Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору


Общее уравнение прямой


Ненулевой вектор [math]\vec{n}[/math], перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.


Пусть на координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точка [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и ненулевой вектор [math]\vec{n}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}[/math] (рис. 3.5, а). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math] перпендикулярно вектору [math]\vec{n}[/math].


Выберем на плоскости произвольную точку [math]M(x,y)[/math]. Обозначим [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+\vec{y}\vec{j}[/math] и [math]\vec{r}_0=\overrightarrow{OM_0}=x_0\vec{i}+\vec{y}_0\vec{j}[/math] — радиус-векторы точек [math]M(x,y)[/math] и [math]M_0(x_0,y_0)[/math]. Точка [math]M[/math] принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы [math]\overrightarrow{M_0M}[/math] и [math]\vec{n}[/math] перпендикулярны (рис. 3.5, б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения [math]\bigl\langle\overrightarrow{M_0M},\, \vec{n}\bigr\rangle=0[/math]. Учитывая, что [math]\overrightarrow{M_0M}=\vec{r}-\vec{r}_0[/math], получаем векторное уравнение прямой:


[math]\langle\vec{r}-\vec{r}_0,\,\vec{n}\rangle=0.[/math]
(3.5)

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть [math]\langle\vec{r}-\vec{r}_0,\, \vec{n}\rangle= \langle\vec{r}, \vec{n}\rangle- \langle\vec{r}_0,\vec{n}\rangle[/math], используя свойства скалярного произведения. Обозначая [math]c=\langle\vec{r}_0, \vec{n}\rangle[/math], получаем уравнение


[math]\langle\vec{r},\vec{n}\rangle-c=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle\vec{r}, \vec{n}\rangle=c,[/math]
(3.6)

выражающее постоянство проекций на нормаль [math]\vec{n}[/math] радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.


Векторное и общее уравнения прямой на плоскости

Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как [math]\vec{r}-\vec{r}_0=(x-x_0)\vec{i}+(y-y_0)\vec{j}[/math] и [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}[/math], по формуле (1.9) находим [math]\langle\vec{r}-\vec{r}_0,\,\vec{n}\rangle=(x-x_0)A+(y-y_0)B[/math] или


[math]A\cdot(x-x_0)+B\cdot(y-y_0)=0.[/math]
(3.7)

Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и координатам [math]A,\,B[/math] нормали [math]\vec{n}[/math] записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.


Обозначив [math]C=-A\cdot x_0-B\cdot y_0[/math], получим общее уравнение прямой на плоскости


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}A\cdot x+B\cdot y+C=0}}}[/math]
(3.8)

Поскольку коэффициенты [math]A[/math] и [math]B[/math] не равны нулю одновременно (это координаты ненулевого вектора [math]\vec{n}[/math]), уравнение (3.8) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с двумя неизвестными. Следовательно, прямая является алгебраической линией первого порядка.


Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (3.8) задает на координатной плоскости прямую. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 3.1, они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.


Теорема (3.2) об алгебраической линии первого порядка. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными задает в аффинной системе координат прямую, и наоборот, всякая прямая в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с двумя неизвестными. Другими словами, алгебраическая линия первого порядка есть прямая.




Замечания 3.2


1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали [math]\vec{n}[/math], а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор ([math]-\vec{n}[/math]) также является нормалью). Например, вместо нормали [math]\vec{n}[/math] можно взять нормаль [math]-7\vec{n}[/math], что соответствует умножению обеих частей уравнения (3.8) на число [math]-7[/math].


2. Если один из коэффициентов уравнения прямой (3.8) равен нулю, общее уравнение прямой (3.8) принимает один из следующих частных видов:


а) если [math]A=0[/math], уравнение (3.8) имеет вид [math]By+C=0[/math] или [math]y=-\frac{C}{B}[/math] уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (рис.3.6.a); при [math]C=0[/math] прямая [math]y=0[/math] совпадает с осью [math]Ox[/math];


б) если [math]B=0[/math], уравнение (3.8) имеет вид [math]Ax+C=0[/math] или [math]x=-\frac{C}{A}[/math] уравнение прямой, параллельной оси ординат (рис.3.6,б); при [math]C=0[/math] прямая [math]x=0[/math] совпадает с осью [math]Oy[/math];


в) если [math]C=0[/math], уравнение (3.8) имеет вид [math]Ax+By=0[/math] – уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.3.6,в).


Уравнения прямой параллельные и перпендикулярные осям координат

3. Нормаль [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}[/math] к прямой [math]Ax+By+C=0[/math] совпадает с градиентом функции [math]f(x,y)=Ax+By+C[/math]:


[math]\operatorname{grad}f(x,y)=\nabla f(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\vec{i}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\cdot\vec{j}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}=\vec{n}.[/math]

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.


4. Прямая [math]Ax+By+C=0[/math] разбивает плоскость на две полуплоскости (рис.3.7,а): положительную, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству [math]Ax+By+C\geqslant0[/math], и отрицательную, для точек которой [math]Ax+By+C\leqslant0[/math]. Нормаль [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}[/math], приложенная к любой точке прямой, принадлежит положительной полуплоскости. Другими словами, нормаль, приложенная к произвольной точке прямой, указывает на положительную полуплоскость (рис.3.7,а).


Действительно, обозначим через [math]p(x,y)=Ax+By+C[/math] — многочлен первой степени от двух переменных [math]x[/math] и [math]y[/math]. Тогда для любой точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math], принадлежащей прямой (3.8), справедливо равенство [math]p(x_0,y_0)=0[/math]. Представим значение многочлена [math]p(x,y)[/math] в произвольной точке [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast})[/math] плоскости в виде скалярного произведения:


[math]\begin{aligned} p(x^{\ast},y^{\ast})&= p(x^{\ast},y^{\ast})-\underbrace{p(x_0,y_0)}_{=0}=A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C-\underbrace{(A\cdot x_0+B\cdot y_0+C)}_{=0}=\\[3pt] &=A\cdot(x^{\ast}-x_0)+B\cdot(y^{\ast}-y_0)=\left\langle\overrightarrow{M_0M^{\ast}},\,\vec{n}\right\rangle= \left|\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\right|\cdot|\vec{n}|\cdot\cos\varphi, \end{aligned}[/math]

где [math]\vec{n}=\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}^T[/math] — нормаль к прямой [math]Ax+By+C=0[/math]; [math]M_0(x_0,y_0)[/math] — точка, принадлежащая этой прямой. Знак выражения [math]p(x,y)[/math] определяется величиной угла [math]\varphi[/math] между нормалью [math]\vec{n}[/math] и вектором [math]\overrightarrow{M_0M^{\ast}}[/math]. Например, для точки [math]M_1(x_1,y_1)[/math] угол [math]\varphi_1[/math] острый (рис.3.7,б), поэтому [math]p(x_1,y_1)>0[/math], а для точки [math]M_2(x_2,y_2)[/math] угол [math]\varphi_2[/math] тупой (рис.3.7,б), поэтому [math]p(x_1,y_1)<0[/math]. Следовательно, координаты любой точки [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast})[/math], принадлежащей полуплоскости, на которую указывает нормаль, удовлетворяют неравенству [math]Ax^{\ast}+By^{\ast}+C\geqslant0[/math], а координаты точек [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast})[/math] другой полуплоскости- неравенству [math]Ax^{\ast}+By^{\ast}+C\leqslant0[/math].


Прямая и положительная и отрицательная полуплоскости

5. Абсолютное значение [math]|Ax+By+C|[/math] пропорционально расстоянию от точки [math]M(x,y)[/math] до прямой [math]Ax+By+C=0[/math], т.е. отношение расстояний от точек [math]M_1(x_1,y_1)[/math] и [math]M_2(x_2,y_2)[/math] до прямой [math]Ax+By+C=0[/math] равно отношению [math]\frac{|Ax_1+By_1+C|}{|Ax_2+By_2+C|}[/math].


Действительно, в пункте 3 получено представление значений линейного трехчлена [math]p(x,y)=Ax+By+C[/math] в виде скалярного произведения, которое можно выразить через алгебраическое значение длины ортогональной проекции:


[math]p(x^{\ast},y^{\ast})= \left\langle \overrightarrow{M_0M^{\ast}},\,\vec{n}\right\rangle=\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\cdot|\vec{n}|.[/math]

Запишем отношение значений линейного трехчлена [math]p(x,y)[/math] для двух точек [math]M_1(x_1,y_1)[/math] и [math]M_2(x_2,y_2)[/math]:


[math]\frac{p(x_1,y_1)}{p(x_2,y_2)}= \frac{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}\cdot|\vec{n}|}{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_2}\cdot|\vec{n}|}=\frac{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}}{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_2}}.[/math]

Учитывая, что абсолютная величина [math]\bigl|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\,\bigr|[/math] равна расстоянию от точки [math]M^{\ast}[/math] до прямой, получаем искомое отношение


[math]\frac{|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}|}{|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_2}|}=\frac{|p(x_1,y_1)|}{p(x_2,y_2)}=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{|Ax_2+By_2+C|}.[/math]

6. В аффинной системе координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] линейное уравнение ах [math]a_1x_1+a_2x_2+a_3=0[/math] задает, согласно теореме 3.2, прямую. Выводы, полученные в пунктах 2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор [math]\vec{n}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2[/math] не является нормалью.




Пример 3.5. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(1;2)[/math] и [math]L(5;0)[/math]. Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку [math]KL[/math] (рис.3.8).


Уравнение серединного перпендикуляра к отрезку

Решение. Серединный перпендикуляр, по определению, проходит перпендикулярно отрезку [math]KL[/math] через его середину. Находим координаты середины [math]M[/math] отрезка [math]KL[/math]:


[math]M\!\left(\frac{1+5}{2};\,\frac{2+0}{2}\right)[/math] то есть [math]M(3;1)[/math].

Вектор [math]\overrightarrow{KL}[/math] можно взять в качестве нормали для серединного перпендикуляра. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:


[math]\overrightarrow{KL}=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=\vec{n}[/math]

Следовательно, уравнение (3.8) искомой прямой имеет вид [math]4x-2y+C=0[/math]. Осталось найти величину свободного члена [math]C[/math]. Поскольку точка [math]M(3;1)[/math] принадлежит прямой, то ее координаты [math]x=3,~y=1[/math] должны удовлетворять уравнению этой прямой, следовательно, [math]4\cdot3-2\cdot1+C=0[/math]. Отсюда [math]C=10[/math]. Таким образом, серединный перпендикуляр задается уравнением


[math]4x-2y-10=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x-y-5=0.[/math]

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (3.7), подставляя координаты нормали [math]\vec{n}=\begin{pmatrix}4&-2\end{pmatrix}^T[/math] и точки [math]M(3;1)\colon4(x-3)-2(y-1)=0[/math].


Решение задачи получено аналитически без использования графического изображения (рис.3.8). Чертеж в аналитической геометрии служит, как правило, лишь иллюстрацией к решению.




Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой


Пусть заданы на плоскости прямая, описываемая общим уравнением (3.8) [math]Ax+By+C=0[/math], и точка [math]M(x^{\ast},y^{\ast})[/math]. Требуется найти расстояние [math]d[/math] от точки до прямой.


Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора [math]\overrightarrow{M_0M^{\ast}}[/math] на направление нормали [math]\vec{n}[/math] (рис.3.9):


[math]d=\left|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\right|=\frac{|\langle\vec{n},\,\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\rangle|}{|\vec{n}|}[/math], где [math]M_0(x_0,y_0)[/math] — любая точка на заданной прямой.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов [math]\vec{n}=\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}^T[/math], [math]\overrightarrow{M_0M^{\ast}}=\begin{pmatrix}x^{\ast}-x_0&y^{\ast}-y_0\end{pmatrix}^T[/math]:


[math]d=\frac{|A\cdot (x^{\ast}-x_0)+B\cdot (y^{\ast}-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax^{\ast}+By^{\ast}-(Ax_0+By_0)}{\sqrt{A^2+B^2}|}.[/math]

Поскольку координаты точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] удовлетворяют уравнению (3.8), то [math]Ax_0+By_0=-C[/math]. Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast})[/math] до прямой [math]Ax+By+C=0[/math]


[math]d=\frac{|A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\,.[/math]
(3.9)



Пример 3.6. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(1;2)[/math] и [math]L(5;0)[/math]. Требуется найти, в каком отношении прямая [math]m\colon 3x-4y-10=0[/math] делит отрезок [math]KL[/math].


Прямая, делящая отрезок в отношении

Решение. Найдем значения линейного трехчлена [math]p(x,y)=3x-4y-10[/math] в точках [math]K(1;2)[/math] и [math]L(5;0)[/math]: [math]p(1;2)=3\cdot1-4\cdot2-10=-15[/math]; [math]p(5;0)=5[/math]. Получили значения разных знаков. Следовательно, точки [math]K[/math] и [math]L[/math] лежат по разные стороны от прямой [math]m[/math] (согласно пункту 4 замечаний 3.2, эти точки лежат в разных полуплоскостях), т.е. прямая [math]m[/math] действительно пересекает отрезок [math]KL[/math] (в точке [math]M[/math] на рис.3.10). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек [math]K[/math] и [math]L[/math] до прямой [math]m[/math], то


[math]\frac{KM}{ML}=\frac{|p(1;2)|}{|p(5;0)|}=\frac{|-15|}{|5|}=\frac{3}{1}.[/math]

Этот же результат можно получить по формуле (3.9). Находим расстояния [math]d_K[/math] и [math]d_L[/math] от точек [math]K[/math] и [math]L[/math] до прямой [math]m[/math]:


[math]d_k=\frac{|3\cdot1-4\cdot2-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{15}{5}=3;\qquad d_L=\frac{|3\cdot5-4\cdot0-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1[/math]

Следовательно, [math]\frac{KM}{ML}=\frac{d_k}{d_L}=\frac{3}{1}[/math].




Нормированное уравнение прямой


Преобразуем общее уравнение прямой [math]AX+By+C=0[/math] следующим образом. Если свободный член [math]C<0[/math], то разделим обе части на длину нормали [math]|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2}[/math], а если [math]C\geqslant0[/math], то разделим на [math]-|\vec{n}|=-\sqrt{A^2+B^2}[/math]. Получим уравнение


[math]\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}\cdot x+\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}\cdot y+\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}=0,[/math]

в котором свободный член [math]\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}[/math], в силу описанного выбора знака, неположительный. Обозначим его через [math]-\rho=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}[/math]. Коэффициенты при неизвестных являются координатами единичного вектора [math]\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n}[/math] или [math]-\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n}[/math], и равны направляющим косинусам:


[math]\cos\alpha=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}, \qquad \cos\beta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}.[/math]

Тогда уравнение принимает вид (3.10) и называется нормированное уравнение прямой


[math]x\cdot\cos\alpha+y\cdot\cos\beta-\rho=0, \quad \rho\geqslant0,[/math]
(3.10)



Замечания 3.3


1. Свободный член [math]\rho[/math] нормированного уравнения (3.10) равен расстоянию от начала координат до прямой.


Действительно, по формуле (3.9) находим расстояние [math]d[/math] от начала координат [math]O(0;0)[/math] до прямой, описываемой уравнением (3.10):

Нормированное уравнение прямой
[math]d=\frac{|0\cdot\cos\alpha+0\cdot\cos\beta-\rho|}{\sqrt{\cos^2\alpha+\cos^2\beta}}=\frac{\rho}{1}=\rho.[/math]

2. Нормированное уравнение прямой (3.10) можно записать в виде (3.7): [math]\langle\vec{r},\vec{n}\rangle=\rho[/math], если в качестве нормали л выбрать единичный вектор [math]\vec{n}=\cos\alpha\cdot\vec{i}+\cos\beta\cdot\vec{j}[/math], так как [math]x\cos\alpha+y\cos\beta=\langle\vec{r},\vec{n}\rangle[/math]. Из двух возможных единичных нормалей условию [math]\rho>0[/math] отвечает нормаль [math]\vec{n}[/math], направленная к прямой (рис.3.11), если вектор [math]\vec{n}[/math] приложить к началу координат. При выборе противоположного вектора [math](-\vec{n})[/math] получилось бы отрицательное значение [math]\rho[/math], которое не допускается в уравнении (3.10).


3. Коэффициенты общего уравнения прямой (3.8) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали. При составлении нормированного уравнения (3.10) прямой такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при [math]\rho>0[/math]) или с точностью до знака (при [math]\rho=0[/math]).


4. Нормированное уравнение прямой имеет смысл только в прямоугольной системе координат.




Пример 3.7. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]P(1;2),~Q(13;-3),~R(5;5)[/math] треугольника (рис.3.12). Требуется:


а) составить общее и нормированное уравнения прямой, содержащей высоту [math]PH[/math];

б) найти расстояние от начала координат до прямой [math]PH[/math];

в) найти расстояние [math]d[/math] от точки [math]Q[/math] до прямой [math]PH[/math].


Решение. а) Вектор [math]\overrightarrow{RQ}[/math], перпендикулярный прямой [math]PH[/math], является нормалью для этой прямой. Находим координаты вектора [math]\vec{n}=\overrightarrow{RQ}[/math], вычитая из координат конца координаты его начала:


Вершины треугольника на координатной плоскости
[math]\vec{n}=\begin{pmatrix}13\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\-8\end{pmatrix}.[/math]

Коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой [math]PH[/math] равны координатам нормали, поэтому [math]A=8[/math] и [math]B=-8[/math], т.е. уравнение имеет вид [math]8x-8y+C=0[/math]. Подберем свободный член [math]C[/math] так, чтобы прямая проходила через точку [math]P[/math]. Для этого подставим координаты [math]x=1[/math] и [math]y=2[/math] точки [math]P[/math] в уравнение: [math]8\cdot1-8\cdot2+C=0[/math]. Отсюда [math]C=8[/math]. Таким образом, искомое общее уравнение имеет вид: [math]x-y+1=0[/math].


Преобразуем общее уравнение [math]x-y+1=0[/math]. Поскольку в этом уравнении [math]A=1,~B=-1,~C=1>0[/math], разделим его на [math]-\sqrt{A^2+B^2}=-\sqrt{1^2+(-1)^2}=-\sqrt{2}[/math]. Получим нормированное уравнение прямой [math]PH\colon-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0[/math]. Сравнивая с (3.10), находим направляющие косинусы [math]\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{2}},~\cos\beta=\frac{1}{2}[/math] и параметр [math]\rho=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math].


б) Из пункта 1 замечаний 3.3 следует, что искомое расстояние от начала координат до прямой [math]PH[/math] равно [math]\rho=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math].


в) Расстояние [math]d[/math] от точки [math]Q(13;-3)[/math] до прямой [math]PH\colon x-y+1=0[/math] находим по формуле (3.9):


[math]d=\frac{|1\cdot13+(-1)\cdot(-3)+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved