Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямой, проходящей через две точки

Уравнения прямой, проходящей через две точки


Пусть на координатной плоскости [math]Oxy[/math] заданы две точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и [math]M_1(x_1,y_1)[/math]. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.


Как показано в разделе Применение векторов, точка [math]M(x,y)[/math] принадлежит прямой [math]M_0M_1[/math] тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] удовлетворяет условию (рис.3.18):


[math]\overrightarrow{OM}= (1-t)\cdot \overrightarrow{OM_0}+ t\cdot \overrightarrow{OM_1},[/math]
(3.14)

где [math]t[/math] — некоторое действительное число (параметр). Уравнение (3.14), а также его координатную форму


[math]\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=(1-t)\! \begin{pmatrix} x_0\\[2pt] y_0\end{pmatrix}+ t\!\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]y_1\end{pmatrix} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=x_0+ t(x_1-x_0),\\[2pt] y=y_0+t(y_1-y_0)\end{cases}[/math]
(3.15)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и [math]M_1(x_1,y_1)[/math].


Аффинное уравнение прямой и проходящее через две точки

Выражая параметр [math]t[/math] из первого и второго уравнений системы (3.15), получаем: [math]\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=t=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}[/math]. Исключая параметр [math]t[/math], приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и [math]M_1(x_1,y_1)[/math]:


[math]\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}\,.[/math]
(3.16)

Уравнение (3.16) можно получить из канонического уравнения (3.13), выбирая в качестве направляющего вектора [math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}[/math] вектор [math]\overrightarrow{M_0M_1}=(x_1-x_0)\vec{i}+(y_1-y_0)\vec{j}[/math], т.е. подставляя [math]a=x_1-x_0,~b=y_1-y_0[/math].




Уравнение прямой в отрезках


Пусть на координатных осях заданы точки [math]X_1(x_1,0)[/math] и [math]Y_1(0,y_1)[/math], причем [math]x_1\ne0,~y_1\ne0[/math] (рис.3.19). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.


Подставляя в уравнение (3.16) [math]x_0=x_1,~y_0=0,~x_1=0,~y_1=y_1[/math], получаем:


[math]\frac{x-x_1}{0-x_1}=\frac{y-0}{y_1-0} \quad\Leftrightarrow\quad -\frac{x}{x_1}+1=\frac{y}{y_1} \quad\Leftrightarrow\quad 1=\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}.[/math]

Меняя левую и правую части равенства, получаем уравнение


[math]\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}=1, \quad x_1\ne0, ~y_1\ne0,[/math]
(3.17)

которое называется уравнением прямой "в отрезках". Говорят, что прямая, проходящая через точки [math]X_1(x_1,0)[/math] и [math]Y_1(0,y_1)[/math], отсекает на координатных осях "отрезки": [math]x_1[/math] на оси абсцисс и [math]y_1[/math] на оси ординат. Разумеется, длины отрезков [math]OX_1[/math] и [math]OY_1[/math] равны [math]|x_1|[/math] и [math]|y_1|[/math] соответственно.


Уравнение прямой в отрезках



Замечания 3.5


1. Перейти от общего уравнения прямой (3.8) [math]Ax+By+C=0[/math] к уравнению "в отрезках" (3.17) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: [math]Ax+By=-C[/math], а затем разделить обе части уравнения на [math]-C\colon\frac{A}{-C}\,x+\frac{B}{-C}\,y=1[/math]. Обозначив [math]x_1=-\frac{C}{A}[/math] и [math]y_1=-\frac{C}{B}[/math] получим уравнение "в отрезках" (3.17): [math]\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}=1[/math].


2. Уравнения (3.16), (3.17), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако, величины [math]|x_1|[/math] и [math]|y_1|[/math], в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков [math]OX_1[/math] и [math]OY_1[/math].




Пример 3.10. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]P(1;2),~Q(13;-3),~R(5;5)[/math] треугольника (рис.3.20). Составить:


Вершины прямоугольника в прямоугольной системе координат

а) уравнение "в отрезках" для прямой, содержащей высоту [math]PH[/math] треугольника;

б) уравнение "в отрезках" для прямой, содержащей биссектрису [math]PL[/math] треугольника;

в) уравнение прямой, содержащей медиану [math]PM[/math] треугольника.


Решение.


а) В примере 3.7 было получено общее уравнение [math]x-y+1=0[/math] прямой [math]PH[/math]. Перенесем свободный член в правую часть: [math]-x+y=1[/math] и поделим обе части уравнения на [math](-1)\colon -x+y=1[/math]. Запишем это уравнение в виде (3.17): [math]\frac{x}{-1}+\frac{y}{1}=1[/math]. Эта прямая отсекает на координатных осях "отрезки" [math](-1)[/math] и [math]1[/math] соответственно.


б) В примере 3.9 было получено каноническое уравнение [math]\frac{x-1}{8}=\frac{y-2}{1}[/math] прямой [math]PL[/math]. Перейдем к общему уравнению, перенося все члены в левую часть: [math]\frac{x-1}{8}-\frac{y-2}{1}=0[/math]. Умножая обе части на 8 и приводя подобные члены, получаем [math]x-8y+15=0[/math]. Теперь переходим от общего уравнения к уравнению "в отрезках" (аналогично пункту "а"):


[math]x-8y+15=0~\Leftrightarrow~x-8y=-15~\Leftrightarrow~\frac{x}{-15}-\frac{8y}{-15}=1~\Leftrightarrow~\frac{x}{-15}+\frac{y}{15/8}=1.[/math]

в) Найдем координаты середины [math]M[/math] отрезка [math]QR[/math] (см. пункт 3 замечаний 2.1 в ): [math]M\!\left(\frac{13+5}{2};\,\frac{-3+5}{2}\right)[/math], то есть [math]M(9;1)[/math]. Составим уравнение (3.16) прямой, проходящей через точки [math]P(1;9)[/math] и [math]M(9;1)[/math]:


[math]\frac{x-1}{9-1}=\frac{y-2}{1-2} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x-1}{8}=\frac{y-2}{-1}.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved