Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Вектор, его направление и длина

Вектор, его направление и длина


Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым. Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.


Вектор с началом в точке [math]A[/math] и концом в точке [math]B[/math] обозначается [math]\overrightarrow{AB}[/math] и изображается стрелкой, обращенной острием к концу вектора (рис.1.1,а). Начало вектора называют также его точкой приложения. Говорят, что вектор [math]\overrightarrow{AB}[/math] приложен к точке [math]A[/math]. Длина вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] или [math]\vec{a}[/math] равна длине отрезка [math]AB[/math] или [math]a[/math] и обозначается [math]\vline\,\overrightarrow{AB}\,\vline[/math] или [math]|\vec{a}|[/math]. Имея в виду это обозначение, длину вектора называют также модулем, абсолютной величиной. Нулевой вектор, например [math]\overrightarrow{CC}[/math], обозначается символом [math]\vec{o}[/math] и изображается одной точкой (точка [math]C[/math] на рис.1.1,а). Вектор, длина которого равна единице или принята за единицу, называется единичным вектором.


Геометрическая интерпретация векторов

Ненулевой вектор АВ кроме направленного отрезка определяет также содержащие его луч [math]AB[/math] (с началом в точке [math]A[/math]) и прямую [math]AB[/math] (рис.1.1,а).




Коллинеарные векторы


Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они принадлежат либо одной прямой, либо — двум параллельным прямым, в противном случае они называются неколлинеарными. Коллинеарность векторов обозначается знаком [math]\parallel[/math]. Поскольку направление нулевого вектора не определено, он считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.


Сонаправленные и противоположно направленные вектора

Два ненулевых коллинеарных вектора называются одинаково направленными (сонаправленными), если они принадлежат параллельным прямым и их концы лежат в одной полуплоскости от прямой, проходящей через их начала (рис.1.2,а); либо, если векторы принадлежат одной прямой, и луч, определяемый одним вектором, целиком принадлежит лучу, определяемому другим вектором (рис. 1.2,6). В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными (рис.1.2,в,г). Одинаково направленные и противоположно направленные векторы обозначаются парами стрелок [math]\uparrow\uparrow[/math] и [math]\uparrow\downarrow[/math] соответственно. Понятия коллинеарных, одинаково направленных векторов распространяются на любое число векторов.




Компланарные векторы


Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис.1.3,а), в противном случае они называются некомпланарными (рис. 1.3,6). Так как направление нулевого вектора не определено, он считается компланарным с любыми двумя векторами. Понятие компланарных векторов распространяется на любое число векторов.


Компланарные и некомпланарные вектора



Равные векторы


Два вектора называются равными, если они:


а) коллинеарны, одинаково направлены;

б) имеют равные длины.


Все нулевые векторы считаются равными друг другу.


Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения. Далее будут рассматриваться, как правило, свободные векторы, при этом слово "свободные" будет опускаться.


Замечания 1.1.


1. Определение равенства векторов можно сформулировать, не используя понятия длины вектора. Два вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{CD}[/math], не лежащие на одной прямой, называются равными, если четырехугольник [math]ABCD[/math] является параллелограммом (рис.1.4,а). Векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{CD}[/math], принадлежащие одной прямой, считаются равными, если существует равный им вектор [math]\overrightarrow{EF}[/math], не принадлежащий этой прямой (рис. 1.4,6). Это определение эквивалентно следующему: два вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{CD}[/math] называются равными, если середины отрезков [math]AD[/math] и [math]AD[/math] совпадают (рис. 1.4,в).


Равенство векторов

2. Отношение равенства векторов является отношением эквивалентности. В самом деле, для отношения равенства [math]=[/math] ([math]\vec{a}=\vec{b}[/math] — "вектор [math]\vec{a}[/math] равен вектору [math]\vec{b}[/math]"), определенного на множестве упорядоченных пар [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle[/math] векторов, выполняются следующие условия:


а) каждый вектор равен самому себе (рефлексивность);


б) если вектор [math]\vec{a}[/math] равен вектору [math]\vec{b}[/math] , то вектор [math]\vec{b}[/math] равен вектору [math]\vec{a}[/math] (симметричность);


в) если вектор [math]\vec{a}[/math] равен вектору [math]\vec{b}[/math] и вектор [math]\vec{b}[/math] равен вектору [math]\vec{c}[/math], то вектор [math]\vec{a}[/math] равен вектору [math]\vec{c}[/math] (транзитивность).


Это означает, что множество векторов разбивается на непересекающиеся классы (см. разд.В.З), т.е. с каждым вектором связывается целый класс равных ему векторов, отличающихся только точками приложения. Поэтому говорят [37], что свободный вектор определяет класс равных ему векторов.


3. Для любой точки [math]A[/math] и любого вектора [math]\vec{a}[/math] существует единственная точка [math]B[/math], для которой [math]\overrightarrow{AB}=\vec{a}[/math]. В самом деле, если вектор [math]\vec{a}[/math] ненулевой, то через точку [math]A[/math] проходит единственная прямая, параллельная вектору [math]a[/math] (рис.1.5,а), либо его содержащая (рис. 1.5,б). На этой прямой существуют две точки, удаленные от точки [math]A[/math] на расстояние [math]|\vec{a}|>0[/math]. Из этих двух точек выберем такую точку [math]B[/math], для которой векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\vec{a}[/math] оказываются одинаково направленными. По построению получаем [math]\overrightarrow{AB}=\vec{a}[/math]. Если вектор [math]\vec{a}[/math] нулевой, то искомая точка [math]B[/math] совпадает с данной точкой [math]A[/math].


Параллельный перенос вектора

Таким образом, любой вектор [math]\vec{a}[/math] ставит в соответствие каждой точке [math]A[/math] единственную точку [math]B[/math] такую, что [math]\overrightarrow{AB}=\vec{a}[/math] . Это соответствие называют параллельным переносом. Поэтому свободный вектор можно отождествить с параллельным переносом.


4. Построение, рассмотренное в пункте 3, называется откладыванием вектора [math]\vec{a}[/math] от точки [math]A[/math] или приложением вектора [math]\vec{a}[/math] к точке [math]A[/math].


Треугольник, построенный на векторах

Используя это построение, можно дать эквивалентные определения коллинеарности и компланарности. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если после приложения их к одной точке они лежат на одной прямой. Три ненулевых вектора называются компланарными, если после приложения их к одной точке они лежат в одной плоскости.


5. Кроме свободных векторов в приложениях векторной алгебры используются скользящие векторы, связанные (приложенные) векторы и др., которые отличаются от свободных векторов определением равенства. Например, скользящие векторы называются равными, если они лежат на одной прямой, одинаково направлены и имеют равные длины. Другими словами, в отличие от свободного вектора, скользящий вектор можно переносить, не меняя направления и длины, только вдоль содержащей этот вектор прямой. Например, в механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, а угловая скорость — свободным вектором. Сила, действующая на деформируемое тело, является примером так называемого приложенного вектора. Изменение точки приложения силы приведет к изменению ее воздействия на тело.




Пример 1.1. Дан треугольник [math]ABC[/math] (рис. 1.6), точки [math]L,M,N[/math] — середины его сторон. Для векторов, изображенных на рис. 1.6, указать коллинеарные, одинаково направленные, противоположно направленные, равные.


Решение. По теореме о средней линии треугольника заключаем, что [math]ML \parallel AB,~LN \parallel AC[/math]. Поэтому векторы [math]\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NL}[/math] — коллинеарные (так как лежат на одной или параллельных прямых), одинаково направленные и имеют равные длины. Следовательно, это равные векторы: [math]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NL}[/math]. Аналогично, находим


[math]\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ML},\quad \overrightarrow{AN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BN},\quad \overrightarrow{BN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{ML},\quad \overrightarrow{CL} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BL}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved