Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Векторное произведение векторов и его свойства

Векторное произведение векторов и его свойства


Вектор [math]\vec{c}[/math] называется векторным произведением неколлинеарных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math], если:


1) его длина равна произведению длин векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] на синус угла между ними: [math]|\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\varphi[/math] (рис.1.42);


2) вектор [math]\vec{c}[/math] ортогонален векторам [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math];


3) векторы [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math], [math]\vec{c}[/math] (в указанном порядке) образуют правую тройку.


Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.


Векторное произведение обозначается [math]\mathop{\vec{c}=\bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]}\limits_{{.}}[/math] (или [math]\vec{a}\times\vec{b}[/math]).




Алгебраические свойства векторного произведения


Для любых векторов [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math], [math]\vec{c}[/math] и любого действительного числа [math]\lambda[/math]:


1. [math]\bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]=-\bigl[\vec{b},\vec{a}\bigr][/math];


2. [math]\bigl[\vec{a}+\vec{b},\vec{c}\bigr]=\bigl[\vec{a},\vec{c}\bigr]+\bigl[\vec{b},\vec{c}\bigr][/math];


3. [math]\bigl[\lambda\cdot\vec{a},\vec{b}\bigr]=\lambda\cdot\bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr][/math].


Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство "противоположно" закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.


Докажем первое свойство, предполагая, что векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы [math]\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}][/math] и [math]\vec{c}=[\vec{b},\vec{a}][/math] имеют равные длины [math]\left(|\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\varphi=|\vec{d}|\right)[/math] и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] и [math]\vec{b},\vec{a},\vec{d}[/math] — правые, т.е. вектор [math]\vec{c}[/math] направлен так, что кратчайший поворот от [math]\vec{a}[/math] к [math]\vec{b}[/math] происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора [math]\vec{c}[/math], а вектор [math]\vec{d}[/math] направлен так, что кратчайший поворот от [math]\vec{b}[/math] к [math]\vec{a}[/math] происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора [math]\vec{d}[/math] (рис. 1.43). Это означает, что векторы [math]\vec{c}[/math] и [math]\vec{d}[/math] противоположно направлены. Следовательно, [math]\vec{c}=-\vec{d}[/math], что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).


Замечания 1.12


1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означают линейность векторного произведения по первому множителю:


[math]\bigl[\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\,\vec{c}\bigr]\,=\alpha\cdot[\vec{a},\vec{c}]+\beta\cdot[\vec{b},\vec{c}][/math]

для любых векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] и любых действительных чисел [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math].


2. В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.




Геометрические свойства векторного произведения


1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).


2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.


[math][\vec{a},\vec{b}]=\vec{o}~\Leftrightarrow~\vec{a}\parallel\vec{b}[/math], в частности, [math][\vec{a},\vec{a}]=\vec{o}[/math].

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство [math]|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\varphi=0[/math] возможно в трех случаях: [math]\vec{a}=\vec{o}[/math], или [math]\vec{b}=\vec{o}[/math], или [math]\sin\varphi=0[/math]. В каждом из этих случаев векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] коллинеарны (см. разд. 1.1).




Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах [math]\vec{p}=\vec{m}+2\vec{n},~\vec{q}=\vec{m}-3\vec{n}[/math], где [math]|\vec{m}|=3,~|\vec{n}|=2[/math], угол между векторами [math]\vec{m}[/math] и [math]\vec{n}[/math] равен [math]\pi/6[/math] (рис. 1.44).


Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение


[math]\begin{aligned}{[\vec{p},\vec{q}]}&=[\vec{m}+2\vec{n},\vec{m}-3\vec{n}]=[\vec{m},\vec{m}-3\vec{n}]+[2\vec{n},\vec{m}-3\vec{n}]=\\[3pt]&=[\vec{m},\vec{m}-3\vec{n}]+2[n,\vec{m}-3\vec{n}]=[\vec{m},\vec{m}]-3[\vec{m},\vec{n}]+2\left({[\vec{n},\vec{m}]-3[\vec{n},\vec{n}]}\right)=\\[3pt] &=\underbrace{[\vec{m}, \vec{m}]}_{\vec{o}}-3[\vec{m},\vec{n}]+2\underbrace{[\vec{n},\vec{m}]}_{-[\vec{m},\vec{n}]}-6\underbrace{[\vec{n},\vec{n}]}_{\vec{o}}=-5[\vec{m},\vec{n}],\end{aligned}[/math]

а затем его модуль [math]\bigl|[\vec{p},\vec{q}]\bigl|= |-5|\cdot \bigl|\vec{m}, \vec{n}\bigl|=5\cdot|\vec{m}|\cdot|\vec{n}|\cdot\sin\frac{\pi}{6}=5\cdot3\cdot2\cdot\frac{1}{2}=15[/math].


По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна [math]S_{*}=15[/math], а площадь треугольника в 2 раза меньше: [math]S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot S_{*}=\frac{15}{2}[/math].




Выражение векторного произведения через координаты векторов


Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math]. Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:



[math]\begin{aligned}&[\vec{i},\vec{j}]=\vec{k};\qquad \phantom{-}[\vec{j},\vec{k}]=\vec{i};\qquad \phantom{-}[\vec{k}, \vec{i}]= \vec{j};\\[2pt]&[\vec{j},\vec{i}]=-\vec{k};\qquad [\vec{k},\vec{j}]=-\vec{i};\qquad [\vec{i},\vec{k}]=-\vec{j};\\[2pt]&[\vec{i},\vec{i}]=[\vec{j},\vec{j}]=[\vec{k},\vec{k}]=\vec{o}.\end{aligned}[/math]
(1.14)

Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис. 1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то произведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произведение равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору).


Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей. Пусть в стандартном базисе [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] имеют координаты [math]x_a,y_a,z_a[/math] и [math]x_b,y_b,z_b[/math] соответственно. Тогда, используя линейность векторного произведения по любому множителю (см. пункт 2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем


[math]\begin{aligned}{\bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,=\,&\bigl[x_a{\cdot}\vec{i}\,+\,y_a{\cdot}\vec{j}\,+z_a{\cdot}\vec{k},\,x_b{\cdot}\vec{i}\,+\,y_b{\cdot}\vec{j}\,+z_b{\cdot}\vec{k}\bigr]\,=}\\[3pt]=\,&{x_ax_b{\cdot}\bigl[\vec{i},\vec{i}\bigr]\,+\,x_ay_b{\cdot}\bigl[\vec{i},\vec{j}\bigr]\,+\,x_az_b{\cdot}\bigl[\vec{i},\vec{k}\bigr]\,+\,y_ax_b{\cdot}\bigl[\vec{j},\vec{i}\bigr]\,+\,y_ay_b{\cdot}\bigl[\vec{j},\vec{j}\bigr]+}\\[3pt]&{\phantom{=x_ax_b}\,+\,y_az_b{\cdot}\bigl[\vec{j},\vec{k}\bigr]\,+\,z_ax_b{\cdot}\bigl[\vec{k},\vec{i}\bigr]\,+\,z_ay_b{\cdot}\bigl[\vec{k},\vec{j}\bigr]\,+\,z_az_b{\cdot}\bigl[\vec{k},\vec{k}\bigr]\,=}\\[3pt] =\,&{\bigl(y_az_b-y_bz_a\bigl)\cdot\vec{i}-\bigl(x_az_b-x_bz_a\bigl)\cdot\vec{j}+\bigl(x_ay_b-x_by_a\bigl)\cdot\vec{k}.}\end{aligned}[/math]

Запишем это равенство при помощи определителей второго порядка:


[math]\bigl[\vec{a}, \vec{b}\bigr]\,= \,\vec{i}\cdot \begin{vmatrix} y_a&z_a\\y_b&z_b\end{vmatrix}\,-\,\vec{j}\cdot \begin{vmatrix} x_a&z_a\\x_b&z_b \end{vmatrix}+ \vec{k}\cdot \begin{vmatrix} x_a&y_a\\x_b&y_b\end{vmatrix}.[/math]
(1.15)

Правую часть (1.15) можно представить как результат разложения символического определителя третьего порядка по первой строке


[math]\vec{i}\cdot\begin{vmatrix}y_a&z_a\\y_b&z_b\end{vmatrix}\,-\,\vec{j}\cdot\begin{vmatrix}x_a&z_a\\x_b&z_b\end{vmatrix}\,+\,\vec{k}\cdot\begin{vmatrix}x_a&y_a\\x_b&y_b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix}.[/math]



Формула вычисления векторного произведения


Теорема 1.8 (формула вычисления векторного произведения). Если векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] в правом ортонормированием базисе [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] имеют координаты [math]x_a,y_a,z_a[/math] и [math]x_b,y_b,z_b[/math] соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле (1.15), которую принято записывать в виде


[math]\bigl[\vec{a}, \vec{b}\bigr]\,= \begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix}.[/math]
(1.16)

Если [math]a=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}^T[/math] и [math]b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] в стандартном базисе, то координатный столбец [math]c=\begin{pmatrix}x_c&y_c&z_c\end{pmatrix}^T[/math] векторного произведения [math]\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}][/math] находится по формуле


Параллелограмм построен на векторах
[math]\begin{pmatrix} x_c\\y_c\\z_c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0 \end{pmatrix}\!\cdot \!\begin{pmatrix} x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}.[/math]

В самом деле, выполняя умножение матрицы на столбец, получаем


[math]\begin{pmatrix}x_c\\y_c\\z_c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_a\cdot z_b-y_b\cdot z_a\\x_b\cdot z_a-x_a\cdot z_b\\x_a\cdot y_b-x_b\cdot y_a\end{pmatrix}.[/math]

Тогда [math]\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]=(y_az_b-y_bz_a){\cdot}\vec{i}+(x_bz_a-x_az_b){\cdot}\vec{j}+(x_ay_a-x_by_a){\cdot}\vec{k}[/math], что совпадает с (1.15).




Пример 1.20. Параллелограмм [math]ABCD[/math] построен на векторах [math]\overrightarrow{AB}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},~\overrightarrow{AD}=3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}[/math] (рис. 1.46). Найти:


а) векторные произведения [math]\bigl[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\bigr][/math] и [math]\bigl[\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}\bigr][/math];
б) площадь параллелограмма [math]ABCD[/math];
в) направляющие косинусы такого вектора [math]\vec{n}[/math], перпендикулярного плоскости параллелограмма [math]ABCD[/math],
для которого тройка [math]\overrightarrow{AB}[/math], [math]\overrightarrow{AD}[/math], [math]\vec{n}[/math] — левая.

Решение. а) Векторное произведение [math]\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr][/math] находим по формуле (1.16):


[math]\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr]=\begin{vmatrix}\,\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&2\\3&-2&1\,\end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix}2&2\\-2&1\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}1&2\\3&-2\end{vmatrix}=6\,\vec{i}+5\,\vec{j}-8\,\vec{k}.[/math]

Для нахождения векторного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.15) (см. теорему 1.8). Векторам [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\vec{b}=\overrightarrow{AD}[/math] соответствуют координатные столбцы [math]a=\begin{pmatrix} 1&2&2 \end{pmatrix}^T,~~ b=\begin{pmatrix} 3&-2&1 \end{pmatrix}^T[/math].


По указанной формуле получаем координатный столбец [math]c[/math] вектора [math]\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}][/math]:


[math]\begin{pmatrix}x_c\\[2pt]y_c\\[2pt]z_c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2&2\\[2pt]2&0&-1\\[2pt]-2&1&0\end{pmatrix}\!\!\cdot\!\!\begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot3+(-2)\cdot(-2)+2\cdot1\\[2pt]2\cdot3+0\cdot(-2)+(-1)\cdot1\\[2pt](-2)\cdot3+1\cdot(-2)+0\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[2pt]5\\[2pt]-8\end{pmatrix}\!.[/math]

то есть [math]\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]= 6\,\vec{i}+ 5\vec{j}- 8\,\vec{k}[/math]. Результаты совпадают.


Векторное произведение [math]\bigl[\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}\bigr][/math] находим, используя алгебраические свойства:


[math]\bigl[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\bigr]\,=\!\bigl[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\bigr]\,=\!\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr]-\underbrace{\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\bigr]}_{\vec{o}}+\underbrace{\bigl[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD}\bigr]}_{\vec{o}}-\underbrace{\bigl[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}\bigr]}_{-[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]}=2\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr][/math]

Следовательно, [math]\bigl[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\bigr]=2\bigl(6\,\vec{i}+5\,\vec{j}-8\,\vec{k}\bigl)\,=12\,\vec{i}+10\,\vec{j}-16\,\vec{k}[/math].


б) Площадь параллелограмма [math]ABCD[/math] находим как модуль векторного произведения [math]\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr][/math]:


[math]S_{*}=\Bigl|\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr]\Bigl|\,=\Bigl|6\,\vec{i}+5\,\vec{j}-8\,\vec{k}\Bigl|\,=\sqrt{6^2+5^2+(-8)^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.[/math]

в) Вектор, противоположный вектору [math]\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\bigr][/math], удовлетворяет перечисленным в условии требованиям, поэтому


[math]\vec{n}=-[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]=-(6\,\vec{i}+5\,\vec{j}-8\,\vec{k})=-6\,\vec{i}-5\,\vec{j}+8\,\vec{k}.[/math]

Разделив этот вектор на его длину [math]|\vec{n}|=\Bigl|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]\Bigl|\,=5\sqrt{5}[/math], получим единичныи вектор:


[math]\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{-6\,\vec{i}-5\,\vec{j}+8\,\vec{k}}{5\sqrt{5}}=-\frac{6}{5\sqrt{5}}\,\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{j}+\frac{8}{5\sqrt{5}}\,\vec{k}.[/math]

Согласно его координатами служат направляющие косинусы


[math]\cos\alpha=-\frac{6}{5\sqrt{5}},\qquad \cos\beta=-\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \cos\gamma=\frac{8}{5\sqrt{5}}[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved