Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Возведение матриц в степень и многочлены от матриц

Возведение матриц в степень и многочлены от матриц


Возведение матриц в степень


Для любой квадратной матрицы [math]A[/math] (n-ro порядка) определено произведение [math]A\cdot A[/math] (матрицы [math]A[/math] на себя). Поэтому можно говорить о целой неотрицательной степени матрицы, определяя последовательно


[math]A^0=E,\quad A^1=A,\quad A^2=A\cdot A,\quad A^3=A^2\cdot A,~\ldots,~A^m=A^{m-1}\cdot A,~\ldots[/math]

Заметим, что степени [math]A^k[/math] и [math]A^1[/math] одной и той же матрицы [math]A[/math] перестановочны


[math]\begin{aligned}A^k\cdot A^{\ell}&= \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{k}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{\ell}= \underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{k+\ell}= A^{k+\ell};\\[5pt] A^{\ell}\cdot A^{k}&= \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{\ell}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{k}= \underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\ell+k}= A^{k+\ell}.\end{aligned}[/math]

Поэтому справедливы обычные свойства степеней:

[math]A^k\cdot A^{\ell}=A^{\ell}\cdot A^k=A^{k+\ell},~~(A^k)^{\ell}=A^{k\ell},[/math] с натуральными показателями.



Многочлены от матриц


При помощи операций возведения в степень, сложения матриц и умножения матрицы на число можно получать многочлены от матриц. Пусть [math]p_m(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m[/math] — многочлен (степени [math]m[/math]) переменной [math]x[/math], [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка. Выражение вида


[math]p_m(A)=a_0\underbrace{E}_{A^0}+a_1A+a_2A^2+\ldots+a_mA^m[/math]

называется многочленом от матрицы [math]A[/math]. Многочлен [math]P_m(A)[/math] является квадратной матрицей n-го порядка.

Пример 1.14. Найти [math]A^2[/math], если [math]A= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}[/math].


Решение. По определению степени матрицы получаем


[math]A^3= {\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\!}^3= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7&10\\5&7\end{pmatrix}\!.[/math]

Пример 1.15. Найти [math]f(A)[/math], если [math]f(x)=x^2-5x+3,~ A= \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}[/math].


Решение. Используем определение многочлена от матрицы:


[math]\begin{aligned}f(A)&= \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}-5\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}+3\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\\[3pt] &= \begin{pmatrix}7&-5\\-15&12\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}10&-5\\-15&15\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Пример 1.16. Найти [math]A^n[/math], если [math]A= \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\!,~n\in\mathbb{N}[/math].


Решение. По определению степени матрицы последовательно находим:


[math]\begin{gathered}A^2= \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix}\!;\\[3pt] A^3=A^2\cdot A= \begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^3&3\lambda^2\lambda\\0&\lambda^3\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Предполагаем, что [math]A^n= \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}[/math]. Докажем эту формулу по индукции


Действительно, при [math]n=1[/math] формула верна. Теперь, предполагая, что для любого натурального [math]n[/math] формула верна, докажем ее справедливость для [math](n+1)[/math]. В самом деле,


[math]A^{n+1}=A^n\cdot A= \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^{n+1}&(n+1)\lambda^{n}\\0&\lambda^{n+1}\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]A^n= \begin{pmatrix} \lambda^n& n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n\end{pmatrix}[/math] для любого натурального [math]n[/math].




Из перестановочности степеней одной и той же матрицы следует, что многочлены от одной и той же матрицы перестановочны. Действительно, если


[math]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m[/math] и [math]q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n[/math], то

[math]\begin{gathered}p(A)\cdot q(A)= \left(\sum_{i=0}^{m}a_iA^i\right)\!\!\left(\sum_{j=0}^{n}b_jA^j\right)= \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}a_ib_jA^iA^j=\\[3pt] =\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{m}b_ja_iA^jA^i= \left(\sum_{j=0}^{n}b_jA^j\right)\!\! \left(\sum_{i=0}^{m}a_iA^i\right)= q(A)\cdot p(A),\end{gathered}[/math]

что и требовалось показать.

Со степенью матрицы связаны следующие определения, характеризующие ее свойства. Квадратная матрица А называется


идемпотентной, если [math]A^2=A[/math];

инволютивной, если [math]A^2=E[/math];

периодической, если [math]A^k=E[/math] при некотором натуральном [math]k[/math] (число [math]k[/math] называется периодом матрицы [math]A[/math]);

нильпотентной, если [math]A^k=O[/math] при некотором натуральном [math]k[/math] (число [math]k[/math] называется показателем нильпотентности матрицы [math]A[/math]).




Пример 1.17. Даны матрицы:


[math]A= \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}\!,\quad B= \begin{pmatrix}-53&-36&-54\\42&29&42\\24&16&25\end{pmatrix}\!,\quad J= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Показать, что матрица [math]A[/math] — идемпотентная, [math]B[/math] — инволютивная (периодическая), [math]J[/math] — нильпотентная. Найти многочлены [math]P(A),P(B),P(J)[/math] от этих матриц, если [math]P(x)=x^2+2x+3[/math].


Решение. Находим степени матриц


[math]\begin{aligned}A^2&= \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}=A;\\[3pt] B^2&= \begin{pmatrix}-53&-36&-54\\42&29&42\\24&16&25\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-53&-36&-54\\42&29&42\\24&16&25\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=E;\\[3pt] J^2&= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!;\\[3pt] J^3&=J^2\cdot J= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O.\end{aligned}[/math]

Следовательно, матрица [math]A[/math] — идемпотентная, [math]B[/math] — инволютивная (периодическая с периодом 2), [math]J[/math] — нильпотентная (с показателем 3).


По определению находим многочлены

[math]\begin{gathered}P(A)= A^2+2A+3E= A+2A+3E=3(A+E)= \begin{pmatrix}-75&-54&-81\\63&48&63\\ 36&24&42\end{pmatrix}\!;\\[3pt] P(B)=B^2+2B+3E=E+2B+3E=2B+4E= \begin{pmatrix}-102&-72&-108\\84&62&84\\48&32&54\end{pmatrix}\!;\\[3pt] P(J)=J^2+2J+3E= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&2&1\\0&3&2\\0&0&3\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved