Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Вычеты и их применение

Вычеты и их применение


Определение вычета


Пусть z_0\in \overline{\mathbb{C}} — изолированная особая точка функции f(z). По определению изолированной особой точки существует некоторая окрестность этой точки, в которой f(z) — аналитическая. Напомним, что для z_0\in \mathbb{C} эта окрестность имеет вид 0<|z-z_0|<R, а для z_0=\inftyR<|z|<\infty.


Рассмотрим произвольный контур \gamma, принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей z_0 (рис 4.2,а).


По следствию из основной теоремы Коши интеграл \textstyle{\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz} имеет одно и то же значение, независимо от вида кривой \gamma, т.е. интеграл характеризует поведение функции f(z) в особой точке z_0 и, следовательно, может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика.


Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z_0~(z_0\in \overline{\mathbb{C}}) называется интеграл \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz, где \gamma — контур, принадлежащий окрестности точки z_0 и охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности z_0 при обходе расположена слева: для z_0\in \mathbb{C} — обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для z_0=\infty — по часовой стрелке (рис. 4.2,б). Обозначается вычет \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0} f(z) (res — residu (фр.) — вычитать):


\begin{gathered} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz,\quad \gamma\in O(z_0)\setminus z_0\colon 0<|z-z_0|<R,\\[2pt] \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz,\quad \gamma\in O(\infty)\setminus \infty\colon R<|z|<\infty. \end{gathered}
(4.16)

Так как в окрестности изолированной особой точки функция разлагается в ряд Лорана, то, используя формулы для коэффициентов ряда Лорана и сравнивая их с (4.16), замечаем, что можно сделать следующее заключение.


Рис. 4.2.



Утверждение 4.5. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту c_{-1} при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при \frac{1}{z-z_0} для z_0\in \mathbb{C}, и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для z_0=\infty\colon


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)=c_{-1},\quad z_0\in \mathbb{C},
(4.17)

\mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty} f(z)=-c_{-1},\quad z_0=\infty.
(4.18)

С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура.


Действительно, пусть функция в области D имеет n особых точек z_k,~ k=1,2,\ldots,n. Можно рассмотреть контуры \gamma_k\in D, которые являются границами непересекающихся областей D_k, таких, что каждая из особых точек z_k (изолированных особых точек) принадлежит одной из D_k (рис. 4.3,а), а интеграл по \gamma_k согласно определению (см. формулу (4.16)) есть 2\pi i \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k}f(z).


Кроме того, для любого контура C, ограничивающего область D, которой принадлежат все особые точки функции f(z), и контура \gamma — границы окрестности бесконечно удаленной точки справедливо равенство \oint\limits_{\gamma}f(z)\,dz=-\oint\limits_{C}f(z)\,dz (обход на \gamma по часовой стрелке (рис. 4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.16) получаем следующие утверждения.


Рис. 4.3.



Основная теорема о вычетах


Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция f(z) -аналитическая в \overline{D} за исключением конечного числа особых точек z_k\in D, то справедливо равенство (где C — граница области D):


\oint\limits_{C}f(z)\,dz= 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k} f(z),\quad z_k\in D.
(4.19)

Обобщенная теорема о вычетах


Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции f(z) во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:


\sum_{k=1}^{n} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_k}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=0.
(4.20)



Пример 4.22. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: а) f(z)= \frac{z+2}{z^2-2z-3}; б) f(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}.


▼ Решение

Особыми точками функций являются точки z_1=-1,~ z_2=3,~ z_3=\infty. Записываем разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.31, 3.33 и 3.34):


а)

\begin{aligned}f(z)&= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},\quad 0<|z+1|<4;\\ f(z)&= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z+1)^n,\quad 0<|z-3|<4;\\ f(z)&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},\quad |z|<3. \end{aligned}

Из этих разложений находим:


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)=c_{-1}=\frac{-1}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)=c_{-1}= \frac{5}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-c_{-1}=-\left(\frac{-1+5\cdot3^0}{4}\right)=-1.

Полученный результат иллюстрирует обобщенную теорему о вычетах:


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=0.

Заметим также, что здесь точки z_1 и z_2 — простые полюсы, а z=\infty — устранимая особая точка.


б)
\begin{aligned}f(z)&= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot\frac{1}{(z+ 1)^2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{16\cdot4^{n+1}}\,,\quad 0<|z+1|<4;\\ f(z)&= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,\quad 0<|z-3|<4.\end{aligned}

Из этих разложений имеем:


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)=c_{-1}=-\frac{5}{16}\,;\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)=c_{-1}=\frac{5}{16}\,.

Вычет в бесконечно удаленной точке z=\infty можно найти, используя обобщенную теорию о вычетах: \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{3}f(z)+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{-1}f(z)\right)=0. Этот же результат получим, если запишем разложение функции в области |z|>3 -окрестности z=\infty


Заметим, что для этой функции z_1\Pi(2), z_2\Pi(1), а z=\infty — устранимая особая точка.


Пример 4.23. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) f(z)=z^3\exp \frac{1}{z}; б) f(z)=\frac{1-\cos z}{z^2}.


▼ Решение

Особыми точками функции являются точки z_1=0,~ z_2=\infty. Находим разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.35 и 3.36):


а) f(z)= z^3+z^2+\frac{z}{2!}+\frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!z}+\ldots,~~0<|z|<\infty; Из этого разложения


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{0}f(z)= c_{-1}= \frac{1}{4!}= \frac{1}{24}\,;\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-c_{-1}=-\frac{1}{4!}=-\frac{1}{24}\,.

Заметим, что z=0 здесь — существенно особая точка, a z=\infty\Pi(3) для f(z);


б) f(z)=\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\ldots. Из этого разложения получаем \mathop{\operatorname{res}}\limits_{0}f(z)=0,~ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty} f(z)=0. Здесь z=0 — устранимая особая точка для f(z), а z=\infty — существенно особая точка.


Пример 4.24. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: a) \sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right); б) (z-1)\exp\frac{1}{z-2}.


▼ Решение

Конечные особые точки функций являются существенно особыми точками. Это z=0 для первой функции и z=2 для второй. Разложим функции в ряды в окрестностях этих точек и найдем вычеты по формуле (4.17):


а)

\begin{aligned}\sin\! \left(1+\frac{1}{z}\right)&= \sin1\cdot\cos \frac{1}{z}+\cos1\cdot\sin \frac{1}{z}= \sin1\cdot \left(1-\frac{1}{2!z^2}+\ldots\right)+ \cos1\cdot \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^33!}+ \ldots\right)=\\ &=\sin1+\cos1\cdot \frac{1}{z}-\frac{\sin1}{2!}\cdot \frac{1}{z^2}-\ldots \end{aligned}

Следовательно, \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f(z)= c_{-1}=\cos1.


Так как у рассматриваемой функции другах конечных особых точек нет, то по формуле (4.20) \mathop{\operatorname{res}}\limits_{\infty}f(z)=-\cos1. Заметим, что z=\infty — устранимая особая точка для данной функции f(z);


б)

\begin{aligned}(z-1)\exp \frac{1}{z-2}&= (z-2+1)\exp \frac{1}{z-2}= (z-2)\exp \frac{1}{z-2}+\exp \frac{1}{z-2}=\\ &=(z-2)\! \left(1+\frac{1}{z-2}+\frac{1}{2!(z-2)^2}+\ldots\right)+ \left(1+\frac{1}{z-2}+\frac{1}{2!(z-2)^2}+\ldots \right)=\\ &=2+(z-2)+ \frac{1}{z-2}\! \left(1+\frac{1}{2!}\right)+ \frac{1}{(z-2)^2}\! \left(\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}\right)+\ldots,\end{aligned}

поэтому \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2}f(z)= 1+\frac{1}{2!}= \frac{3}{2}. Поскольку нет другах конечных особых точек, то по формуле (4.20) \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)=-\frac{3}{2}. Точка z=\infty является полюсом первого порядка данной f(z).




Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке


В рассмотренных выше примерах при нахождении вычетов использовались формулы (4.17),(4.18) , т.е. функции раскладывались в ряды Лорана. При этом знание типа особой точки, в которой вычисляется вычет функции, не является обязательным. Таким методом всегда определяется вычет в тех случаях, когда заранее предполагается, что особая точка — существенно особая точка для функции. В случае устранимой особой точки и полюсов задачу вычисления вычета по формуле (4.17) можно заменить некоторыми практически более удобными формулами и правилами. Вывод этих формул и правил в общем виде, очевидно, связан с исследованием разложения функции в ряд в окрестности особой точки, а тип особой точки определяется по поведению функции, т.е. вычислением предела.


Так, если \lim\limits_{z\to z_0}f(z)\ne\infty и z_0 — конечная особая точка, то в разложении функции в ряд Лорана в окрестности z_0, согласно утверждению 4.1, отсутствует главная часть. Следовательно, c_{-1}=0 и \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0}f(z)=0.


Если \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty и z_0 — полюс функции f(z), то можно определить порядок полюса, также не прибегая к разложению функции в ряд, используя утверждение 4.3. Пусть z_0\Pi(n) функции f(z), тогда разложение функции в ряд в окрестности z_0 имеет вид (4.6). Умножив обе части равенства на (z-z_0)^n и продифференцировав результат (n-1) раз, получим выражение


\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr]= (n-1)!c_{-1}+ n! c_0(z-z_0)+\ldots,

из которого определяем c_{-1}= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr].


В частности, при n=1 имеем c_{-1}= \lim\limits_{z\to z_0}\bigl[f(z)\cdot (z-z_0)\bigr]. Последнее равенство принимает наиболее удобную форму для функции вида f(z)= \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}, где \varphi(z),\,\psi(z) — аналитические вточке z_0 функции и \varphi(z_0)\ne0,~ \psi(z_0)=0,~ \psi'(z_0)\ne0. А именно:


c_{-1}= \lim\limits_{z\to z_0} \frac{\varphi(z)(z-z_0)}{\psi(z)}= \lim\limits_{z\to z_0} \frac{\varphi(z)}{\dfrac{\psi(z)-\psi(z_0)}{z-z_0}}= \frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}\,.

Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.
Утверждение 4.8

1. Если конечная особая точка z_0 является устранимой особой точкой функции f(z), то (где z_0 — устранимая особая точка)


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_0}f(z)=0,\quad z_0\in \mathbb{C}.
(4.21)

2. Если z_0полюс порядка п функции f(z),~ z_0\in \mathbb{C}, то


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)^n\bigr],\quad z_0-\Pi(n);
(4.22)

\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \lim\limits_{z\to z_0} \bigl[f(z)\cdot (z-z_0)\bigr],\quad z_0-\Pi(1).
(4.23)

3. Если z_0\Pi(1) функции f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}, где \varphi(z),\,\psi(z) — аналитические в точке z_0 функции и \varphi(z_0)\ne0,~ \psi(z_0)=0,~ \psi'(z_0)\ne0, то


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}= \frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}\,.
(4.24)



Алгоритм вычисления вычета функции


Замечание 4.6. Формула (4.22) дает следующий алгоритм вычисления вычета функции в полюсе порядка n.


1. Умножить f(z) на (z-z_0)^n, где n — порядок полюса z_0, и получить функцию \varphi(z)=f(z)\cdot (z-z_0)^n.


2. Найти производную функции \varphi(z) порядка (n-1)\colon\, \psi(z)= \varphi^{(n-1)}(z).


3. В соответствии с (4.22) найти \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_0}f(z)= \frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z\to z_0}\psi(z).


Пример 4.25. Найти вычеты в конечных особых точках функций:


f_1(z)= \frac{z+2}{z^2-2z-3}\,,\qquad f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}\,,\qquad f_3(z)= \frac{1-\cos z}{z^2}\,.

▼ Решение

Конечными особыми точками f_1(z) являются z_1=-1 и z_2=3 — полюсы первого порядка, причем в каждом случае функцию можно представить в виде, допускающем применение формулы (4.24). Используя эту формулу, находим


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1} \frac{z+2}{z^2-2z-3}= \left.{\frac{z+2}{(z^2-2z-3)'}}\right|_{z=-1}= \left.{\frac{z+2}{2z-2}}\right|_{z=-1}= -\frac{1}{4}\,;\quad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=3}\frac{z+2}{z^2-2z-3}= \left.{\frac{z+2}{2z-2}}\right|_{z=3}= \frac{5}{4}\,.

Для функции f_2(z) точка z=3 также является \Pi(1) и выполняются условия применимости формулы (4.24) . При этом функцию удобно представить в виде f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{z-3}. Применяя формулу (4.24), находим


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=3}f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{z-3}= \left.{ \frac{z+2}{(z+1)^2}\frac{1}{(z-3)'}}\right|_{z=3}= \left.{\frac{z+2}{(z+1)^2}}\right|_{z=3}= \frac{5}{16}\,.

Точка z=-1 для f_2(z) — полюс второго порядка. Применяем формулу (4.22) при n=2. Запишем решение согласно алгоритму.


1. Умножаем f_2(z) на (z+1)^2 и записываем функцию \varphi(z)= f_2(z)\cdot(z+1)^2= \frac{z+2}{z-3}.


2. Находим производную функции \varphi(z)\colon


\varphi'(z)= \left(\right)'= \frac{z-3-(z+2)}{(z-3)^2}= \frac{-5}{(z-3)^2}= \psi(z).

3. Используя (4.22), получаем \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=-1} f_2(z)= \frac{1}{1!} \lim\limits_{z\to-1} \frac{-5}{(z-3)^2}=-\frac{5}{16}.


Для функции f_3(z)= \frac{1-\cos z}{z^2} единственная конечная особая точка z=0 является устранимой особой точкой, поэтому \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=0}f_3(z)=0 (согласно (4.21)).


Все полученные результаты соответствуют результатам примеров 4.22 и 4.23.


Пример 4.26. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) \frac{z+2i}{z^3+8i}; б) \frac{z-2i}{z^3+8i};


▼ Решение

Особыми точками функций являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения z^3+8i=0 или z^3-(2i)^3=0. Раскладывая на множители левую часть (z-2i)(z^2+2zi-4)=0, находим z_1=2i и два других корня, как корни квадратного уравнения z^2+2zi-4=0, то есть z_{2,3}=\pm \sqrt{3}-i.


а) Для f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}= \frac{z+2i}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)} все три особые точки — простые полюсы. Находим вычеты в них по формуле (4.24):


\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i} \frac{z+2i}{z^3+8i}&= \left.{\frac{z+2i}{3z^2}}\right|_{z=2i}= \frac{4i}{3(-4)}=-\frac{i}{3}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_2}f(z)&= \frac{z_2+2i}{3z_2^2}= \frac{\sqrt{3}-i+2i}{3(\sqrt{3}-i)^2}= \ldots= \frac{i}{6}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_3}f(z)&= \frac{z_3+2i}{3z_3^2}= \frac{-\sqrt{3}-i+2i}{3(\sqrt{3}+i)^2}= \ldots= \frac{i}{6}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)&=-\left(\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_1}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_2}+ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z_3}\right)=0, \end{aligned}

что можно проверить, разложив f(z) в ряд в окрестности z=\infty, т.е. в области |z|>2.


б) Для f(z)= \frac{z-2i}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)} точка z_1=2i — устранимая особая точка, так как \lim\limits_{z\to z_1}f(z)\ne\infty. .Поэтому \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=2i}f(z)=0. Точки z_2 и z_3\Pi(1), поэтому вычеты находим, как и в предыдущем случае или по формуле (4.23):


\begin{aligned}\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_2}f(z)&= \lim\limits_{z\to z_2} f(z)(z-z_2)= \lim\limits_{z\to z_2} \frac{(z-2i)(z-z_2)}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}= \frac{1}{z_2-z_3}= \frac{1}{2 \sqrt{3}}\,;\\ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_3}f(z)&= \lim\limits_{z\to z_3} f(z)(z-z_3)= \lim\limits_{z\to z_3} \frac{(z-2i)(z-z_3)}{(z-2i)(z-z_2)(z-z_3)}= \frac{1}{z_3-z_2}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\,.\end{aligned}

Вычет функции в z=\infty можно получить по формуле (4.20):


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)=-\sum_{k=1}^{3} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=z_k}f(z)=0.



В заключение раздела рассмотрим бесконечно удаленную точку в случае, когда она является устранимой особой точкой для f(z). Разложение функции в ряд Лорана имеет вид (4.5). Коэффициент c_{-1} можно определить из этого равенства следующим образом: c_{-1}= \lim\limits_{z\to\infty} \bigl[(f(z)-c_0)\cdot z\bigr]. Так как, очевидно, c_0= \lim\limits_{z\to\infty}f(z), то, доопределяя функцию, положим f(\infty)= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=c_0. Получаем формулу для вычисления вычета в z=\infty — устранимой особой точке функции f(z)\colon


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty} f(z)=-c_{-1}= \lim\limits_{z\to\infty}\bigl[f(\infty)-f(z)\bigr]z.
(4.25)

В частности, если z=\infty является нулем функции f(z), то есть \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0, то формула принимает вид


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\bigl(-z\cdot f(z)\bigr).
(4.26)

Пример 4.27. Найти вычеты в бесконечно удаленной точке z=\infty функций:


а) f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z+3},~~ f_2(z)= \frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}; б) f_3(z)= \frac{3z^2+z}{z^2+z-4}.


▼ Решение

а) Точка z=\infty — устранимая особая точка для этих функций и f(\infty)= \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0. Поэтому вычеты этих функций находим по формуле (4.26):


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f_1(z)=-\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z(z+2)}{z^2-2z-3}=-1,\qquad \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f_2(z)=-\lim\limits_{z\to\infty} \frac{(z+2)z}{(z+1)^2(z-3)}=0.

Результат совпадает с полученным в примере 4.22.


б) Точка z=\infty — устранимая особая точка для f(z), так как \lim\limits_{z\to\infty}f(z)=3. Вычет находим по формуле (4.25):


\mathop{\operatorname{res}}\limits_{z=\infty}f(z)= \lim\limits_{z\to\infty}\! \left(3-\frac{3z^2+z}{z^2+z-4}\right)\cdot z= \lim\limits_{z\to\infty} \frac{(2z-12)z}{z^2+z-4} =2.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved