Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Теоремы Гульдина–Паппа

Теоремы Гульдина–Паппа


Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).


Пусть поверхность [math]\lambda[/math] образована вращением дуги [math]\Gamma[/math], имеющей длину [math]\ell[/math]. Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой


[math]\eta= \frac{1}{\ell} \int\limits_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.[/math]

Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом


[math]P=2\pi \int\limits_{a}^{b} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,,[/math]

то из этого равенства следует, что [math]P=2\pi\eta\ell[/math].


Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теоремой Гульдина–Паппа.


Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины [math]\ell[/math] дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести [math]C[/math] этой кривой.


Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции


[math]\eta=\frac{1}{2S}\int\limits_{a}^{b} y^2\,dx[/math] и формулы объема тела вращения [math]V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx[/math]

получаем [math]V=S\cdot2\pi\eta[/math], т. е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина–Паппа:


Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.


Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.




Пример 6. Пользуясь теоремой Гульдина–Паппа, Вычислить площадь поверхности и объем тора (рис. 62), образованного вращением круга радиуса [math]a[/math] вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстоянии [math]b\,(a<b)[/math].


Решение. Так как длина данной окружности равна [math]2\pi a[/math], а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна [math]2\pi b[/math], то поверхность тора по первой теореме Гульдина–Паппа равна:


[math]S=2\pi a\cdot 2\pi b=4\pi^2ab[/math]. Объем тора равен: [math]V=\pi a^2\cdot 2\pi b= 2\pi^2a^2b[/math].

Площадь поверхности и объем тора, образованного вращением круга вокруг оси



Пример 7. Длина одной арки циклоиды [math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases}[/math] равна [math]8a[/math], а площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси [math]Ox[/math], равна [math]\frac{64}{3}\,\pi a^2[/math]. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке (рис. 63).


Вращение арки циклоиды вокруг оси абсцисс

Решение. Пусть [math]\eta[/math] — расстояние центра тяжести дуги от оси [math]Ox[/math], тогда по первой теореме Гульдина–Паппа


[math]\frac{64}{3}\,\pi a^2=8a\cdot 2\pi\eta[/math], откуда [math]\eta=\frac{4}{3}\,a[/math].

Наибольшая ордината кривой соответствует [math]t=\pi[/math] и равна [math]2a[/math], причем касательная в этой точке параллельна оси [math]Ox[/math]; следовательно, расстояние [math]h[/math] центра тяжести от этой касательной равно


[math]2a-\frac{4}{3}\,a=\frac{2}{3}\,a\,.[/math]

Вращения квадрата со стороной a вокруг оси Ox

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке, равна


[math]S=8a\cdot 2\pi\cdot \frac{2}{3}\,a= \frac{32}{3}\,\pi a^2.[/math]



Пример 8. Найдем объем тела, полученного от вращения квадрата со стороной [math]a[/math] вокруг оси [math]Ox[/math], если он расположен так, как показано на рисунке 64.


Решение. Центр тяжести [math]C[/math] квадрата находится на пересечении его диагоналей. Обозначим через [math]b[/math] расстояние центра тяжести от оси [math]Ox[/math]. Тогда по второй теореме Гульдина–Паппа искомый объем


[math]V=a^2\cdot 2\pi b= 2\pi a^2b\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved