Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения

Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения


Пусть имеем систему дифференциальных уравнений


\frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n,t),\quad i=1,2,\ldots,n.
(1)

Решение \varphi_i(t),~ i=1,2,\ldots,n, системы (1), удовлетворяющее начальным условиям \varphi_i(t_0)=\varphi_{i0}, i=1,2,\ldots,n, называется устойчивым no Ляпунову при t\to\infty, если для любого \varepsilon>0 существует \delta(\varepsilon)>0 такое, что для всякого решения x_i(t), i=1,2,\ldots,n, системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям


|x_i(t_0)-\varphi_{io}|<\delta,\quad i=1,2,\ldots,n,\qquad \mathsf{(2)}

имеют место неравенства


|x_i(t)-\varphi_{i}(t)|<\varepsilon,\quad i=1,2,\ldots,n,\qquad \mathsf{(3)}

для всех t\geqslant t_0.


Если при сколь угодно малом \delta>0 хотя бы для одного решения x_i(t), i=1,2,\ldots,n, неравенства (3) не выполняются, то решение \varphi_i(t) называется неустойчивым.


Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие


\lim_{t\to\infty}|x_i(t)-\varphi_{i}(t)|=0,\quad i=1,2,\ldots,n,
(4)

то решение \varphi_i(t),~i=1,2,\ldots,n, называется асимптотически устойчивым.


Исследование на устойчивость решения \varphi_i(t), i=1,2,\ldots,n, системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения x_i\equiv0, i=1,2,\ldots,n, некоторой системы, аналогичной системе (1),


\frac{dx_i}{dt}=F_i(x_1,x_2,\ldots,x_n,t),\quad i=1,2,\ldots,n,
(1')

где F_i(0,0,\ldots,0,t)\equiv0.~i=1,2,\ldots,n.


Говорят, что точка x_i=0,~i=1,2,\ldots,n, есть точка покоя системы (1').


Интегральные кривые внутри цилиндра

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя x_i=0, i=1,2,\ldots,n, устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было \varepsilon>0, можно найти такое \delta>0, что для любого решения x_i(t), i=1,2,\ldots,n, начальные данные которого x_{i0}=x_i(t_0), i=1,2,\ldots,n, удовлетворят условию


|x_{i0}<\delta,\quad i=1,2,\ldots,n,
(2')

выполняются неравенства

|x_i(t)|<\varepsilon,\quad i=1,2,\ldots,n,
(3')

для всех t\geqslant t_0.


Для случая n=2 геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус \varepsilon цилиндра с осью Ot, в плоскости t=t_0 найдется δ-окрестность точки (0,0,t_0) такая, что все интегральные кривые x_1=x_1(t), x_2=x_2(t), выходящие из этой окрестности, для всех t\geqslant t_0 будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).


Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие \lim_{t\to+\infty}|x_i(t)|=0,~i=1,2,\ldots,n, то устойчивость асимптотическая.


Точка покоя x_1=0,~i=1,2,\ldots,n, неустойчива, если при сколь угодно малом \delta>0 хотя бы для одного решения x_i(t), i=1,2,\ldots,n, условие (3') не выполняется.




Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию x(0)=0


\frac{dx}{dt}=1+t-x\,.
(5)

Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение x(t)=Ce^{-t}+t. Начальному условию x(0)=0 удовлетворяет решение


\varphi(t)=t
(6)

уравнения (5). Начальному условию x(0)=x_0 удовлетворяет решение


x(t)=x_0e^{-t}+t\,.
(7)

Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:


x(t)-\varphi(t)=x_0e^{-t}+t-t=(x_0-0)e^{-t}.

Отсюда видно, что для всякого \varepsilon>0 существует \delta>0 (например, \delta=\varepsilon) такое, что для всякого решения x(t) уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию |x_0-0|<\delta, выполняется неравенство


|x(t)-\varphi(t)|=|x_0-0|e^{-t}<\varepsilon

для всех t\geqslant0. Следовательно, решение \varphi(t)=t является устойчивым. Более того, поскольку


\lim_{t\to+\infty}x(t)-\varphi(t)|= \lim_{t\to+\infty}|x_0-0|e^{-t}=0,

решение \varphi(t)=t является асимптотически устойчивым.


Это решение \varphi(t)=t является неограниченным при t\to+\infty.


Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.




Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения


\frac{dx}{dt}=\sin^2x\,.
(8)

Решение. Оно имеет очевидные решения


x=k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots
(9)

Интегрируем уравнение (8): \operatorname{ctg}x=C-t, или \operatorname{ctg}x= \operatorname{ctg}x_0-t, откуда


x=\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x_0-t),\quad x\ne k\pi,~k\in\mathbb{Z}.
(10)

Все решения (9) и (10) ограничены на (-\infty,+\infty). Однако решение x(t)\equiv0 неустойчиво при t\to+\infty, так как при любом x_0\in(0,\pi) имеем \lim_{t\to+\infty}x(t)=\pi (рис.31).


Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения, вообще говоря, не следует их устойчивости. Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.


Неустойчивое решение дифференциального уравнения



Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=0,~y(0)=0, устойчиво


\begin{cases}x'(t)=-y(t),\\y'(t)=x(t).\end{cases}
(11)

Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть x(t)\equiv0, y(t)\equiv0. Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям x(0)=x_0, y(0)=y_0, имеет вид


\begin{cases}x(t)=x_0\cos{t}-y_0\sin{t}\,,\\ y(t)=x_0\sin{t}+y_0\cos{t}\,.\end{cases}

Возьмем произвольное \varepsilon>0 и покажем, что существует \delta(\varepsilon)>0 такое, что при |x_0-0|<\delta, |y_0-0|<\delta имеют место неравенства


|x(t)-0|=|x_0\cos{t}-y_0\sin{t}|<\varepsilon,\quad |y(t)-0|=|x_0\sin{t}+y_0\cos{t}|<\varepsilon, для всех t\geqslant0.

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение x(t)\equiv0, y(t)\equiv0 системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,


\begin{aligned}|x_0\cos{t}-y_0\sin{t}|&\leqslant |x_0\cos{t}|+|y_0\sin{t}|\leqslant |x_0|+|y_0|,\\ |x_0\sin{t}+y_0\cos{t}|&\leqslant |x_0\sin{t}|+|y_0\cos{t}|\leqslant |x_0|+|y_0| \end{aligned}
(12)

для всех t. Поэтому, если |x_0|+|y_0|<\varepsilon то и подавно


|x_0\cos{t}-y_0\sin{t}|<\varepsilon,\quad |x_0\sin{t}+y_0\cos{t}|<\varepsilon
(13)

для всех t.


Следовательно, если, например, взять \delta(\varepsilon)=\varepsilon/2, то при |x_0|<\delta и |y_0|<\delta в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех t\geqslant0, т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.


Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений


\frac{dx_i}{dt}= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}(t)x_j+f_i(t),\quad i=1,2,\ldots,n,

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.


Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.




Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения


\frac{dx}{dt}=1-x^2(t).
(14)

Решение. Оно имеет очевидные решения \varphi(t)=-1 и \varphi(t)=1.


Решение \varphi(t)=-1 этого уравнения неустойчиво, а решение \varphi(t)=1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при t\to+\infty все решения уравнения (14)


x(t)= \frac{(1+x_0)e^{2(t-t_0)}-(1-x_0)}{(1+x_0)e^{2(t-t_0)}+(1-x_0)}\quad (x_0\ne-1)

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение \varphi(t)=1 уравнения асимптотически устойчиво.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved