Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Возведение матриц в степень и многочлены от матриц

Возведение матриц в степень и многочлены от матриц


Возведение матриц в степень


Для любой квадратной матрицы A (n-ro порядка) определено произведение A\cdot A (матрицы A на себя). Поэтому можно говорить о целой неотрицательной степени матрицы, определяя последовательно


A^0=E,\quad A^1=A,\quad A^2=A\cdot A,\quad A^3=A^2\cdot A,~\ldots,~A^m=A^{m-1}\cdot A,~\ldots

Заметим, что степени A^k и A^{\ell} одной и той же матрицы A перестановочны


\begin{aligned}A^k\cdot A^{\ell}&= \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{k}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{\ell}= \underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{k+\ell}= A^{k+\ell};\\[5pt] A^{\ell}\cdot A^{k}&= \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{\ell}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}A\cdot A\cdot\ldots\cdot A\end{pmatrix}}_{k}= \underbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}_{\ell+k}= A^{k+\ell}.\end{aligned}

Поэтому справедливы обычные свойства степеней:


A^k\cdot A^{\ell}=A^{\ell}\cdot A^k=A^{k+\ell},~~(A^k)^{\ell}=A^{k\ell}, с натуральными показателями.



Многочлены от матриц


При помощи операций возведения в степень, сложения матриц и умножения матрицы на число можно получать многочлены от матриц. Пусть p_m(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m — многочлен (степени m) переменной x, A — квадратная матрица n-го порядка. Выражение вида


p_m(A)=a_0\underbrace{E}_{A^0}+a_1A+a_2A^2+\ldots+a_mA^m

называется многочленом от матрицы A. Многочлен P_m(A) является квадратной матрицей n-го порядка.


Пример 1.14. Найти A^3, если A= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}.


Решение. По определению степени матрицы получаем


A^3= {\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\!}^3= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7&10\\5&7\end{pmatrix}\!.

Пример 1.15. Найти f(A), если f(x)=x^2-5x+3,~ A= \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}.


Решение. Используем определение многочлена от матрицы:


\begin{aligned}f(A)&= \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}-5\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\-3&3\end{pmatrix}+3\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\\[3pt] &= \begin{pmatrix}7&-5\\-15&12\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}10&-5\\-15&15\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

Пример 1.16. Найти A^n, если A= \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\!,~n\in\mathbb{N}.


Решение. По определению степени матрицы последовательно находим:


\begin{gathered}A^2= \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix}\!;\\[3pt] A^3=A^2\cdot A= \begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^3&3\lambda^2\lambda\\0&\lambda^3\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Предполагаем, что A^n= \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}. Докажем эту формулу по индукции


Действительно, при n=1 формула верна. Теперь, предполагая, что для любого натурального n формула верна, докажем ее справедливость для (n+1). В самом деле,


A^{n+1}=A^n\cdot A= \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^{n+1}&(n+1)\lambda^{n}\\0&\lambda^{n+1}\end{pmatrix}\!.

Следовательно, A^n= \begin{pmatrix} \lambda^n& n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n\end{pmatrix} для любого натурального n.




Из перестановочности степеней одной и той же матрицы следует, что многочлены от одной и той же матрицы перестановочны. Действительно, если


p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m и q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n, то

\begin{gathered}p(A)\cdot q(A)= \left(\sum_{i=0}^{m}a_iA^i\right)\!\!\left(\sum_{j=0}^{n}b_jA^j\right)= \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}a_ib_jA^iA^j=\\[3pt] =\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{m}b_ja_iA^jA^i= \left(\sum_{j=0}^{n}b_jA^j\right)\!\! \left(\sum_{i=0}^{m}a_iA^i\right)= q(A)\cdot p(A),\end{gathered}

что и требовалось показать.


Со степенью матрицы связаны следующие определения, характеризующие ее свойства. Квадратная матрица А называется


идемпотентной, если A^2=A;

инволютивной, если A^2=E;

периодической, если A^k=E при некотором натуральном k (число k называется периодом матрицы A);

нильпотентной, если A^k=O при некотором натуральном k (число k называется показателем нильпотентности матрицы A).




Пример 1.17. Даны матрицы:


A= \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}\!,\quad B= \begin{pmatrix}-53&-36&-54\\42&29&42\\24&16&25\end{pmatrix}\!,\quad J= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!.

Показать, что матрица A — идемпотентная, B — инволютивная (периодическая), J — нильпотентная. Найти многочлены P(A),P(B),P(J) от этих матриц, если P(x)=x^2+2x+3.


Решение. Находим степени матриц


\begin{aligned}A^2&= \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}=A;\\[3pt] B^2&= \begin{pmatrix}-53&-36&-54\\42&29&42\\24&16&25\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-53&-36&-54\\42&29&42\\24&16&25\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=E;\\[3pt] J^2&= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!;\\[3pt] J^3&=J^2\cdot J= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O.\end{aligned}

Следовательно, матрица A — идемпотентная, B — инволютивная (периодическая с периодом 2), J — нильпотентная (с показателем 3).


По определению находим многочлены


\begin{gathered}P(A)= A^2+2A+3E= A+2A+3E=3(A+E)= \begin{pmatrix}-75&-54&-81\\63&48&63\\ 36&24&42\end{pmatrix}\!;\\[3pt] P(B)=B^2+2B+3E=E+2B+3E=2B+4E=  \begin{pmatrix}-102&-72&-108\\84&62&84\\48&32&54\end{pmatrix}\!;\\[3pt] P(J)=J^2+2J+3E= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&2&1\\0&3&2\\0&0&3\end{pmatrix}\!.\end{gathered}
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved