Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору

Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору


Параметрическое уравнение прямой


Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.


Направляющий вектор прямой

Пусть на координатной плоскости [math]Oxy[/math] заданы точка [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и ненулевой вектор [math]\vec{p}=a\cdot\vec{i}+b\cdot\vec{j}[/math] (рис. 3.13). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору [math]\vec{p}[/math] и проходящей через точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math].


Выберем на прямой произвольную точку [math]M(x,y)[/math]. Обозначим [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM}[/math] и [math]\mathop{\vec{r}_0= \overrightarrow{OM_0 }}\limits_{.}[/math] — радиус-векторы точек [math]M(x,y)[/math] и [math]M_0(x_0,y_0)[/math] (рис.3.14).


Точка [math]M[/math] принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы [math]\mathop{\overrightarrow{M_0M}}\limits_{.}[/math] и [math]\vec{p}[/math] коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: [math]\mathop{\overrightarrow{M_0M}=t\vec{p}}\limits_{.}[/math], где [math]t[/math] — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что [math]\mathop{\overrightarrow{M_0M}=\vec{r}-\vec{r}_0}\limits_{.}[/math], получим векторное параметрическое уравнение прямой:


[math]\vec{r}=\vec{r}_0+t\cdot\vec{p}, \quad t\in\mathbb{R}\,,[/math]
(3.11)

где [math]\vec{p}[/math] — направляющий вектор прямой, а [math]\vec{r}_0[/math] — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.


Уравнение прямой, коллинеарной вектору

Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой


[math]\begin{cases}x=x_0+a\cdot t,\\y=y_0+b\cdot t,\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}\,,[/math]
(3.12)

где [math]a,\,b[/math] — координаты направляющего вектора [math]\vec{p}[/math] прямой. Параметр [math]t[/math] в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл: величина [math]t[/math] пропорциональна расстоянию от начальной точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] до точки [math]M(x_0+at,\,y_0+bt)[/math]. Физический смысл параметра [math]t[/math] в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки [math]M(x,y)[/math] по прямой. При [math]t=0[/math] точка [math]M(x,y)[/math] совпадает с начальной точкой [math]M_0[/math], при возрастании [math]t[/math] движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором [math]\vec{p}[/math].




Каноническое уравнение прямой


Выразим параметр [math]t[/math] из каждого уравнения системы (3.12): [math]\frac{x-x_0}{a}=t=\frac{y-y_0}{b}[/math], а затем исключим этот параметр:


[math]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}, \quad a^2+b^2\ne0.[/math]
(3.13)

Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением прямой. В этом уравнении коэффициенты [math]a[/math] и [math]b[/math] не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.




Уравнения прямых, параллельных координатным осям (абсцисс и ординат)

Замечания 3.4


1. Если один из знаменателей дробей в (3.13) равен нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю:


– каноническое уравнение [math]\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{b}[/math] – это уравнение прямой [math]x=x_0[/math], параллельной оси ординат (рис.3.15,а);


– каноническое уравнение [math]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{0}[/math] — это уравнение прямой [math]y=y_0[/math], параллельной оси абсцисс (рис.3.15,6).


2. Поскольку направляющий вектор [math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}[/math] коллинеарен прямой, а нормаль [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}[/math] ей перпендикулярна, то векторы [math]\vec{p}[/math] и [math]\vec{n}[/math] ортогональны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:


[math]\langle\vec{p},\vec{n}\rangle=a\cdot A+b\cdot B,[/math]

т.е. координаты направляющего вектора прямой и ее нормали связаны однородным уравнением: [math]a\cdot A+b\cdot B=0[/math]. Подставим, например, решение [math]A=-b,~B=a[/math] этого уравнения в общее уравнение прямой (3.7):


[math]-b\cdot(x-x_0)+a\cdot(y-y_0)=0[/math]

Это соотношение позволяет по координатам направляющего вектора и координатам точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.


3. Направляющий вектор [math]\vec{p}[/math] прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор [math]\lambda\vec{p}[/math], где [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math], также является направляющим вектором для той же прямой.


4. Для перехода от общего уравнения прямой (3.8) [math]Ax+By+C=0[/math] к каноническому (3.13) нужно выполнить следующие действия:


1) найти любое решение [math](x_0,y_0)[/math] уравнения [math]Ax+By+C=0[/math], определяя тем самым координаты точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math], принадлежащей прямой;


2) найти любое ненулевое решение [math](a,b)[/math] однородного уравнения [math]A\cdot a+b\cdot B=0[/math], определяя тем самым координаты [math]a,\,b[/math] направляющего вектора [math]\vec{p}[/math], в частности, можно взять [math]a=B,~b=-A[/math];


3) записать каноническое уравнение (3.13).


5. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно перенести все члены уравнения (3.13) в левую часть:


[math]\frac{x-x_0}{a}-\frac{y-y_0}{b}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{a}\cdot x-\frac{1}{b}\cdot y+\frac{y_0}{b}-\frac{x_0}{a}=0[/math]

Полученное уравнение (при [math]a\ne0,~b\ne0[/math]) имеет вид (3.8) с [math]A=\frac{1}{a},~B=-\frac{1}{b}[/math].


6. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять левую и правую части уравнения (3.13) параметру [math]t[/math] и записать полученное двойное равенство в виде системы (3.12):


[math]\frac{x-x_0}{a}=t=\frac{y-y_0}{b} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x=x_0+a\cdot t,\\y=y_0+b\cdot t,\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.[/math]

7. Параметрическое (3.12) и каноническое (3.13) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.




Прямая и точка на координатной плоскости

Пример 3.8. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы прямая [math]l\colon x-3y+3=0[/math] и точка [math]M(5;6)[/math] (рис.3.16). Требуется:


а) составить параметрическое уравнение прямой [math]m[/math], проходящей через точку [math]M[/math] перпендикулярно заданной прямой;
б) найти ортогональную проекцию [math]M_l[/math] точки [math]M[/math] на прямую [math]l[/math];
в) найти координаты точки [math]M'[/math], симметричной точке [math]M[/math] относительно прямой [math]l[/math].

Решение.


а) Нормаль [math]\vec{n}[/math] к прямой [math]l[/math] является направляющим вектором [math]\vec{p}[/math] для прямой [math]m[/math]. Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой [math]l\colon \vec{n}=\vec{i}-3\vec{j}[/math], тогда [math]\vec{p}=\vec{i}-3\vec{j}[/math], [math]x_0=5,~y_0=6[/math]. Составляем параметрическое уравнение (3.12) прямой [math]m[/math]:


[math]m\colon ~\begin{cases}x=5+t,\\y=6+(-3)t,\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.[/math]

б) Проекция [math]M_l[/math] точки [math]M[/math] является точкой пересечения прямых [math]m[/math] и [math]l[/math]. Найдем ее координаты. Для этого подставляем в уравнение прямой [math]l\colon x-3y+3=0[/math] выражения координат [math]x=5+t[/math] и [math]y=6-3t[/math] из параметрического уравнения прямой [math]m[/math]. Получим уравнение


[math]\underbrace{5+t}_{x}-3\cdot\underbrace{(6-3\cdot t)}_{y}+3=0~\Leftrightarrow~10\cdot t-10=0~\Leftrightarrow~t=1.[/math]

Значению параметра [math]t=1[/math] отвечает точка с координатами [math]x=5+1=6[/math] и [math]y=6-3\cdot1=3[/math]. Следовательно, искомая точка [math]M_l(6;3)[/math].


в) В пункте "а" составлено параметрическое уравнение прямой [math]m[/math]. В этом уравнении при [math]t=0[/math] получаем точку [math]M[/math], при [math]t=1[/math] — точку [math]M_l[/math], значит искомую точку [math]M'[/math] получим при [math]t=2[/math], поскольку в силу симметрии [math]M'M_l=M_lM[/math]. Вычисляем координаты искомой точки:


[math]M'(5+1\cdot2,\,6+(-3)\cdot2)[/math], то есть [math]M'(7;0)[/math].



Пример 3.9. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]P(1;2),~Q(13,-3),~R(5;5)[/math] треугольника (рис.3.17). Составить:


Прямая и точка на координатной плоскости

а) каноническое уравнение прямой, содержащей высоту [math]PH[/math] треугольника;

б) каноническое и параметрическое уравнения прямой, содержащей биссектрису [math]PL[/math] треугольника.


Решение.


а) В примере 3.7 было получено общее уравнение [math]x-y+1=0[/math] прямой [math]PH[/math] [math](A=1,~B=-1,~C=1)[/math]. Перейдем от общего уравнения к каноническому.


1) Найдем любое решение уравнения [math]x-y+1=0[/math], например, [math]x_0=-1[/math] и [math]y_0=0[/math] (точкам [math]M_0(-1;0)[/math] принадлежит прямой [math]PH[/math]).


2) Найдем ненулевое решение однородного уравнения [math]A\cdot a+B\cdot b=a-b[/math], например [math]a=b=1[/math] (направляющий вектор [math]\vec{p}[/math] прямой [math]PH[/math] имеет координаты [math]a=b=1[/math]).


3) Запишем каноническое уравнение: [math]\frac{x-(-1)}{1}=\frac{y-0}{1}~\Leftrightarrow~\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}[/math].


б) Найдем направляющий вектор [math]\vec{l}[/math] биссектрисы [math]PL[/math]. Для этого отложим от вершины [math]P[/math] единичные векторы [math]\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|},~\frac{\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|}[/math] и построим на них ромб (изображенный на рис.3.17 штриховой линией). Поскольку диагональ ромба является биссектрисой, то вектор [math]\vec{l}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}+\frac{\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|}[/math]. является направляющим вектором биссектрисы [math]PL[/math]. Находим координаты и длины векторов:


[math]\begin{gathered} \overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix}13\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\-5\end{pmatrix}; \quad \left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{12^2+(-5)^2}=13; \quad \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}=\begin{pmatrix}\dfrac{12}{13}\\[8pt] \dfrac{-5}{13}\end{pmatrix};\\[3pt] \overrightarrow{PR}= \begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}; \quad
\left|\overrightarrow{PR}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=5; \quad \frac{\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|}=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}\\[8pt] \dfrac{-3}{5}\end{pmatrix};\\[3pt] \vec{l}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}+\frac{\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|}=\begin{pmatrix}\dfrac{12}{13}\\[8pt]\dfrac{-5}{13}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}\\[8pt] \dfrac{-3}{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{112}{65}\\[8pt]\dfrac{14}{65}\end{pmatrix}. \end{gathered}[/math]

Составляем каноническое уравнение прямой с направляющим вектором [math]\vec{l}[/math], проходящей через точку [math]P(1;2)[/math]:


[math]\frac{x-1}{\dfrac{112}{65}}=\frac{y-2}{\dfrac{14}{65}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x-1}{8}=\frac{y-2}{1}.[/math]

Чтобы получить параметрическое уравнение прямой [math]PL[/math], приравниваем левую и правую части канонического уравнения параметру [math]t\colon\frac{x-1}{8}=t=\frac{y-2}{1}[/math]. Записываем полученную систему в виде [math]\begin{cases}x=1+8\cdot t,\\[2pt] y=2+1\cdot t,\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.[/math]


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved