Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения

Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения


Пусть имеем систему дифференциальных уравнений


[math]\frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n,t),\quad i=1,2,\ldots,n.[/math]
(1)

Решение [math]\varphi_i(t),~ i=1,2,\ldots,n[/math], системы (1), удовлетворяющее начальным условиям [math]\varphi_i(t_0)=\varphi_{i0},[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], называется устойчивым no Ляпунову при [math]t\to\infty[/math], если для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует [math]\delta(\varepsilon)>0[/math] такое, что для всякого решения [math]x_i(t),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям


[math]|x_i(t_0)-\varphi_{io}|<\delta,\quad i=1,2,\ldots,n,\qquad \mathsf{(2)}[/math]

имеют место неравенства


[math]|x_i(t)-\varphi_{i}(t)|<\varepsilon,\quad i=1,2,\ldots,n,\qquad \mathsf{(3)}[/math]

для всех [math]t\geqslant t_0[/math].


Если при сколь угодно малом [math]\delta>0[/math] хотя бы для одного решения [math]x_i(t),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], неравенства (3) не выполняются, то решение [math]\varphi_i(t)[/math] называется неустойчивым.


Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие


[math]\lim_{t\to\infty}|x_i(t)-\varphi_{i}(t)|=0,\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(4)

то решение [math]\varphi_i(t),~i=1,2,\ldots,n[/math], называется асимптотически устойчивым.


Исследование на устойчивость решения [math]\varphi_i(t),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения [math]x_i\equiv0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], некоторой системы, аналогичной системе (1),


[math]\frac{dx_i}{dt}=F_i(x_1,x_2,\ldots,x_n,t),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(1')

где [math]F_i(0,0,\ldots,0,t)\equiv0.~i=1,2,\ldots,n[/math].


Говорят, что точка [math]x_i=0,~i=1,2,\ldots,n[/math], есть точка покоя системы (1').


Интегральные кривые внутри цилиндра

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя [math]x_i=0,[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было [math]\varepsilon>0[/math], можно найти такое [math]\delta>0[/math], что для любого решения [math]x_i(t),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], начальные данные которого [math]x_{i0}=x_i(t_0),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], удовлетворят условию


[math]|x_{i0}<\delta,\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(2')

выполняются неравенства

[math]|x_i(t)|<\varepsilon,\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(3')

для всех [math]t\geqslant t_0[/math].


Для случая [math]n=2[/math] геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус [math]\varepsilon[/math] цилиндра с осью [math]Ot[/math], в плоскости [math]t=t_0[/math] найдется δ-окрестность точки [math](0,0,t_0)[/math] такая, что все интегральные кривые [math]x_1=x_1(t),[/math] [math]x_2=x_2(t)[/math], выходящие из этой окрестности, для всех [math]t\geqslant t_0[/math] будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).


Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие [math]\lim_{t\to+\infty}|x_i(t)|=0,~i=1,2,\ldots,n[/math], то устойчивость асимптотическая.


Точка покоя [math]x_1=0,~i=1,2,\ldots,n[/math], неустойчива, если при сколь угодно малом [math]\delta>0[/math] хотя бы для одного решения [math]x_i(t),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], условие (3') не выполняется.




Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию [math]x(0)=0[/math]


[math]\frac{dx}{dt}=1+t-x\,.[/math]
(5)

Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение [math]x(t)=Ce^{-t}+t[/math]. Начальному условию [math]x(0)=0[/math] удовлетворяет решение


[math]\varphi(t)=t[/math]
(6)

уравнения (5). Начальному условию [math]x(0)=x_0[/math] удовлетворяет решение


[math]x(t)=x_0e^{-t}+t\,.[/math]
(7)

Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:


[math]x(t)-\varphi(t)=x_0e^{-t}+t-t=(x_0-0)e^{-t}.[/math]

Отсюда видно, что для всякого [math]\varepsilon>0[/math] существует [math]\delta>0[/math] (например, [math]\delta=\varepsilon[/math]) такое, что для всякого решения x(t) уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию [math]|x_0-0|<\delta[/math], выполняется неравенство


[math]|x(t)-\varphi(t)|=|x_0-0|e^{-t}<\varepsilon[/math]

для всех [math]t\geqslant0[/math]. Следовательно, решение [math]\varphi(t)=t[/math] является устойчивым. Более того, поскольку


[math]\lim_{t\to+\infty}x(t)-\varphi(t)|= \lim_{t\to+\infty}|x_0-0|e^{-t}=0,[/math]

решение [math]\varphi(t)=t[/math] является асимптотически устойчивым.


Это решение [math]\varphi(t)=t[/math] является неограниченным при [math]t\to+\infty[/math].


Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.




Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения


[math]\frac{dx}{dt}=\sin^2x\,.[/math]
(8)

Решение. Оно имеет очевидные решения


[math]x=k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]
(9)

Интегрируем уравнение (8): [math]\operatorname{ctg}x=C-t[/math], или [math]\operatorname{ctg}x= \operatorname{ctg}x_0-t[/math], откуда


[math]x=\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x_0-t),\quad x\ne k\pi,~k\in\mathbb{Z}.[/math]
(10)

Все решения (9) и (10) ограничены на [math](-\infty,+\infty)[/math]. Однако решение [math]x(t)\equiv0[/math] неустойчиво при [math]t\to+\infty[/math], так как при любом [math]x_0\in(0,\pi)[/math] имеем [math]\lim_{t\to+\infty}x(t)=\pi[/math] (рис.31).


Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения, вообще говоря, не следует их устойчивости. Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.


Неустойчивое решение дифференциального уравнения



Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям [math]x(0)=0,~y(0)=0[/math], устойчиво


[math]\begin{cases}x'(t)=-y(t),\\y'(t)=x(t).\end{cases}[/math]
(11)

Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть [math]x(t)\equiv0,[/math] [math]y(t)\equiv0[/math]. Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям [math]x(0)=x_0,[/math] [math]y(0)=y_0[/math], имеет вид


[math]\begin{cases}x(t)=x_0\cos{t}-y_0\sin{t}\,,\\ y(t)=x_0\sin{t}+y_0\cos{t}\,.\end{cases}[/math]

Возьмем произвольное [math]\varepsilon>0[/math] и покажем, что существует [math]\delta(\varepsilon)>0[/math] такое, что при [math]|x_0-0|<\delta,[/math] [math]|y_0-0|<\delta[/math] имеют место неравенства


[math]|x(t)-0|=|x_0\cos{t}-y_0\sin{t}|<\varepsilon,\quad |y(t)-0|=|x_0\sin{t}+y_0\cos{t}|<\varepsilon,[/math] для всех [math]t\geqslant0.[/math]

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение [math]x(t)\equiv0,[/math] [math]y(t)\equiv0[/math] системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,


[math]\begin{aligned}|x_0\cos{t}-y_0\sin{t}|&\leqslant |x_0\cos{t}|+|y_0\sin{t}|\leqslant |x_0|+|y_0|,\\ |x_0\sin{t}+y_0\cos{t}|&\leqslant |x_0\sin{t}|+|y_0\cos{t}|\leqslant |x_0|+|y_0| \end{aligned}[/math]
(12)

для всех [math]t[/math]. Поэтому, если [math]|x_0|+|y_0|<\varepsilon[/math] то и подавно


[math]|x_0\cos{t}-y_0\sin{t}|<\varepsilon,\quad |x_0\sin{t}+y_0\cos{t}|<\varepsilon[/math]
(13)

для всех [math]t[/math].


Следовательно, если, например, взять [math]\delta(\varepsilon)=\varepsilon/2[/math], то при [math]|x_0|<\delta[/math] и [math]|y_0|<\delta[/math] в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех [math]t\geqslant0[/math], т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.


Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений


[math]\frac{dx_i}{dt}= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}(t)x_j+f_i(t),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.


Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.




Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения


[math]\frac{dx}{dt}=1-x^2(t).[/math]
(14)

Решение. Оно имеет очевидные решения [math]\varphi(t)=-1[/math] и [math]\varphi(t)=1[/math].


Решение [math]\varphi(t)=-1[/math] этого уравнения неустойчиво, а решение [math]\varphi(t)=1[/math] является асимптотически устойчивым. В самом деле, при [math]t\to+\infty[/math] все решения уравнения (14)


[math]x(t)= \frac{(1+x_0)e^{2(t-t_0)}-(1-x_0)}{(1+x_0)e^{2(t-t_0)}+(1-x_0)}\quad (x_0\ne-1)[/math]

стремятся к [math]+1[/math]. Это означает, согласно определению, что решение [math]\varphi(t)=1[/math] уравнения асимптотически устойчиво.

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved