Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости

Вычеты и расположение нулей многочлена на комплексной плоскости


Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости.


Нули функции f(z) являются, очевидно, полюсами функции вида \frac{\varphi(z)}{f(z)}, если \varphi(z) не обращается в нуль в этих точках. В частности, в качестве вспомогательной для исследования нулей функции f(z) можно рассмотреть функцию, полностью определяемую только самой функцией f(z), а именно \frac{\varphi(z)}{f(z)}= \frac{f'(z)}{f(z)}. Из-за очевидного равенства \frac{f'(z)}{f(z)}=(\ln f(z))', эту функцию называют логарифмической произведной функции f(z). Ее особыми точками являются особые точки и нули f(z). Поэтому нули функции f(z) можно исследовать как особые точки (\ln f(z))'. Можно применить аппарат теории вычетов, в частности основную теорему о вычетах. Имеет место следующее утверждение.




Теорема о логарифмическом вычете


Утверждение 4.12 (теорема о логарифмическом вычете).


1. Пусть функция f(z) — аналитическая в \overline{D} за исключением, быть может, конечного числа полюсов, на C — границе области D не имеет ни полюсов, ни нулей. Тогда справедлива формула


\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P.
(4.37)

где N — число нулей, P — число полюсов функции f(z) в области D с учетом их кратностей, т.е. каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — такое количество раз, каков его порядок.


2. В частности, если функция f(z) в \overline{D} не имеет особых точек и на C не имеет нулей, то


\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N.
(4.38)

Доказательство формулы (4.37) получается следующим образом. Пусть z_0 — нуль порядка n функции f(z), тогда справедливо равенство f(z)= (z-z_0)^n\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0. Дифференцируя это равенство, получаем f'(z)=n(z-z_0)^{n-1}\cdot \varphi(z)+\varphi'(z)\cdot (z-z_0)^n. Поэтому для логарифмической производной имеем \frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{n}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}. Здесь \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)} — аналитическая в точке z_0 функция, так как \varphi(z) аналитическая и \varphi(z_0)\ne0. Поэтому в последнем равенстве слагаемое \frac{n}{z-z_0} является главной частью разложения \frac{f'(z)}{f(z)} в окрестности z_0, из чего следует, что n= \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}, т.е. вычет логарифмической производной функции f(z) в ее нуле равен кратности этого нуля.


Аналогично, для z_0\Pi(p) функции f(z) из равенств


f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^p},\quad \varphi(z_0)\ne0 и f'(z)=-p(z-z_0)^{-p-1}\cdot \varphi(z)+ (z-z_0)^{-p} \varphi'(z) получаем \frac{f'(z)}{f(z)}= \frac{-p}{z-z_0}+ \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)},

из чего заключаем, что -p=\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0} \frac{f'(z)}{f(z)}, т.е. вычет логарифмической производной функции f(z) в ее полюсе равен порядку полюса с противоположным знаком.


Применяя теорему о вычетах к вычислению интеграла \textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz} устанавливаем справедливость формулы (4.37).


Пример 4.44. Вычислить контурный интеграл \textstyle{\oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz} с помощью вычетов


а) f(z)= \frac{(z-1)^3(z^2+4)^2}{(z+1)^7},\quad C\colon |z|=3; б) f(z)= \frac{(z-1)^3(z+3)\sin z}{(z-i)^2(z+5)^2},\quad C\colon |z|=2.


▼ Решение

Для каждой функции находим нули и полюсы, которые принадлежат области, ограниченной контуром C, и применяем формулу (4.37):


а) функция f(z) имеет нули: z_1=1 кратности 5 и z_{2,3}= \pm2i каждый кратности 2, а также полюс в точке z_1=1 порядка 7. Все найденные точки расположены в круге |z|<3. Следовательно,


N=5+2+2=9,\quad P=7 и \oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (9-7)=4\pi i.

б) в круге |z|<2 функция имеет нули: z=1 кратности 3 и z=0 кратности 1, а также полюс порядка 2 в точке z=i. Другие нули: z_k=k\pi,~ k\ne0,~ z=-3 и полюс z=-5 не принадлежат области |z|<2 и поэтому не учитываются. Следовательно,


N=3+1=4,\quad P=2 и \oint\limits_{C} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\,dz= 2\pi i\cdot (4-2)=4\pi i.

Формула (4.38), очевидно, может быть использована для исследования нулей функции f(z), если удастся получить удобный алгоритм для вычисления интеграла, стоящего слева в (4.38).


Воспользуемся равенством \operatorname{Ln}f(z)= \ln|f(z)|+i \operatorname{Arg}f(z). Так как f(z) — аналитическая на C и на C не имеет нулей, то в некоторой области, содержащей C, возможно выделение однозначных ветвей \operatorname{Arg}f(z), и, следовательно, на C имеем однозначную аналитическую функию \ln f(z)=\ln|f(z)|+i\arg f(z), где \arg f(z) — одно из значений аргумента, в частности главное значение. Запишем интеграл (логарифмический вычет):


\oint\limits_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz= \oint\limits_{C} d\bigl(\ln f(z)\bigr)= \oint\limits_{C} d \bigl(\ln|f(z)|\bigr)+ i \oint\limits_{C}d \bigl(\arg f(z)\bigr).

Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции дву: действительных переменных d \bigl(\ln|f(z)|\bigr).


Второе слагаемое определяет приращение аргумента образа точки при отображении w=f(z) в то время, когда точка z совершает полные обход контура C в положительном направлении (рис. 4.9,а), то есть \textstyle{\oint\limits_{C} d \bigl(\arg f(z)\bigr)= \Delta_C\arg f(z)}. Если точка w_0=f(z_0) не совершает обхода вокруг w=0, то \Delta_C\arg f(z) (рис. 4.9,б) . Если точка w_0=f(z_0) совершает, оборотов, то \Delta_C\arg f(z)=2k\pi (на рис. 4.9,в k=2), причем в этом равенстве k>0 при положительном обходе (против часовой стрелки) и k<0 при отрицательном (по часовой стрелке). Величина \left|\frac{1}{2\pi} \Delta_C\arg f(z)\right|=|k| определяет число оборотов вектора w=f(z), а знак — направление обхода.


Рис. 4.9.

Приведенные рассуждения отражают геометрический смысл формулы (4.38).




Принцип аргумента


Утверждение 4.13 (принцип аргумента)


1. Разность между числом нулей и полюсов функции f(z) в области ограниченной контуром C, равна числу оборотов вектора w=f(z) при nt ремещении точки {w} по кривой \Gamma — образу C при отображении w=f(z) и однократном обходе точкой z контура C\colon


N-P= \frac{1}{2\pi}\cdot\Delta_C\arg f(z).
(4.39)

2. Если функция f(z) — аналитическая в \overline{D} и на C — границе D нет нулей f(z), то (4.39) принимает вид


N= \frac{1}{2\pi}\cdot \Delta_C\arg f(z).
(4.40)

т.е. число нулей N в области D функции f(z), аналитической в этой области, равно числу оборотов вектора w=f(z) вокруг начала координат.


Принцип аргумента, в частности формула (4.40), имеет многочисленные приложения. Приведем, например, следующие две теоремы.




Теорема Руше


Утверждение 4.14 (теорема Руше). Пусть функции f(z) и \varphi(z) являются аналитическими в односвязной области D и на ее границе C и в точках границы выполняются условия |f(z)|>|\varphi(z)|,~ z\in \mathbb{C}. Тогда число нулей функции f(z) и F(z)= f(z)+\varphi(z) в области D одинаково.


Приведем доказательство. Прежде всего проверим, что функции f(z) и F(z) удовлетворяют условиям применения принципа аргумента, а именно не имеют нулей на контуре C. Действительно, из неравенства |f(z)|>|\varphi(z)|,~ z\in \mathbb{C} и |\varphi(z)|\geqslant0 получаем |f(z)|>0,~ z\in \mathbb{C}, то есть f(z)\ne0. Аналогично для функции F(z)\colon


\bigl|f(z)+\varphi(z)\bigr|= \bigl|f(z)-(-\varphi(z))\bigr| \geqslant \bigl|f(z)\bigr|-\bigl|\varphi(z)\bigr|>0,\quad z\in \mathbb{C}, то есть F(z)\ne0,\quad z\in \mathbb{C}.

Далее покажем, что \Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z). Для этого запишем функцию F(z) в виде произведения F(z)= f(z)+\varphi(z)= f(z)\cdot\! \left(1+ \frac{\varphi(z)}{f(z)}\right). Тогда \Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z)+\Delta_C\arg w(z), где w(z)=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)}. На границе C имеем |w-1|= \left|\frac{\varphi(z)}{f(z)}\right|= \frac{|\varphi(z)|}{|f(z)|}<1, т.e. образом кривой C при отображении w=1+\frac{\varphi(z)}{f(z)} является окружность |w-1|=1, из чего следует, что радиус-вектор точки {w} не обходит начало координат, поэтому \Delta_C\arg w(z)=0. Таким образом, получаем \Delta_C\arg F(z)= \Delta_C\arg f(z).




Основная теорема алгебры


Утверждение 4.15 (основная теорема алгебры). Многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет n корней.


Для доказательства представляем многочлен P_n(z)= a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0 в виде суммы:


P_n(z)=f(z)+\varphi(z), где f(z)=a_nz^n и \varphi(z)= a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0.

Так как \lim\limits_{z\to\infty} \frac{\varphi(z)}{f(z)}=0. то найдется такое число R>0, что для z, удовлетворяющих условию |z|\geqslant R, выполняется неравенство |f(z)|>|\varphi(z)|. За счет выбора достаточно большого R можно получить, что все нули многочлена расположены в круге |z|<R. На границе круга, т.е. на |z|=R, выполняется условие |f(z)|>|\varphi(z)|. По теореме Руше многочлен имеет в |z|<R, а следовательно, и всюду такое же число нулей, как и функция f(z). Но f(z)=a_nz^n имеет и нулей в круге |z|<R, так как z=0 является нулем кратности n.


Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел \mathbb{C} как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество \mathbb{C}. Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству \mathbb{C}, и, значит, новых чисел, не входящих в \mathbb{C}, для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел.


Практическое применение формулы (4.40) при решении задач определения числа нулей аналитической функции в области D заключается в следующем. Строится годограф — кривая, которая является образом границы области D при отображении w=f(z). Далее по рисунку определяется число оборотов вектора {w} при однократном обходе точкой z границы области D. Наконец, по формуле (4.40) определяется число нулей функции f(z) в области D.


Область D может быть неограниченной, например полуплоскость \operatorname{Re}z>a. С задачей определения числа нулей многочлена f(z)= P(z) в полуплоскости \operatorname{Re}z>0 связана важнейшая проблема механики — проблема устойчивости электрических и механических систем.


В качестве контура C в таком случае выбирается полуокружность |z|=R,~ \operatorname{Re}z>0 и ее диаметр (рис. 4.10,a), число R выбирается достаточно большим, чтобы все нули многочлена, расположенные в правой полуплоскости (\operatorname{Re}z>0), попали в полукруг |z|<R,~ \operatorname{Re}z>0, и рассматривается \lim\limits_{R\to\infty} \Delta_C\arg P(z). Задача определения числа нулей в левой полуплоскости решается аналогично. При этом рассматривается левая полуокружность |z|=R,~ \operatorname{Re}z>0 и ее диаметр (рис. 4.10,б).


Рис. 4.10.

Так как контур C состоит из дуги C_R\colon\, |z|=R и отрезка AB, то имеем \Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{AB}\arg P(z) в случае \operatorname{Re}z>0 и \Delta_C\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg P(z)+ \Delta_{BA}\arg P(z) в случае \operatorname{Re}z<0.


Для удобства будем считать, что a_n=1, так как величина коэффициента a_n\ne0 не влияет на число корней уравнения P_n(z)=0.


Для определения \Delta_{C_R}\arg P(z) многочлен P(z)= z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \ldots+a_0 записывается в виде произведения P(z)=z^n\cdot \varphi(z), где \varphi(z)= \left(1+\frac{a_{n-1}}{z}+\ldots+\frac{a_0}{z^n}\right).


Поэтому \Delta_{C_R}\arg P(z)= \Delta_{C_R}\arg z^n+ \Delta_{C_R}\arg \varphi(z). При этом \Delta_{C_R}\arg z^n= n \Delta_{C_R}\arg z, а из \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)=1 получаем \Delta_{C_R}\arg \varphi(z)=0. Таким образом, имеем \Delta_{C_R}\arg P(z)= n\Delta_{C_R}\arg z. Величина \Delta_{C_R}\arg z определяется как разность: \Delta_{C_R}\arg z= \arg z_2-\arg z_1, где z_1 — начальная точка на дуге C_R, a z_2 — конечная. В обоих случаях, изображенных на рис. 4.10,а и 4.10,б, \Delta_{C_R}\arg z=\pi и \Delta_{C_R}\arg z^n=n\pi.


Чтобы определить приращение аргумента P(z) при перемещении точки z по мнимой оси (отрезок AB на рис. 4.10,а или BA на рис. 4.10,б при R\to\infty) строится, как сказано выше, годограф — образ мнимой оси при отображении w=P(z). Для этого записываем параметрическое уравнение мнимой оси z=it,~ t\in(-\infty,+\infty), подставляем в w=P(z) и получаем параметрическое уравнение образа. Чтобы построить годограф, отделяем в полученном уравнении действительную и мнимую части \operatorname{Re}w=u,~ \operatorname{Im}w=v. Получаем уравнение образа в действительной параметрической форме u=u(t),~ v=v(t).


Для схематичного построения кривой в плоскости Ouv достаточно найти несколько значений переменных {u} и {v} для различных значений t, в частности нули функций u(t),\,v(t), а также их значения при t\to-\infty и t\to+\infty. Часто полезно найти угловой коэффициент касательной при t\to\infty, то есть \lim\limits_{t\to\pm\infty} \frac{v(t)}{u(t)}. Все данные целесообразно занести в таблицу и по точкам построить кривую. По графику определяем число оборотов вектора w=P(z) вокруг нуля и приращение аргумента w=P(z) на мнимой оси. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от t\to+\infty к t\to-\infty (рис. 4.10,а), а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от t\to-\infty к t\to+\infty (рис. 4.10,б). Результаты рассуждений запишем в виде алгоритма.




Алгоритм применения принципа аргумента для отыскания числа нулей многочлена


1. Определить приращение аргумента на дуге C_R\colon


\Delta_{C_R}\arg P(z)=n\pi, где n — степень многочлена P(z).

2. Определить приращение аргумента P(z) на мнимой оси. Для этого:

а) найти u(t)=\operatorname{Re}P(it) и v(t)=\operatorname{Im}P(it);

б) построить годограф, \begin{cases}u=u(t),\\ v=v(t),\end{cases}t\in(-\infty,+\infty);

в) определить число оборотов k радиуса-вектора вокруг нуля и приращение 2k\pi. При решении задачи определения числа нулей в правой полуплоскости рассматривается перемещение точки по годографу в направлении от t=+\infty к t=-\infty, а при определении числа нулей в левой полуплоскости — в направлении от t=-\infty к t=+\infty. При обходе нуля против часовой стрелки k>0, а по часовой стрелке k<0.


3. Вычислить \Delta_C\arg P(z)=n\pi+2k\pi.


4. По формуле (4.40) найти N=\frac{1}{2\pi}\Delta_{C} \arg P(z)= \frac{2k+n}{2} — число нулей многочлена P(z) в полуплоскости.




Примеры нахождения нулей многочленов


Пример 4.45. Найти число нулей многочлена P(z)=z^4-2z^3+z^2-1 в правой полуплоскости.


▼ Решение

1. Определим \Delta_{C_R} \arg P(z)=4\pi, так как n=4.


2. Положим z=it\colon\, P(it)=t^4+2it^3-t^2-1=t^4-t^2-1+2it^3:


а) выделим действительную и мнимую части u(t)=t^4-t^2-1,~ v(t)=2t^3;


б) исследуем поведение функций u(t),\,v(t)\colon\, v(t)=0 при t=0,~ v(t)>0 при t>0 и v(t)<0 при t<0;~ v=v(t) — функция нечетная.


Для нахождения нулей u(t) — корней биквадратного уравнения t^4-t^2-1=0, введем обозначение y=t^2. Находим корни y_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}, поэтому y^2-y-1= (y-y_1)(y-y_2). Так как y_1>0, а y_2<0 , обозначим y_1=b^2,~ y_2=-a^2 и запишем разложение многочлена:


t^4-t^2-1=(t-t_1)(t-t_2)(t^2+a^2), где t_{1,2}= \pm\sqrt{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}}.

Для значений t\in(t_1,t_2) имеем u(t)<0, вне этого промежутка u(t)>0.


Так как многочлены u(t) и v(t) не имеют общих нулей, то P(z)\ne0 при z=it, т.е. на границе области \operatorname{Re}z>0 нет нулей многочлена P(z). Поэтому можно применить принцип аргумента.


Полученные данные запишем в табл. 4.1 и построим по точкам кривую (рис. 4.11).


\begin{aligned}\mathit{Table~4.1}&\\[-2pt] \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t& +\infty& (\infty,t_1)& t_1& (t_1,0)& 0& (0,t_2)& t_2& (t_2,-\infty)& -\infty\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& -1& <0& 0& >0& +\infty\\\hline v& +\infty& >0& \approx4,\!4& >0& 0& <0& \approx-4,\!4& <0&-\infty\\\hline \end{array}&\end{aligned}

Рис. 4.11.

в) Из рис. 4.11 видно, что при однократном обходе точкой z мнимой оси сверху вниз (t изменяется от +\infty к -\infty), радиус-вектор w=P(z) поворачивается на 2\pi против часовой стрелки, т.е. k=1.


3,4. Получаем \Delta\arg P(z)=2\pi и \Delta_{C}\arg P(z)=4\pi+2\pi=6\pi. Поэтому по формуле (4.40) находим N=\frac{\Delta_{C}\arg P(z)}{2\pi}=3.


Заметим, что заданный многочлен можно разложить на множители P(z)= (z^2-z-1)(z^2-z+1) и выписать все его нули: z_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2},~ z_{3,4}= \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}. В правой полуплоскости расположены нули z_1=\frac{1+ \sqrt{5}}{2},~z_3,\,z_4, а в левой — один нуль z_2.


Заметим, что для определения числа нулей в левой полуплоскости следует изменять t в направлении от t=-\infty к t=+\infty. При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и k=-1. Поэтому N=\frac{4\pi-2\pi}{2\pi}=1.


Пример 4.46. Найти число нулей многочлена P(z)= 2z^5+z^4-6z^3+3z^2+4z+2 в левой полуплоскости.


▼ Решение

Воспользуемся алгоритмом.


1. Находим \Delta_{C_R}\arg P(z)=5\pi, так как n=5.


2. Положим z=it\colon\, P(it)=2it^5+t^4+6it^3-3t^2+4it+2=(t^4-3t^2+2)+i(2t^5+6t^3+4t)\colon


а) найдем действительную и мнимую части:


u(t)= \operatorname{Re}P(it)= t^4-3t^2+2,\quad v(t)= \operatorname{Im}P(it)= 2t^5+6t^3+4t\,;

б) исследуем поведение функций u(t),\,v(t)\colon


u(t)=t^4-3t^2+2= (t^2-2)(t^2-1)= (t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})(t-1)(t+1);

u(t)=0 при t_{1,2}=\pm \sqrt{2},~~ t_{3,4}=\pm1\,;

v(t)= t(2t^4+6t^2+4)= 2t(t^2+2)(t^2+1);

v(t)=0 при t=0,~ ~v(t)>0 при t>0 и v(t)<0 при t<0.

Так как v(t_{1,2})\ne0,~ v(t_{3,4})\ne0,~ u(0)\ne0, то многочлен P(z) не имеет нулей на мнимой оси и принцип аргумента применим.


Данные занесем в табл. 4.2, причем достаточно провести вычисления только на интервале (-\infty;0), так как можно использовать свойства функций: u(t) — четная, a v(t) — нечетная.


\begin{aligned}\mathit{Table~4.2}&\\[-2pt] \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t&-\infty& (-\infty,\sqrt{2})&-\sqrt{2}& (-\sqrt{2},-1)&-1& (-1;0)& 0\\\hline u& +\infty& >0& 0& <0& 0& >0& 2\\\hline v&-\infty& <0&-24 \sqrt{2}& <0&-12&<0&0\\\hline \end{array}&\end{aligned}

Рис. 4.12.

в) Из рис. 4.12 видно, что \arg P(z)=\frac{\pi}{2} при t\to+\infty и \arg P(z)=-\frac{\pi}{2} при t\to-\infty, поэтому \Delta\arg P(z)= \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi (k=\frac{1}{2}, так как годограф обходит нуль, поворачиваясь против часовой стрелки).


3,4. \Delta_{C}\arg P(z)=5\pi+\pi=6\pi,~ N=\frac{6\pi}{2\pi}=3.


Заметим, что для определения числа нулей в правой полуплоскости следует изменять t в направлении от t=+\infty к t=-\infty. При этом обход нуля осуществляется по часовой стрелке и k=-\frac{1}{2}. Поэтому N=\frac{5\pi-\pi}{2\pi}=2.


Пример 4.47. Найти число нулей многочлена P(z)=z^8+3z^5-5z^4+15z^3+ 18z+4 в правой полуплоскости.


▼ Решение

1. Находим \Delta_{C_R}=8\pi, так как n=8.


2. Положим z=it\colon\, P(it)=t^8+3it^5-5t^4-15it^3+18it+4=t^8-5t^4+4+i(3t^5-15t^3+ 18t)\colon


а) запишем действительную и мнимую части:


\begin{aligned} u(t)&=t^8-5t^4+4=(t^4-1)(t^4-4)= (t^2-1)(t^2-2)(t^4+3t^2+2),\\ v(t)&=3t^5-15t^3+ 18t=3t(t^2-2)(t^2-3); \end{aligned}

б) исследуем поведение функций u(t),\,v(t). Так как многочлены u(t) и v(t) имеет общие корни t_{1,2}=\pm \sqrt{2}, то при z=it имеем P(z)=0 и принцип аргумента для данного многочлена непосредственно применить нельзя.


С другой стороны, так как многочлены имеют общий множитель, то из P(it)=u(t)+iv(t) находим P(it)= (t^2-2)(u_1(t)+i\,v_1(t)). При z=it,т.е. при t=-iz, получаем: P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z), и далее задача может состоять в определении числа нулей многочлена Q(z).


Разложение P(z)=(z^2+2)\cdot Q(z) можно получить непосредственно группировкой:


\begin{aligned}P(z)&= z^8-5z^4+4+3z(z^4+5z^2+6)= (z^4-1)(z^4-4)+3z(z^2+2)(z^2+3)=\\ &=(z^2+2) \bigl((z^2-2)(z^4-1)+3z(z^2+3)\bigr)= (z^2+2)(z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2). \end{aligned}

Из разложения следует, что многочлен P(z) имеет два нуля на мнимой оси: z=\pm \sqrt{2}. Другие его нули определяются как нули многочлена Q(z)= z^6-2z^4+3z^3-z^2+9z+2. Задачу далее решаем по алгоритму с применением принципа аргумента. В результате получим:


\Delta_{C}\arg Q(z)=6\pi-2\pi=4\pi,\quad N=2.

Пример 4.48. Найти число нулей многочлена P(z)=z^3-2z-5 в области D\colon a) D\colon|z|<1; б) D\colon1<|z|<3.


▼ Решение

Воспользуемся теоремой Руше.


а) Обозначим f(z)=5,~ \varphi(z)=z^3-2z. На границе области, т.е. для точек, удовлетворяющих условию |z|=1, имеем


|f(z)|=5,\qquad |\varphi(z)|=|z^3-2z|<|z|^3+2|z|,\qquad \Bigl.{|\varphi(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}<3.

Условия теоремы Руше выполняются и, следовательно, число нулей данного многочлена в области |z|<1 совпадает с числом нулей функции f(z)=5 в этой области. Так как многочлен f(z)=5 не имеет корней, то заключаем, что многочлен z^3-2z-5 в области |z|<1 не имеет нулей.


б) В силу того, что в круге |z|<1 многочлен не имеет нулей, то для нахождения нулей в кольце D\colon 1<|z|<3 достаточно найти их число в круге |z|<3. Обозначим f(z)=z^3,~ \varphi(z)=-2z-5. На границе области, т.е. для z, удовлетворяющих условию |z|=3, имеем


\Bigl.{|f(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}= \Bigl.{|z|^3}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}=27,\qquad |\varphi(z)|= |2z+5|<2\cdot|z|+5,\qquad \Bigl.{|\varphi(z)|}\Bigr|_{z\in \mathbb{C}}<11.

Условия теоремы Руше выполняются, и искомое число нулей совпадает с числом нулей многочлена f(z)=z^3. Так как этот многочлен в области |z|<3 имеет корень z=0 кратности n=3, то получаем, что многочлен z^3-2z-5 в кольце D\colon 1<|z|<3 имеет три нуля.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved