infty,+\infty);$

в) определить число оборотов $k$ радиуса-вектора вокруг нуля и приращение $2k\pi$ . При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от $t=+\infty$ к $t=-\infty$ , а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от $t=-\infty$ к $t=+\infty$ . При обходе нуля против часовой стрелки $k>0$ , а по часовой стрелке $k<0$ .

3. Вычислить $\Delta_C\arg P(z)=n\pi+2k\pi$ .

4. По формуле (4.40) найти $N=\frac{1}{2\pi}\Delta_{C} \arg P(z)= \frac{2k+n}{2}$ — число нулей многочлена $P(z)$ в полуплоскости.

Примеры нахождения нулей многочленов

Пример 4.45. Найти число нулей многочлена $P(z)=z^4-2z^3+z^2-1$ в правой полуплоскости.

Решение

1. Определим $\Delta_{C_R} \arg P(z)=4\pi$ , так как $n=4$ .

2. Положим $z=it\colon\, P(it)=t^4+2it^3-t^2-1=t^4-t^2-1+2it^3$ :

а) выделим действительную и мнимую части $u(t)=t^4-t^2-1,~ v(t)=2t^3$ ;

б) исследуем поведение функций $u(t),\,v(t)\colon\, v(t)=0$ при $t=0,~ v(t)>0$ при $t>0$ и $v(t)<0$ при $t<0;~ v=v(t)$ — функция нечетная.

Для нахождения нулей $u(t)$ — корней биквадратного уравнения $t^4-t^2-1=0$ , введем обозначение $y=t^2$ . Находим корни $y_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ , поэтому $y^2-y-1= (y-y_1)(y-y_2)$ . Так как $y_1>0$ , а $y_2<0$ , обозначим $y_1=b^2,~ y_2=-a^2$ и запишем разложение многочлена:

$t^4-t^2-1=(t-t_1)(t-t_2)(t^2+a^2)$ , где $t_{1,2}= \pm\sqrt{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}$ .

Для значений $t\in(t_1,t_2)$ имеем $u(t)<0$ , вне этого промежутка $u(t)>0$ .

Так как многочлены $u(t)$ и $v(t)$ не имеют общих нулей, то $P(z)\ne0$ при $z=it$ , т.е. на границе области $\operatorname{Re}z>0$ нет нулей многочлена $P(z)$ . Поэтому можно применить принцип аргумента.

Полученные данные запишем в табл. 4.1 и построим по точкам кривую (рис. 4.11).

$\begin{aligned}\mathit{Table~4.1}&\\[-2pt] \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t& +\infty& (\infty,t_1)& t_1& (t_1,0)& 0& (0,t_2)& t_2& (t_2,-\infty)& -\infty\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& -1& <0& 0& >0& +\infty\\\hline v& +\infty& >0& \approx4,\!4& >0& 0& <0& \approx-4,\!4& <0&-\infty\\\hline \end{array}&\end{aligned}$

в) Из рис. 4.11 видно, что при однократном обходе точкой $z$ мнимой оси сверху вниз ( $t$ изменяется от $+\infty$ к $-\infty$ ), радиус-вектор $w=P(z)$ поворачивается на $2\pi$ против часовой стрелки, т.е. $k=1$ .

3,4. Получаем $\Delta\arg P(z)=2\pi$ и $\Delta_{C}\arg P(z)=4\pi+2\pi=6\pi$ . Поэтому по формуле (4.40) находим $N=\frac{\Delta_{C}\arg P(z)}{2\pi}=3$ .

Заметим, что заданный многочлен можно разложить на множители $P(z)= (z^2-z-1)(z^2-z+1)$ и выписать все его нули: $z_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2},~ z_{3,4}= \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ . В правой полуплоскости расположены нули $z_1=\frac{1+ \sqrt{5}}{2},~z_3,\,z_4$ , а в левой — один нуль $z_2$ .

Заметим, что для определения числа нулей в левой полуплоскости следует изменять $t$ в направлении от $t=-\infty$ к $t=+\infty$ . При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и $k=-1$ . Поэтому $N=\frac{4\pi-2\pi}{2\pi}=1$ .

Пример 4.46. Найти число нулей многочлена $P(z)= 2z^5+z^4-6z^3+3z^2+4z+2$ в левой полуплоскости.

Решение

Воспользуемся алгоритмом.

1. Находим $\Delta_{C_R}\arg P(z)=5\pi$ , так как $n=5$ .

2. Положим $z=it\colon\, P(it)=2it^5+t^4+6it^3-3t^2+4it+2=(t^4-3t^2+2)+i(2t^5+6t^3+4t)\colon$

а) найдем действительную и мнимую части:

$u(t)= \operatorname{Re}P(it)= t^4-3t^2+2,\quad v(t)= \operatorname{Im}P(it)= 2t^5+6t^3+4t\,;$

б) исследуем поведение функций $u(t),\,v(t)\colon$

$u(t)=t^4-3t^2+2= (t^2-2)(t^2-1)= (t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})(t-1)(t+1);$

$u(t)=0$ при $t_{1,2}=\pm \sqrt{2},~~ t_{3,4}=\pm1\,;$

$v(t)= t(2t^4+6t^2+4)= 2t(t^2+2)(t^2+1);$

$v(t)=0$ при $t=0,~ ~v(t)>0$ при $t>0$ и $v(t)<0$ при $t<0$ .

Так как $v(t_{1,2})\ne0,~ v(t_{3,4})\ne0,~ u(0)\ne0$ , то многочлен $P(z)$ не имеет нулей на мнимой оси и принцип аргумента применим.

Данные занесем в табл. 4.2, причем достаточно провести вычисления только на интервале $(-\infty;0)$ , так как можно использовать свойства функций: $u(t)$ — четная, a $v(t)$ — нечетная.

$\begin{aligned}\mathit{Table~4.2}&\\[-2pt] \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t&-\infty& (-\infty,\sqrt{2})&-\sqrt{2}& (-\sqrt{2},-1)&-1& (-1;0)& 0\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& 0& >0& 2\\\hline v&-\infty& <0&-24 \sqrt{2}& <0&-12&<0&0\\\hline \end{array}&\end{aligned}$

в) Из рис. 4.12 видно, что $\arg P(z)=\frac{\pi}{2}$ при $t\to+\infty$ и $\arg P(z)=-\frac{\pi}{2}$ при $t\to-\infty$ , поэтому $\Delta\arg P(z)= \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$ ( $k=\frac{1}{2}$ , так как годограф обходит нуль, поворачиваясь против часовой стрелки).

3,4. $\Delta_{C}\arg P(z)=5\pi+\pi=6\pi,~ N=\frac{6\pi}{2\pi}=3$ .

Заметим, что для определения числа нулей в правой полуплоскости следует изменять $t$ в направлении от $t=+\infty$ к $t=-\infty$ . При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и $k=-\frac{1}{2}$ . Поэтому $N=\frac{5\pi-\pi}{2\pi}=2$ .

Пример 4.47. Найти число нулей многочлена $P(z)=z^8+3z^5-5z^4+15z^3+ 18z+4$ в правой полуплоскости.

Решение

1. Находим $\Delta_{C_R}=8\pi$ , так как $n=8$ .

2. Положим $z=it\colon\, P(it)=t^8+3it^5-5t^4-15it^3+18it+4=t^8-5t^4+4+i(3t^5-15t^3+ 18t)\colon$

а) запишем действительную и мнимую части:

$\begin{aligned} u(t)&=t^8-5t^4+4=(t^4-1)(t^4-4)= (t^2-1)(t^2-2)(t^4+3t^2+2),\\ v(t)&=3t^5-15t^3+ 18t=3t(t^2-2)(t^2-3); \end{aligned}$

б) исследуем поведение функций $u(t),\,v(t)$ . Так как многочлены $u(t)$ и $v(t)$ имеет общие корни $t_{1,2}=\pm \sqrt{2}$ , то при $z=it$ имеем $P(z)=0$ и принцип аргумента для данного многочлена непосредственно применить нельзя.

С другой стороны, так как многочлены имеют общий множитель, то из $P(it)=u(t)+iv(t)$ находим $P(it)= (t^2-2)(u_1(t)+i\,v_1(t))$ . При $z=it$ ,т.е. при $t=-iz$ , получаем: $P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z)$ , и далее задача может состоять в определении числа нулей многочлена $Q(z)$ .

Разложение $P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z)$ можно получить непосредственно группировкой:

$\begin{aligned}P(z)&= z^8-5z^4+4+3z(z^4+5z^2+6)= (z^4-1)(z^4-4)+3z(z^2+2)(z^2+3)=\\ &=(z^2+2) \bigl((z^2-2)(z^4-1)+3z(z^2+3)\bigr)= (z^2+2)(z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2). \end{aligned}$

Из разложения следует, что многочлен $P(z)$ имеет два нуля на мнимой оси: $z=\pm \sqrt{2}$ . Другие его нули определяются как нули многочлена $Q(z)= z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2$ . Задачу далее решаем по алгоритму с применением принципа аргумента. В результате получим:

$\Delta_{C}\arg Q(z)=6\pi-2\pi=4\pi,\quad N=2.$

Пример 4.48. Найти число нулей многочлена $P(z)=z^3-2z-5$ в области $D\colon$ a) $D\colon|z|<1$ ; б) $D\colon1<|z|<3$ .

Решение

Воспользуемся теоремой Руше.

а) Обозначим $f(z)=5,~ \varphi(z)=z^3-2z$ . На границе области, т.е. для точек, удовлетворяющих условию $|z|=1$ , имеем

$|f(z)|=5,\qquad |\varphi(z)|=|z^3-2z|<|z|^3+2|z|,\qquad \Bigl.{|\varphi(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}<3.$

Условия теоремы Руше выполняются и, следовательно, число нулей данного многочлена в области $|z|<1$ совпадает с числом нулей функции $f(z)=5$ в этой области. Так как многочлен $f(z)=5$ не имеет корней, то заключаем, что многочлен $z^3-2z-5$ в области $|z|<1$ не имеет нулей.

б) В силу того, что в круге $|z|<1$ многочлен не имеет нулей, то для нахождения нулей в кольце $D\colon 1<|z|<3$ достаточно найти их число в круге $|z|<3$ . Обозначим $f(z)=z^3,~ \varphi(z)=-2z-5$ . На границе области, т.е. для $z$ , удовлетворяющих условию $|z|=3$ , имеем

$\Bigl.{|f(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}= \Bigl.{|z|^3}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}=27,\qquad |\varphi(z)|= |2z+5|<2\cdot|z|+5,\qquad \Bigl.{|\varphi(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}<11.$

Условия теоремы Руше выполняются, и искомое число нулей совпадает с числом нулей многочлена $f(z)=z^3$ . Так как этот многочлен в области $|z|<3$ имеет корень $z=0$ кратности $n=3$ , то получаем, что многочлен $z^3-2z-5$ в кольце $D\colon 1<|z|<3$ имеет три нуля.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]