Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Унитарные пространства и их линейные преобразования
ОглавлениеЛинейная алгебра

Унитарные пространства и их линейные преобразования


Комплексное линейное пространство [math]\mathbb{U}[/math] называется унитарным (или эрмитовым), если каждой паре элементов [math]\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}[/math] этого пространства поставлено в соответствие комплексное число [math]\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle[/math], называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:


[math]\begin{aligned}&\bold{1.}\quad \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle= \overline{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle}\quad \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \mathbb{U}\,;\\[5pt] &\bold{2.}\quad \langle \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle= \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w} \rangle+\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \rangle \quad \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{U}\,;\\[5pt] &\bold{3.}\quad \langle \lambda\cdot\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle= \lambda\cdot \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle\quad \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \mathbb{U},\quad \forall \lambda\in \mathbb{C}\,;\\[5pt] &\bold{4.}\quad \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\rangle>0\quad \forall\boldsymbol{v}\ne \boldsymbol{o}~\land\, \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v} \rangle=0~ \Rightarrow~ \boldsymbol{v}=\boldsymbol{o}\,.\end{aligned}[/math]


Условия 1-4 называются аксиомами скалярного произведения (в комплексном линейном пространстве). По аксиоме 1 комплексные числа [math]\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \rangle[/math] и [math]\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{u} \rangle[/math] сопряженные, а скалярный квадрат [math]\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v} \rangle=\overline{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v} \rangle}[/math] — действительное число, причем неотрицательное (по аксиоме 4).


Из аксиом 1 и 3 следует правило вынесения числового множителя от второго сомножителя скалярного произведения:


[math]\langle \boldsymbol{u},\lambda\cdot \boldsymbol{v} \rangle = \overline{\lambda}\cdot \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \rangle.[/math]

Из аксиом 1-3 следует общая формула


[math]\left\langle \sum_{i=1}^{m}\alpha_i \boldsymbol{u}_i,\, \sum_{j=1}^{n}\beta_j \boldsymbol{v}_j, \right\rangle= \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} \alpha_i\overline{\beta}_j \langle \boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{v}_j\rangle[/math]

для любых векторов [math]\boldsymbol{u}_i,\,\boldsymbol{v}_j[/math] и комплексных чисел [math]\alpha_1,\,\beta_j,~ i=1,\ldots,n;\, j=1,\ldots,m[/math].


Для унитарных пространств также, как для евклидовых, вводятся понятия длины (нормы, модуля) вектора, ортогональности векторов, ортогонального и ортонормированного базисов, процесса ортогонализации, ортогонального дополнения, изоморфизма. В частности, любое n-мерное унитарное пространство изоморфно комплексному арифметическому пространству [math]\mathbb{C}^n[/math] со стандартным скалярным произведением


[math]\langle x,y\rangle= x^T\cdot \overline{y}= x_1\cdot \overline{y}_1+ x_2\cdot \overline{y}_2+\ldots+ x_n\cdot \overline{y}_n,[/math]

где [math]x=\begin{pmatrix}x_1&x_2& \cdots&x_n \end{pmatrix}^T[/math] и [math]y=\begin{pmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n \end{pmatrix}^T[/math].




Линейные преобразования унитарных пространств


Рассмотрим линейные преобразования конечномерных унитарных пространств, т.е. комплексных линейных пространств со скалярным произведением. Заметим, что в отличие от линейных преобразований вещественных пространств любое линейное преобразование комплексного пространства всегда имеет собственные значения и собственные векторы, которые совпадают с собственными значениями и собственными векторами матрицы этого преобразования, определенной относительно любого базиса.


Сопряженные преобразования унитарного пространства


Пусть [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] — линейное преобразование n-мерного унитарного пространства [math]U[/math]. Преобразование [math]\mathcal{A}^{\ast}\colon U\to U[/math] называется сопряженным преобразованию [math]\mathcal{A}[/math], если для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]U[/math] выполняется равенство


[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle.[/math]

Определения сопряженных преобразований унитарных и евклидовых пространств совпадают. Поэтому они имеют аналогичные свойства.


1. Сопряженное преобразование унитарного пространства — линейное.


2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования является сопряженной по отношению к матрице данного преобразования. Другими словами, если [math]A[/math] — матрица преобразования [math]\mathcal{A}[/math] (определенная относительно ортонормированного базиса), то сопряженная матрица [math]A^{\ast}[/math] является матрицей сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}^{\ast}[/math] (определенной относительно того же базиса).


3. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math], то его ортогональное дополнение [math]L^{\ast}[/math] является инвариантным подпространством относительно сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}^{\ast}[/math].



Эрмитово преобразование унитарного пространства[/h1]

Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] называется эрмитовым, если оно является сопряженным самому себе, а именно [math]\mathcal{A}^{\ast}= \mathcal{A}[/math], т.е. [math]\bigl\langle \mathcal{A} (\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y}) \bigr\rangle.[/math] для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]U[/math].


Определение эрмитова преобразования аналогично определению самосопряженного преобразования евклидова пространства. Поэтому они имеют аналогичные свойства.


1. Матрица [math]A[/math] эрмитова преобразования в любом ортонормированном базисе является эрмитовой [math]\bigl(A^{\ast}=A\bigr)[/math], и наоборот, если в каком-либо ортонормированном базисе матрица преобразования эрмитова, то это преобразование является эрмитовым.


2. Все корни характеристического уравнения эрмитова преобразования действительные.


3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям эрмитова преобразования, ортогональны.


4. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно эрмитова преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math], то его ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] также инвариантно относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math].




[h2]Унитарное преобразование унитарного пространства


Преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]V[/math] называется унитарным (изометрическим), если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т.е.


[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{v}), \mathcal{A}(\boldsymbol{w}) \bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\bigr\rangle\quad \forall \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\in U.[/math]

Унитарное преобразование аналогично ортогональному преобразованию евклидова пространства и обладает соответствующими свойствами (см. свойства ортогонального преобразования).


1. Унитарное преобразование — линейное.


2. Линейное преобразование унитарно тогда и только тогда, когда оно отображает ортонормированный базис в ортонормированный.


3. Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] унитарно тогда и только тогда, когда его матрица [math]A[/math] в любом ортонормированном базисе является унитарной, т.е. [math]A^{\ast}=A^{-1}[/math].


4. Унитарное преобразование обратимо.


5. Все собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице.


6. Определитель матрицы унитарного преобразования по модулю равен единице.


7. Пусть [math]L[/math] — инвариантное относительно унитарного преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] подпространство [math]U[/math]. Тогда его ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] также инвариантно по отношению к преобразованию [math]\mathcal{A}[/math].




Нормальное преобразование унитарного пространства


Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] называется нормальным, если оно перестановочно со своим сопряженным, т.е. [math]\mathcal{A} \mathcal{A}^{\ast}= \mathcal{A}^{\ast}\mathcal{A}[/math].


Эрмитовы и унитарные преобразования являются нормальными, так как из равенства [math]\mathcal{A}= \mathcal{A}^{\ast}[/math] следует, что


[math]\mathcal{A} \mathcal{A}^{ast}= \mathcal{A}\mathcal{A}= \mathcal{A}^{\ast} \mathcal{A}[/math], а из равенства [math]\mathcal{A}^{-1}= \mathcal{A}^{\ast}[/math] следует, что [math]\mathcal{A}\mathcal{A}^{\ast}= \mathcal{A}\mathcal{A}^{-1}= \mathcal{E}= \mathcal{A}^{-1} \mathcal{A}= \mathcal{A}^{\ast} \mathcal{A}.[/math].

Нормальное преобразование унитарного пространства обладает следующими свойствами.


1. Каждый собственный вектор нормального преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] является также собственным вектором сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}^{\ast}[/math].


2. Пусть [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно нормального преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math]. Тогда его ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] также инвариантно по отношению к преобразованию [math]\mathcal{A}[/math].




Теорема (9.13) о диагонализируемости нормального преобразования


Для всякого нормального преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] существует ортонормированный базис (из собственных векторов), в котором матрица преобразования имеет диагональный вид


[math]\Lambda= \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n),[/math]
(9.25)

где [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] — собственные значения преобразования of, повторенные в соответствии с их кратностью.


Следствие 1. Унитарное преобразование приводится к диагональному виду (9.25) с собственными значениями [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math], по модулю равными единице.


Следствие 2. Эрмитово преобразование приводится к диагональному виду (9.25) с вещественными собственными значениями [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math].


Методика приведения нормального преобразования к диагональному виду аналогична методике приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved