Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Уравнения прямой, проходящей через две точки

Уравнения прямой, проходящей через две точки


Пусть на координатной плоскости Oxy заданы две точки M_0(x_0,y_0) и M_1(x_1,y_1). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.


Как показано в разделе Применение векторов, точка M(x,y) принадлежит прямой M_0M_1 тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор \overrightarrow{OM} удовлетворяет условию (рис.3.18):


\overrightarrow{OM}= (1-t)\cdot \overrightarrow{OM_0}+ t\cdot \overrightarrow{OM_1},
(3.14)

где t — некоторое действительное число (параметр). Уравнение (3.14), а также его координатную форму


\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=(1-t)\! \begin{pmatrix} x_0\\[2pt] y_0\end{pmatrix}+ t\!\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]y_1\end{pmatrix} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=x_0+ t(x_1-x_0),\\[2pt] y=y_0+t(y_1-y_0)\end{cases}
(3.15)

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки M_0(x_0,y_0) и M_1(x_1,y_1).


Аффинное уравнение прямой и проходящее через две точки

Выражая параметр t из первого и второго уравнений системы (3.15), получаем: \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=t=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}. Исключая параметр t, приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки M_0(x_0,y_0) и M_1(x_1,y_1):


\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}\,.
(3.16)

Уравнение (3.16) можно получить из канонического уравнения (3.13), выбирая в качестве направляющего вектора \vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j} вектор \overrightarrow{M_0M_1}=(x_1-x_0)\vec{i}+(y_1-y_0)\vec{j}, т.е. подставляя a=x_1-x_0,~b=y_1-y_0.




Уравнение прямой в отрезках


Пусть на координатных осях заданы точки X_1(x_1,0) и Y_1(0,y_1), причем x_1\ne0,~y_1\ne0 (рис.3.19). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.


Подставляя в уравнение (3.16) x_0=x_1,~y_0=0,~x_1=0,~y_1=y_1, получаем:


\frac{x-x_1}{0-x_1}=\frac{y-0}{y_1-0} \quad\Leftrightarrow\quad -\frac{x}{x_1}+1=\frac{y}{y_1} \quad\Leftrightarrow\quad 1=\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}.

Меняя левую и правую части равенства, получаем уравнение


\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}=1, \quad x_1\ne0, ~y_1\ne0,
(3.17)

которое называется уравнением прямой "в отрезках". Говорят, что прямая, проходящая через точки X_1(x_1,0) и Y_1(0,y_1), отсекает на координатных осях "отрезки": x_1 на оси абсцисс и y_1 на оси ординат. Разумеется, длины отрезков OX_1 и OY_1 равны |x_1| и |y_1| соответственно.


Уравнение прямой в отрезках



Замечания 3.5


1. Перейти от общего уравнения прямой (3.8) Ax+By+C=0 к уравнению "в отрезках" (3.17) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: Ax+By=-C, а затем разделить обе части уравнения на -C\colon\frac{A}{-C}\,x+\frac{B}{-C}\,y=1. Обозначив x_1=-\frac{C}{A} и y_1=-\frac{C}{B} получим уравнение "в отрезках" (3.17): \frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}=1.


2. Уравнения (3.16), (3.17), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако, величины |x_1| и |y_1|, в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков OX_1 и OY_1.




Пример 3.10. На координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат) заданы вершины P(1;2),~Q(13;-3),~R(5;5) треугольника (рис.3.20). Составить:


Вершины прямоугольника в прямоугольной системе координат

а) уравнение "в отрезках" для прямой, содержащей высоту PH треугольника;

б) уравнение "в отрезках" для прямой, содержащей биссектрису PL треугольника;

в) уравнение прямой, содержащей медиану PM треугольника.


Решение.


а) В примере 3.7 было получено общее уравнение x-y+1=0 прямой PH. Перенесем свободный член в правую часть: -x+y=1 и поделим обе части уравнения на (-1)\colon -x+y=1. Запишем это уравнение в виде (3.17): \frac{x}{-1}+\frac{y}{1}=1. Эта прямая отсекает на координатных осях "отрезки" (-1) и 1 соответственно.


б) В примере 3.9 было получено каноническое уравнение \frac{x-1}{8}=\frac{y-2}{1} прямой PL. Перейдем к общему уравнению, перенося все члены в левую часть: \frac{x-1}{8}-\frac{y-2}{1}=0. Умножая обе части на 8 и приводя подобные члены, получаем x-8y+15=0. Теперь переходим от общего уравнения к уравнению "в отрезках" (аналогично пункту "а"):


x-8y+15=0~\Leftrightarrow~x-8y=-15~\Leftrightarrow~\frac{x}{-15}-\frac{8y}{-15}=1~\Leftrightarrow~\frac{x}{-15}+\frac{y}{15/8}=1.

в) Найдем координаты середины M отрезка QR (см. пункт 3 замечаний 2.1 в ): M\!\left(\frac{13+5}{2};\,\frac{-3+5}{2}\right), то есть M(9;1). Составим уравнение (3.16) прямой, проходящей через точки P(1;9) и M(9;1):


\frac{x-1}{9-1}=\frac{y-2}{1-2} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x-1}{8}=\frac{y-2}{-1}.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved