Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам


Напомним, что три или более векторов называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам.


Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.


Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] заданы:


а) точка [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math];

Направляющие векторы плоскости

б) два неколлинеарных вектора [math]\vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k},~\vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k}[/math] (рис.4.15).


Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам [math]\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] и проходящей через точку [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).[/math]


Выберем на плоскости произвольную точку [math]M(x,y,z)[/math]. Обозначим [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM},[/math] [math]\vec{r}_{0}=\overrightarrow{OM_{0}},[/math] — радиус-векторы точек [math]M(x,y,z)[/math] и [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] (рис.4.16).


Условие компланарности векторов [math]\overrightarrow{M_{0}M},\,\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения [math]\langle\overrightarrow{M_{0}M},\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\rangle=0.[/math] Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:


[math]\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}=0\,.[/math]
(4.18)



Параметрическое уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости


Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] заданы:


а) точка [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math];

б) два неколлинеарных вектора [math]\vec{p}_{1}=a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j}+c_{1}\vec{k},~\vec{p}_{2}=a_{2}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{2}\vec{k}[/math] (рис.4.15).


Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам [math]\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] и проходящей через точку [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).[/math]


Выберем на плоскости произвольную точку [math]M(x,y,z)[/math]. Обозначим [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM},[/math] [math]\vec{r}_{0}=\overrightarrow{OM_{0}}[/math] -радиус-векторы точек [math]M(x,y,z)[/math] и [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] (рис.4.16).


Точка [math]M[/math] принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы [math]\overrightarrow{M_{0}M},[/math] [math]\vec{p}_{1}[/math] и [math]\vec{p}_{2}[/math] компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: [math]\overrightarrow{M_{0}M}=t_{1}\vec{p}_{1}+t_{2}\vec{p}_{2},[/math] где [math]t_{1},\,t_{2}[/math] — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что [math]\overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-\vec{r}_{0},[/math] получим векторное параметрическое уравнение плоскости:


[math]\vec{r}=\vec{r}_{0}+t_{1}\cdot\vec{p}_{1}+t_{2}\vec{p}_{2}, \quad t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\,,[/math]
(4.19)

где [math]\vec{p}_{1},\,\vec{p}_{2}[/math] — направляющие векторы плоскости, а [math]\vec{r}_{0}[/math] — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.


Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:


[math]\begin{cases} x= x_{0}+a_{1}\cdot t_{1}+a_{2}\cdot t_{2},\\ y= y_{0}+b_{1}\cdot t_{1}+b_{2}\cdot t_{2},\\ z= z_{0}+c_{1}\cdot t_{1}+c_{2}\cdot t_{2}, \end{cases}t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\,,[/math]
(4.20)

где [math]a_{1},b_{1},c_{1}[/math] и [math]a_{2},b_{2},c_{2}[/math] — координаты направляющих векторов [math]\vec{p}_{1}[/math] и [math]\vec{p}_{2}[/math] соответственно. Параметры [math]t_{1},\,t_{2}[/math] в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины [math]t_{1},\,t_{2}[/math] пропорциональны расстоянию от заданной точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})[/math] до точки [math]M(x,y,z),[/math] принадлежащей плоскости. При [math]t_{1}=t_{2}=0[/math] точка [math]M(x,y,z)[/math] совпадает с заданной точкой [math]M_{0}[/math]. При возрастании [math]t_{1}[/math] (или [math]t_{2}[/math]) точка [math]M(x,y,z)[/math] перемещается в направлении вектора [math]\vec{p}_{1}[/math] (или [math]\vec{p}_{2}[/math]), а при убывании [math]t_{1}[/math] (или [math]t_{2}[/math]) — в противоположном направлении.




Замечания 4.4.


1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.


2. Любой вектор [math]\vec{p}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}[/math], коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору [math]\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}[/math] для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:


[math]\langle\vec{p},\vec{n}\rangle=a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C=0.[/math]

Следовательно, координаты [math]a_{1},b_{1},c_{1}[/math] и [math]a_{2},b_{2},c_{2}[/math] направляющих векторов [math]\vec{p}_{1}[/math] и [math]\vec{p}_{2}[/math] плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:


[math]a_{1}\cdot A+b_{1}\cdot B+c_{1}\cdot C=0, \quad a_{2}\cdot A+b_{2}\cdot B+c_{2}\cdot C=0.[/math]

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.


4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) [math]A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0[/math] к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:


1) найти любое решение [math](x_{0},y_{0},z_{0})[/math] уравнения [math]Ax+By+Cz+D=0,[/math] определяя тем самым координаты точки [math]M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),[/math] принадлежащей плоскости;


2) найти любые два линейно независимых решения [math](a_{1},b_{1},c_{1}),[/math] [math](a_{2},b_{2},c_{2})[/math] однородного уравнения [math]A\cdot a+B\cdot b+C\cdot c=0[/math] определяя тем самым координаты решения [math](a_{1},b_{1},c_{1})[/math] и [math](a_{2},b_{2},c_{2})[/math] направляющих векторов [math]\vec{p}_{1}[/math] и [math]\vec{p}_{2}[/math] плоскости;


3) записать параметрическое уравнение (4.20).


5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему, достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:


[math]\vec{n}= \Bigl[\vec{p}_{1},\vec{p}_{2}\Bigr]= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{vmatrix}= \underbrace{\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}_{A}\cdot \vec{i}- \underbrace{\begin{vmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}_{B}\cdot \vec{j}+ \underbrace{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}_{C}\cdot \vec{k}\,,[/math]

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):


[math]A\cdot(x-x_{0})+B\cdot(y-y_{0})+C\cdot(z-z_{0})=0\,.[/math]

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.




Пример 4.8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(1;2;3)[/math] и [math]L(5;0;1)[/math] (см. рис.4.11). Требуется:


а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку [math]KL[/math] и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка [math]KL[/math] и компланарной радиус-векторам [math]\overrightarrow{OK}[/math] и [math]\overrightarrow{OL}.[/math]


Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: [math]2x-y-z-3=0.[/math] Составим параметрическое уравнение:


1) находим любое решение уравнения [math]2x-y-z-3=0[/math], например, [math]x_{0}=y_{0}=0,[/math] [math]z_{0}=-3,[/math] следовательно, точка [math]M_{0}(0;0;-3)[/math] принадлежит плоскости;


2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения [math]2x-y-z=0[/math] например [math](1;1;1)[/math] и [math](0;1;-1),[/math] следовательно, векторы [math]\vec{p}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},[/math] [math]\vec{p}_{2}=\vec{j}-\vec{k},[/math] являются направляющими для плоскости;


3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):


[math]\begin{cases}x=0+1\cdot t_{1}+0\cdot t_{2},\\ y=0+1\cdot t_{1}+1\cdot t_{2},\\ z=-3+1\cdot t_{1}+(-1)\cdot t_{2}, \end{cases}\Leftrightarrow \quad\! \begin{cases}x=t_{1},\\ y=t_{1}+t_{2},\\ z=-3+t_{1}-t_{2},\end{cases} t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\,.[/math]

б) Координаты середины [math]M(3;1;2)[/math] отрезка [math]KL[/math] были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов [math]\overrightarrow{OK}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k},[/math] и [math]\overrightarrow{OL}=5\vec{i}+\vec{k}\,:[/math]


[math]\vec{n}= \begin{bmatrix}\overrightarrow{OK},\overrightarrow{OL}\end{bmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&2&3\\ 5&0&1\end{vmatrix} = 2\cdot\vec{i}+14\cdot\vec{j}-10\cdot\vec{k}\,.[/math]

Составляем уравнение (4.14):


[math]2\cdot(x-3)+14\cdot(y-1)-10\cdot(z-2)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x+14\cdot y-10\cdot z=0.[/math]

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):


[math]\begin{vmatrix}x-3&y-1&z-2\\ 1&2&3\\ 5&0&1\end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x+14\cdot y-10\cdot z=0.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved