Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов

Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов


Угол между векторами


Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине числа [math]\pi[/math].

Угол между векторами

Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] (рис.1.22). Построим равные им векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math]. На плоскости, содержащей лучи [math]OA[/math] и [math]OB[/math], получим два угла [math]\angle AOB[/math]. Меньший из них, величина [math]\varphi[/math] которого не превосходит [math]\pi~(0\leqslant\varphi\leqslant\pi)[/math], принимается за угол между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math].


Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен [math]\pi[/math] (если векторы противоположно направлены).




Ортогональные проекции векторов


Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.


Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.


Любой ненулевой вектор [math]\vec{e}[/math], принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора [math]\vec{e}[/math] принимается за положительное, а направление противоположного вектора [math](-\vec{e})[/math] — за отрицательное. Кроме того, длину вектора [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math] — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.


Ортогональной проекцией вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math], называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math], будем обозначать [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}[/math].


Ортогональную проекцию вектора [math]\vec{a}[/math] на прямую [math]l[/math] (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.13) будем обозначать [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l}\vec{a}[/math].


Ортогональную проекцию вектора а на плоскость [math]\rho[/math] (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\rho}\vec{a}[/math].


Разность между вектором [math]\vec{a}[/math] и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:


[math]\vec{a}_{\perp\vec{e}}-\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\vec{a}[/math] относительно вектора [math]\vec{e}[/math];


[math]\vec{a}_{\perp l}-\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l}\vec{a}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\vec{a}[/math] относительно прямой [math]l[/math];


[math]\vec{a}_{\perp\rho}-\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\rho}\vec{a}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\vec{a}[/math] относительно плоскости [math]\rho[/math].


Ортогональные проекции векторов на прямую и на плоскость

На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math]:


— на прямую [math]l[/math] (или на ось [math]l[/math], задаваемую вектором [math]\vec{e}[/math]) вдоль прямой [math]m\colon\overrightarrow{A_lB_l}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}[/math] (рис.1.23,а);


— на прямую [math]l[/math] (или на ось [math]l[/math], задаваемую вектором [math]\vec{e}[/math]) вдоль плоскости [math]\alpha\colon\overrightarrow{A_lB_l}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l}\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}[/math] (рис.1.23,б);


— на плоскость [math]\rho[/math] вдоль прямой [math]m\colon\overrightarrow{A_{\rho}B_{\rho}}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\rho}\vec{a}[/math] (рис.1.23,в).


На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора [math]\vec{a}[/math]:


— относительно оси [math]l[/math] (вектора [math]\vec{e}[/math]): [math]\vec{a}_{\perp l}=\vec{a}_{\perp\vec{e}}[/math] (рис.1.23,а);


— относительно плоскости [math]\rho\colon\vec{a}_{\perp\rho}[/math] (рис.1.23,в).


Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).




Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).


1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math], то любой вектор [math]\vec{a}[/math] на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. [math]\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}[/math] (рис. 1.24,а).


2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые [math]l_1,~l_2[/math] и [math]l_3[/math], пересекающиеся в одной точке, то любой вектор [math]\vec{a}[/math] в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. [math]\vec{a}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_3}\vec{a}[/math] (рис. 1.24,6).


3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.


[math]\vline\,\vec{a}\,\,\vline\,^2=\,\,\vline\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}\,\vline\,^2+\,\,\vline\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}\,\vline\,^2;~~~~~\vline\,\vec{a}\,\,\vline\,^2=\,\,\vline\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}\,\vline\,^2+\,\,\vline\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}\,\vline\,^2+\,\,\vline\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_3}\vec{a}\,\vline\,^2.[/math]

Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника [math]OA_1A[/math] (рис. 1.24,а) или треугольников [math]OA_1A_2[/math] и [math]OA_2A[/math] (рис. 1.24,6)).


В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.


Ортогональные проекции вектора

На рис.1.24,а проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на оси одновременно являются ортогональными составляющими: [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_1}\vec{a}=\vec{a}_{\perp l_2}[/math] и [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l_2}\vec{a}=\vec{a}_{\perp l_1}[/math]. На рис. 1.24,6 вектор [math]\overrightarrow{OA_2}[/math] является проекцией вектора [math]\vec{a}[/math] на плоскость [math]\rho[/math], содержащую прямые [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math]: [math]\overrightarrow{OA_2}=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\rho}\vec{a}[/math], а вектор [math]\overrightarrow{A_2A}[/math] является ортогональной составляющей вектора [math]\vec{a}[/math] относительно плоскости [math]\rho\colon\overrightarrow{A_2A}=\vec{a}_{\perp\rho}[/math].




Алгебраическое значение длины проекции


Пусть [math]\varphi[/math] – угол между ненулевым вектором [math]\vec{a}[/math] и осью, задаваемой вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math], т.е. угол между ненулевыми векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{e}[/math].


Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math], называется длина его ортогональной проекции [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}[/math], взятая с положительным знаком, если угол [math]\varphi[/math] не превышает [math]\frac{\pi}{2}[/math], и с отрицательным знаком, если угол [math]\varphi[/math] больше [math]\frac{\pi}{2}[/math], т.е.:


[math]\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}=\left\{\!\!\begin{aligned}\bigl|\,\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}\,\bigl|,\quad&0\leqslant\varphi\leqslant\dfrac{\pi}{2},\\[2pt]-\bigl|\,\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}\,\bigl|,\quad&\dfrac{\pi}{2}\leqslant\varphi\leqslant\pi.\end{aligned}\right.[/math]

Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, [math]\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}>0[/math], поскольку угол [math]\varphi[/math] между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{e}[/math] острый, a [math]\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}<0[/math], так как угол [math]\psi[/math] между векторами [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{e}[/math] тупой.


Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:


1. [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\bigl(\vec{a}+\vec{b}\bigl)=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}+\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{b}[/math] — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;


2. [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\bigl(\lambda\cdot\vec{a}\bigl)=\lambda\cdot\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}[/math] — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора


Ортогональная проекция вектора на ось



Замечания 1.4.


1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что [math]\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}=|\vec{a}|\cos\varphi[/math], т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.


Ортогональную проекцию вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{e}\ne\vec{o}[/math], можно представить в виде


[math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}=\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}\cdot\frac{1}{|\vec{e}|}\cdot\vec{e}=\frac{|\vec{a}|\cos\varphi}{|\vec{e}|}\cdot\vec{e}.[/math]

Если [math]\vec{e}[/math] — единичный вектор, то [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}=\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}\cdot\vec{e}=|\vec{a}|\cos\varphi\cdot\vec{e}[/math].


2. Равенство [math]\operatorname{pr}_{\vec{e}}\vec{a}= |\vec{a}|\cos\varphi[/math] можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] (или, что то же самое, косинуса угла между осями, заданными ненулевыми векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] (рис. 1.26)).


[math]\cos\varphi=\frac{\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\operatorname{pr}_{\vec{a}}\vec{b}}{|\vec{b}|}.[/math]

Косинус угла между ненулевыми векторами

3. Углом между ненулевым вектором [math]\vec{a}[/math] и прямой [math]l[/math] называется угол [math]\varphi[/math] между вектором [math]\vec{a}[/math] и его ортогональной проекцией [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l}\vec{a}[/math] на прямую [math]l[/math]. Величина угла [math]\varphi~\!\left(0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}\right)[/math] может быть найдена по формуле


[math]\cos\varphi=\frac{\bigl|\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{l}\vec{a}\bigl|}{|\vec{a}|}[/math]

4. Углом между ненулевым вектором [math]\vec{a}[/math] и плоскостью [math]\alpha[/math] называется угол [math]\psi[/math] между вектором [math]\vec{a}[/math] и его ортогональной проекцией [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\alpha}\vec{a}[/math] на плоскость [math]\alpha[/math]. Величина угла [math]\psi~\!\left(0\leqslant\psi\leqslant\frac{\pi}{2}\right)[/math] может быть найдена по формуле


[math]\cos\psi=\frac{\bigl|\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\alpha}\vec{a}\bigl|}{|\vec{a}|}[/math]



Пример 1.7. Основания [math]AB[/math] и [math]CD[/math] равнобокой трапеции [math]ABCD[/math] равны [math]A[/math] и [math]B[/math] соответственно; точка [math]m[/math] — середина стороны [math]BC[/math] (рис. 1.27). Найти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов [math]\overrightarrow{AM}[/math] и [math]MD[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\overrightarrow{AB}[/math].



Решение. Пусть [math]DL[/math] — высота трапеции, [math]N[/math] — точка пересечения прямых [math]AB[/math] и [math]DM[/math]. По свойству равнобокой трапеции [math]AL=\frac{a-b}{2}[/math]; из равенства треугольников [math]CDM[/math] и [math]BNM\colon BN=CD=b[/math].

Равнобокая трапеция

Обозначим через [math]x=\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AM},~y=\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{MD}[/math] искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств


[math]\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}[/math], [math]\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MD}= \overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AN}[/math]

и свойства 1 алгебраических значений длин проекций следует:

[math]\begin{aligned} \operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\Bigl(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD}\Bigl)&= \operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AM}+\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{MD}= \operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AD}~\Leftrightarrow~x+y=\frac{a-b}{2};\\[3pt] \operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\Bigl(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MD}\Bigl)&= \operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AM}-\operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{MD}= \operatorname{pr}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AN}~\Leftrightarrow~x-y=a+b. \end{aligned}[/math]

Решая систему [math]\begin{cases}x+y=\dfrac{a-b}{2},\\[4pt]x-y=a+b,\end{cases}[/math] находим [math]\begin{cases}x=\dfrac{3a+b}{4},\\[7pt]y=-\dfrac{a+3b}{4},\end{cases}[/math], т.е. [math]\operatorname{pr}_{{}_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{AM}=\dfrac{3a+b}{4},~\operatorname{pr}_{{}_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{MD}=-\dfrac{a+3b}{4}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved