Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Устойчивость решений ДУ по первому приближению

Устойчивость решений ДУ по первому приближению


Пусть имеем систему дифференциальных уравнений


[math]\frac{dx_i}{dt}= f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(1)

и пусть [math]x_i\equiv0,~ i=1,2,\ldots,n[/math], есть точка покоя системы (1), т.е. [math]f_i(0,0,\ldots,0)=0[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math]. Будем предполагать, что функции [math]f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] дифференцируемы в начале координат достаточное число раз.


Разложим функции [math]f_i[/math] по формуле Тейлора по [math]x[/math] в окрестности начала координат:


[math]f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j+R_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),[/math]

здесь [math]a_{ij}=\frac{\partial f_i(0,0,\ldots,0)}{\partial x_j}[/math], а [math]R_i[/math] — члены второго порядка малости относительно [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math].


Тогда исходная система (1) запишется так:


[math]\frac{dx_i}{dt}= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j+R_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldot,n.[/math]
(2)

Вместо системы (2) рассмотрим систему


[math]\frac{dx_i}{dt}= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j,\quad i=1,2,\ldot,n,\quad a_{ij}=\text{const},[/math]
(3)

называемую системой уравнений первого приближения для системы (1).


Справедливы следующие предложения.


1. Если все корни характеристического уравнения


[math]\begin{vmatrix}\,a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda\, \end{vmatrix}=0[/math]
(4)

имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение [math]x_i\equiv0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], системы (3) и системы (2) асимптотически устойчивы.


2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (3) и системы (2) неустойчиво.


Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчивость по первому приближению.


В критических случаях, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения (4) неположительны, причем вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно (начинают влиять нелинейные члены [math]R_i[/math]).




Пример 1. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя [math]x=y=0[/math] системы


[math]\begin{cases}\dot{x}=2x+y-5y^2,\\[4pt] \dot{y}=3x+y+\dfrac{x^3}{2}\end{cases}\left(\dot{x}=\frac{dx}{dt},~\dot{y}=\frac{dy}{dt}\right)\!.[/math]
(5)

Решение. Системы первого приближения


[math]\begin{cases}\dot{x}=2x+y,\\ \dot{y}=3x+y.\end{cases}[/math]
(6)

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок больше или равен двум. Составим характеристическое уравнение для системы (6):


[math]\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\3&1-\lambda\end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda^2-3\lambda-1=0.[/math]
(7)

Корни характеристического уравнения (7) [math]\lambda_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},[/math] [math]\lambda_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2},[/math] вещественные и [math]\lambda_1>0[/math]. Следовательно, нулевое решение [math]x=y=0[/math] системы (5) неустойчиво.




Пример 2. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя [math]x\equiv y\equiv0[/math] систем


[math]\begin{cases}\dot{x}=y-x^3,\\\dot{y}=-x-y^3\end{cases}[/math]
(8)

[math]\begin{cases}\dot{x}=y+x^3,\\\dot{y}=-x+y^3.\end{cases}[/math]
(9)

Решение. Точка покоя [math]x\equiv y\equiv0[/math] системы (8) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция [math]v=x^2+y^2[/math] удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,


[math]\frac{dv}{dt}= 2x(y-x^3)+2y(-x-y^3)= -2(x^4+y^4)\leqslant0.[/math]

В то же время точка покоя [math]x\equiv y\equiv0[/math] системы (9) неустойчива в силу теоремы Четаева: взяв [math]v=x^2+y^2[/math], будем иметь [math]\frac{dv}{dt}=2(x^4+y^4)\geqslant0[/math].


Системы (8) и (9) имеют одну и ту же систему первого приближения


[math]\begin{cases}\dot{x}=y,\\\dot{y}=-x.\end{cases}[/math]
(10

Характеристическое уравнение для системы (10)


[math]\begin{vmatrix}-\lambda&1\\-1&-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]\lambda^2+1=0[/math]

имеет чисто мнимые корни, так что действительные части корней характеристического уравнения равны нулю.


Для системы первого приближения (10) начало координат является центром. Системы (8) и (9) получаются малым возмущением правых частей системы (10) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что замкнутые траектории превращаются в спирали, в случае (8) приближающиеся к началу координат и образующие в точке [math]O(0,0)[/math] устойчивый фокус, а в случае (9) — удаляющиеся от начала координат и образующие в точке [math]O(0,0)[/math] неустойчивый фокус. Таким образом, в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.




Замкнутый контур с линейными элементами

Пример 3. Рассмотрим замкнутый контур с линейными элементами (рис. 44); уравнение контура


[math]L\,\frac{d^2x}{dt^2}+R\,\frac{dx}{dt}+\frac{1}{C}\,x+g\!\left(x,\frac{dx}{dt}\right)\!=0,[/math]
(11)

Здесь [math]x[/math] — заряд конденсатора и, следовательно, [math]\frac{dx}{dt}[/math] — ток в цепи; [math]R[/math] — сопротивление; [math]L[/math] — индуктивность; [math]C[/math] — емкость; [math]g\!\left(x,\frac{dx}{dt}\right)[/math] — нелинейные члены, имеющие степень не ниже второй, [math]g(0,0)=0[/math].


Решение. Уравнение (11) эквивалентно системе


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{1}{LC}\,x-\dfrac{R}{L}\,y-\dfrac{1}{L}\,g(x,y),\end{cases}[/math]
(12)

для которой начало координат [math]O(0,0)[/math], есть точка покоя.


Рассмотрим систему первого приближения


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{1}{LC}\,x-\dfrac{R}{L}\,y.\end{cases}[/math]
(13)

Характеристическое уравнение для системы (13) имеет вид


[math]\begin{vmatrix}-\lambda&1\\[5pt] -\dfrac{1}{LC}&-\dfrac{R}{L}-\lambda\end{vmatrix}=0\quad \Leftrightarrow\quad \lambda^2+\frac{R}{L}\,\lambda+\frac{1}{LC}=0.[/math]
(14)

Если [math]\frac{R^2}{L^2}<\frac{4}{LC}[/math], т.е. [math]R^2<\frac{4L}{C}[/math], то уравнение (14) имеет комплексные корни с отрицательной действительной частью [math]p=-\frac{R}{4L}[/math] и, значит, начало координат [math]O(0,0)[/math] для системы (13) и (12) асимптотически устойчиво.


Если [math]R^2>\frac{4L}{C}[/math], то начало координат также асимптотически устойчиво (все параметры [math]R,\,L,\,C[/math] положительны).


Асимптотическая устойчивость точки покоя видна из физических соображений: при положительном омическом сопротивлении с возрастанием [math]t[/math] ток неизбежно исчезает.




Устойчивость решений ДУ по отношению к изменению правых частей уравнений


Рассмотрим дифференциальные уравнения


[math]y'=f(x,y),[/math]
(1)

[math]y'=f(x,y)+\Theta(x,y),[/math]
(2)

где функции [math]f(x,y)[/math] и [math]\Theta(x,y)[/math] непрерывны в замкнутой области [math]\overline{G}[/math] плоскости [math]Oxy[/math] и функция [math]f(x,y)[/math] имеет в этой области непрерывную частную производную [math]\frac{df}{dy}[/math].


Пусть в области [math]\overline{G}[/math] выполняется неравенство [math]|\Theta(x,y)|\leqslant \varepsilon[/math]. Если [math]y=\varphi(x)[/math] и [math]y=\psi(x)[/math] есть решения уравнений (1) и (2) соответственно, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию [math]\varphi|_{x=x_0}=\psi|_{x=x_0}=y_0[/math], то


[math]|\varphi(x)-\psi(x)|\leqslant\frac{\varepsilon}{M}(e^{M|x-x_0|}-1),\quad M=\max_{(x,y)\in\overline{G}}\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|.[/math]
(3)

Из оценки (3) видно, что если возмущение [math]\Theta(x,y)[/math] правой части (1) достаточно мало в области [math]\overline{G}[/math], то на конечном интервале изменения [math]x[/math] разность решений уравнений (1) и (2) будет малой по абсолютной величине. Это позволяет приближенно решать сложные дифференциальные уравнения путем замены их разумно выбранными уравнениями, решаемыми проще. Последнее обстоятельство может быть использовано при решении дифференциальных уравнений, связанных с задачами физики или техники.




Пример 4. В квадрате [math]Q=\left\{|x|\leqslant\frac{1}{2},~|y|\leqslant\frac{1}{2}\right\}[/math] найти приближенное решение уравнения

[math]y'=\sin{xy}\,,[/math]
(4)

удовлетворяющее начальному условию

[math]y|_{x=0}=0,\!1\,,[/math]
(5)

и оценить погрешность.


Решение. Заменим уравнение (4) уравнением


[math]y'=xy,[/math]
(6)

[math]y|_{x=0}=0,\!1.[/math]
(7)

Уравнение (6) при начальном условии (7) имеет решение [math]y=0,\!1\cdot e^{x^2/2}[/math], которое для всех [math]x\in\!\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right][/math] не выходит из основного квадрата [math]Q[/math].


В силу теоремы существования и единственности решения уравнение (4) при начальном условии (5) имеет единственное решение [math]y=\psi(x)[/math] и в качестве приближенного решения задачи (4)-(5) можно взять [math]y=0,\!1\cdot e^{x^2/2}[/math] — решение задачи (6)-(7).


Оценим разность
[math]\Delta=|\varphi(x)-\psi(x)|,\quad -\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}\,,[/math]

где [math]\varphi=0,\!1\cdot e^{x^2/2}[/math] — решение задачи (6)-(7). В данном случае [math]f(x,y)=xy[/math] и [math]\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|=|x|\leqslant\frac{1}{2}[/math]. По формуле Тейлора [math]|\sin{z}-z|\leqslant\frac{|z|^3}{6}[/math], поэтому в квадрате [math]Q[/math]


[math]|\sin{xy}-xy|\leqslant\frac{|xy|^3}{6}<\frac{1}{4^3\cdot6}=\frac{1}{384}.[/math]

Воспользуемся оценкой (3), взяв [math]\varepsilon=\frac{1}{384},~M=\max_{(x,y)\in Q}\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|=\frac{1}{2}:[/math]


[math]\Delta=|\varphi(x)-\psi(x)|\leqslant\frac{1}{192}\Bigl(e^{|x|/2}-1\Bigr)<\frac{1}{650},\quad x\in\!\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\!.[/math]

Нетрудно видеть, что решение [math]\psi(x)[/math] задачи (4)-(5) не выходит из основного квадрата [math]Q[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved