Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Уравнения плоскости, проходящей через три точки

Уравнения плоскости, проходящей через три точки


Пусть в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] заданы три точки [math]M_0(x_0,y_0,z_0),[/math] [math]M_1(x_1,y_1,z_1),[/math] [math]M_2(x_2,y_2,z_2),[/math] не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.


Как было показано ранее (формула (1.23)), точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит плоскости, проходящей через точки [math]M_0,[/math] [math]M_1,[/math] [math]M_2,[/math] тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] удовлетворяет условию:


[math]\overrightarrow{OM}= (1-t_1-t_2)\cdot\overrightarrow{OM_0}+ t_1\cdot \overrightarrow{OM_1}+t_2\cdot\overrightarrow{OM_2}\,,[/math]

где [math]t_1,t_2[/math] - некоторые действительные числа (параметры). Это уравнение, а также его координатную форму


[math]\begin{cases} x=(1-t_1-t_2)\cdot x_0+t_1\cdot x_1+t_2\cdot x_2,\\ y=(1-t_1-t_2)\cdot y_0+t_1\cdot y_1+t_2\cdot y_2,\\ z=(1-t_1-t_2)\cdot z_0+t_1\cdot z_1+t_2\cdot z_2, \end{cases}[/math]

будем называть аффинным уравнением плоскости, проходящей через точки [math]M_0(x_0,y_0,z_0),[/math] [math]M_1(x_1,y_1,z_1),[/math] [math]M_2(x_2,y_2,z_2).[/math]


Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Используя векторы

[math]\vec{p}_1=\overrightarrow{M_0M_1}=(x_1-x_0)\vec{i}+(y_1-y_0)\vec{j}+(z_1-z_0)\vec{k}[/math]

и

[math]\vec{p}_2=\overrightarrow{M_0M_2}=(x_2-x_0)\vec{i}+(y_2-y_0)\vec{j}+(z_2-z_0)\vec{k}[/math]

в качестве направляющих векторов плоскости, составим уравнение вида (4.18):


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black} \begin{vmatrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\ x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\ x_2-x_0&y_2-y_0&z_2-z_0 \end{vmatrix}=0\,, }}}[/math]
(4.21)

которое называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.




Уравнение плоскости "в отрезках"


Уравнение плоскости в отрезках

Пусть на координатных осях заданы точки [math]X_1(x_1,0,0),~Y_1(0,y_1,0)[/math] и [math]Z_1(0,0,z_1)[/math], причем [math]x_1\ne0,[/math] [math]y_1\ne0,[/math] [math]z_1\ne0[/math] (рис.4.18). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.


Подставляя в уравнение (4.21) координаты заданных точек [math]X_1,\,Y_1,\,Z_1[/math], получаем:


[math]\begin{vmatrix}x-x_1&y-0&z-0\\ 0-x_1&y_1-0&0-0\\ 0-x_1&0-0&z_1-0\end{vmatrix}= x\cdot y_1\cdot z_1+ x_1\cdot y\cdot z_1+ x_1\cdot y_1\cdot z- x_1\cdot y_1\cdot z_1=0.[/math]

Разделив уравнение на [math]x_1\cdot y_1\cdot z_1\ne0[/math], получаем уравнение


[math]{\color{red}\boxed{{\color{black} \frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}+\frac{z}{z_1}=1, \quad x_1\ne0,~y_1\ne0,~z_1\ne0, }}}[/math]
(4.22)

которое называется уравнением плоскости "в отрезках". Говорят, что плоскость, проходящая через точки [math]X_1(x_1,0,0),[/math] [math]Y_1(0,y_1,0)[/math] и [math]Z_1(0,0,z_1)[/math], отсекает на координатных осях "отрезки": [math]x_1[/math] на оси абсцисс, [math]y_1[/math] на оси ординат и [math]z_1[/math] на оси аппликат. Разумеется, длины отрезков [math]OX_1,~OY_1[/math] и [math]OZ_1[/math] равны [math]|x_1|,~|y_1|[/math] и [math]|z_1|[/math] соответственно.




Замечания 4.5.


1. Перейти от общего уравнения плоскости (4.15) [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] к уравнению "в отрезках" (4.22) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: [math]Ax+By+Cz=-D[/math], а затем разделить обе части уравнения на [math]-D:[/math]


[math]\frac{A}{-D}\cdot x+\frac{B}{-D}\cdot y+\frac{C}{-D}\cdot z=1.[/math]

Обозначив [math]x_1=-\frac{A}{D},~y_1=-\frac{D}{B},~z_1=-\frac{D}{C}[/math] получим уравнение в отрезках (4.22):


[math]\frac{x}{x_1}\,+\,\frac{y}{y_1}\,+\,\frac{z}{z_1}\,=\,1.[/math]

2. Уравнения (4.21), (4.22), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако величины [math]|x_1|,~|y_1|[/math] и [math]|z_1|[/math] в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков [math]OX_1,~OY_1[/math] и [math]OZ_1[/math].




Пример 4.9. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы точки [math]K(2,3,4),[/math] [math]L(6,-3,4),[/math] [math]M(-4,6,-4).[/math]

Требуется:

а) составить общее уравнение плоскости треугольника [math]KLM[/math];

б) составить уравнение в "отрезках" для плоскости треугольника [math]KLM[/math];

в) определить точки пересечения этой плоскости с координатными осями.


Решение. а) Составим уравнение (4.21):


[math]\begin{vmatrix}x-2&y-3&z-4\\6-2&-3-3&4-4\\-4-2&6-3&-4-4\end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{vmatrix}x-2&y-3&z-4\\4&-6&0\\-6&63&-8\end{vmatrix}=0[/math]

Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получаем


[math]48\cdot (x-2)+ 32\cdot(y-3) -24\cdot(z-4)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 6x+4y-3z-12=0.[/math]

б) Переносим свободный член общего уравнения плоскости (см. пункт "а") в правую часть и делим уравнение на 12, получаем уравнение плоскости в "отрезках":


[math]\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-\frac{z}{4}=1.[/math]

в) По уравнению плоскости в "отрезках" заключаем, что плоскость (см. пункт "б") проходит через точки [math]X(2,0,0),[/math] [math]Y(0,3,0),[/math] [math]Z(0,0,-4)[/math] на координатных осях.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved