Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямых в пространстве

Уравнения прямых в пространстве


Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей


Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями


[math]\begin{aligned}\rho_{1}\colon & \,A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0;\\[2pt] \rho_{2}\colon & \,A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0,\end{aligned}[/math]

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. [math]\operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{pmatrix}=2[/math]. Это условие означает, что плоскости [math]\rho_{1}[/math] и [math]\rho_{2}[/math]пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали [math]\vec{n}_{1}=A_{1}\vec{i}+B_{1}\vec{j}+C_{1}\vec{k}[/math] и [math]\vec{n}_{2}=A_{2}\vec{i}+B_{2}\vec{j}+C_{2}\vec{k}[/math] неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений


[math]\begin{cases} A_{1}\cdot x+D_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0,\\ A_{2}\cdot x+D_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0. \end{cases}[/math]
(4.31)

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.


Общее уравнение прямой в пространстве как пересечение двух плоскостей



Пример 4.13. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]A(1;2;3),[/math] [math]B(3;0;2),[/math] [math]C(7;4;6)[/math] треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту [math]AH[/math] треугольника.


Решение. Прямая [math]AH[/math] является линией пересечения двух плоскостей: плоскости [math]\rho_{1}[/math], треугольника [math]ABC[/math] и плоскости [math]\rho_{2}[/math], проходящей через точку [math]A[/math] перпендикулярно вектору [math]\overrightarrow{BC}[/math] (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости [math]\rho_{1},[/math] проходящей через три точки [math]A,\,B,\,C:[/math]


[math]\begin{vmatrix}x-1&y-2&z-3\\3-1&0-2&2-3\\7-1&4-2&6-3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x-1&y-2&z-3\\ 2&-2&-1\\ 6&2&3 \end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x+3y-4z+5=0.[/math]

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости [math]\rho_{2}[/math], проходящей через точку [math]A[/math] перпендикулярно вектору [math]\overrightarrow{BC}=(7-3)\vec{i}+(4-0)\vec{j}+(6-2)\vec{k}=4\vec{i}+4\vec{j}+4\vec{k}:[/math]


[math]4\cdot(x-1)+4\cdot(y-2)+4\cdot(z-3)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x+y+z-6=0.[/math]

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой [math]AH[/math] имеет вид [math]\begin{cases}x+3y-4z+5=0,\\x+y+z-6=0.\end{cases}[/math]




Параметрическое уравнение прямой в пространстве


Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.


Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] заданы точка [math]M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})[/math] и ненулевой вектор [math]\vec{p}= a\vec{i}+ b\vec{j}+ c\vec{k}[/math] (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору [math]\vec{p}[/math] и проходящей через точку [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math].


Выберем на прямой произвольную точку [math]M_{0}(x,y,z)[/math]. Обозначим [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM},[/math] [math]\vec{r}_{0}=\overrightarrow{OM_{0}}[/math] — радиус-векторы точек [math]M(x,y,z)[/math] и [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] (рис.4.28).


Параметрическое уравнение прямой в пространстве и направляющий вектор прямой

Точка [math]M[/math] принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы [math]\overrightarrow{M_{0}M}[/math] и [math]\vec{p}[/math] коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: [math]\overrightarrow{M_{0}M}=t\vec{p}[/math], где [math]t[/math] — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что [math]\overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-\vec{r}_{0}[/math], получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:


[math]\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\cdot\vec{p}, \quad t\in\mathbb{R}\,,[/math]
(4.32)

где [math]\vec{p}[/math] — направляющий вектор прямой, а [math]\vec{r}_{0}[/math] — радиус-вектор заданной точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] принадлежащей прямой.


Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве


[math]\begin{cases}x=x_{0}+a\cdot t,\\y=y_{0}+b\cdot t,\\z=z_{0}+c\cdot t,\end{cases}t\in\mathbb{R}\,,[/math]
(4.33)

где [math]a,b,c[/math] — координаты направляющего вектора [math]\vec{p}[/math] прямой. Параметр [math]t[/math] в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина [math]t[/math] пропорциональна расстоянию от заданной точки [math]M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})[/math] до точки [math]M(x,y,z)\equiv M(x_{0}+at,y_{0}+bt,z_{0}+ct)[/math]. Физический смысл параметра [math]t[/math] в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки [math]M(x,y,z)[/math] по прямой. При [math]t=0[/math] точка [math]M(x,y,z)[/math] совпадает с заданной точкой [math]M_{0}[/math]. При возрастании параметра [math]t[/math] движение происходит в направлении направляющего вектора.





Каноническое уравнение прямой в пространстве


Выразим параметр [math]t[/math] из каждого уравнения системы (4.33): [math]t=\frac{x-x_{0}}{a},\, t=\frac{y-y_{0}}{b},\, t=\frac{z-z_{0}}{c}[/math], а затем исключим этот параметр:


[math]\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}, \quad a^2+b^2+c^2\ne0.[/math]
(4.34)

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты [math]a,b,c[/math] не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.




Замечания 4.6.


1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:


а) каноническое уравнение [math]\frac{x-x_{0}}{0}=\frac{y-y_{0}}{0}=\frac{z-z_{0}}{c}[/math] — это уравнение [math]\begin{cases}x=x_{0},\\y=y_{0}\end{cases}[/math] прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);


б) каноническое уравнение [math]\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{0}[/math] — это уравнение [math]\begin{cases}z=z_{0},\\\dfrac{x-x_{0}}{a}=\dfrac{y-y_{0}}{b}\end{cases}[/math] прямой, параллельной координатной плоскости [math]Oxy[/math] (рис.4.29,б).


Прямые в пространстве, параллельные координатным плоскостям

2. Направляющий вектор [math]\vec{p}[/math] прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор [math]\lambda\cdot\vec{p}[/math], где [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math], также является направляющим вектором для той же прямой.


Переход от общего уравнение к каноническому


3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:


1) найти любое решение [math](x_{0},y_{0},z_{0})[/math] системы [math]\begin{cases} A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0,\\ A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0, \end{cases}[/math] определяя тем самым координаты точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math], принадлежащей прямой;


2) найти направляющий вектор [math]\vec{p}[/math] прямой как векторное произведение нормалей [math]\vec{n}_{1}=A_{1}\vec{i}+B_{1}\vec{j}+C_{1}\vec{k},[/math] [math]\vec{n}_{2}= A_{2}\vec{i}+ B_{2}\vec{j}+ C_{2}\vec{k},[/math] заданных плоскостей:


[math]\vec{p}= \begin{bmatrix}\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\end{bmatrix}= a\cdot\vec{i}+ b\cdot\vec{j}+ c\cdot\vec{k}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\\ A_{2}&B_{2}&C_{2} \end{vmatrix}.[/math]

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.


4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы


[math]\left\{\!\begin{aligned}\frac{x-x_{0}}{a}&=\frac{y-y_{0}}{b}\,,\\\frac{y-y_{0}}{b}&=\frac{z-z_{0}}{c}\,,\end{aligned}\right.[/math] и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):


[math]\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}=t \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x=x_{0}+a\cdot t,\\y=y_{0}+b\cdot t,\\z=z_{0}+c\cdot t,\end{cases} t\in\mathbb{R}\,.[/math]

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты [math]x_{0},y_{0},z_{0}[/math] точки [math]M_{0}[/math], а коэффициентам [math]a,b,c[/math] придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math], т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку [math]M_{0}[/math].


7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.




Пример 4.14. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]A(1;2;3),[/math] [math]B(3;0;2),[/math] [math]C(7;4;6)[/math] треугольника (рис. 4.30). Требуется:


В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1,2,3), B(3,0,2), C(7,4,6) треугольника

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту [math]AH[/math] треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису [math]AL[/math] треугольника.


Решение. а) Общее уравнение прямой [math]AH[/math] получено в примере 4.13: [math]\begin{cases}x+3\cdot y-4\cdot z+5=0,\\x+y+z-6=0.\end{cases}[/math] Перейдем от общего уравнения к каноническому.


1) Найдем любое решение [math](x_{0},y_{0},z_{0})[/math] системы, например, [math]x_{0}=1,[/math] [math]y_{0}=2,[/math] [math]z_{0}=3[/math] (это координаты точки [math]A(1;2;3)[/math]).


2) Найдем направляющий вектор [math]\vec{p}[/math] прямой как векторное произведение нормалей [math]\vec{n}_{1}=\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k},[/math] [math]\vec{n}_{2}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}[/math] заданных плоскостей


[math]\vec{p}= \begin{bmatrix}\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\end{bmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&3&-4\\ 1&1&1 \end{vmatrix}= 7\cdot\vec{i}-5\cdot\vec{j}-2\cdot\vec{k}\,.[/math]

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): [math]\frac{x-1}{7}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z-3}{-2}[/math].


б) Сначала составим каноническое уравнение прямой [math]AL[/math]. Для этого нужно найти направляющий вектор [math]\vec{l}[/math] этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, [math]\vec{l}=\vec{b}+\vec{c}[/math], где [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math] — единичные векторы, одинаково направленные с векторами [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{AC}[/math] соответственно. Находим


[math]\begin{gathered}\overrightarrow{AB}= 2\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}, \quad \begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=3, \quad \vec{b}= \frac{\overrightarrow{AB}}{\begin{vmatrix} \overrightarrow{AB}\end{vmatrix}}= \frac{2}{3}\cdot \vec{i}-\frac{2}{3} \cdot\vec{j}-\frac{1}{3}\cdot \vec{k}\,;\\[3pt] \overrightarrow{AC}= 6\cdot \vec{i}+ 2\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}, \quad \begin{vmatrix} \overrightarrow{AC} \end{vmatrix}=7, \quad \vec{c}= \frac{\overrightarrow{AC}}{\begin{vmatrix} \overrightarrow{AC}\end{vmatrix}}= \frac{6}{7}\cdot\vec{i}+ \frac{2}{7}\cdot\vec{j}+ \frac{3}{7}\cdot\vec{k}\,;\\[3pt] \vec{l}=\vec{a}+\vec{c}= \left(\frac{2}{3}\cdot\vec{i}-\frac{2}{3}\cdot\vec{j}-\frac{1}{3}\cdot\vec{k}\right)+ \left(\frac{6}{7}\cdot\vec{i}+\frac{2}{7}\cdot\vec{j}+\frac{3}{7}\cdot\vec{k}\right)= \frac{32}{21}\cdot\vec{i}-\frac{8}{21}\cdot\vec{j}+\frac{2}{21}\cdot\vec{k}\,. \end{gathered}[/math]

Составляем каноническое уравнение прямой [math]AL\colon\,\frac{x-1}{32/21}=\frac{y-2}{-8/21}=\frac{z-3}{2/21}[/math].


Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой [math]AL:[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}\frac{x-1}{32/21}&=\frac{y-2}{-8/21},\\ \frac{y-2}{-8/21}&=\frac{z-3}{2/21},\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x+4\cdot y-9=0,\\ y+4\cdot z-14=0.\end{cases}[/math]



Расстояние от точки до прямой, заданной каноническим уравнением

Расстояние от точки до прямой в пространстве


Найдем расстояние [math]d[/math] от точки [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})[/math] до прямой [math]l[/math], заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):


[math]l\colon\, \frac{x-x_{0}}{a}= \frac{y-y_{0}}{b}= \frac{z-z_{0}}{c}\,.[/math]

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах


[math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}[/math] и [math]\vec{m}=\overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})\vec{i}+(y_{1}-y_{0})\vec{j}+(z_{1}-z_{0})\vec{k}[/math], то есть.

[math]d=\frac{\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}\vec{m},\vec{p}\end{bmatrix}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}}= \frac{\sqrt{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}\\a&b\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\b&c\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&z_{1}-z_{0}\\a&c\end{vmatrix}^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\,.[/math]
(4.35)



Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки


Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] заданы две точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] и [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})[/math]. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.


Как показано в разд., точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит прямой [math]M_{0}M_{1}[/math] тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] удовлетворяет условию (рис.4.32): [math]\overrightarrow{OM}= (1-t)\cdot \overrightarrow{OM_{0}}+ t\cdot\overrightarrow{OM_{1}}[/math], где [math]t[/math] — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму


[math]\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= (1-t)\cdot\!\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}+t\cdot\!\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}\! \quad \Leftrightarrow \quad \!\begin{cases} x=(1-t)\cdot x_{0}+t\cdot x_{1},\\ y=(1-t)\cdot y_{0}+t\cdot y_{1},\\ z=(1-t)\cdot z_{0}+t\cdot z_{1}.\end{cases} t\in\mathbb{R}[/math]
(4.36)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] и [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})[/math].


Выражая параметр [math]t[/math] из каждого уравнения системы (4.36), получаем: [math]\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}=t[/math]. Исключая параметр [math]t[/math], приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] и [math]M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})[/math]:


[math]\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}\,.[/math]
(4.37)

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора [math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}[/math] вектор [math]\overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})\vec{i}+(y_{1}-y_{0})\vec{j}+(z_{1}-z_{0})\vec{k},[/math] т.е. подставляя [math]a=x_{1}-x_{0},[/math] [math]b=y_{1}-y_{0},[/math] [math]c=z_{1}-z_{0}.[/math]




Треугольник в пространстве по координатам вершин, его высота и медиана

Пример 4.15. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]A(1;2;3),[/math] [math]B(3;0;2),[/math] [math]C(7;4;6)[/math] треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой [math]BC[/math];

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану [math]AM[/math] треугольника;

в) найти высоту [math]h=|AH|[/math] треугольника, опущенную на сторону [math]BC[/math].


Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки [math]B(3;0;2),[/math] [math]C(7;4;6):[/math]


[math]\frac{x-3}{7-3}=\frac{y-0}{4-0}=\frac{z-2}{6-2}~ \Leftrightarrow~ \frac{x-3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}\,.[/math]

б) Находим координаты середины [math]M[/math] стороны [math]BC\colon M(5;2;4)[/math]. Составляем уравнение (4.37) прямой [math]AM:[/math]


[math]\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-2}{2-2}=\frac{z-3}{4-3}~ \Leftrightarrow~ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{1}\,.[/math]

в) Искомую высоту [math]h[/math] находим по формуле (4.35), полагая [math]\vec{m}=\overrightarrow{BA}=-2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}[/math] и [math]\vec{p}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}:[/math]


[math]h=|AH|=\frac{\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}\vec{m},\vec{p}\end{bmatrix}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}}= \frac{\sqrt{\begin{vmatrix}-2&2\\1&1\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}-2&1\\1&1\end{vmatrix}^2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{16+1+9}}{\sqrt{3}}= \sqrt{\frac{26}{3}}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved