Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Общие уравнения геометрических мест точек

Общие уравнения геометрических мест точек


Уравнением множества [math]F[/math] точек (уравнением г.м.т.) координатной плоскости называется равенство, связывающее координаты точек, верное для координат точек, принадлежащих множеству [math]F[/math], и неверное для координат точек, не принадлежащих [math]F[/math]. Например, уравнение множества в аффинной системе координат [math]Ox_1x_2[/math] имеет вид:


[math]F(x_1,x_2)=0,[/math]
(3.1)

в частности, в прямоугольной системе координат [math]Oxy\colon~ F(x,y)=0[/math], а в полярной системе координат [math]Or\varphi\,\colon[/math]


[math]G(r,\varphi)=0,[/math]
(3.2)

где [math]F[/math] и [math]G[/math] — некоторые функции двух аргументов.


Уравнения (3.1), (3.2) представляют собой аналитическую запись функциональной зависимости между координатами точек на плоскости, образующих геометрическое место точек. В частных случаях одна из координат может быть выражена через другую, т.е. одна координата задается как явная функция другой координаты. Тогда получается уравнение, разрешенное относительно этой координаты, например: [math]y=f(x),\,r=g(\varphi).[/math]


Заметим, что уравнениями вида [math]y=f(x)[/math] в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] могут быть заданы графики элементарных функций: степенных, тригонометрических, показательных, логарифмических.




Пример 3.1. Изобразить на координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям:


[math]\begin{array}{*{20}l} \mathsf{1)}~x-y=0;&\qquad \mathsf{2)}~x^2-y^2=0;&\qquad \mathsf{3)}~x^2+y^2=0;\\[5pt] \mathsf{4)}~x^2+y^2-1=0;&\qquad \mathsf{5)}~|x|-x=0;&\qquad \mathsf{6)}~x^2+y^2+1=0. \end{array}[/math]


Решение. а) Уравнению [math]x-y=0[/math] удовлетворяют только те точки плоскости, у которых равны абсциссы и ординаты [math](y=x)[/math]. Эти точки лежат на биссектрисах [math]I[/math] и [math]III[/math] координатных углов (рис. 3.1, а).


б) Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем уравнение [math](x-y)(x+y)=0[/math], которое равносильно совокупности уравнений


[math]\left[\!\begin{aligned}y&=x,\\y&=-x.\end{aligned}\right.[/math]

Первому уравнению отвечают биссектрисы нечетных координатных углов, второму — биссектрисы четных координатных углов. Следовательно, заданному уравнению удовлетворяют только те точки, которые принадлежат хотя бы одной из указанных биссектрис (рис. 3.1, 6).


в) Уравнение [math]x^2+y^2=0[/math] равносильно системе уравнений [math]\begin{cases} x=0,\\y=0,\end{cases}[/math]
которая определяет единственную точку [math]O[/math] (начало координат) на плоскости (рис. 3.1, в).


Множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям

г) Выражение [math]x^2+y^2[/math] есть квадрат расстояния от точки [math](x,y)[/math] до начала координат. Поэтому уравнению [math]x^2+y^2-1=0[/math] (или [math]x^2+y^2=1[/math]) удовлетворяют только те точки, которые удалены от точки [math]O[/math] на расстояние, равное 1. Это множество точек является окружностью с центром в начале координат и радиусом 1 (рис.3.1,г).


д) Уравнению [math]|x|+x=0[/math] удовлетворяет каждая точка с неположительной абсциссой. Следовательно, множество решений этого уравнения представляет собой полуплоскость [math]x\leqslant0[/math], ограниченную осью ординат (рис.3.1,д).


е) Уравнение [math]x^2+y^2+1=0[/math] не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, удовлетворяющих этому уравнению.




Пример 3.2. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) отмечены точки [math]A(2,0)[/math] и [math]B(0,4)[/math]. Вывести уравнения заданных множеств:


а) прямой [math]AB[/math] (рис.3.2,а);

б) серединного перпендикуляра к отрезку [math]AB[/math] (рис.3.2,б);

в) окружности с диаметром [math]AB[/math] (рис.3.2,в).


Уравнения и графики прямой, серединного перпендикуляра и окружности с диаметром

Решение. а) Точка [math]M(x,y)[/math] принадлежит прямой [math]AB[/math] тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] удовлетворяет условию [math]\overrightarrow{OM}=t\,\overrightarrow{OA}+(1-t)\,\overrightarrow{OB}[/math], где [math]t[/math] — некоторое действительное число (см. Применение векторов в задачах). Записывая это векторное равенство в координатной форме, получаем


[math]\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+(1-t)\begin{pmatrix} 0\\4\end{pmatrix}\!~ \Leftrightarrow~ \begin{cases} x=2t,\\y=4-4t.\end{cases}[/math]

Исключая параметр [math]t[/math] из этой системы (например, подставляя во второе уравнение [math]t=x/2[/math]), приходим к уравнению [math]y=4-2x[/math] или [math]2x+y-4=0[/math].


б) Пусть [math]M(x,y)[/math] произвольная точка плоскости. Эта точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку [math]AB[/math] тогда и только тогда, когда [math]MA=MB[/math]. Записывая это равенство в координатной форме, получаем


[math]\sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-4)^2}.[/math]

Возводя в квадрат и приводя подобные члены, приходим к уравнению [math]x-2y+3=0[/math].


в) Найдем радиус заданной окружности:


[math]r=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{5}[/math]

и координаты центра [math]Q[/math] окружности — середины отрезка [math]AB\colon Q(1;2)[/math], так как [math]Q\!\left(\frac{2+0}{2};\,\frac{0+4}{2}\right)[/math]. По определению точка [math]M(x,y)[/math] принадлежит этой окружности тогда и только тогда, когда [math]MQ=r[/math]. Записывая это равенство в координатной форме, получаем


Спираль Архимеда (график в полярных координатах)
[math]\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=\sqrt{5}.[/math]

Возводя в квадрат и перенося все члены в левую часть равенства, получаем [math](x-1)^2+(y-2)^2-5=0[/math].




Пример 3.3. Изобразить на плоскости в полярной системе координат [math]Or\varphi[/math] множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям:


а) [math]r=\varphi[/math] (спираль Архимеда);

б) [math]r=1+\cos\varphi[/math] (кардиоида);

в) [math]r^2=\cos2\varphi[/math] (лемниската Бернулли).


Решение. а) Построение выполняется по точкам при [math]0\leqslant\varphi\leqslant2\pi[/math]. Далее учитывается, что при каждом полном обороте полярный радиус увеличивается на [math]2\pi[/math] (рис.3.3-1).


б) Построение выполняется по точкам при [math]0\leqslant\varphi\leqslant\pi[/math], а затем продолжается симметрично полярной оси, так как замена [math]\varphi[/math] на [math]-\varphi[/math] не изменяет уравнения (рис.3.3-2,а).


в) Построение выполняется по точкам при [math]0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}[/math], а затем продолжается симметрично полярной оси и полюса [math]O[/math] (рис.3.3-2,б).


Кардиоида и Лемниската Бернулли (графики в полярных координатах)



Уравнения пересечений и объединений геометрических мест точек


Рассмотрим основные операции с множествами точек на координатной плоскости, заданными своими уравнениями.


Пусть множества [math]F[/math] и [math]G[/math] в аффинной системе координат [math]Ox_1x_2[/math] заданы общими уравнениями [math]F(x_1,x_2)=0[/math] и [math]G(x_1,x_2)=0[/math] соответственно.


Пересечение [math]F\cap G[/math] множеств [math]F[/math] и [math]G[/math] состоит из точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений


[math]\begin{cases}F(x_1,x_2)=0,\\G(x_1,x_2)=0.\end{cases}[/math]

Можно составить одно уравнение, равносильное этой системе, например:


[math](F(x_1,x_2))^2+(G(x_1,x_2))^2=0.[/math]

Объединение [math]F\cup G[/math] множеств [math]F[/math] и [math]G[/math] состоит из точек, координаты которых удовлетворяют совокупности уравнений


[math]\left[\!\begin{aligned}F(x_1,x_2)=0,\\G(x_1,x_2)=0.\end{aligned}\right.[/math] равносильной одному уравнению, например: [math]F(x_1,x_2)\cdot G(x_1,x_2)=0[/math].

Включение [math]F\subset G[/math] с алгебраической точки зрения означает, что уравнение [math]G(x_1,x_2)=0[/math] является следствием уравнения [math]F(x_1,x_2)=0[/math], то есть


[math]F(x_1,x_2)=0 \quad \Rightarrow \quad G(x_1,x_2)=0.[/math]

Равенство [math]F=G[/math] означает, что уравнения [math]F(x_1,x_2)=0[/math] и [math]G(x_1,x_2)=0[/math] равносильны (эквивалентны), то есть


[math]F(x_1,x_2)=0 \quad \Leftrightarrow \quad G(x_1,x_2)=0.[/math]

В частности, равносильные уравнения, описывающие одно и то же геометрическое место точек, получаются при тождественных алгебраических преобразованиях равенств, например, при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число, при приведении подобных членов, при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный и т.п.


Полученные соотношения, сводящие операции с множествами на плоскости к алгебраическим операциям с уравнениями этих геометрических мест точек, не зависят от выбора системы координат. Например, в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] аналогичные соотношения получаем, полагая [math]x_1=x[/math] и [math]x_2=y[/math], а в полярной системе координат [math]Or\varphi[/math] при [math]x_1=r[/math] и [math]x_2=\varphi[/math].




Параметрические уравнения геометрических мест точек


Функциональная зависимость между координатами точек плоскости, например в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math], может быть задана в параметрической форме, в которой обе координаты выражаются в виде функций вспомогательной переменной, называемой параметром:


[math]\begin{cases}x=f(t),\\[2pt]y=g(t),\end{cases}[/math]
(3.3)

где [math]t[/math] — параметр, принимающий действительные значения. Систему (3.3) называют параметрическим уравнением геометрического места точек.




Пример 3.4. Изобразить на координатной плоскости [math]Oxy[/math] (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим параметрическим уравнениям:


[math]\mathsf{1)}~\begin{cases}x=\cos{t},\\y=\sin{t};\end{cases} \quad \mathsf{2)}~\begin{cases}x=t-\cos{t},\\y=1-\sin{t};\end{cases} \quad \mathsf{3)}~\begin{cases}x=\cos^3{t},\\y=\sin^3{t}.\end{cases}[/math]

Решение. 1) Исключим из заданной системы уравнений параметр [math]t[/math]. Возведя обе части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно результаты, получим уравнение окружности [math]x^2+y^2=1[/math] (см. пример 3.1 ,г). Параметром [math]t[/math] служит величина угла поворота радиус-вектора изображающей точки, измеряемого от положительного направления оси абсцисс (рис.3.4,а).


2) Уравнения задают циклоиду — линию, которую описывает точка, принадлежащая окружности при качении этой окружности (без проскальзывания) по прямой (оси абсцисс). Построение одной арки циклоиды выполняется по точкам при [math]0\leqslant t\leqslant2\pi[/math]. Затем эта арка "переносится" вдоль оси абсцисс (рис.3.4,б). Параметром [math]t[/math] служит величина угла поворота радиуса катящейся окружности.


Графики окружности, циклоиды и астроиды

3) Уравнения задают астроиду (гипоциклоиду) — линию, которую описывает точка, принадлежащая окружности при качении этой окружности (без проскальзывания) по другой неподвижной окружности, касаясь ее внутренним образом. Астроида и обе окружности изображены на рис.3.4,в (астроида полужирной линией, неподвижная окружность сплошной, а подвижная — штриховой). Построение выполняется по точкам при [math]0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{2}[/math], а затем продолжается симметрично координатным осям.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved