Умножение матриц
Определение произведения матриц. Пусть даны матрицы размеров и размеров . Матрицу размеров , элементы , которой вычисляются по формуле
называют произведением матриц и и обозначают . Операция умножения матрицы на матрицу определена только для согласованных матриц, у которых число столбцов матрицы равно числу строк матрицы 
Рассмотрим подробнее процедуру нахождения произведения матриц. Чтобы получить элемент , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы , следует выделить i-ю строку матрицы и j-й столбец матрицы (рис. 1.3). Они содержат одинаковое число элементов, так как матрицы и согласованы. Затем найти сумму попарных произведений соответствующих элементов: первый элемент i-й строки умножается на первый элемент j-го столбца, второй элемент i-й строки умножается на второй элемент j-го столбца и т.д., а результаты перемножений складываются.
В произведения матрицу называют левым множителем для и говорят об умножении матрицы на матрицу слева. Аналогично матрицу называют правым множителем для и говорят об умножении матрицы на матрицу справа.
Пример 1.6. Даны матрицы . Вычислить произведения и  .
Решение. Используя правило умножения матриц, получаем
Оба произведения и определены, но являются матрицами разных размеров, т.е. .
Пример 1.7. Даны матрицы . Найти произведения .
Решение. Используя правило умножения, получаем
Пример 1.8. Даны матрицы Вычислить произведения .
Решение. Все матрицы квадратные второго порядка. Следовательно, все произведения будут квадратными матрицами того же порядка. Используя правило умножения, получаем
Замечание 1.2. Непосредственным вычислением можно доказать основное свойство единичной матрицы:
 для любой матрицы  размеров  .
Пример 1.9. Найти произведения
Решение. 1) Произведением является число:
а произведением — квадратная матрица третьего порядка:
Очевидно, что . 2)
Оба произведения — это квадратные матрицы одного и того же порядка, но . 3)
Результаты умножения совпадают, т.е. .
4) произведение не может быть найдено, так как число столбцов матрицы (три) не равно числу строк матрицы (одна). При этом говорят, что нельзя умножить матрицу на матрицу справа. В то же время можно умножить матрицу на матрицу слева:
Свойства умножения матриц
Пусть — любое число, — произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:
1. ; (ассоциативность умножения матриц) 2. ; (дистрибутивность умножения) 3. ; (дистрибутивность умножения) 4. .
Пример 1.10. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, если
Решение. Проверим свойство 1: .
Проверим свойство 2: .
Замечания 1.3
1. В общем случае умножение матриц не является коммутативным. Произведение зависит от перестановки множителей, т.е . Во-первых, размеры матриц и могут быть такими, что произведение определено, а произведение — не существует и наоборот (в примере 1.7 найдено произведение , а произведение не определено; в примере 1.9, г найдено произведение , а произведение не определено). Во-вторых, если оба произведения и определены, результаты могут оказаться матрицами разных размеров (см. пример 1.6 и 1.9, а). Если матрицы и квадратные одного порядка, то произведения и будут также квадратными матрицами того же порядка. Даже при этих условиях умножение матриц не коммутативно (см. пример 1.8 и 1.9,6, где ). С другой стороны, в примере 1.8 и , а в примере 1.9, в , т.е. существуют квадратные матрицы, произведение которых не зависит от перестановки множителей.
Матрицы и называются перестановочными, если . Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. В частности, например, можно показать, что диагональные матрицы одного и того же порядка перестановочны.
2. Для любой квадратной матрицы порядка справедливы следующие равенства
 , где  — единичная матрица порядка  .
Другими словами, единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.
3. Для любой матрицы справедливы равенства
 и  , где  — нулевые матрицы соответствующих порядков,
т.е. нулевая квадратная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.
4. Множество квадратных матриц одного и того же порядка с операциями сложения матриц и умножения матриц на число представляет собой некоммутативное кольцо с единицей. Кольцо не является коммутативным, так как операция умножения квадратных матриц порядка не коммутативна. Единичным элементом кольца служит единичная матрица.
5. Заметим, что сумма и произведение диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц одного и того же порядка являются диагональными (верхними треугольными, нижними треугольными) матрицами. Следовательно, операции сложения и умножения матриц определены на множествах диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц одного и того же порядка. Поэтому каждое из указанных множеств является кольцом с единицей, причем кольцо диагональных матриц коммутативное.
Пример 1.11. Найти матрицы, перестановочные с матрицей .
Решение. Для выполнения равенства искомая матрица должна быть квадратной второго порядка. Пусть она имеет вид и удовлетворяет равенству
После умножения получаем в левой и правой частях равенства квадратные матрицы второго порядка:
Записывая равенство соответствующих элементов этих матриц, получаем систему уравнений
Из первого уравнения следует, что , а из третьего: . Следовательно, искомые матрицы имеют вид , где — параметры, принимающие любые действительные значения.
Умножение матриц на столбцы и строки единичной матрицы
Рассмотрим два типа преобразований квадратной матрицы -го порядка при помощи умножения на строки и столбцы единичной матрицы.
Обозначим j-й столбец и i-ю строку единичной матрицы n-го порядка через и соответственно:
1. Найдем произведения
Как видим, в результате умножения матрицы справа на столбец выделяется j-й столбец матрицы , а при умножении слева на строку получаем i-ю строку матрицы . Элемент матрицы может быть получен как произведение
Пример 1.12. Даны матрицы
 Вычислить 
Решение. Перемножая матрицы, получаем:
В результате умножений из данной матрицы выделены 2-й столбец, первая строка, элемент .
2. Умножая справа матрицу сначала на столбец , а затем на строку получаем квадратную матрицу n-го порядка, в которой все элементы равны нулю, за исключением элементов j-го столбца, который совпадает с j-м столбцом матрицы 
При помощи умножения на строки и столбцы можно, например, заменить j-й столбец матрицы i-м столбцом матрицы (квадратной n-го порядка):
Пример 1.13. Даны матрицы, вычислить .
Решение. Выполняя действия, получаем:
В результате 2-й столбец матрицы заменен 1-м столбцом матрицы .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|