Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть заданы:

а) точка [math]M_0(0,y_0)[/math] на оси ординат;

б) угол [math]\alpha \colon 0\leqslant\alpha<\pi,~\alpha\ne\frac{\pi}{2}[/math] (рис.3.21,а).

Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины [math]\alpha[/math].

Величину, равную тангенсу угла [math]\alpha[/math], который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают [math]k=\operatorname{tg}\alpha[/math] (рис.3.21,а).

Выберем на прямой произвольную точку [math]M_1(x_1,y_1)[/math], отличную от [math]M_0(0,y_0)[/math], т.е. [math]x_1\ne0[/math]. Запишем уравнение (3.16) при [math]x_0=0[/math]:

Отсюда

Подставляя [math]\frac{y_1-y_0}{x_1}= \operatorname{tg} \alpha=k[/math], получаем уравнение

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно [math]y[/math]).

Найдем, например, величину [math]\alpha[/math] угла между прямой [math]PH[/math] (см. пример 3.7, рис.3.12) и положительным направлением оси абсцисс. Для этого из общего уравнения [math]x-y+1=0[/math] прямой [math]PH[/math] выражаем [math]y=x+1[/math]. Сравнивая с (3.18),получаем [math]k=1[/math],следовательно, [math]\operatorname{tg}\alpha=k=1[/math], т.e. [math]\alpha=\frac{\pi}{4}[/math].

Замечания 3.6

1. Чтобы перейти от общего уравнения прямой (3.8) [math]Ax+By+C=0[/math] к уравнению с угловым коэффициентом (3.18), нужно разрешить общее уравнение относительно неизвестной [math]y[/math]:

где [math]k=-\frac{A}{B},~y_0=-\frac{C}{B}[/math]. Такой переход возможен при условии [math]B\ne 0[/math].

2. Если в поставленной задаче заданная точка [math]M_0(x_0,y_0)[/math] не лежит на оси ординат, то, проводя аналогичные рассуждения, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом вида:

3. Уравнение прямой (3.18) с угловым коэффициентом применяется только в прямоугольной системе координат, поскольку в любой другой аффинной системе координат в уравнении (3.18), разрешенном относительно неизвестной [math]y[/math], коэффициент [math]k[/math] утрачивает смысл углового коэффициента.