Вычеты и их применение
Определение вычета
Пусть — изолированная особая точка функции . По определению изолированной особой точки существует некоторая окрестность этой точки, в которой — аналитическая. Напомним, что для эта окрестность имеет вид , а для — .
Рассмотрим произвольный контур , принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей (рис 4.2,а).
По следствию из основной теоремы Коши интеграл имеет одно и то же значение, независимо от вида кривой , т.е. интеграл характеризует поведение функции в особой точке и, следовательно, может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика.
Вычетом функции в изолированной особой точке называется интеграл , где — контур, принадлежащий окрестности точки и охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности при обходе расположена слева: для — обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для — по часовой стрелке (рис. 4.2,б). Обозначается вычет (res — residu (фр.) — вычитать):
(4.16)
Так как в окрестности изолированной особой точки функция разлагается в ряд Лорана, то, используя формулы для коэффициентов ряда Лорана и сравнивая их с (4.16), замечаем, что можно сделать следующее заключение.
Утверждение 4.5. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при для , и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для
(4.17)
(4.18)
С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура.
Действительно, пусть функция в области имеет особых точек . Можно рассмотреть контуры , которые являются границами непересекающихся областей , таких, что каждая из особых точек (изолированных особых точек) принадлежит одной из (рис. 4.3,а), а интеграл по согласно определению (см. формулу (4.16)) есть .
Кроме того, для любого контура , ограничивающего область , которой принадлежат все особые точки функции , и контура — границы окрестности бесконечно удаленной точки справедливо равенство (обход на по часовой стрелке (рис. 4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.16) получаем следующие утверждения.
Основная теорема о вычетах
Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция -аналитическая в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство (где — граница области ):
(4.19)
Обобщенная теорема о вычетах
Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:
(4.20)
Пример 4.22. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: а) ; б) .
Решение
Пример 4.23. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) ; б) .
Решение
Пример 4.24. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: a) ; б) .
Решение
Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке
В рассмотренных выше примерах при нахождении вычетов использовались формулы (4.17),(4.18) , т.е. функции раскладывались в ряды Лорана. При этом знание типа особой точки, в которой вычисляется вычет функции, не является обязательным. Таким методом всегда определяется вычет в тех случаях, когда заранее предполагается, что особая точка — существенно особая точка для функции. В случае устранимой особой точки и полюсов задачу вычисления вычета по формуле (4.17) можно заменить некоторыми практически более удобными формулами и правилами. Вывод этих формул и правил в общем виде, очевидно, связан с исследованием разложения функции в ряд в окрестности особой точки, а тип особой точки определяется по поведению функции, т.е. вычислением предела.
Так, если и — конечная особая точка, то в разложении функции в ряд Лорана в окрестности , согласно утверждению 4.1, отсутствует главная часть. Следовательно, и .
Если и — полюс функции , то можно определить порядок полюса, также не прибегая к разложению функции в ряд, используя утверждение 4.3. Пусть — функции , тогда разложение функции в ряд в окрестности имеет вид (4.6). Умножив обе части равенства на и продифференцировав результат раз, получим выражение
из которого определяем .
В частности, при имеем . Последнее равенство принимает наиболее удобную форму для функции вида , где — аналитические вточке функции и . А именно:
Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения. Утверждение 4.8
1. Если конечная особая точка является устранимой особой точкой функции , то (где — устранимая особая точка)
(4.21)
2. Если полюс порядка п функции , то
(4.22)
(4.23)
3. Если — функции , где — аналитические в точке функции и , то
(4.24)
Алгоритм вычисления вычета функции
Замечание 4.6. Формула (4.22) дает следующий алгоритм вычисления вычета функции в полюсе порядка .
1. Умножить на , где — порядок полюса , и получить функцию .
2. Найти производную функции порядка .
3. В соответствии с (4.22) найти .
Пример 4.25. Найти вычеты в конечных особых точках функций:
Решение
Пример 4.26. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) ; б) ;
Решение
В заключение раздела рассмотрим бесконечно удаленную точку в случае, когда она является устранимой особой точкой для . Разложение функции в ряд Лорана имеет вид (4.5). Коэффициент можно определить из этого равенства следующим образом: . Так как, очевидно, , то, доопределяя функцию, положим . Получаем формулу для вычисления вычета в — устранимой особой точке функции
(4.25)
В частности, если является нулем функции , то есть , то формула принимает вид
(4.26)
Пример 4.27. Найти вычеты в бесконечно удаленной точке функций:
а) ; б) .
Решение
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|