Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Дифференциальные уравнения с малым параметром при производной

Дифференциальные уравнения с малым параметром при производной


Возьмем дифференциальное уравнение (где [math]\varepsilon[/math] — параметр)


[math]\frac{dx}{dt}=F(t,x(t),\varepsilon).[/math]
(1)

Если функция [math]F(t,x,\varepsilon)[/math] в некоторой замкнутой области изменения [math]t,x,\varepsilon[/math] непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по [math]x:[/math]


[math]|F(t,x_2,\varepsilon)-F(t,x_1,\varepsilon)|\leqslant N|x_2-x_1|,[/math]

где [math]N[/math] не зависит от [math]t,x,\varepsilon[/math], то решение (1) непрерывно зависит от [math]\varepsilon[/math].


Во многих задачах физики приходится рассматривать уравнения вида (где [math]\varepsilon[/math] — малый параметр)


[math]\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=f(t,x).[/math]
(2)

Разделив обе части уравнения (2) на [math]\varepsilon[/math], приведем его к виду


[math]\frac{dx}{dt}=\frac{1}{\varepsilon}f(t,x),[/math]
(3)

откуда видно, что правая часть (3) терпит разрыв при [math]\varepsilon=0[/math], так что теоремой о непрерывной зависимости решений от параметра [math]\varepsilon[/math] воспользоваться в этом случае нельзя.


Вопрос ставится так: при каких условиях для малых значений [math]|\varepsilon|[/math] в уравнении (2) можно отбросить член [math]\varepsilon\,\frac{dx}{dt}[/math] и в качестве приближения к решению дифференциального уравнения (2) рассматривать решение так называемого "вырожденного уравнения"


[math]f(t,x)=0.[/math]
(4)

Пусть для определенности [math]\varepsilon>0[/math] и пусть вырожденное уравнение (4) имеет лишь одно решение [math]x=\varphi(t)[/math]. В зависимости от поведения [math]f(t,x)[/math] вблизи решения [math]x=\varphi(t)[/math] уравнения (4) решение [math]x(t,\varepsilon)[/math] дифференциального уравнения (2) при [math]\varepsilon\to0[/math] стремится к решению [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения, либо быстро удаляется от него.


В первом случае решение [math]x=\varphi(t)[/math] уравнения (4) называют устойчивым, во втором — неустойчивым.


Именно, если при переходе через график решения [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения (4) функция [math]f(x,t)[/math] с возрастанием [math]x[/math] при фиксированном [math]t[/math] меняет знак с [math]+[/math] на [math]-[/math], то решение вырожденного уравнения [math]x=\varphi(t)[/math] устойчиво и им можно приближенно заменить решение [math]x(t,\varepsilon)[/math]. уравнения (2) (рис. 47).


Если же функция [math]f(t,x)[/math] меняет знак с [math]-[/math] на [math]+[/math], то решение [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения (4) неустойчиво и заменять решение [math]x(t,\varepsilon)[/math] дифференциального уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4) нельзя (рис. 48).


Решения вырожденных дифференциальных уравнений

Достаточные условия устойчивости или неустойчивости выражаются следующими предложениями.


1. Если [math]\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}<0[/math] на решении [math]x=\varphi(t)[/math] уравнения (4), то решение [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения устойчиво.


2. Если [math]\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}>0[/math] на решении [math]x=\varphi(t)[/math] уравнения (4), то решение [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения неустойчиво.


Если вырожденное уравнение [math]f(t,x)=0[/math] (4) имеет несколько решений [math]x=\varphi_i(t),[/math] [math]i=1,2,\ldots,m[/math], то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость. При этом поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (2) при [math]\varepsilon\to0[/math] может быть различным в зависимости от выбора начальных условий — начальной точки [math](t_0,x_0)[/math].


Возможен также полуустойчивый случай, когда функция [math]f(t,x)[/math] при переходе через кривую [math]x=\varphi(t)[/math] не меняет знак (например, если [math]x=\varphi(t)[/math] есть корень четной кратности вырожденного уравнения (4)). В этом случае при малом [math]\varepsilon[/math] интегральные кривые уравнения (2) с одной стороны кривой [math]x=\varphi(t)[/math] стремятся к этой кривой, а с другой — удаляются от нее.


В первом случае мы говорили, что начальная точка [math](t_0,x_0)[/math] принадлежит области притяжения полуустойчивого решения [math]x=\varphi(t)[/math], а во втором случае — области отталкивания.


В полуустойчивом случае, как правило, нельзя заменять решение исходного уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4).


Можно указать критерии, когда интегральные кривые уравнения (2) при соответствующем выборе начальной точки [math](t_0,x_0)[/math] приближаются к решению [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения и остаются в его окрестности при [math]t>t_0[/math], однако это справедливо лишь при отсутствии возмущений уравнения (2).


Приведем эти критерии.


Удаление интегральной кривой от кривой

Пусть в окрестности полуустойчивого решения [math]x=\varphi(t)[/math] вырожденного уравнения (4) функция [math]f(t,x)\geqslant0[/math]. Если [math]\varphi'(t)>0[/math], то интегральные кривые уравнения (2), приближающиеся к кривой [math]x=\varphi(t)[/math], не могут пересечь эту кривую и остаются в ее окрестности при [math]t>t_0[/math] (начальная точка [math](t_0,x_0)[/math] должна находиться в области притяжения полуустойчивого решения [math]x=\varphi(t)[/math]; если [math](t_0,x_0)[/math] находится в области отталкивания, то соответствующая интегральная кривая уравнения (2) быстро удаляется от кривой [math]x=\varphi(t)[/math]) (рис. 49). Если [math]\varphi'(t)<0[/math], то интегральные кривые, приближающиеся к графику функции [math]x=\varphi(t)[/math], пересекут его и с другой стороны кривой [math]x=\varphi(t)[/math] быстро удалятся от нее. Если [math]\varphi'(t)>0[/math] при [math]t_0\leqslant t<t_1[/math] и [math]\varphi(t)<0[/math] при [math]t>t_1[/math], то при достаточно малом [math]\varepsilon[/math] интегральные кривые, выходящие из точки [math](t_0,x_0)[/math], принадлежащей области притяжения корня [math]x=\varphi(t)[/math], остаются вблизи кривой [math]x=\varphi(t)[/math] при [math]t_0+\delta<t<t_0,[/math] [math]\delta>0[/math]; в окрестности точки [math]t=t_1[/math] они пересекают кривую [math]x=\varphi(t)[/math] и затем удаляются от нее.


Если в окрестности полуустойчивого решения [math]x=\varphi(t)[/math] функция [math]f(t,x)\leqslant0[/math], то для справедливости высказанных утверждений знаки у производной [math]\varphi'(t)[/math] надо заменить противоположными.




Пример 1. Выяснить, стремится ли решение [math]x=x(t,\varepsilon)[/math] уравнения


[math]\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=t^2-x,\quad \varepsilon>0,[/math]
(5)

удовлетворяющее начальному условию [math]x|_{t=t_0}=x_0,[/math] к решению вырожденного уравнения [math]x=t^2[/math] при [math]t>t_0[/math] и [math]\varepsilon\to0[/math].


Решение. Имеем [math]\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}=\frac{\partial(t^2-x)}{\partial x}=-1<0[/math], так что решение вырожденного уравнения [math]x=t^2[/math] устойчиво и, следовательно, решение исходного уравнения [math]x=x(t,\varepsilon)[/math], выходящее из любой начальной точки [math](t_0,x_0)[/math], стремится к решению вырожденного уравнения при [math]\varepsilon\to0[/math] и [math]t>t_0[/math] (рис.50).


В этом можно убедиться непосредственно проверкой. Решая дифференциальное уравнение (5) как линейное неоднородное при заданном начальном условии [math]x|_{t=t_0}=x_0[/math], найдем


[math]x(t,\varepsilon)= (x_0-t_0^2+2\varepsilon t_0-2\varepsilon^2)\exp\frac{t_0-t}{\varepsilon}+t^2-2\varepsilon t+2\varepsilon^2,[/math]

откуда непосредственно видно, что при [math]t>t_0[/math], то есть [math]t-t_0>0[/math] и [math]\varepsilon\to0[/math] имеем [math]x(t,\varepsilon)\to t^2[/math].


Стремление решения дифференциального уравнения к решению вырожденного уравнения

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения для уравнения


[math]\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=x(e^x-2).[/math]

Решение. Вырожденное уравнение [math]x(e^x-2)=0[/math] имеет два решения [math]x=0,~x=\ln{2}[/math]. Имеем


[math]\left.{\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}}\right|_{x=0}=\Bigl.{(e^x-2+xe^x)}\Bigr|_{x=0}=-1<0,[/math]

так что решение [math]x=0[/math] устойчивое


[math]\left.{\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}}\right|_{x=\ln{2}}=\Bigl.{(e^x-2+xe^x)}\Bigr|_{x=\ln{2}}=2\ln{2}>0,[/math]

так что решение [math]x=2\ln{2}[/math] вырожденного уравнения неустойчивое (рис. 51).




Пример 3. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения, отвечающего уравнению


[math]\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=(x-t)^2[/math]

Решение. Вырожденное уравнение [math](x-t)^2=0[/math] имеет корень [math]x=t[/math] второй кратности. Функция [math]f(t,x)\equiv(x-t)^2>0[/math] в окрестности этого корня, [math]\varepsilon(t)=t[/math] и [math]\varepsilon'(t)=1>0[/math]. Следовательно, решение [math]x=t[/math] — полуустойчивое, и если начальная точка [math](t_0,x_0)[/math] лежит в полуплоскости под прямой [math]x=t[/math] (область притяжения корня [math]x=t[/math]), то интегральная кривая [math]x=x(t,\varepsilon)[/math], выходящая из точки [math](t_0,x_0)[/math], будет при [math]t>t_0[/math] оставаться в окрестности линии [math]x=t[/math] (рис.52).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved