Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямых в пространстве

Уравнения прямых в пространстве


Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей


Пусть в координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями


\begin{aligned}\rho_{1}\colon & \,A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0;\\[2pt] \rho_{2}\colon & \,A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0,\end{aligned}

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. \operatorname{rang}\!\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{pmatrix}=2. Это условие означает, что плоскости \rho_{1} и \rho_{2}пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали \vec{n}_{1}=A_{1}\vec{i}+B_{1}\vec{j}+C_{1}\vec{k} и \vec{n}_{2}=A_{2}\vec{i}+B_{2}\vec{j}+C_{2}\vec{k} неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений


\begin{cases} A_{1}\cdot x+D_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0,\\ A_{2}\cdot x+D_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0. \end{cases}
(4.31)

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.


Общее уравнение прямой в пространстве как пересечение двух плоскостей



Пример 4.13. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника.


Решение. Прямая AH является линией пересечения двух плоскостей: плоскости \rho_{1}, треугольника ABC и плоскости \rho_{2}, проходящей через точку A перпендикулярно вектору \overrightarrow{BC} (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости \rho_{1}, проходящей через три точки A,\,B,\,C:


\begin{vmatrix}x-1&y-2&z-3\\3-1&0-2&2-3\\7-1&4-2&6-3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x-1&y-2&z-3\\ 2&-2&-1\\ 6&2&3 \end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x+3y-4z+5=0.

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости \rho_{2}, проходящей через точку A перпендикулярно вектору \overrightarrow{BC}=(7-3)\vec{i}+(4-0)\vec{j}+(6-2)\vec{k}=4\vec{i}+4\vec{j}+4\vec{k}:


4\cdot(x-1)+4\cdot(y-2)+4\cdot(z-3)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x+y+z-6=0.

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой AH имеет вид \begin{cases}x+3y-4z+5=0,\\x+y+z-6=0.\end{cases}




Параметрическое уравнение прямой в пространстве


Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.


Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы точка M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) и ненулевой вектор \vec{p}= a\vec{i}+ b\vec{j}+ c\vec{k} (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору \vec{p} и проходящей через точку M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).


Выберем на прямой произвольную точку M_{0}(x,y,z). Обозначим \vec{r}=\overrightarrow{OM}, \vec{r}_{0}=\overrightarrow{OM_{0}} — радиус-векторы точек M(x,y,z) и M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) (рис.4.28).


Параметрическое уравнение прямой в пространстве и направляющий вектор прямой

Точка M принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{M_{0}M} и \vec{p} коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: \overrightarrow{M_{0}M}=t\vec{p}, где t — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что \overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-\vec{r}_{0}, получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:


\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\cdot\vec{p}, \quad t\in\mathbb{R}\,,
(4.32)

где \vec{p} — направляющий вектор прямой, а \vec{r}_{0} — радиус-вектор заданной точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) принадлежащей прямой.


Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве


\begin{cases}x=x_{0}+a\cdot t,\\y=y_{0}+b\cdot t,\\z=z_{0}+c\cdot t,\end{cases}t\in\mathbb{R}\,,
(4.33)

где a,b,c — координаты направляющего вектора \vec{p} прямой. Параметр t в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина t пропорциональна расстоянию от заданной точки M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) до точки M(x,y,z)\equiv M(x_{0}+at,y_{0}+bt,z_{0}+ct). Физический смысл параметра t в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки M(x,y,z) по прямой. При t=0 точка M(x,y,z) совпадает с заданной точкой M_{0}. При возрастании параметра t движение происходит в направлении направляющего вектора.





Каноническое уравнение прямой в пространстве


Выразим параметр t из каждого уравнения системы (4.33): t=\frac{x-x_{0}}{a},\, t=\frac{y-y_{0}}{b},\, t=\frac{z-z_{0}}{c}, а затем исключим этот параметр:


\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}, \quad a^2+b^2+c^2\ne0.
(4.34)

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты a,b,c не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.




Замечания 4.6.


1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:


а) каноническое уравнение \frac{x-x_{0}}{0}=\frac{y-y_{0}}{0}=\frac{z-z_{0}}{c} — это уравнение \begin{cases}x=x_{0},\\y=y_{0}\end{cases} прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);


б) каноническое уравнение \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{0} — это уравнение \begin{cases}z=z_{0},\\\dfrac{x-x_{0}}{a}=\dfrac{y-y_{0}}{b}\end{cases} прямой, параллельной координатной плоскости Oxy (рис.4.29,б).


Прямые в пространстве, параллельные координатным плоскостям

2. Направляющий вектор \vec{p} прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор \lambda\cdot\vec{p}, где \lambda\in\mathbb{R}, также является направляющим вектором для той же прямой.


Переход от общего уравнение к каноническому


3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:


1) найти любое решение (x_{0},y_{0},z_{0}) системы \begin{cases} A_{1}\cdot x+B_{1}\cdot y+C_{1}\cdot z+D_{1}=0,\\ A_{2}\cdot x+B_{2}\cdot y+C_{2}\cdot z+D_{2}=0, \end{cases} определяя тем самым координаты точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}), принадлежащей прямой;


2) найти направляющий вектор \vec{p} прямой как векторное произведение нормалей \vec{n}_{1}=A_{1}\vec{i}+B_{1}\vec{j}+C_{1}\vec{k}, \vec{n}_{2}= A_{2}\vec{i}+ B_{2}\vec{j}+ C_{2}\vec{k}, заданных плоскостей:


\vec{p}= \begin{bmatrix}\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\end{bmatrix}= a\cdot\vec{i}+ b\cdot\vec{j}+ c\cdot\vec{k}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\\ A_{2}&B_{2}&C_{2} \end{vmatrix}.

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.


4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы


\left\{\!\begin{aligned}\frac{x-x_{0}}{a}&=\frac{y-y_{0}}{b}\,,\\\frac{y-y_{0}}{b}&=\frac{z-z_{0}}{c}\,,\end{aligned}\right. и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):


\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}=t \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x=x_{0}+a\cdot t,\\y=y_{0}+b\cdot t,\\z=z_{0}+c\cdot t,\end{cases} t\in\mathbb{R}\,.

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты x_{0},y_{0},z_{0} точки M_{0}, а коэффициентам a,b,c придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}), т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку M_{0}.


7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.




Пример 4.14. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис. 4.30). Требуется:


В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1,2,3), B(3,0,2), C(7,4,6) треугольника

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису AL треугольника.


Решение. а) Общее уравнение прямой AH получено в примере 4.13: \begin{cases}x+3\cdot y-4\cdot z+5=0,\\x+y+z-6=0.\end{cases} Перейдем от общего уравнения к каноническому.


1) Найдем любое решение (x_{0},y_{0},z_{0}) системы, например, x_{0}=1, y_{0}=2, z_{0}=3 (это координаты точки A(1;2;3)).


2) Найдем направляющий вектор \vec{p} прямой как векторное произведение нормалей \vec{n}_{1}=\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k}, \vec{n}_{2}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} заданных плоскостей


\vec{p}= \begin{bmatrix}\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\end{bmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&3&-4\\ 1&1&1 \end{vmatrix}= 7\cdot\vec{i}-5\cdot\vec{j}-2\cdot\vec{k}\,.

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): \frac{x-1}{7}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z-3}{-2}.


б) Сначала составим каноническое уравнение прямой AL. Для этого нужно найти направляющий вектор \vec{l} этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, \vec{l}=\vec{b}+\vec{c}, где \vec{b} и \vec{c} — единичные векторы, одинаково направленные с векторами \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC} соответственно. Находим


\begin{gathered}\overrightarrow{AB}= 2\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}, \quad \begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=3, \quad \vec{b}= \frac{\overrightarrow{AB}}{\begin{vmatrix} \overrightarrow{AB}\end{vmatrix}}= \frac{2}{3}\cdot \vec{i}-\frac{2}{3} \cdot\vec{j}-\frac{1}{3}\cdot \vec{k}\,;\\[3pt] \overrightarrow{AC}= 6\cdot \vec{i}+ 2\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}, \quad \begin{vmatrix} \overrightarrow{AC} \end{vmatrix}=7, \quad \vec{c}= \frac{\overrightarrow{AC}}{\begin{vmatrix} \overrightarrow{AC}\end{vmatrix}}= \frac{6}{7}\cdot\vec{i}+ \frac{2}{7}\cdot\vec{j}+ \frac{3}{7}\cdot\vec{k}\,;\\[3pt] \vec{l}=\vec{a}+\vec{c}= \left(\frac{2}{3}\cdot\vec{i}-\frac{2}{3}\cdot\vec{j}-\frac{1}{3}\cdot\vec{k}\right)+ \left(\frac{6}{7}\cdot\vec{i}+\frac{2}{7}\cdot\vec{j}+\frac{3}{7}\cdot\vec{k}\right)= \frac{32}{21}\cdot\vec{i}-\frac{8}{21}\cdot\vec{j}+\frac{2}{21}\cdot\vec{k}\,. \end{gathered}

Составляем каноническое уравнение прямой AL\colon\,\frac{x-1}{32/21}=\frac{y-2}{-8/21}=\frac{z-3}{2/21}.


Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL:


\left\{\!\begin{aligned}\frac{x-1}{32/21}&=\frac{y-2}{-8/21},\\ \frac{y-2}{-8/21}&=\frac{z-3}{2/21},\end{aligned}\right.  \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x+4\cdot y-9=0,\\ y+4\cdot z-14=0.\end{cases}



Расстояние от точки до прямой, заданной каноническим уравнением

Расстояние от точки до прямой в пространстве


Найдем расстояние d от точки M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) до прямой l, заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):


l\colon\, \frac{x-x_{0}}{a}= \frac{y-y_{0}}{b}= \frac{z-z_{0}}{c}\,.

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах


\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k} и \vec{m}=\overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})\vec{i}+(y_{1}-y_{0})\vec{j}+(z_{1}-z_{0})\vec{k}, то есть.

d=\frac{\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}\vec{m},\vec{p}\end{bmatrix}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}}= \frac{\sqrt{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}\\a&b\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\b&c\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&z_{1}-z_{0}\\a&c\end{vmatrix}^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\,.
(4.35)



Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки


Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.


Как показано в разд., точка M(x,y,z) принадлежит прямой M_{0}M_{1} тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор \overrightarrow{OM} удовлетворяет условию (рис.4.32): \overrightarrow{OM}= (1-t)\cdot \overrightarrow{OM_{0}}+ t\cdot\overrightarrow{OM_{1}}, где t — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму


\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= (1-t)\cdot\!\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}+t\cdot\!\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}\! \quad \Leftrightarrow \quad \!\begin{cases} x=(1-t)\cdot x_{0}+t\cdot x_{1},\\ y=(1-t)\cdot y_{0}+t\cdot y_{1},\\ z=(1-t)\cdot z_{0}+t\cdot z_{1}.\end{cases} t\in\mathbb{R}
(4.36)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}).


Выражая параметр t из каждого уравнения системы (4.36), получаем: \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}=t. Исключая параметр t, приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) и M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}):


\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}\,.
(4.37)

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора \vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k} вектор \overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})\vec{i}+(y_{1}-y_{0})\vec{j}+(z_{1}-z_{0})\vec{k}, т.е. подставляя a=x_{1}-x_{0}, b=y_{1}-y_{0}, c=z_{1}-z_{0}.




Треугольник в пространстве по координатам вершин, его высота и медиана

Пример 4.15. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы вершины A(1;2;3), B(3;0;2), C(7;4;6) треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой BC;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника;

в) найти высоту h=|AH| треугольника, опущенную на сторону BC.


Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6):


\frac{x-3}{7-3}=\frac{y-0}{4-0}=\frac{z-2}{6-2}~ \Leftrightarrow~ \frac{x-3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}\,.

б) Находим координаты середины M стороны BC\colon M(5;2;4). Составляем уравнение (4.37) прямой AM:


\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-2}{2-2}=\frac{z-3}{4-3}~ \Leftrightarrow~ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{1}\,.

в) Искомую высоту h находим по формуле (4.35), полагая \vec{m}=\overrightarrow{BA}=-2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k} и \vec{p}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}:


h=|AH|=\frac{\begin{vmatrix}\begin{bmatrix}\vec{m},\vec{p}\end{bmatrix}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}}= \frac{\sqrt{\begin{vmatrix}-2&2\\1&1\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}-2&1\\1&1\end{vmatrix}^2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{16+1+9}}{\sqrt{3}}= \sqrt{\frac{26}{3}}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved