Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору


Общее уравнение прямой


Ненулевой вектор \vec{n}, перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.


Пусть на координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат) заданы точка M_0(x_0,y_0) и ненулевой вектор \vec{n}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j} (рис. 3.5, а). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку M_0(x_0,y_0) перпендикулярно вектору \vec{n}.


Выберем на плоскости произвольную точку M(x,y). Обозначим \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+\vec{y}\vec{j} и \vec{r}_0=\overrightarrow{OM_0}=x_0\vec{i}+\vec{y}_0\vec{j} — радиус-векторы точек M(x,y) и M_0(x_0,y_0). Точка M принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{M_0M} и \vec{n} перпендикулярны (рис. 3.5, б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения \bigl\langle\overrightarrow{M_0M},\, \vec{n}\bigr\rangle=0. Учитывая, что \overrightarrow{M_0M}=\vec{r}-\vec{r}_0, получаем векторное уравнение прямой:


\langle\vec{r}-\vec{r}_0,\,\vec{n}\rangle=0.
(3.5)

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть \langle\vec{r}-\vec{r}_0,\, \vec{n}\rangle= \langle\vec{r}, \vec{n}\rangle- \langle\vec{r}_0,\vec{n}\rangle, используя свойства скалярного произведения. Обозначая c=\langle\vec{r}_0, \vec{n}\rangle, получаем уравнение


\langle\vec{r},\vec{n}\rangle-c=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle\vec{r}, \vec{n}\rangle=c,
(3.6)

выражающее постоянство проекций на нормаль \vec{n} радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.


Векторное и общее уравнения прямой на плоскости

Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как \vec{r}-\vec{r}_0=(x-x_0)\vec{i}+(y-y_0)\vec{j} и \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}, по формуле (1.9) находим \langle\vec{r}-\vec{r}_0,\,\vec{n}\rangle=(x-x_0)A+(y-y_0)B или


A\cdot(x-x_0)+B\cdot(y-y_0)=0.
(3.7)

Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки M_0(x_0,y_0) и координатам A,\,B нормали \vec{n} записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.


Обозначив C=-A\cdot x_0-B\cdot y_0, получим общее уравнение прямой на плоскости


{\color{red}\boxed{{\color{black}A\cdot x+B\cdot y+C=0}}}
(3.8)

Поскольку коэффициенты A и B не равны нулю одновременно (это координаты ненулевого вектора \vec{n}), уравнение (3.8) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с двумя неизвестными. Следовательно, прямая является алгебраической линией первого порядка.


Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (3.8) задает на координатной плоскости прямую. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 3.1, они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.


Теорема (3.2) об алгебраической линии первого порядка. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными задает в аффинной системе координат прямую, и наоборот, всякая прямая в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с двумя неизвестными. Другими словами, алгебраическая линия первого порядка есть прямая.




Замечания 3.2


1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали \vec{n}, а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор (-\vec{n}) также является нормалью). Например, вместо нормали \vec{n} можно взять нормаль -7\vec{n}, что соответствует умножению обеих частей уравнения (3.8) на число -7.


2. Если один из коэффициентов уравнения прямой (3.8) равен нулю, общее уравнение прямой (3.8) принимает один из следующих частных видов:


а) если A=0, уравнение (3.8) имеет вид By+C=0 или y=-\frac{C}{B} уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (рис.3.6.a); при C=0 прямая y=0 совпадает с осью Ox;


б) если B=0, уравнение (3.8) имеет вид Ax+C=0 или x=-\frac{C}{A} уравнение прямой, параллельной оси ординат (рис.3.6,б); при C=0 прямая x=0 совпадает с осью Oy;


в) если C=0, уравнение (3.8) имеет вид Ax+By=0 – уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.3.6,в).


Уравнения прямой параллельные и перпендикулярные осям координат

3. Нормаль \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j} к прямой Ax+By+C=0 совпадает с градиентом функции f(x,y)=Ax+By+C:


\operatorname{grad}f(x,y)=\nabla f(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\vec{i}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\cdot\vec{j}=A\cdot\vec{i}+B\cdot\vec{j}=\vec{n}.

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.


4. Прямая Ax+By+C=0 разбивает плоскость на две полуплоскости (рис.3.7,а): положительную, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству Ax+By+C\geqslant0, и отрицательную, для точек которой Ax+By+C\leqslant0. Нормаль \vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}, приложенная к любой точке прямой, принадлежит положительной полуплоскости. Другими словами, нормаль, приложенная к произвольной точке прямой, указывает на положительную полуплоскость (рис.3.7,а).


Действительно, обозначим через p(x,y)=Ax+By+C — многочлен первой степени от двух переменных x и y. Тогда для любой точки M_0(x_0,y_0), принадлежащей прямой (3.8), справедливо равенство p(x_0,y_0)=0. Представим значение многочлена p(x,y) в произвольной точке M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}) плоскости в виде скалярного произведения:


\begin{aligned} p(x^{\ast},y^{\ast})&= p(x^{\ast},y^{\ast})-\underbrace{p(x_0,y_0)}_{=0}=A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C-\underbrace{(A\cdot x_0+B\cdot y_0+C)}_{=0}=\\[3pt] &=A\cdot(x^{\ast}-x_0)+B\cdot(y^{\ast}-y_0)=\left\langle\overrightarrow{M_0M^{\ast}},\,\vec{n}\right\rangle= \left|\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\right|\cdot|\vec{n}|\cdot\cos\varphi, \end{aligned}

где \vec{n}=\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}^T — нормаль к прямой Ax+By+C=0; M_0(x_0,y_0) — точка, принадлежащая этой прямой. Знак выражения p(x,y) определяется величиной угла \varphi между нормалью \vec{n} и вектором \overrightarrow{M_0M^{\ast}}. Например, для точки M_1(x_1,y_1) угол \varphi_1 острый (рис.3.7,б), поэтому p(x_1,y_1)>0, а для точки M_2(x_2,y_2) угол \varphi_2 тупой (рис.3.7,б), поэтому p(x_1,y_1)<0. Следовательно, координаты любой точки M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}), принадлежащей полуплоскости, на которую указывает нормаль, удовлетворяют неравенству Ax^{\ast}+By^{\ast}+C\geqslant0, а координаты точек M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}) другой полуплоскости- неравенству Ax^{\ast}+By^{\ast}+C\leqslant0.


Прямая и положительная и отрицательная полуплоскости

5. Абсолютное значение |Ax+By+C| пропорционально расстоянию от точки M(x,y) до прямой Ax+By+C=0, т.е. отношение расстояний от точек M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2) до прямой Ax+By+C=0 равно отношению \frac{|Ax_1+By_1+C|}{|Ax_2+By_2+C|}.


Действительно, в пункте 3 получено представление значений линейного трехчлена p(x,y)=Ax+By+C в виде скалярного произведения, которое можно выразить через алгебраическое значение длины ортогональной проекции:


p(x^{\ast},y^{\ast})= \left\langle \overrightarrow{M_0M^{\ast}},\,\vec{n}\right\rangle=\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\cdot|\vec{n}|.

Запишем отношение значений линейного трехчлена p(x,y) для двух точек M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2):


\frac{p(x_1,y_1)}{p(x_2,y_2)}= \frac{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}\cdot|\vec{n}|}{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_2}\cdot|\vec{n}|}=\frac{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}}{\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_2}}.

Учитывая, что абсолютная величина \bigl|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\,\bigr| равна расстоянию от точки M^{\ast} до прямой, получаем искомое отношение


\frac{|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_1}|}{|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M_2}|}=\frac{|p(x_1,y_1)|}{p(x_2,y_2)}=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{|Ax_2+By_2+C|}.

6. В аффинной системе координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 линейное уравнение ах a_1x_1+a_2x_2+a_3=0 задает, согласно теореме 3.2, прямую. Выводы, полученные в пунктах 2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор \vec{n}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2 не является нормалью.




Пример 3.5. На координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2) и L(5;0). Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку KL (рис.3.8).


Уравнение серединного перпендикуляра к отрезку

Решение. Серединный перпендикуляр, по определению, проходит перпендикулярно отрезку KL через его середину. Находим координаты середины M отрезка KL:


M\!\left(\frac{1+5}{2};\,\frac{2+0}{2}\right) то есть M(3;1).

Вектор \overrightarrow{KL} можно взять в качестве нормали для серединного перпендикуляра. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:


\overrightarrow{KL}=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=\vec{n}

Следовательно, уравнение (3.8) искомой прямой имеет вид 4x-2y+C=0. Осталось найти величину свободного члена C. Поскольку точка M(3;1) принадлежит прямой, то ее координаты x=3,~y=1 должны удовлетворять уравнению этой прямой, следовательно, 4\cdot3-2\cdot1+C=0. Отсюда C=10. Таким образом, серединный перпендикуляр задается уравнением


4x-2y-10=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x-y-5=0.

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (3.7), подставляя координаты нормали \vec{n}=\begin{pmatrix}4&-2\end{pmatrix}^T и точки M(3;1)\colon4(x-3)-2(y-1)=0.


Решение задачи получено аналитически без использования графического изображения (рис.3.8). Чертеж в аналитической геометрии служит, как правило, лишь иллюстрацией к решению.




Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой


Пусть заданы на плоскости прямая, описываемая общим уравнением (3.8) Ax+By+C=0, и точка M(x^{\ast},y^{\ast}). Требуется найти расстояние d от точки до прямой.


Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора \overrightarrow{M_0M^{\ast}} на направление нормали \vec{n} (рис.3.9):


d=\left|\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\right|=\frac{|\langle\vec{n},\,\overrightarrow{M_0M^{\ast}}\rangle|}{|\vec{n}|}, где M_0(x_0,y_0) — любая точка на заданной прямой.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов \vec{n}=\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}^T, \overrightarrow{M_0M^{\ast}}=\begin{pmatrix}x^{\ast}-x_0&y^{\ast}-y_0\end{pmatrix}^T:


d=\frac{|A\cdot (x^{\ast}-x_0)+B\cdot (y^{\ast}-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax^{\ast}+By^{\ast}-(Ax_0+By_0)}{\sqrt{A^2+B^2}|}.

Поскольку координаты точки M_0(x_0,y_0) удовлетворяют уравнению (3.8), то Ax_0+By_0=-C. Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast}) до прямой Ax+By+C=0


d=\frac{|A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\,.
(3.9)



Пример 3.6. На координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2) и L(5;0). Требуется найти, в каком отношении прямая m\colon 3x-4y-10=0 делит отрезок KL.


Прямая, делящая отрезок в отношении

Решение. Найдем значения линейного трехчлена p(x,y)=3x-4y-10 в точках K(1;2) и L(5;0): p(1;2)=3\cdot1-4\cdot2-10=-15; p(5;0)=5. Получили значения разных знаков. Следовательно, точки K и L лежат по разные стороны от прямой m (согласно пункту 4 замечаний 3.2, эти точки лежат в разных полуплоскостях), т.е. прямая m действительно пересекает отрезок KL (в точке M на рис.3.10). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек K и L до прямой m, то


\frac{KM}{ML}=\frac{|p(1;2)|}{|p(5;0)|}=\frac{|-15|}{|5|}=\frac{3}{1}.

Этот же результат можно получить по формуле (3.9). Находим расстояния d_K и d_L от точек K и L до прямой m:


d_k=\frac{|3\cdot1-4\cdot2-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{15}{5}=3;\qquad d_L=\frac{|3\cdot5-4\cdot0-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1

Следовательно, \frac{KM}{ML}=\frac{d_k}{d_L}=\frac{3}{1}.




Нормированное уравнение прямой


Преобразуем общее уравнение прямой AX+By+C=0 следующим образом. Если свободный член C<0, то разделим обе части на длину нормали |\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2}, а если C\geqslant0, то разделим на -|\vec{n}|=-\sqrt{A^2+B^2}. Получим уравнение


\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}\cdot x+\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}\cdot y+\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}=0,

в котором свободный член \frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}, в силу описанного выбора знака, неположительный. Обозначим его через -\rho=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}. Коэффициенты при неизвестных являются координатами единичного вектора \frac{1}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n} или -\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n}, и равны направляющим косинусам:


\cos\alpha=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}, \qquad \cos\beta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}.

Тогда уравнение принимает вид (3.10) и называется нормированное уравнение прямой


x\cdot\cos\alpha+y\cdot\cos\beta-\rho=0, \quad \rho\geqslant0,
(3.10)



Замечания 3.3


1. Свободный член \rho нормированного уравнения (3.10) равен расстоянию от начала координат до прямой.


Действительно, по формуле (3.9) находим расстояние d от начала координат O(0;0) до прямой, описываемой уравнением (3.10):

Нормированное уравнение прямой
d=\frac{|0\cdot\cos\alpha+0\cdot\cos\beta-\rho|}{\sqrt{\cos^2\alpha+\cos^2\beta}}=\frac{\rho}{1}=\rho.

2. Нормированное уравнение прямой (3.10) можно записать в виде (3.7): \langle\vec{r},\vec{n}\rangle=\rho, если в качестве нормали л выбрать единичный вектор \vec{n}=\cos\alpha\cdot\vec{i}+\cos\beta\cdot\vec{j}, так как x\cos\alpha+y\cos\beta=\langle\vec{r},\vec{n}\rangle. Из двух возможных единичных нормалей условию \rho>0 отвечает нормаль \vec{n}, направленная к прямой (рис.3.11), если вектор \vec{n} приложить к началу координат. При выборе противоположного вектора (-\vec{n}) получилось бы отрицательное значение \rho, которое не допускается в уравнении (3.10).


3. Коэффициенты общего уравнения прямой (3.8) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали. При составлении нормированного уравнения (3.10) прямой такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при \rho>0) или с точностью до знака (при \rho=0).


4. Нормированное уравнение прямой имеет смысл только в прямоугольной системе координат.




Пример 3.7. На координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат) заданы вершины P(1;2),~Q(13;-3),~R(5;5) треугольника (рис.3.12). Требуется:


а) составить общее и нормированное уравнения прямой, содержащей высоту PH;

б) найти расстояние от начала координат до прямой PH;

в) найти расстояние d от точки Q до прямой PH.


Решение. а) Вектор \overrightarrow{RQ}, перпендикулярный прямой PH, является нормалью для этой прямой. Находим координаты вектора \vec{n}=\overrightarrow{RQ}, вычитая из координат конца координаты его начала:


Вершины треугольника на координатной плоскости
\vec{n}=\begin{pmatrix}13\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\-8\end{pmatrix}.

Коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой PH равны координатам нормали, поэтому A=8 и B=-8, т.е. уравнение имеет вид 8x-8y+C=0. Подберем свободный член C так, чтобы прямая проходила через точку P. Для этого подставим координаты x=1 и y=2 точки P в уравнение: 8\cdot1-8\cdot2+C=0. Отсюда C=8. Таким образом, искомое общее уравнение имеет вид: x-y+1=0.


Преобразуем общее уравнение x-y+1=0. Поскольку в этом уравнении A=1,~B=-1,~C=1>0, разделим его на -\sqrt{A^2+B^2}=-\sqrt{1^2+(-1)^2}=-\sqrt{2}. Получим нормированное уравнение прямой PH\colon-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0. Сравнивая с (3.10), находим направляющие косинусы \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{2}},~\cos\beta=\frac{1}{2} и параметр \rho=\frac{1}{\sqrt{2}}.


б) Из пункта 1 замечаний 3.3 следует, что искомое расстояние от начала координат до прямой PH равно \rho=\frac{1}{\sqrt{2}}.


в) Расстояние d от точки Q(13;-3) до прямой PH\colon x-y+1=0 находим по формуле (3.9):


d=\frac{|1\cdot13+(-1)\cdot(-3)+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved