Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)

Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)


Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом [math]O[/math] и полярной осью [math]Ox[/math]. Через точку [math]O[/math] перпендикулярно основной плоскости проведем ось [math]Oz[/math] (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси [math]Oz[/math], происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).


В цилиндрической системе координат положение точки [math]M[/math], не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами [math]r,\varphi[/math] точки [math]M_0[/math] — ортогональной проекции точки [math]M[/math] на основную плоскость, и аппликатой [math]z[/math] — координатой точки [math]M_z[/math] — ортогональной проекции точки [math]M[/math] на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки [math]M[/math] — это упорядоченная тройка чисел [math]r,\varphi,z[/math]полярный радиус [math](r\geqslant0)[/math], полярный угол [math](-\pi<\varphi\leqslant\pi)[/math] и аппликата [math](-\infty<z<+\infty)[/math]. У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.


Цилиндрическая система координат и её связь с прямоугольными координатами



Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)


С цилиндрической системой координат [math]O r \varphi z[/math] можно связать прямоугольную систему координат [math]O\vec{i}\vec{j}\vec{k}[/math] (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы [math]\vec{i},\vec{k}[/math] совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор [math]\vec{j}[/math] выбирается так, чтобы тройка [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] была правой (при этом базис оказывается стандартным).


Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).


Поскольку аппликата [math]z[/math] точки [math]M[/math] в прямоугольной системе координат и аппликата [math]z[/math] в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты [math]x,y,z[/math] точки [math]M[/math] и ее цилиндрические координаты [math]r,\varphi,z[/math], имеют вид, следующий из


[math]\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}[/math]
(2.19)

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам


[math]\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2},\\\cos\varphi=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\\[8pt]\sin\varphi=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\\z=z.\end{cases}[/math]
(2.20)

Главное значение полярного угла [math]\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi)[/math] находится по формулам (см. рис.2.29).




Пример 2.12. В цилиндрической системе координат [math]Or\varphi z[/math]:


Построение поверхности кругового цилиндра в цилиндрической системе координат

а) построить координатные поверхности [math]r=R,~\varphi=0,~\varphi=\varphi_0,~z=0,~z=z_0[/math];

б) найти цилиндрические координаты точки [math]A[/math], если известны ее прямоугольные координаты [math]A(4,-3,2)[/math];

в) найти прямоугольные координаты точки [math]B[/math], если известны ее цилиндрические координаты: [math]r_{_B}=2,~\varphi_{_B}=\frac{2\pi}{3},~z_{_B}=1[/math].


Решение. а) Координатной поверхностью [math]r=R[/math], т.е. геометрическим местом точек [math]M(R,\varphi,z)[/math] при фиксированном значении полярного радиуса [math]r=R[/math], является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью [math]\varphi=\varphi_0[/math], т.е. геометрическим местом точек [math]M(r,\varphi_0,z)[/math] при фиксированном значении полярного угла [math]\varphi=\varphi_0[/math], является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости [math]\varphi=0[/math] и [math]\varphi=\varphi_0=\frac{2\pi}{3}[/math]). Координатной поверхностью [math]z=z_0[/math], т.е. геометрическим местом точек [math]M(r,\varphi,z_0)[/math] при фиксированном значении аппликаты [math]z=z_0[/math], является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости [math]z=0[/math] и [math]z=2[/math]).


б) Найдем цилиндрические координаты точки [math]A(4,-3,2)[/math]. Аппликата [math]z_{_A}[/math], полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):


[math]r_{_A}=\sqrt{x_{_A}^2+y_{_A}^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5; \quad \varphi_{A}=\operatorname{arctg}\frac{y_{A}}{x_{A}}= \operatorname{arctg}\frac{-3}{4}=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4}; \quad z_{_A}=2,[/math]

так как [math]-\pi<\varphi\leqslant\pi[/math] и ортогональная проекция точки [math]A[/math] на координатную плоскость [math]Oxy[/math] (основную плоскость) лежит в IV четверти.


в) Найдем прямоугольные координаты точки [math]B[/math]. По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):


[math]x_{_B}=r_{_B}\cos\varphi_{_B}=2\!\left(-\frac{1}{2}\right)=-1; \quad y_{_B}=r_{_B}\sin\varphi_{_B}=2\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3};\quad z_{_B}=1.[/math]

Также см. преобразования систем координат.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved