Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом


Пусть заданы:


а) точка M_0(0,y_0) на оси ординат;

б) угол \alpha \colon 0\leqslant\alpha<\pi,~\alpha\ne\frac{\pi}{2} (рис.3.21,а).


Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины \alpha.


Величину, равную тангенсу угла \alpha, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают k=\operatorname{tg}\alpha (рис.3.21,а).


Выберем на прямой произвольную точку M_1(x_1,y_1), отличную от M_0(0,y_0), т.е. x_1\ne0. Запишем уравнение (3.16) при x_0=0:


\frac{x-0}{x_1-0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}.

Отсюда


(y_1-y_0)x= (y-y_0)x_1\quad \Leftrightarrow\quad y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1}\,x\,.

Подставляя \frac{y_1-y_0}{x_1}= \operatorname{tg} \alpha=k, получаем уравнение


y=k\cdot x+y_0,
(3.18)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно y).


Угловой коэффициент и уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем, например, величину \alpha угла между прямой PH (см. пример 3.7, рис.3.12) и положительным направлением оси абсцисс. Для этого из общего уравнения x-y+1=0 прямой PH выражаем y=x+1. Сравнивая с (3.18),получаем k=1,следовательно, \operatorname{tg}\alpha=k=1, т.e. \alpha=\frac{\pi}{4}.




Замечания 3.6


1. Чтобы перейти от общего уравнения прямой (3.8) Ax+By+C=0 к уравнению с угловым коэффициентом (3.18), нужно разрешить общее уравнение относительно неизвестной y:


y=-\frac{A}{B}\,x-\frac{C}{B} \quad \Leftrightarrow \quad y=kx+y_0,

где k=-\frac{A}{B},~y_0=-\frac{C}{B}. Такой переход возможен при условии B\ne 0.


2. Если в поставленной задаче заданная точка M_0(x_0,y_0) не лежит на оси ординат, то, проводя аналогичные рассуждения, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом вида:


y-y_0=k(x-x_0).

3. Уравнение прямой (3.18) с угловым коэффициентом применяется только в прямоугольной системе координат, поскольку в любой другой аффинной системе координат в уравнении (3.18), разрешенном относительно неизвестной y, коэффициент k утрачивает смысл углового коэффициента.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved