Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)
Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси , происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).
В цилиндрической системе координат положение точки , не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и аппликатой — координатой точки — ортогональной проекции точки на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел — полярный радиус , полярный угол и аппликата . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.
Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)
С цилиндрической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).
Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).
Поскольку аппликата точки в прямоугольной системе координат и аппликата в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и ее цилиндрические координаты , имеют вид, следующий из
(2.19)
Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам
(2.20)
Главное значение полярного угла находится по формулам (см. рис.2.29).
Пример 2.12. В цилиндрической системе координат :
а) построить координатные поверхности ; б) найти цилиндрические координаты точки , если известны ее прямоугольные координаты ; в) найти прямоугольные координаты точки , если известны ее цилиндрические координаты: .
Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного радиуса , является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного угла , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости и ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении аппликаты , является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости и ).
б) Найдем цилиндрические координаты точки . Аппликата , полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):
так как и ортогональная проекция точки на координатную плоскость (основную плоскость) лежит в IV четверти.
в) Найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):
Также см. преобразования систем координат.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|