Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Вычеты и их применение
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Вычеты и их применение Определение вычета Пусть $z_0\in \overline{\mathbb{C}}$ — изолированная особая точка функции $f(z)$ . По определению изолированной особой точки существует некоторая окрестность этой точки, в которой $f(z)$ — аналитическая. Напомним, что для $z_0\in \mathbb{C}$ эта окрестность имеет вид $0<\|z-z_0\|<R$ , а для $z_0=\infty$ — $R<\|z\|<\infty$ . Рассмотрим произвольный контур $\gamma$ , принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей $z_0$ (рис 4.2,а). По следствию из основной теоремы Коши интеграл $\textstyle{\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz}$ имеет одно и то же значение, независимо от вида кривой $\gamma$ , т.е. интеграл характеризует поведение функции $f(z)$ в особой точке $z_0$ и, следовательно, может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика. Вычетом функции $f(z)$ в изолированной особой точке $z_0~(z_0\in \overline{\mathbb{C}})$ называется интеграл $\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz$ , где $\gamma$ — контур, принадлежащий окрестности точки $z_0$ и охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности $z_0$ при обходе расположена слева: для $z_0\in \mathbb{C}$ — обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для $z_0=\infty$ — по часовой стрелке (рис. 4.2,б). Обозначается вычет $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0} f(z)$ (res — residu (фр.) — вычитать): $\begin{gathered} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz,\quad \gamma\in O(z_0)\setminus z_0\colon 0<\|z-z_0\|<R,\\[2pt] \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz,\quad \gamma\in O(\infty)\setminus \infty\colon R<\|z\|<\infty. \end{gathered}$ (4.16) Так как в окрестности изолированной особой точки функция разлагается в ряд Лорана, то, используя формулы для коэффициентов ряда Лорана и сравнивая их с (4.16), замечаем, что можно сделать следующее заключение. Утверждение 4.5. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту $c_{-1}$ при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при $\frac{1}{z-z_0}$ для $z_0\in \mathbb{C}$ , и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для $z_0=\infty\colon$ $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)=c_{-1},\quad z_0\in \mathbb{C},$ (4.17) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty} f(z)=-c_{-1},\quad z_0=\infty.$ (4.18) С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура. Действительно, пусть функция в области $D$ имеет $n$ особых точек $z_k,~ k=1,2,\ldots,n$ . Можно рассмотреть контуры $\gamma_k\in D$ , которые являются границами непересекающихся областей $D_k$ , таких, что каждая из особых точек $z_k$ (изолированных особых точек) принадлежит одной из $D_k$ (рис. 4.3,а), а интеграл по $\gamma_k$ согласно определению (см. формулу (4.16)) есть $2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k}f(z)$ . Кроме того, для любого контура $C$ , ограничивающего область $D$ , которой принадлежат все особые точки функции $f(z)$ , и контура $\gamma$ — границы окрестности бесконечно удаленной точки справедливо равенство $\oint\limits_{\gamma}f(z)\,dz=-\oint\limits_{C}f(z)\,dz$ (обход на $\gamma$ по часовой стрелке (рис. 4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.16) получаем следующие утверждения. Основная теорема о вычетах Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция $f(z)$ -аналитическая в $\overline{D}$ за исключением конечного числа особых точек $z_k\in D$ , то справедливо равенство (где $C$ — граница области $D$ ): $\oint\limits_{C}f(z)\,dz= 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k} f(z),\quad z_k\in D.$ (4.19) Обобщенная теорема о вычетах Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции $f(z)$ во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю: $\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=0.$ (4.20) Пример 4.22. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: а) $f(z)= \frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ . Решение Особыми точками функций являются точки $z_1=-1,~ z_2=3,~ z_3=\infty$ . Записываем разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.31, 3.33 и 3.34): а) $\begin{aligned}f(z)&= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},\quad 0<\|z+1\|<4;\\ f(z)&= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z+1)^n,\quad 0<\|z-3\|<4;\\ f(z)&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},\quad \|z\|<3. \end{aligned}$ Из этих разложений находим: $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)=c_{-1}=\frac{-1}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)=c_{-1}= \frac{5}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-c_{-1}=-\left(\frac{-1+5\cdot3^0}{4}\right)=-1.$ Полученный результат иллюстрирует обобщенную теорему о вычетах: $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=0.$ Заметим также, что здесь точки $z_1$ и $z_2$ — простые полюсы, а $z=\infty$ — устранимая особая точка. б) $\begin{aligned}f(z)&= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot\frac{1}{(z+ 1)^2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{16\cdot4^{n+1}}\,,\quad 0<\|z+1\|<4;\\ f(z)&= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,\quad 0<\|z-3\|<4.\end{aligned}$ Из этих разложений имеем: $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)=c_{-1}=-\frac{5}{16}\,;\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)=c_{-1}=\frac{5}{16}\,.$ Вычет в бесконечно удаленной точке $z=\infty$ можно найти, используя обобщенную теорию о вычетах: $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)\right)=0$ . Этот же результат получим, если запишем разложение функции в области $\|z\|>3$ -окрестности $z=\infty$ Заметим, что для этой функции $z_1$ — $\Pi(2)$ , $z_2$ — $\Pi(1)$ , а $z=\infty$ — устранимая особая точка. Пример 4.23. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) $f(z)=z^3\exp \frac{1}{z}$ ; б) $f(z)=\frac{1-\cos z}{z^2}$ . Решение Особыми точками функции являются точки $z_1=0,~ z_2=\infty$ . Находим разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.35 и 3.36): а) $f(z)= z^3+z^2+\frac{z}{2!}+\frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!z}+\ldots,~~0<\|z\|<\infty$ ; Из этого разложения $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{0}f(z)= c_{-1}= \frac{1}{4!}= \frac{1}{24}\,;\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-c_{-1}=-\frac{1}{4!}=-\frac{1}{24}\,.$ Заметим, что $z=0$ здесь — существенно особая точка, a $z=\infty$ — $\Pi(3)$ для $f(z)$ ; б) $f(z)=\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\ldots$ . Из этого разложения получаем $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{0}f(z)=0,~ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty} f(z)=0$ . Здесь $z=0$ — устранимая особая точка для $f(z)$ , а $z=\infty$ — существенно особая точка. Пример 4.24. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: a) $\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)$ ; б) $(z-1)\exp\frac{1}{z-2}$ . Решение Конечные особые точки функций являются существенно особыми точками. Это $z=0$ для первой функции и $z=2$ для второй. Разложим функции в ряды в окрестностях этих точек и найдем вычеты по формуле (4.17): а) $\begin{aligned}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)&= \sin1\cdot\cos \frac{1}{z}+\cos1\cdot\sin \frac{1}{z}= \sin1\cdot \left(1-\frac{1}{2!z^2}+\ldots\right)+ \cos1\cdot \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^33!}+ \ldots\right)=\\ &=\sin1+\cos1\cdot \frac{1}{z}-\frac{\sin1}{2!}\cdot \frac{1}{z^2}-\ldots \end{aligned}$ Следовательно, $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f(z)= c_{-1}=\cos1$ . Так как у рассматриваемой функции другах конечных особых точек нет, то по формуле (4.20) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-\cos1$ . Заметим, что $z=\infty$ — устранимая особая точка для данной функции $f(z)$ ; б) $\begin{aligned}(z-1)\exp \frac{1}{z-2}&= (z-2+1)\exp \frac{1}{z-2}= (z-2)\exp \frac{1}{z-2}+\exp \frac{1}{z-2}=\\ &=(z-2)\! \left(1+\frac{1}{z-2}+\frac{1}{2!(z-2)^2}+\ldots\right)+ \left(1+\frac{1}{z-2}+\frac{1}{2!(z-2)^2}+\ldots \right)=\\ &=2+(z-2)+ \frac{1}{z-2}\! \left(1+\frac{1}{2!}\right)+ \frac{1}{(z-2)^2}\! \left(\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}\right)+\ldots,\end{aligned}$ поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2}f(z)= 1+\frac{1}{2!}= \frac{3}{2}$ . Поскольку нет другах конечных особых точек, то по формуле (4.20) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)=-\frac{3}{2}$ . Точка $z=\infty$ является полюсом первого порядка данной $f(z)$ . Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке В рассмотренных выше примерах при нахождении вычетов использовались формулы (4.17),(4.18) , т.е. функции раскладывались в ряды Лорана. При этом знание типа особой точки, в которой вычисляется вычет функции, не является обязательным. Таким методом всегда определяется вычет в тех случаях, когда заранее предполагается, что особая точка — существенно особая точка для функции. В случае устранимой особой точки и полюсов задачу вычисления вычета по формуле (4.17) можно заменить некоторыми практически более удобными формулами и правилами. Вывод этих формул и правил в общем виде, очевидно, связан с исследованием разложения функции в ряд в окрестности особой точки, а тип особой точки определяется по поведению функции, т.е. вычислением предела. Так, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\ne\infty$ и $z_0$ — конечная особая точка, то в разложении функции в ряд Лорана в окрестности $z_0$ , согласно утверждению 4.1, отсутствует главная часть. Следовательно, $c_{-1}=0$ и $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0}f(z)=0$ . Если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$ и $z_0$ — полюс функции $f(z)$ , то можно определить порядок полюса, также не прибегая к разложению функции в ряд, используя утверждение 4.3. Пусть $z_0$ — $\Pi(n)$ функции $f(z)$ , тогда разложение функции в ряд в окрестности $z_0$ имеет вид (4.6). Умножив обе части равенства на $(z-z_0)^n$ и продифференцировав результат $(n-1)$ раз, получим выражение $\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr]= (n-1)!c_{-1}+ n! c_0(z-z_0)+\ldots,$ из которого определяем $c_{-1}= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr]$ . В частности, при $n=1$ имеем $c_{-1}= \lim\limits_{z\to z_0}\bigl[f(z)\cdot (z-z_0)\bigr]$ . Последнее равенство принимает наиболее удобную форму для функции вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ , где $\varphi(z),\,\psi(z)$ — аналитические вточке $z_0$ функции и $\varphi(z_0)\ne0,~ \psi(z_0)=0,~ \psi'(z_0)\ne0$ . А именно: $c_{-1}= \lim\limits_{z\to z_0} \frac{\varphi(z)(z-z_0)}{\psi(z)}= \lim\limits_{z\to z_0} \frac{\varphi(z)}{\dfrac{\psi(z)-\psi(z_0)}{z-z_0}}= \frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}\,.$ Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения. Утверждение 4.8 1. Если конечная особая точка $z_0$ является устранимой особой точкой функции $f(z)$ , то (где $z_0$ — устранимая особая точка) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0}f(z)=0,\quad z_0\in \mathbb{C}.$ (4.21) 2. Если $z_0$ полюс порядка п функции $f(z),~ z_0\in \mathbb{C}$ , то $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr],\quad z_0-\Pi(n);$ (4.22) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \lim\limits_{z\to z_0} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)\bigr],\quad z_0-\Pi(1).$ (4.23) 3. Если $z_0$ — $\Pi(1)$ функции $f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ , где $\varphi(z),\,\psi(z)$ — аналитические в точке $z_0$ функции и $\varphi(z_0)\ne0,~ \psi(z_0)=0,~ \psi'(z_0)\ne0$ , то $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}= \frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}\,.$ (4.24) Алгоритм вычисления вычета функции Замечание 4.6. Формула (4.22) дает следующий алгоритм вычисления вычета функции в полюсе порядка $n$ . 1. Умножить $f(z)$ на $(z-z_0)^n$ , где $n$ — порядок полюса $z_0$ , и получить функцию $\varphi(z)=f(z)\cdot (z-z_0)^n$ . 2. Найти производную функции $\varphi(z)$ порядка $(n-1)\colon\, \psi(z)= \varphi^{(n-1)}(z)$ . 3. В соответствии с (4.22) найти $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0}\psi(z)$ . Пример 4.25. Найти вычеты в конечных особых точках функций: $f_1(z)= \frac{z+2}{z^2-2z-3}\,,\qquad f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}\,,\qquad f_3(z)= \frac{1-\cos z}{z^2}\,.$ Решение Конечными особыми точками $f_1(z)$ являются $z_1=-1$ и $z_2=3$ — полюсы первого порядка, причем в каждом случае функцию можно представить в виде, допускающем применение формулы (4.24). Используя эту формулу, находим $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1} \frac{z+2}{z^2-2z-3}= \left.{\frac{z+2}{(z^2-2z-3)'}}\right\|_{z=-1}= \left.{\frac{z+2}{2z-2}}\right\|_{z=-1}= -\frac{1}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=3}\frac{z+2}{z^2-2z-3}= \left.{\frac{z+2}{2z-2}}\right\|_{z=3}= \frac{5}{4}\,.$ Для функции $f_2(z)$ точка $z=3$ также является $\Pi(1)$ и выполняются условия применимости формулы (4.24) . При этом функцию удобно представить в виде $f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{z-3}$ . Применяя формулу (4.24), находим $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=3}f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{z-3}= \left.{ \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{(z-3)'}}\right\|_{z=3}= \left.{\frac{z+2}{(z+1)^2}}\right\|_{z=3}= \frac{5}{16}\,.$ Точка $z=-1$ для $f_2(z)$ — полюс второго порядка. Применяем формулу (4.22) при $n=2$ . Запишем решение согласно алгоритму. 1. Умножаем $f_2(z)$ на $(z+1)^2$ и записываем функцию $\varphi(z)= f_2(z)\cdot(z+1)^2= \frac{z+2}{z-3}$ . 2. Находим производную функции $\varphi(z)\colon$ $\varphi'(z)= \left(\right)'= \frac{z-3-(z+2)}{(z-3)^2}= \frac{-5}{(z-3)^2}= \psi(z).$ 3. Используя (4.22), получаем $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1} f_2(z)= \frac{1}{1!} \lim\limits_{z\to-1} \frac{-5}{(z-3)^2}=-\frac{5}{16}$ . Для функции $f_3(z)= \frac{1-\cos z}{z^2}$ единственная конечная особая точка $z=0$ является устранимой особой точкой, поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f_3(z)=0$ (согласно (4.21)). Все полученные результаты соответствуют результатам примеров 4.22 и 4.23. Пример 4.26. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) $\frac{z+2i}{z^3+8i}$ ; б) $\frac{z-2i}{z^3+8i}$ ; Решение Особыми точками функций являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения $z^3+8i=0$ или $z^3-(2i)^3=0$ . Раскладывая на множители левую часть $(z-2i)(z^2+2zi-4)=0$ , находим $z_1=2i$ и два других корня, как корни квадратного уравнения $z^2+2zi-4=0$ , то есть $z_{2,3}=\pm \sqrt{3}-i$ . а) Для $f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}= \frac{z+2i}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}$ все три особые точки — простые полюсы. Находим вычеты в них по формуле (4.24): $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} \frac{z+2i}{z^3+8i}&= \left.{\frac{z+2i}{3z^2}}\right\|_{z=2i}= \frac{4i}{3(-4)}=-\frac{i}{3}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_2}f(z)&= \frac{z_2+2i}{3z_2^2}= \frac{\sqrt{3}-i+2i}{3(\sqrt{3}-i)^2}= \ldots= \frac{i}{6}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_3}f(z)&= \frac{z_3+2i}{3z_3^2}= \frac{-\sqrt{3}-i+2i}{3(\sqrt{3}+i)^2}= \ldots= \frac{i}{6}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)&=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_1}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_2}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_3}\right)=0, \end{aligned}$ что можно проверить, разложив $f(z)$ в ряд в окрестности $z=\infty$ , т.е. в области $\|z\|>2$ . б) Для $f(z)= \frac{z-2i}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}$ точка $z_1=2i$ — устранимая особая точка, так как $\lim\limits_{z\to z_1}f(z)\ne\infty$ . .Поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)=0$ . Точки $z_2$ и $z_3$ — $\Pi(1)$ , поэтому вычеты находим, как и в предыдущем случае или по формуле (4.23): $\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}f(z)&= \lim\limits_{z\to z_2} f(z)(z-z_2)= \lim\limits_{z\to z_2} \frac{(z-2i)(z-z_2)}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}= \frac{1}{z_2-z_3}= \frac{1}{2 \sqrt{3}}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_3}f(z)&= \lim\limits_{z\to z_3} f(z)(z-z_3)= \lim\limits_{z\to z_3} \frac{(z-2i)(z-z_3)}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}= \frac{1}{z_3-z_2}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\,.\end{aligned}$ Вычет функции в $z=\infty$ можно получить по формуле (4.20): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)=-\sum_{k=1}^{3} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z)=0.$ В заключение раздела рассмотрим бесконечно удаленную точку в случае, когда она является устранимой особой точкой для $f(z)$ . Разложение функции в ряд Лорана имеет вид (4.5). Коэффициент $c_{-1}$ можно определить из этого равенства следующим образом: $c_{-1}= \lim\limits_{z\to\infty} \bigl[(f(z)-c_0)\cdot z\bigr]$ . Так как, очевидно, $c_0= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ , то, доопределяя функцию, положим $f(\infty)= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=c_0$ . Получаем формулу для вычисления вычета в $z=\infty$ — устранимой особой точке функции $f(z)\colon$ $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)=-c_{-1}= \lim\limits_{z\to\infty}\bigl[f(\infty)-f(z)\bigr]z.$ (4.25) В частности, если $z=\infty$ является нулем функции $f(z)$ , то есть $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , то формула принимает вид $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\bigl(-z\cdot f(z)\bigr).$ (4.26) Пример 4.27. Найти вычеты в бесконечно удаленной точке $z=\infty$ функций: а) $f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z+3},~~ f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ ; б) $f_3(z)= \frac{3z^2+z}{z^2+z-4}$ . Решение а) Точка $z=\infty$ — устранимая особая точка для этих функций и $f(\infty)= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ . Поэтому вычеты этих функций находим по формуле (4.26): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f_1(z)=-\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z(z+2)}{z^2-2z-3}=-1,\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f_2(z)=-\lim\limits_{z\to\infty} \frac{(z+2)z}{(z+1)^2(z-3)}=0.$ Результат совпадает с полученным в примере 4.22. б) Точка $z=\infty$ — устранимая особая точка для $f(z)$ , так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=3$ . Вычет находим по формуле (4.25): $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\! \left(3-\frac{3z^2+z}{z^2+z-4}\right)\cdot z= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{(2z-12)z}{z^2+z-4} =2.$ Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Вычеты и их применение

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Вычеты и их применение

Определение вычета

Пусть $z_0\in \overline{\mathbb{C}}$ — изолированная особая точка функции $f(z)$ . По определению изолированной особой точки существует некоторая окрестность этой точки, в которой $f(z)$ — аналитическая. Напомним, что для $z_0\in \mathbb{C}$ эта окрестность имеет вид $0<|z-z_0|<R$ , а для $z_0=\infty$ — $R<|z|<\infty$ .

Рассмотрим произвольный контур $\gamma$ , принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей $z_0$ (рис 4.2,а).

По следствию из основной теоремы Коши интеграл $\textstyle{\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz}$ имеет одно и то же значение, независимо от вида кривой $\gamma$ , т.е. интеграл характеризует поведение функции $f(z)$ в особой точке $z_0$ и, следовательно, может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика.

Вычетом функции $f(z)$ в изолированной особой точке $z_0~(z_0\in \overline{\mathbb{C}})$ называется интеграл $\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz$ , где $\gamma$ — контур, принадлежащий окрестности точки $z_0$ и охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности $z_0$ при обходе расположена слева: для $z_0\in \mathbb{C}$ — обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для $z_0=\infty$ — по часовой стрелке (рис. 4.2,б). Обозначается вычет $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0} f(z)$ (res — residu (фр.) — вычитать):

$\begin{gathered} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz,\quad \gamma\in O(z_0)\setminus z_0\colon 0<|z-z_0|<R,\\[2pt] \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz,\quad \gamma\in O(\infty)\setminus \infty\colon R<|z|<\infty. \end{gathered}$

(4.16)

Так как в окрестности изолированной особой точки функция разлагается в ряд Лорана, то, используя формулы для коэффициентов ряда Лорана и сравнивая их с (4.16), замечаем, что можно сделать следующее заключение.

Утверждение 4.5. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту $c_{-1}$ при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при $\frac{1}{z-z_0}$ для $z_0\in \mathbb{C}$ , и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для $z_0=\infty\colon$

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)=c_{-1},\quad z_0\in \mathbb{C},$

(4.17)

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty} f(z)=-c_{-1},\quad z_0=\infty.$

(4.18)

С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура.

Действительно, пусть функция в области $D$ имеет $n$ особых точек $z_k,~ k=1,2,\ldots,n$ . Можно рассмотреть контуры $\gamma_k\in D$ , которые являются границами непересекающихся областей $D_k$ , таких, что каждая из особых точек $z_k$ (изолированных особых точек) принадлежит одной из $D_k$ (рис. 4.3,а), а интеграл по $\gamma_k$ согласно определению (см. формулу (4.16)) есть $2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k}f(z)$ .

Кроме того, для любого контура $C$ , ограничивающего область $D$ , которой принадлежат все особые точки функции $f(z)$ , и контура $\gamma$ — границы окрестности бесконечно удаленной точки справедливо равенство $\oint\limits_{\gamma}f(z)\,dz=-\oint\limits_{C}f(z)\,dz$ (обход на $\gamma$ по часовой стрелке (рис. 4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.16) получаем следующие утверждения.

Основная теорема о вычетах

Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция $f(z)$ -аналитическая в $\overline{D}$ за исключением конечного числа особых точек $z_k\in D$ , то справедливо равенство (где $C$ — граница области $D$ ):

$\oint\limits_{C}f(z)\,dz= 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k} f(z),\quad z_k\in D.$

(4.19)

Обобщенная теорема о вычетах

Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции $f(z)$ во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:

$\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=0.$

(4.20)

Пример 4.22. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: а) $f(z)= \frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ .

Решение

Особыми точками функций являются точки $z_1=-1,~ z_2=3,~ z_3=\infty$ . Записываем разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.31, 3.33 и 3.34):

а)

$\begin{aligned}f(z)&= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},\quad 0<|z+1|<4;\\ f(z)&= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z+1)^n,\quad 0<|z-3|<4;\\ f(z)&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},\quad |z|<3. \end{aligned}$

Из этих разложений находим:

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)=c_{-1}=\frac{-1}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)=c_{-1}= \frac{5}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-c_{-1}=-\left(\frac{-1+5\cdot3^0}{4}\right)=-1.$

Полученный результат иллюстрирует обобщенную теорему о вычетах:

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=0.$

Заметим также, что здесь точки $z_1$ и $z_2$ — простые полюсы, а $z=\infty$ — устранимая особая точка.

б)

$\begin{aligned}f(z)&= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot\frac{1}{(z+ 1)^2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{16\cdot4^{n+1}}\,,\quad 0<|z+1|<4;\\ f(z)&= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,\quad 0<|z-3|<4.\end{aligned}$

Из этих разложений имеем:

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)=c_{-1}=-\frac{5}{16}\,;\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)=c_{-1}=\frac{5}{16}\,.$

Вычет в бесконечно удаленной точке $z=\infty$ можно найти, используя обобщенную теорию о вычетах: $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)\right)=0$ . Этот же результат получим, если запишем разложение функции в области $|z|>3$ -окрестности $z=\infty$

Заметим, что для этой функции $z_1$ — $\Pi(2)$ , $z_2$ — $\Pi(1)$ , а $z=\infty$ — устранимая особая точка.

Пример 4.23. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) $f(z)=z^3\exp \frac{1}{z}$ ; б) $f(z)=\frac{1-\cos z}{z^2}$ .

Решение

Особыми точками функции являются точки $z_1=0,~ z_2=\infty$ . Находим разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.35 и 3.36):

а) $f(z)= z^3+z^2+\frac{z}{2!}+\frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!z}+\ldots,~~0<|z|<\infty$ ; Из этого разложения

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{0}f(z)= c_{-1}= \frac{1}{4!}= \frac{1}{24}\,;\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-c_{-1}=-\frac{1}{4!}=-\frac{1}{24}\,.$

Заметим, что $z=0$ здесь — существенно особая точка, a $z=\infty$ — $\Pi(3)$ для $f(z)$ ;

б) $f(z)=\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\ldots$ . Из этого разложения получаем $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{0}f(z)=0,~ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty} f(z)=0$ . Здесь $z=0$ — устранимая особая точка для $f(z)$ , а $z=\infty$ — существенно особая точка.

Пример 4.24. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: a) $\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)$ ; б) $(z-1)\exp\frac{1}{z-2}$ .

Решение

Конечные особые точки функций являются существенно особыми точками. Это $z=0$ для первой функции и $z=2$ для второй. Разложим функции в ряды в окрестностях этих точек и найдем вычеты по формуле (4.17):

а)

$\begin{aligned}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)&= \sin1\cdot\cos \frac{1}{z}+\cos1\cdot\sin \frac{1}{z}= \sin1\cdot \left(1-\frac{1}{2!z^2}+\ldots\right)+ \cos1\cdot \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^33!}+ \ldots\right)=\\ &=\sin1+\cos1\cdot \frac{1}{z}-\frac{\sin1}{2!}\cdot \frac{1}{z^2}-\ldots \end{aligned}$

Следовательно, $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f(z)= c_{-1}=\cos1$ .

Так как у рассматриваемой функции другах конечных особых точек нет, то по формуле (4.20) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-\cos1$ . Заметим, что $z=\infty$ — устранимая особая точка для данной функции $f(z)$ ;

б)

$\begin{aligned}(z-1)\exp \frac{1}{z-2}&= (z-2+1)\exp \frac{1}{z-2}= (z-2)\exp \frac{1}{z-2}+\exp \frac{1}{z-2}=\\ &=(z-2)\! \left(1+\frac{1}{z-2}+\frac{1}{2!(z-2)^2}+\ldots\right)+ \left(1+\frac{1}{z-2}+\frac{1}{2!(z-2)^2}+\ldots \right)=\\ &=2+(z-2)+ \frac{1}{z-2}\! \left(1+\frac{1}{2!}\right)+ \frac{1}{(z-2)^2}\! \left(\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}\right)+\ldots,\end{aligned}$

поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2}f(z)= 1+\frac{1}{2!}= \frac{3}{2}$ . Поскольку нет другах конечных особых точек, то по формуле (4.20) $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)=-\frac{3}{2}$ . Точка $z=\infty$ является полюсом первого порядка данной $f(z)$ .

Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке

В рассмотренных выше примерах при нахождении вычетов использовались формулы (4.17),(4.18) , т.е. функции раскладывались в ряды Лорана. При этом знание типа особой точки, в которой вычисляется вычет функции, не является обязательным. Таким методом всегда определяется вычет в тех случаях, когда заранее предполагается, что особая точка — существенно особая точка для функции. В случае устранимой особой точки и полюсов задачу вычисления вычета по формуле (4.17) можно заменить некоторыми практически более удобными формулами и правилами. Вывод этих формул и правил в общем виде, очевидно, связан с исследованием разложения функции в ряд в окрестности особой точки, а тип особой точки определяется по поведению функции, т.е. вычислением предела.

Так, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\ne\infty$ и $z_0$ — конечная особая точка, то в разложении функции в ряд Лорана в окрестности $z_0$ , согласно утверждению 4.1, отсутствует главная часть. Следовательно, $c_{-1}=0$ и $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0}f(z)=0$ .

Если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$ и $z_0$ — полюс функции $f(z)$ , то можно определить порядок полюса, также не прибегая к разложению функции в ряд, используя утверждение 4.3. Пусть $z_0$ — $\Pi(n)$ функции $f(z)$ , тогда разложение функции в ряд в окрестности $z_0$ имеет вид (4.6). Умножив обе части равенства на $(z-z_0)^n$ и продифференцировав результат $(n-1)$ раз, получим выражение

$\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr]= (n-1)!c_{-1}+ n! c_0(z-z_0)+\ldots,$

из которого определяем $c_{-1}= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr]$ .

В частности, при $n=1$ имеем $c_{-1}= \lim\limits_{z\to z_0}\bigl[f(z)\cdot (z-z_0)\bigr]$ . Последнее равенство принимает наиболее удобную форму для функции вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ , где $\varphi(z),\,\psi(z)$ — аналитические вточке $z_0$ функции и $\varphi(z_0)\ne0,~ \psi(z_0)=0,~ \psi'(z_0)\ne0$ . А именно:

$c_{-1}= \lim\limits_{z\to z_0} \frac{\varphi(z)(z-z_0)}{\psi(z)}= \lim\limits_{z\to z_0} \frac{\varphi(z)}{\dfrac{\psi(z)-\psi(z_0)}{z-z_0}}= \frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}\,.$

Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.
Утверждение 4.8

1. Если конечная особая точка $z_0$ является устранимой особой точкой функции $f(z)$ , то (где $z_0$ — устранимая особая точка)

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0}f(z)=0,\quad z_0\in \mathbb{C}.$

(4.21)

2. Если $z_0$ полюс порядка п функции $f(z),~ z_0\in \mathbb{C}$ , то

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr],\quad z_0-\Pi(n);$

(4.22)

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \lim\limits_{z\to z_0} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)\bigr],\quad z_0-\Pi(1).$

(4.23)

3. Если $z_0$ — $\Pi(1)$ функции $f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ , где $\varphi(z),\,\psi(z)$ — аналитические в точке $z_0$ функции и $\varphi(z_0)\ne0,~ \psi(z_0)=0,~ \psi'(z_0)\ne0$ , то

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}= \frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}\,.$

(4.24)

Алгоритм вычисления вычета функции

Замечание 4.6. Формула (4.22) дает следующий алгоритм вычисления вычета функции в полюсе порядка $n$ .

1. Умножить $f(z)$ на $(z-z_0)^n$ , где $n$ — порядок полюса $z_0$ , и получить функцию $\varphi(z)=f(z)\cdot (z-z_0)^n$ .

2. Найти производную функции $\varphi(z)$ порядка $(n-1)\colon\, \psi(z)= \varphi^{(n-1)}(z)$ .

3. В соответствии с (4.22) найти $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0}\psi(z)$ .

Пример 4.25. Найти вычеты в конечных особых точках функций:

$f_1(z)= \frac{z+2}{z^2-2z-3}\,,\qquad f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}\,,\qquad f_3(z)= \frac{1-\cos z}{z^2}\,.$

Решение

Конечными особыми точками $f_1(z)$ являются $z_1=-1$ и $z_2=3$ — полюсы первого порядка, причем в каждом случае функцию можно представить в виде, допускающем применение формулы (4.24). Используя эту формулу, находим

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1} \frac{z+2}{z^2-2z-3}= \left.{\frac{z+2}{(z^2-2z-3)'}}\right|_{z=-1}= \left.{\frac{z+2}{2z-2}}\right|_{z=-1}= -\frac{1}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=3}\frac{z+2}{z^2-2z-3}= \left.{\frac{z+2}{2z-2}}\right|_{z=3}= \frac{5}{4}\,.$

Для функции $f_2(z)$ точка $z=3$ также является $\Pi(1)$ и выполняются условия применимости формулы (4.24) . При этом функцию удобно представить в виде $f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{z-3}$ . Применяя формулу (4.24), находим

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=3}f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{z-3}= \left.{ \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{(z-3)'}}\right|_{z=3}= \left.{\frac{z+2}{(z+1)^2}}\right|_{z=3}= \frac{5}{16}\,.$

Точка $z=-1$ для $f_2(z)$ — полюс второго порядка. Применяем формулу (4.22) при $n=2$ . Запишем решение согласно алгоритму.

1. Умножаем $f_2(z)$ на $(z+1)^2$ и записываем функцию $\varphi(z)= f_2(z)\cdot(z+1)^2= \frac{z+2}{z-3}$ .

2. Находим производную функции $\varphi(z)\colon$

$\varphi'(z)= \left(\right)'= \frac{z-3-(z+2)}{(z-3)^2}= \frac{-5}{(z-3)^2}= \psi(z).$

3. Используя (4.22), получаем $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1} f_2(z)= \frac{1}{1!} \lim\limits_{z\to-1} \frac{-5}{(z-3)^2}=-\frac{5}{16}$ .

Для функции $f_3(z)= \frac{1-\cos z}{z^2}$ единственная конечная особая точка $z=0$ является устранимой особой точкой, поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f_3(z)=0$ (согласно (4.21)).

Все полученные результаты соответствуют результатам примеров 4.22 и 4.23.

Пример 4.26. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) $\frac{z+2i}{z^3+8i}$ ; б) $\frac{z-2i}{z^3+8i}$ ;

Решение

Особыми точками функций являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения $z^3+8i=0$ или $z^3-(2i)^3=0$ . Раскладывая на множители левую часть $(z-2i)(z^2+2zi-4)=0$ , находим $z_1=2i$ и два других корня, как корни квадратного уравнения $z^2+2zi-4=0$ , то есть $z_{2,3}=\pm \sqrt{3}-i$ .

а) Для $f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}= \frac{z+2i}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}$ все три особые точки — простые полюсы. Находим вычеты в них по формуле (4.24):

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} \frac{z+2i}{z^3+8i}&= \left.{\frac{z+2i}{3z^2}}\right|_{z=2i}= \frac{4i}{3(-4)}=-\frac{i}{3}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_2}f(z)&= \frac{z_2+2i}{3z_2^2}= \frac{\sqrt{3}-i+2i}{3(\sqrt{3}-i)^2}= \ldots= \frac{i}{6}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_3}f(z)&= \frac{z_3+2i}{3z_3^2}= \frac{-\sqrt{3}-i+2i}{3(\sqrt{3}+i)^2}= \ldots= \frac{i}{6}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)&=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_1}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_2}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_3}\right)=0, \end{aligned}$

что можно проверить, разложив $f(z)$ в ряд в окрестности $z=\infty$ , т.е. в области $|z|>2$ .

б) Для $f(z)= \frac{z-2i}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}$ точка $z_1=2i$ — устранимая особая точка, так как $\lim\limits_{z\to z_1}f(z)\ne\infty$ . .Поэтому $\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)=0$ . Точки $z_2$ и $z_3$ — $\Pi(1)$ , поэтому вычеты находим, как и в предыдущем случае или по формуле (4.23):

$\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}f(z)&= \lim\limits_{z\to z_2} f(z)(z-z_2)= \lim\limits_{z\to z_2} \frac{(z-2i)(z-z_2)}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}= \frac{1}{z_2-z_3}= \frac{1}{2 \sqrt{3}}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_3}f(z)&= \lim\limits_{z\to z_3} f(z)(z-z_3)= \lim\limits_{z\to z_3} \frac{(z-2i)(z-z_3)}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}= \frac{1}{z_3-z_2}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\,.\end{aligned}$

Вычет функции в $z=\infty$ можно получить по формуле (4.20):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)=-\sum_{k=1}^{3} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z)=0.$

В заключение раздела рассмотрим бесконечно удаленную точку в случае, когда она является устранимой особой точкой для $f(z)$ . Разложение функции в ряд Лорана имеет вид (4.5). Коэффициент $c_{-1}$ можно определить из этого равенства следующим образом: $c_{-1}= \lim\limits_{z\to\infty} \bigl[(f(z)-c_0)\cdot z\bigr]$ . Так как, очевидно, $c_0= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)$ , то, доопределяя функцию, положим $f(\infty)= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=c_0$ . Получаем формулу для вычисления вычета в $z=\infty$ — устранимой особой точке функции $f(z)\colon$

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)=-c_{-1}= \lim\limits_{z\to\infty}\bigl[f(\infty)-f(z)\bigr]z.$

(4.25)

В частности, если $z=\infty$ является нулем функции $f(z)$ , то есть $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ , то формула принимает вид

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\bigl(-z\cdot f(z)\bigr).$

(4.26)

Пример 4.27. Найти вычеты в бесконечно удаленной точке $z=\infty$ функций:

а) $f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z+3},~~ f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ ; б) $f_3(z)= \frac{3z^2+z}{z^2+z-4}$ .

Решение

а) Точка $z=\infty$ — устранимая особая точка для этих функций и $f(\infty)= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$ . Поэтому вычеты этих функций находим по формуле (4.26):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f_1(z)=-\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z(z+2)}{z^2-2z-3}=-1,\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f_2(z)=-\lim\limits_{z\to\infty} \frac{(z+2)z}{(z+1)^2(z-3)}=0.$

Результат совпадает с полученным в примере 4.22.

б) Точка $z=\infty$ — устранимая особая точка для $f(z)$ , так как $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=3$ . Вычет находим по формуле (4.25):

$\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\! \left(3-\frac{3z^2+z}{z^2+z-4}\right)\cdot z= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{(2z-12)z}{z^2+z-4} =2.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]