Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)

Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)


Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом O и полярной осью Ox. Через точку O перпендикулярно основной плоскости проведем ось Oz (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси Oz, происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).


В цилиндрической системе координат положение точки M, не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами r,\varphi точки M_0 — ортогональной проекции точки M на основную плоскость, и аппликатой z — координатой точки M_z — ортогональной проекции точки M на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки M — это упорядоченная тройка чисел r,\varphi,zполярный радиус (r\geqslant0), полярный угол (-\pi<\varphi\leqslant\pi) и аппликата (-\infty<z<+\infty). У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.


Цилиндрическая система координат и её связь с прямоугольными координатами



Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)


С цилиндрической системой координат O r \varphi z можно связать прямоугольную систему координат O\vec{i}\vec{j}\vec{k} (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы \vec{i},\vec{k} совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор \vec{j} выбирается так, чтобы тройка \vec{i},\vec{j},\vec{k} была правой (при этом базис оказывается стандартным).


Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).


Поскольку аппликата z точки M в прямоугольной системе координат и аппликата z в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x,y,z точки M и ее цилиндрические координаты r,\varphi,z, имеют вид, следующий из


\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}
(2.19)

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам


\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2},\\\cos\varphi=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\\[8pt]\sin\varphi=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\\z=z.\end{cases}
(2.20)

Главное значение полярного угла \varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) находится по формулам (см. рис.2.29).




Пример 2.12. В цилиндрической системе координат Or\varphi z:


Построение поверхности кругового цилиндра в цилиндрической системе координат

а) построить координатные поверхности r=R,~\varphi=0,~\varphi=\varphi_0,~z=0,~z=z_0;

б) найти цилиндрические координаты точки A, если известны ее прямоугольные координаты A(4,-3,2);

в) найти прямоугольные координаты точки B, если известны ее цилиндрические координаты: r_{_B}=2,~\varphi_{_B}=\frac{2\pi}{3},~z_{_B}=1.


Решение. а) Координатной поверхностью r=R, т.е. геометрическим местом точек M(R,\varphi,z) при фиксированном значении полярного радиуса r=R, является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью \varphi=\varphi_0, т.е. геометрическим местом точек M(r,\varphi_0,z) при фиксированном значении полярного угла \varphi=\varphi_0, является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости \varphi=0 и \varphi=\varphi_0=\frac{2\pi}{3}). Координатной поверхностью z=z_0, т.е. геометрическим местом точек M(r,\varphi,z_0) при фиксированном значении аппликаты z=z_0, является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости z=0 и z=2).


б) Найдем цилиндрические координаты точки A(4,-3,2). Аппликата z_{_A}, полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):


r_{_A}=\sqrt{x_{_A}^2+y_{_A}^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5; \quad \varphi_{A}=\operatorname{arctg}\frac{y_{A}}{x_{A}}= \operatorname{arctg}\frac{-3}{4}=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4}; \quad z_{_A}=2,

так как -\pi<\varphi\leqslant\pi и ортогональная проекция точки A на координатную плоскость Oxy (основную плоскость) лежит в IV четверти.


в) Найдем прямоугольные координаты точки B. По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):


x_{_B}=r_{_B}\cos\varphi_{_B}=2\!\left(-\frac{1}{2}\right)=-1; \quad y_{_B}=r_{_B}\sin\varphi_{_B}=2\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3};\quad z_{_B}=1.

Также см. преобразования систем координат.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved