Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Теоремы Гульдина–Паппа

Теоремы Гульдина–Паппа


Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).


Пусть поверхность \lambda образована вращением дуги \Gamma, имеющей длину \ell. Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой


\eta= \frac{1}{\ell} \int\limits_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.

Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом


P=2\pi \int\limits_{a}^{b} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,,

то из этого равенства следует, что P=2\pi\eta\ell.


Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теоремой Гульдина–Паппа.


Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины \ell дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести C этой кривой.


Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции


\eta=\frac{1}{2S}\int\limits_{a}^{b} y^2\,dx и формулы объема тела вращения V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx

получаем V=S\cdot2\pi\eta, т. е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина–Паппа:


Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.


Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.




Пример 6. Пользуясь теоремой Гульдина–Паппа, Вычислить площадь поверхности и объем тора (рис. 62), образованного вращением круга радиуса a вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстоянии b\,(a<b).


Решение. Так как длина данной окружности равна 2\pi a, а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна 2\pi b, то поверхность тора по первой теореме Гульдина–Паппа равна:


S=2\pi a\cdot 2\pi b=4\pi^2ab. Объем тора равен: V=\pi a^2\cdot 2\pi b= 2\pi^2a^2b.

Площадь поверхности и объем тора, образованного вращением круга вокруг оси



Пример 7. Длина одной арки циклоиды \begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases} равна 8a, а площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ox, равна \frac{64}{3}\,\pi a^2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке (рис. 63).


Вращение арки циклоиды вокруг оси абсцисс

Решение. Пусть \eta — расстояние центра тяжести дуги от оси Ox, тогда по первой теореме Гульдина–Паппа


\frac{64}{3}\,\pi a^2=8a\cdot 2\pi\eta, откуда \eta=\frac{4}{3}\,a.

Наибольшая ордината кривой соответствует t=\pi и равна 2a, причем касательная в этой точке параллельна оси Ox; следовательно, расстояние h центра тяжести от этой касательной равно


2a-\frac{4}{3}\,a=\frac{2}{3}\,a\,.

Вращения квадрата со стороной a вокруг оси Ox

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке, равна


S=8a\cdot 2\pi\cdot \frac{2}{3}\,a= \frac{32}{3}\,\pi a^2.



Пример 8. Найдем объем тела, полученного от вращения квадрата со стороной a вокруг оси Ox, если он расположен так, как показано на рисунке 64.


Решение. Центр тяжести C квадрата находится на пересечении его диагоналей. Обозначим через b расстояние центра тяжести от оси Ox. Тогда по второй теореме Гульдина–Паппа искомый объем


V=a^2\cdot 2\pi b= 2\pi a^2b\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved