Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Параметрическое уравнение прямой
Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.
 Пусть на координатной плоскости заданы точка и ненулевой вектор (рис. 3.13). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .
Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и (рис.3.14).
Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой:
 (3.11)
где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.
Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой
 (3.12)
где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой , при возрастании движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором .
Каноническое уравнение прямой
Выразим параметр из каждого уравнения системы (3.12): , а затем исключим этот параметр:
 (3.13)
Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением прямой. В этом уравнении коэффициенты и не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.
 Замечания 3.4
1. Если один из знаменателей дробей в (3.13) равен нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю:
– каноническое уравнение – это уравнение прямой , параллельной оси ординат (рис.3.15,а);
– каноническое уравнение — это уравнение прямой , параллельной оси абсцисс (рис.3.15,6).
2. Поскольку направляющий вектор коллинеарен прямой, а нормаль ей перпендикулярна, то векторы и ортогональны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
т.е. координаты направляющего вектора прямой и ее нормали связаны однородным уравнением: . Подставим, например, решение этого уравнения в общее уравнение прямой (3.7):
Это соотношение позволяет по координатам направляющего вектора и координатам точки записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.
3. Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор , где , также является направляющим вектором для той же прямой.
4. Для перехода от общего уравнения прямой (3.8) к каноническому (3.13) нужно выполнить следующие действия:
1) найти любое решение уравнения , определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;
2) найти любое ненулевое решение однородного уравнения , определяя тем самым координаты направляющего вектора , в частности, можно взять ;
3) записать каноническое уравнение (3.13).
5. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно перенести все члены уравнения (3.13) в левую часть:
Полученное уравнение (при ) имеет вид (3.8) с .
6. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять левую и правую части уравнения (3.13) параметру и записать полученное двойное равенство в виде системы (3.12):
7. Параметрическое (3.12) и каноническое (3.13) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.
 Пример 3.8. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы прямая и точка (рис.3.16). Требуется:
а) составить параметрическое уравнение прямой  , проходящей через точку  перпендикулярно заданной прямой; б) найти ортогональную проекцию  точки  на прямую  ; в) найти координаты точки  , симметричной точке  относительно прямой  .
Решение.
а) Нормаль к прямой является направляющим вектором для прямой . Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой , тогда , . Составляем параметрическое уравнение (3.12) прямой :
б) Проекция точки является точкой пересечения прямых и . Найдем ее координаты. Для этого подставляем в уравнение прямой выражения координат и из параметрического уравнения прямой . Получим уравнение
Значению параметра отвечает точка с координатами и . Следовательно, искомая точка .
в) В пункте "а" составлено параметрическое уравнение прямой . В этом уравнении при получаем точку , при — точку , значит искомую точку получим при , поскольку в силу симметрии . Вычисляем координаты искомой точки:
 , то есть  .
Пример 3.9. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.3.17). Составить:
 а) каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника; б) каноническое и параметрическое уравнения прямой, содержащей биссектрису треугольника.
Решение.
а) В примере 3.7 было получено общее уравнение прямой . Перейдем от общего уравнения к каноническому.
1) Найдем любое решение уравнения , например, и (точкам принадлежит прямой ).
2) Найдем ненулевое решение однородного уравнения , например (направляющий вектор прямой имеет координаты ).
3) Запишем каноническое уравнение: .
б) Найдем направляющий вектор биссектрисы . Для этого отложим от вершины единичные векторы и построим на них ромб (изображенный на рис.3.17 штриховой линией). Поскольку диагональ ромба является биссектрисой, то вектор . является направляющим вектором биссектрисы . Находим координаты и длины векторов:
Составляем каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку :
Чтобы получить параметрическое уравнение прямой , приравниваем левую и правую части канонического уравнения параметру . Записываем полученную систему в виде ![\begin{cases}x=1+8\cdot t,\\[2pt] y=2+1\cdot t,\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.](data:image/png;base64,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)
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|