Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Умножение матриц

Умножение матриц


Определение произведения матриц. Пусть даны матрицы [math]A=(a_{ij})[/math] размеров [math]m\times p[/math] и [math]B=(b_{ij})[/math] размеров [math]p\times n[/math]. Матрицу [math]C[/math] размеров [math]m\times n[/math], элементы [math]c_{ij}[/math], которой вычисляются по формуле


[math]c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{ip}\cdot b_{pj},\quad i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,m;[/math]

называют произведением матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] и обозначают [math]C=AB[/math]. Операция

умножения матрицы [math]A[/math] на матрицу [math]B[/math] определена только для согласованных матриц, у которых число столбцов матрицы [math]A[/math] равно числу строк матрицы [math]B:[/math]


[math]\underbrace{C}_{m\times n}= \underbrace{A}_{m\times p}\cdot \underbrace{B}_{p\times n}.[/math]

Рассмотрим подробнее процедуру нахождения произведения матриц. Чтобы получить элемент [math]c_{ij}[/math], стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы [math]C[/math], следует выделить i-ю строку матрицы [math]A[/math] и j-й столбец матрицы [math]B[/math] (рис. 1.3). Они содержат одинаковое число элементов, так как матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] согласованы. Затем найти сумму попарных произведений соответствующих элементов: первый элемент i-й строки умножается на первый элемент j-го столбца, второй элемент i-й строки умножается на второй элемент j-го столбца и т.д., а результаты перемножений складываются.


Схема нахождения произведения матриц

В произведения [math]A\cdot B[/math] матрицу [math]A[/math] называют левым множителем для [math]B[/math] и говорят об умножении матрицы [math]B[/math] на матрицу [math]A[/math] слева. Аналогично матрицу [math]B[/math] называют правым множителем для [math]A[/math] и говорят об умножении матрицы [math]A[/math] на матрицу [math]B[/math] справа.




Пример 1.6. Даны матрицы [math]A= \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\!,~B= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}[/math]. Вычислить произведения [math]AB[/math] и [math]BA[/math]

.

Решение. Используя правило умножения матриц, получаем


[math]\begin{aligned} \underbrace{A}_{2\times3}\cdot \underbrace{B}_{3\times2}&= \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0+1\cdot1&1\cdot0+2\cdot1+1\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0+2\cdot1&0\cdot0+1\cdot1+2\cdot1\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}2&3\\2&3\end{pmatrix}}_{2\cdot2}.\\[5pt] \underbrace{B}_{3\times2}\cdot \underbrace{A}_{2\times3}&= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0& 1\cdot2+0\cdot1& 1\cdot1+0\cdot2\\ 0\cdot1+1\cdot0& 0\cdot2+1\cdot1& 0\cdot1+1\cdot2\\ 1\cdot1+1\cdot0& 1\cdot2+1\cdot1& 1\cdot1+1\cdot2 \end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&1&2\\ 1&3&3 \end{pmatrix}}_{3\times3}. \end{aligned}[/math]

Оба произведения [math]A\cdot B[/math] и [math]B\cdot A[/math] определены, но являются матрицами разных размеров, т.е. [math]AB\ne BA[/math].


Пример 1.7. Даны матрицы [math]A= \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\!,~x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\!,~b= \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}[/math]. Найти произведения [math]A\cdot x,~b\cdot x,~x\cdot b[/math].


Решение. Используя правило умножения, получаем


[math]\begin{aligned} \underbrace{A}_{2\times3}\cdot\underbrace{x}_{3\times1}&= \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot x_1+2\cdot x_2+1\cdot x_3\\0\cdot x_1+1\cdot x_2+2\cdot x_3\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}x_1+2x_2+x_3\\x_2+2x_3\end{pmatrix}}_{2\times1}.\\[5pt] \underbrace{b}_{1\times3}\cdot\underbrace{x}_{3\times1}&= \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3\end{pmatrix}}_{1\times1}= x_1+2x_2+3x_3;\\[5pt] \underbrace{x}_{3\times1}\cdot\underbrace{b}_{1\times3}&= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}x_1&2x_1&3x_1\\x_2&2x_2&3x_2\\x_3&2x_3&3x_3\end{pmatrix}}_{3\times3}. \end{aligned}[/math]

Пример 1.8. Даны матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\!,~ E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,~ O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!.[/math]
Вычислить произведения [math]AB,~BA,~AE,~EA,~BO,~OB[/math].


Решение. Все матрицы квадратные второго порядка. Следовательно, все произведения будут квадратными матрицами того же порядка. Используя правило умножения, получаем


[math]\begin{aligned} A\cdot B&= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot1\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot0+4\cdot1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}\!;\\[3pt] B\cdot A&= \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot1+0\cdot3&0\cdot2+0\cdot4\\1\cdot1+1\cdot3&1\cdot2+1\cdot4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\4&6\end{pmatrix}\!;\\[3pt] A\cdot E&= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0&1\cdot0+2\cdot1\\3\cdot1+4\cdot0&3\cdot0+4\cdot1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!;\\[3pt] E\cdot A&= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot3&1\cdot2+0\cdot4\\0\cdot1+1\cdot3&0\cdot2+1\cdot4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!;\\[3pt] B\cdot O&= \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!;\\[3pt] O\cdot B&= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]



Замечание 1.2. Непосредственным вычислением можно доказать основное свойство единичной матрицы:


[math]A\cdot E_n=E_m\cdot A[/math] для любой матрицы [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math].

Пример 1.9. Найти произведения


[math]\begin{array}{ll}\mathsf{1)}~A=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\!;&\qquad \mathsf{2)}~\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix}\!;\\\\[-7pt] \mathsf{3)}~A=\begin{pmatrix}6&1\\2&1\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}-4&-1\\-2&1\end{pmatrix}\!;&\qquad \mathsf{4)}~\begin{pmatrix}3&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}\!.\end{array}[/math]

Решение. 1) Произведением [math]A\cdot B[/math] является число:


[math]A\cdot B=\underbrace{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}_{1\cdot3}\!\cdot\! \underbrace{\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}_{3\times1}= \begin{pmatrix}1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}32\end{pmatrix}}_{1\times1}=32,[/math]

а произведением [math]B\cdot A[/math] — квадратная матрица третьего порядка:

[math]B\cdot A= \underbrace{\begin{pmatrix} 4\\5\\6\end{pmatrix}}_{3\cdot1}\!\cdot\! \underbrace{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}_{1\times3}= \underbrace{\begin{pmatrix}4\cdot1&4\cdot2&4\cdot3\\ 5\cdot1&5\cdot2&5\cdot3\\6\cdot1&6\cdot2&6\cdot3\end{pmatrix}}_{3\times3}= \begin{pmatrix}4&8&12\\5&10&15\\6&12&18\end{pmatrix}\!.[/math]

Очевидно, что [math]A\cdot B\ne B\cdot A[/math].


2)
[math]\begin{aligned}A\cdot B&= \underbrace{\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}}_{2\times2}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix}}_{2\times2}= \underbrace{\begin{pmatrix}1\cdot(-1)+2\cdot1&1\cdot3+2\cdot1\\ 3\cdot(-1)+1\cdot1&3\cdot3+1\cdot1\end{pmatrix}}_{2\times2}= \begin{pmatrix}1&5\\-1&10\end{pmatrix}\!;\\[5pt] B\cdot A&= \underbrace{\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix}}_{2\times2}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}}_{2\times2}= \underbrace{\begin{pmatrix}(-1)\cdot1+3\cdot3&(-1)\cdot2+3\cdot1\\ 1\cdot1+1\cdot3&1\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}}_{2\times2}= \begin{pmatrix}8&1\\4&3\end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Оба произведения — это квадратные матрицы одного и того же порядка, но [math]A\cdot B\ne B\cdot A[/math].


3)
[math]\begin{aligned}A\cdot B&= \underbrace{\begin{pmatrix} 6&1\\2&1\end{pmatrix}}_{2\times2}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}-4&-1\\-2&1\end{pmatrix}}_{2\times2}= \underbrace{\begin{pmatrix}6\cdot(-4)+1\cdot(-2)&6\cdot(-1)+1\cdot1\\ 2\cdot(-4)+1\cdot(-2)&2\cdot(-1)+1\cdot1 \end{pmatrix}}_{2\times2}= \begin{pmatrix}-26&-5\\-10&-1\end{pmatrix}\!;\\[5pt] B\cdot A&= \underbrace{\begin{pmatrix}-4&-1\\-2&1\end{pmatrix}}_{2\times2}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}6&1\\2&1\end{pmatrix}}_{2\times2}= \underbrace{\begin{pmatrix}(-4)\cdot6+(-1)\cdot2&(-4)\cdot1+(-1)\cdot1\\ (-2)\cdot6+1\cdot2&(-2)\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix}}_{2\times2}= \begin{pmatrix}-26&-5\\-10&-1\end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Результаты умножения совпадают, т.е. [math]A\cdot B=B\cdot A[/math].


4) произведение [math]A\cdot B[/math] не может быть найдено, так как число столбцов матрицы [math]A[/math] (три) не равно числу строк матрицы [math]B[/math] (одна). При этом говорят, что нельзя умножить матрицу [math]A[/math] на матрицу [math]B[/math] справа. В то же время можно умножить матрицу [math]A[/math] на матрицу [math]B[/math] слева:


[math]B\cdot A=\underbrace{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}_{1\times3}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}3&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}}_{2\times3}= \underbrace{\begin{pmatrix}1\cdot3+3\cdot0&1\cdot2+2\cdot1&1\cdot1+3\cdot2\end{pmatrix}}_{1\times3}= \begin{pmatrix}3&5&7\end{pmatrix}\!.[/math]



Свойства умножения матриц


Пусть [math]\lambda[/math] — любое число, [math]A,B,C[/math] — произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:


1. [math](AB)C=A(BC)[/math]; (ассоциативность умножения матриц)

2. [math]A(B+C)=AB+AC[/math]; (дистрибутивность умножения)

3. [math](A+B)C=AC+BC[/math]; (дистрибутивность умножения)

4. [math]\lambda (AB)=(\lambda A)B[/math].


Пример 1.10. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, если


[math]A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Проверим свойство 1: [math](AB)C=A(BC)[/math].


[math]\begin{aligned}(A\cdot B)\cdot A&= \left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\right]\!\cdot\! \begin{pmatrix}\1&0\\0&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}19&44\\43&100\end{pmatrix}\!,\\[3pt] A\cdot(B\cdot C)&= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \left[\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\right]= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}5&12\\7&16\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}19&44\\43&100\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Проверим свойство 2: [math]A(B+C)=AB+AC[/math].


[math]\begin{aligned}A\cdot(B+C)&= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \left[\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\right]= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6&6\\7&10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}20&26\\46&58\end{pmatrix}\!,\\[3pt] AB+AC&= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&4\\3&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}20&26\\46&58\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]



Замечания 1.3


1. В общем случае умножение матриц не является коммутативным. Произведение зависит от перестановки множителей, т.е [math]A\cdot B\neB\cdot A[/math]. Во-первых, размеры матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] могут быть такими, что произведение [math]AB[/math] определено, а произведение [math]BA[/math] — не существует и наоборот (в примере 1.7 найдено произведение [math]Ax[/math], а произведение [math]xA[/math] не определено; в примере 1.9, г найдено произведение [math]BA[/math], а произведение [math]AB[/math] не определено). Во-вторых, если оба произведения [math]AB[/math] и [math]BA[/math] определены, результаты могут оказаться матрицами разных размеров (см. пример 1.6 и 1.9, а). Если матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] квадратные одного порядка, то произведения [math]AB[/math] и [math]BA[/math] будут также квадратными матрицами того же порядка. Даже при этих условиях умножение матриц не коммутативно (см. пример 1.8 и 1.9,6, где [math]AB\ne BA[/math]). С другой стороны, в примере 1.8 [math]AE=EA=A[/math] и [math]BO=OB=O[/math], а в примере 1.9, в [math]AB=BA[/math], т.е. существуют квадратные матрицы, произведение которых не зависит от перестановки множителей.


Матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] называются перестановочными, если [math]A\cdot B=B\cdot A[/math]. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. В частности, например, можно показать, что диагональные матрицы одного и того же порядка перестановочны.


2. Для любой квадратной матрицы [math]A[/math] порядка [math]n[/math] справедливы следующие равенства


[math]A\cdot E=E\cdot A=A[/math], где [math]E[/math] — единичная матрица порядка [math]n[/math].

Другими словами, единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.

3. Для любой матрицы [math]A[/math] справедливы равенства


[math]A\cdot O=O[/math] и [math]O\cdot A=O[/math], где [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих порядков,

т.е. нулевая квадратная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.

4. Множество квадратных матриц одного и того же порядка [math]n>1[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число представляет собой некоммутативное кольцо с единицей. Кольцо не является коммутативным, так как операция умножения квадратных матриц порядка [math]n>1[/math] не коммутативна. Единичным элементом кольца служит единичная матрица.


5. Заметим, что сумма и произведение диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц одного и того же порядка являются диагональными (верхними треугольными, нижними треугольными) матрицами. Следовательно, операции сложения и умножения матриц определены на множествах диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц одного и того же порядка. Поэтому каждое из указанных множеств является кольцом с единицей, причем кольцо диагональных матриц коммутативное.




Пример 1.11. Найти матрицы, перестановочные с матрицей [math]A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}[/math].


Решение. Для выполнения равенства [math]AB=BA[/math] искомая матрица [math]B[/math] должна быть квадратной второго порядка. Пусть она имеет вид [math]B=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}[/math] и удовлетворяет равенству


[math]\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

После умножения получаем в левой и правой частях равенства квадратные матрицы второго порядка:

[math]\begin{pmatrix}x+z&y+w\\z&w\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x&x+y\\z&z+w\end{pmatrix}\!.[/math]

Записывая равенство соответствующих элементов этих матриц, получаем систему уравнений

[math]\begin{cases}x+z=x,\\z=z,\\y+w=x+y,\\w=z+w.\end{cases}[/math]

Из первого уравнения следует, что [math]z=0[/math], а из третьего: [math]x=w[/math]. Следовательно, искомые матрицы имеют вид [math]B=\begin{pmatrix}x&y\\0&x\end{pmatrix}[/math], где [math]x,y[/math] — параметры, принимающие любые действительные значения.




Умножение матриц на столбцы и строки единичной матрицы


Рассмотрим два типа преобразований квадратной матрицы [math]A[/math] [math]n[/math]-го порядка при помощи умножения на строки и столбцы единичной матрицы.


Обозначим j-й столбец и i-ю строку единичной матрицы n-го порядка через [math]e_j[/math] и [math]e_i^T[/math] соответственно:


[math]e_j= \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!_{j},\quad e_i^T= \mathop{\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\end{pmatrix}}\limits_{i}= E_n=\mathop{\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}}\limits_{\begin{matrix}e_1&e_2&\cdots&e_n\end{matrix}}.[/math]

1. Найдем произведения


[math]\begin{gathered}Ae_j= \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots\\a_{ij}\\\vdots\\a_{nj}\end{pmatrix};\\ e_i^T\,A= \begin{pmatrix}0&\cdots&1&\cdots&0\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Как видим, в результате умножения матрицы [math]A[/math] справа на столбец [math]e_j[/math] выделяется j-й столбец матрицы [math]A[/math], а при умножении слева на строку [math]e_i^T[/math] получаем i-ю строку матрицы [math]A[/math]. Элемент [math]a_{ij}[/math] матрицы [math]A[/math] может быть получен как произведение


[math]e_i^T\,A\,e_j= \begin{pmatrix}0&\cdots&1&\cdots&0\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}= a_{ij}.[/math]



Пример 1.12. Даны матрицы


[math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix},~ e_1^T=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\!,~e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\!.[/math] Вычислить [math]Ae_2,~e_1^TA,~e_1^TAe_2[/math]

Решение. Перемножая матрицы, получаем:


[math]\begin{gathered}Ae_2= \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\5\\8\end{pmatrix}\!;\quad e_1^TA= \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!;\\[3pt] e_1^TAe_2= \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}=2. \end{gathered}[/math]

В результате умножений из данной матрицы [math]A[/math] выделены 2-й столбец, первая строка, элемент [math]a_{12}=2[/math].




2. Умножая справа матрицу [math]A[/math] сначала на столбец [math]a_j[/math], а затем на строку [math]e_j^T[/math] получаем квадратную матрицу n-го порядка, в которой все элементы равны нулю, за исключением элементов j-го столбца, который совпадает с j-м столбцом матрицы [math]A:[/math]


[math]Ae_je_j^T= \begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots\\a_{ij}\\\vdots\\a_{nj}\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&\cdots&1&\cdots&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&\cdots&a_{1j}&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&a_{ij}&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&a_{nj}&\cdots&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

При помощи умножения на строки [math]e_j^T[/math] и столбцы [math]e_j[/math] можно, например, заменить j-й столбец матрицы [math]A[/math] i-м столбцом матрицы [math]B[/math] (квадратной n-го порядка):


[math]A-A\cdot e_j\cdot e_j^T+B\cdot e_i\cdot e_j^T.[/math]



Пример 1.13. Даны матрицы, вычислить [math]Ae_2e_2^T,~Be_1e_2^T,~A-Ae_2e_2^T+Be_1e_2^T[/math].


[math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}\!,\quad e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\!,\quad e_2^T=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Выполняя действия, получаем:


[math]\begin{aligned}Ae_2e_2^T&= \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\5\\8\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2&0\\0&5&0\\0&8&0\end{pmatrix}\!;\\[5pt] Be_1e_2^T&= \begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9\\6\\3\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&9&0\\0&6&0\\0&3&0\end{pmatrix}\!;\\[5pt] A-Ae_2e_2^T+Be_1e_2^T&= \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}0&2&0\\0&5&0\\0&8&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&9&0\\0&6&0\\0&3&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&9&3\\4&6&6\\7&3&9\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

В результате 2-й столбец матрицы [math]A[/math] заменен 1-м столбцом матрицы [math]B[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved