Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Дифференциальные уравнения с малым параметром при производной

Дифференциальные уравнения с малым параметром при производной


Возьмем дифференциальное уравнение (где \varepsilon — параметр)


\frac{dx}{dt}=F(t,x(t),\varepsilon).
(1)

Если функция F(t,x,\varepsilon) в некоторой замкнутой области изменения t,x,\varepsilon непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по x:


|F(t,x_2,\varepsilon)-F(t,x_1,\varepsilon)|\leqslant N|x_2-x_1|,

где N не зависит от t,x,\varepsilon, то решение (1) непрерывно зависит от \varepsilon.


Во многих задачах физики приходится рассматривать уравнения вида (где \varepsilon — малый параметр)


\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=f(t,x).
(2)

Разделив обе части уравнения (2) на \varepsilon, приведем его к виду


\frac{dx}{dt}=\frac{1}{\varepsilon}f(t,x),
(3)

откуда видно, что правая часть (3) терпит разрыв при \varepsilon=0, так что теоремой о непрерывной зависимости решений от параметра \varepsilon воспользоваться в этом случае нельзя.


Вопрос ставится так: при каких условиях для малых значений |\varepsilon| в уравнении (2) можно отбросить член \varepsilon\,\frac{dx}{dt} и в качестве приближения к решению дифференциального уравнения (2) рассматривать решение так называемого "вырожденного уравнения"


f(t,x)=0.
(4)

Пусть для определенности \varepsilon>0 и пусть вырожденное уравнение (4) имеет лишь одно решение x=\varphi(t). В зависимости от поведения f(t,x) вблизи решения x=\varphi(t) уравнения (4) решение x(t,\varepsilon) дифференциального уравнения (2) при \varepsilon\to0 стремится к решению x=\varphi(t) вырожденного уравнения, либо быстро удаляется от него.


В первом случае решение x=\varphi(t) уравнения (4) называют устойчивым, во втором — неустойчивым.


Именно, если при переходе через график решения x=\varphi(t) вырожденного уравнения (4) функция f(x,t) с возрастанием x при фиксированном t меняет знак с + на -, то решение вырожденного уравнения x=\varphi(t) устойчиво и им можно приближенно заменить решение x(t,\varepsilon). уравнения (2) (рис. 47).


Если же функция f(t,x) меняет знак с - на +, то решение x=\varphi(t) вырожденного уравнения (4) неустойчиво и заменять решение x(t,\varepsilon) дифференциального уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4) нельзя (рис. 48).


Решения вырожденных дифференциальных уравнений

Достаточные условия устойчивости или неустойчивости выражаются следующими предложениями.


1. Если \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}<0 на решении x=\varphi(t) уравнения (4), то решение x=\varphi(t) вырожденного уравнения устойчиво.


2. Если \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}>0 на решении x=\varphi(t) уравнения (4), то решение x=\varphi(t) вырожденного уравнения неустойчиво.


Если вырожденное уравнение f(t,x)=0 (4) имеет несколько решений x=\varphi_i(t), i=1,2,\ldots,m, то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость. При этом поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (2) при \varepsilon\to0 может быть различным в зависимости от выбора начальных условий — начальной точки (t_0,x_0).


Возможен также полуустойчивый случай, когда функция f(t,x) при переходе через кривую x=\varphi(t) не меняет знак (например, если x=\varphi(t) есть корень четной кратности вырожденного уравнения (4)). В этом случае при малом \varepsilon интегральные кривые уравнения (2) с одной стороны кривой x=\varphi(t) стремятся к этой кривой, а с другой — удаляются от нее.


В первом случае мы говорили, что начальная точка (t_0,x_0) принадлежит области притяжения полуустойчивого решения x=\varphi(t), а во втором случае — области отталкивания.


В полуустойчивом случае, как правило, нельзя заменять решение исходного уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4).


Можно указать критерии, когда интегральные кривые уравнения (2) при соответствующем выборе начальной точки (t_0,x_0) приближаются к решению x=\varphi(t) вырожденного уравнения и остаются в его окрестности при t>t_0, однако это справедливо лишь при отсутствии возмущений уравнения (2).


Приведем эти критерии.


Удаление интегральной кривой от кривой

Пусть в окрестности полуустойчивого решения x=\varphi(t) вырожденного уравнения (4) функция f(t,x)\geqslant0. Если \varphi'(t)>0, то интегральные кривые уравнения (2), приближающиеся к кривой x=\varphi(t), не могут пересечь эту кривую и остаются в ее окрестности при t>t_0 (начальная точка (t_0,x_0) должна находиться в области притяжения полуустойчивого решения x=\varphi(t); если (t_0,x_0) находится в области отталкивания, то соответствующая интегральная кривая уравнения (2) быстро удаляется от кривой x=\varphi(t)) (рис. 49). Если \varphi'(t)<0, то интегральные кривые, приближающиеся к графику функции x=\varphi(t), пересекут его и с другой стороны кривой x=\varphi(t) быстро удалятся от нее. Если \varphi'(t)>0 при t_0\leqslant t<t_1 и \varphi(t)<0 при t>t_1, то при достаточно малом \varepsilon интегральные кривые, выходящие из точки (t_0,x_0), принадлежащей области притяжения корня x=\varphi(t), остаются вблизи кривой x=\varphi(t) при t_0+\delta<t<t_0, \delta>0; в окрестности точки t=t_1 они пересекают кривую x=\varphi(t) и затем удаляются от нее.


Если в окрестности полуустойчивого решения x=\varphi(t) функция f(t,x)\leqslant0, то для справедливости высказанных утверждений знаки у производной \varphi'(t) надо заменить противоположными.




Пример 1. Выяснить, стремится ли решение x=x(t,\varepsilon) уравнения


\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=t^2-x,\quad \varepsilon>0,
(5)

удовлетворяющее начальному условию x|_{t=t_0}=x_0, к решению вырожденного уравнения x=t^2 при t>t_0 и \varepsilon\to0.


Решение. Имеем \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}=\frac{\partial(t^2-x)}{\partial x}=-1<0, так что решение вырожденного уравнения x=t^2 устойчиво и, следовательно, решение исходного уравнения x=x(t,\varepsilon), выходящее из любой начальной точки (t_0,x_0), стремится к решению вырожденного уравнения при \varepsilon\to0 и t>t_0 (рис.50).


В этом можно убедиться непосредственно проверкой. Решая дифференциальное уравнение (5) как линейное неоднородное при заданном начальном условии x|_{t=t_0}=x_0, найдем


x(t,\varepsilon)= (x_0-t_0^2+2\varepsilon t_0-2\varepsilon^2)\exp\frac{t_0-t}{\varepsilon}+t^2-2\varepsilon t+2\varepsilon^2,

откуда непосредственно видно, что при t>t_0, то есть t-t_0>0 и \varepsilon\to0 имеем x(t,\varepsilon)\to t^2.


Стремление решения дифференциального уравнения к решению вырожденного уравнения

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения для уравнения


\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=x(e^x-2).

Решение. Вырожденное уравнение x(e^x-2)=0 имеет два решения x=0,~x=\ln{2}. Имеем


\left.{\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}}\right|_{x=0}=\Bigl.{(e^x-2+xe^x)}\Bigr|_{x=0}=-1<0,

так что решение x=0 устойчивое


\left.{\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}}\right|_{x=\ln{2}}=\Bigl.{(e^x-2+xe^x)}\Bigr|_{x=\ln{2}}=2\ln{2}>0,

так что решение x=2\ln{2} вырожденного уравнения неустойчивое (рис. 51).




Пример 3. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения, отвечающего уравнению


\varepsilon\,\frac{dx}{dt}=(x-t)^2

Решение. Вырожденное уравнение (x-t)^2=0 имеет корень x=t второй кратности. Функция f(t,x)\equiv(x-t)^2>0 в окрестности этого корня, \varepsilon(t)=t и \varepsilon'(t)=1>0. Следовательно, решение x=t — полуустойчивое, и если начальная точка (t_0,x_0) лежит в полуплоскости под прямой x=t (область притяжения корня x=t), то интегральная кривая x=x(t,\varepsilon), выходящая из точки (t_0,x_0), будет при t>t_0 оставаться в окрестности линии x=t (рис.52).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved