Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Пусть в координатном пространстве заданы три точки не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.
Как было показано ранее (формула (1.23)), точка принадлежит плоскости, проходящей через точки тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор удовлетворяет условию:
где - некоторые действительные числа (параметры). Это уравнение, а также его координатную форму
будем называть аффинным уравнением плоскости, проходящей через точки 
Используя векторы и
в качестве направляющих векторов плоскости, составим уравнение вида (4.18):
 (4.21)
которое называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.
Уравнение плоскости "в отрезках"
 Пусть на координатных осях заданы точки и , причем (рис.4.18). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Подставляя в уравнение (4.21) координаты заданных точек , получаем:
Разделив уравнение на , получаем уравнение
 (4.22)
которое называется уравнением плоскости "в отрезках". Говорят, что плоскость, проходящая через точки и , отсекает на координатных осях "отрезки": на оси абсцисс, на оси ординат и на оси аппликат. Разумеется, длины отрезков и равны и соответственно.
Замечания 4.5.
1. Перейти от общего уравнения плоскости (4.15) к уравнению "в отрезках" (4.22) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: , а затем разделить обе части уравнения на 
Обозначив получим уравнение в отрезках (4.22):
2. Уравнения (4.21), (4.22), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако величины и в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков и .
Пример 4.9. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки  Требуется: а) составить общее уравнение плоскости треугольника ; б) составить уравнение в "отрезках" для плоскости треугольника ; в) определить точки пересечения этой плоскости с координатными осями.
Решение. а) Составим уравнение (4.21):
Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получаем
б) Переносим свободный член общего уравнения плоскости (см. пункт "а") в правую часть и делим уравнение на 12, получаем уравнение плоскости в "отрезках":
в) По уравнению плоскости в "отрезках" заключаем, что плоскость (см. пункт "б") проходит через точки на координатных осях.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|