Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Транспонирование и сопряжение матриц

Транспонирование и сопряжение матриц


Транспонирование матриц


Для любой матрицы


A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix} транспонированной матрицей называется матрица A^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\!,

получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, а столбцов — строками. Чтобы по данной матрице A получить матрицу A^T, нужно первую строку матрицы A записать как первый столбец матрицы A^T, вторую строку матрица A записать как второй столбец матрицы A^T и т.д. Эта операция называется транспонированием матрицы A.


Квадратная матрица A называется симметрической, если


A^T=A и кососимметрической, если A^T=-A.

У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. У кососимметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, имеют противоположные знаки, а все диагональные элементы равны нулю.




Свойства операции транспонирования матриц


Пусть \lambda — любое число, A,\,B — произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:


\begin{aligned}&\text{1.}\quad (\lambda A)^T=\lambda\cdot A^T; \\ &\text{2.}\quad (A+B)^T=A^T+B^T; \\ &\text{3.}\quad (A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T ;\\ &\text{4.}\quad (A^T)^T=A. \end{aligned}




Пример 1.18. Найти транспонированные матрицы A^T,\,B^T,\,C^T, если


A=\underbrace{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}}_{(2\times3)},\quad B=\begin{pmatrix}0&4&-5\\-4&0&6\\5&-6&0\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&4&5\\4&2&6\\5&6&3\end{pmatrix}\!.

Решение. Согласно определению, при транспонировании первая строка матрицы A является первым столбцом матрицы A^T, вторая строка — вторым столбцом:


A^T=\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{pmatrix}}_{(3\times2)}. Аналогично находим B^T=\begin{pmatrix}0&-4&5\\4&0&-6\\-5&6&0\end{pmatrix}\!,\quad C^T=\begin{pmatrix}1&4&5\\4&2&6\\5&6&3\end{pmatrix}\!.

Так как B^T=-B, то матрица B — кососимметрическая. Поскольку C^T=C, то матрица C — симметрическая.




Пример 1.19. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если \lambda=2,~ A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}\!,~ B=\begin{pmatrix} 5&6\\7&8\end{pmatrix}\!.


Решение. Продемонстрируем свойство 1: (\lambda A)^T=\lambda\cdot A^T. Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы


(2\cdot A)^T= {\begin{pmatrix}2\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\end{pmatrix}\!}^T= {\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\!}^T= \begin{pmatrix}2&6\\4&8\end{pmatrix}\!,\quad 2\cdot A^T=2\cdot{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!}^T= 2\cdot\!\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&6\\4&8\end{pmatrix}\!.

Продемонстрируем свойство 2: (A+B)^T=A^T+B^T. Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы


\begin{gathered}(A+B)^T= {\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\right]\!}^T= {\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\!}^T= \begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}\!,\\[3pt] A^T+B^T= {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!}^T+{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!}^T= \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Продемонстрируем свойство 3: (A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T. Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы:


\begin{gathered}(A\cdot B)^T= {\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\right]\!}^T= \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}\!,\\[3pt] B^T\cdot A^T= \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}^T\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Продемонстрируем свойство 4: (A^T)^T=A. Вычисляя левую часть, получаем правую:


(A^T)^T= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}^T\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}= A.



Пример 1.20. Пусть A — произвольная матрица размеров m\times n, B — любая квадратная n-го порядка. Доказать, что матрицы AA^T,~A^TA,~B+B^T — симметрические, а матрица B-B^T — кососимметрическая.


Решение. По свойствам 3,4 получаем:


\begin{aligned}(A\cdot A^T)^T&= (A^T)^T\cdot A^T= A\cdot A^T;\\[5pt] (A^T\cdot A)^T&= A^T\cdot (A^T)^T= A^T\cdot A.\end{aligned}

По свойствам 2,4 имеем:
\begin{aligned}(B+B^T)^T&= B^T+(B^T)^T= B^T+B=B+B^T;\\[5pt] (B-B^T)^T&= B^T-(B^T)^T= B^T-B=-(B-B^T)^T.\end{aligned}



Сопряжение матриц


Пусть A — матрица размеров m\times n, элементы которой являются комплексными числами a_{k\ell}=\alpha_{k\ell}+\beta_{k\ell}i (комплексная матрица). Сопряженной матрицей A^{\ast} называется матрица размеров n\times m, получаемая из матрицы A в результате транспонирования и замены каждого элемента транспонированной матрицы A^T комплексным сопряженным.


Квадратная матрица A называется эрмитовой, если {A}^{\ast}=A.


Пример 1.21. Даны матрицы A,\,B и C. Найти сопряженные матрицы {A}^{\ast},\,{B}^{\ast},\,{C}^{\ast}.


A=\begin{pmatrix} 1&i&1+i\\2i&2-3i&0 \end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix} 2i&1+i\\ 1-i&2+3i\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix} 1&3-2i\\ 3+2i&2\end{pmatrix}\!.

Решение. Найдем транспонированные матрицы:


A^T=\begin{pmatrix}1&2i\\i&2-3i\\1+i&0\end{pmatrix}\!,\quad B^T=\begin{pmatrix}2i&1-i\\1+i&2+3i\end{pmatrix}\!,\quad C^T=\begin{pmatrix}1&3+2i\\3-2i&2\end{pmatrix}\!.

Заменим все элементы сопряженными:


A^{\ast}=\begin{pmatrix}1&-2i\\-i&2+3i\\1-i&0\end{pmatrix}\!,\quad B^{\ast}=\begin{pmatrix}-2i&1+i\\1-i&2-3i\end{pmatrix}\!,\quad C^{\ast}=\begin{pmatrix}1&3-2i\\3+2i&2\end{pmatrix}\!.

Заметим, что матрица C — эрмитова, так как C^{\ast}=C.




Свойства операции сопряжения матриц


1. (\lambda\cdot A)^{\ast}=\overline{\lambda}\cdot A^{\ast};


2. (A+B)^{\ast}= A^{\ast}+B^{\ast};


3. (A\cdot B)^{\ast}= B^{\ast}\cdot A^{\ast};


4. (A^{\ast})^{\ast}= A,


где A,\,B — произвольные матрицы, для которых определены соответствующие операции, \lambda=\alpha+\beta i — любое комплексное число, \overline{\lambda}=\alpha-\beta i — сопряженное к \lambda число.


Пример 1.22. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если


\lambda=1+i,\quad A=\begin{pmatrix} -i&1+i\\1-2i&1\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}2i&1+i\\1-i&2+3i\end{pmatrix}\!.

Решение. 1. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 1:


\begin{aligned} (\lambda\cdot A)^{\ast}&= {\left[(1+i)\! \begin{pmatrix}-i&1+i\\1-2i&1\end{pmatrix}\right]\!}^{\ast}= \begin{pmatrix}-(1+i)i&(1+i)^2\\(1+i)(1-2i)&1+i\end{pmatrix}^{\ast}=\\ &=\begin{pmatrix}-i-i^2&1+2i+i^2\\1-i-2i^2&1+i\end{pmatrix}^{\ast}= \begin{pmatrix}1-i&2i\\3-i&1+i\end{pmatrix}^{\ast}= \begin{pmatrix}1+i&3+i\\-2i&1-i\end{pmatrix}\!,\\[5pt] \overline{\lambda}\cdot A^{\ast}&= \overline{(1+i)}\! \begin{pmatrix}-i&1+i\\1-2i&1\end{pmatrix}^{\ast}= (1-i)\! \begin{pmatrix}i&1+2i\\1-i&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(1-i)i& (1-i)(1+2i)\\ (1-i)^2&1-i\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}i-i^2&1+i-2i^2\\1-2i+i^2&1-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+i&3+i\\-2i&1-i\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

2. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 2:


\begin{aligned}(A+B)^{\ast}&= {\left[\begin{pmatrix}-i&1+i\\1-2i&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2i&1+i\\1-i&2+3i\\\end{pmatrix}\right]\!}^{\ast}= \begin{pmatrix}i&2+2i\\2-3i&3+3i\end{pmatrix}^{\ast}=\begin{pmatrix}-i&2+3i\\2-2i&3-3i\end{pmatrix}\!,\\[5pt] A^{\ast}+B^{\ast}&= \begin{pmatrix}i&1+2i\\1-i&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-2i&1+i\\1-i&2-3i\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-i&2+3i\\2-2i&3-3i\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

3. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства


\begin{aligned}(A\cdot B)^{\ast}&= {\left[\begin{pmatrix}-i&1+i\\ 1-2i&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}2i&1+i\\1-i&2+3i\end{pmatrix}\right]\!}^{\ast}= \begin{pmatrix}-i\cdot2i+(1+i)(1-i)&-i(1+i)+(1+i)(2+3i)\\(1-2i)\cdot2i+1\cdot(1-i)&(1-2i)(1+i)+1\cdot(2+3i)\end{pmatrix}^{\ast}=\\ &=\begin{pmatrix}4&4i\\5+i&5+2i\end{pmatrix}^{\ast}= \begin{pmatrix}4&5-i\\-4i&5-2i\end{pmatrix}\!,\\[5pt] B^{\ast}\cdot A^{\ast}&= \begin{pmatrix}-2i&1+i\\1-i&2-3i\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}i&1+2i\\1-i&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2i\cdot i+(1+i)(1-i)&-2i\cdot(1+2i)+(1+i)\cdot1\\ (1-i) i+(2-3i)(1-i)&(1-i)(1+2i)+(2-3i)\cdot1\end{pmatrix}=\\ &=\begin{pmatrix}4&5-i\\-4i&5-2i\end{pmatrix}\!. \end{aligned}

4. Вычисляем левую часть равенства 4 и сравниваем ее с правой частью:


(A^{\ast})^{\ast}= {\left[\begin{pmatrix}-i&1+i\\1-2i&1\end{pmatrix}^{\ast}\right]\!}^{\ast}= \begin{pmatrix}i&1+2i\\1-i&1\end{pmatrix}^{\ast}= \begin{pmatrix} -i&1+i\\1-2i&1\end{pmatrix}=A.



Замечания 1.4.


1. Если все элементы матрицы A действительные числа (действительная матрица), то сопряженная матрица совпадает с транспонированной, т.е. A^{\ast}=A^T.


2. Всякую комплексную матрицу C (с элементами c_{k\ell}=a_{k\ell}+b_{k\ell}i) можно представить в виде C=A+Bi, где A=\operatorname{Re}C и B=\operatorname{Im}Cдействительная и мнимая части матрицы C (с элементами a_{k\ell}=\operatorname{Re}c_{k\ell} и b_{k\ell}= \operatorname{Im}c_{k\ell} соответственно). При этом сопряженную матрицу можно представить в виде C^{\ast}=A^T-B^Ti.


3. Всякую эрмитову матрицу C можно представить в виде C=A+Bi, где A=\operatorname{Re}C — действительная симметрическая матрица (A^T=A), а B=\operatorname{Im}C — действительная кососимметрическая матрица (B^T=-B). В самом деле, из равенства {C}^{\ast}=C, учитывая пункт 2, следует, что A^T-B^Ti=A+Bi. Равенство действительных частей дает A^T=A, а равенство мнимых частей влечет B^T=-B.




Пример 1.23. Пусть A — комплексная матрица размеров m\times n. Доказать, что матрицы AA^{\ast},\,A^{\ast}A — эрмитовы m-го и n-го порядков соответственно.


Решение. Используя свойства 3, 4, получаем:


(A\cdot A^{\ast})^{\ast}=(A^{\ast})^{\ast}\cdot A^{\ast}= A\cdot A^{\ast};\qquad (A^{\ast}\cdot A)^{\ast}=A^{\ast}\cdot (A^{\ast})^{\ast}=A^{\ast}\cdot A,

что и требовалось доказать.


Замечания 1.5


1. Эрмитова матрица с действительными элементами является симметрической.

2. Элементы эрмитовой матрицы, стоящие на главной диагонали, действительны (например, матрица C в примере 1.21).




След матрицы


Следом квадратной матрицы называется сумма ее элементов, стоящих на главной диагонали. След квадратной матрицы A n-го порядка обозначается


\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.

Для любых квадратных матриц A,\,B,\,C n-го порядка и столбцов x,\,y размеров n\times1 справедливы следующие свойства:


1. \operatorname{tr}(A+B)= \operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B;


2. \operatorname{tr}A=\operatorname{tr}A^T;


3. \operatorname{tr}(A^T B)= \operatorname{tr}(B^T A)= \operatorname{tr}(AB^T)= \operatorname{tr}(BA^T);


4. \operatorname{tr}(x\cdot y^T)=x^T\cdot y;


5. \operatorname{tr}(A\cdot x\cdot x^T)= x^T\cdot A\cdot x;


6. \operatorname{tr}(ABC)= \operatorname{tr}(BCA)= \operatorname{tr}(CAB);


7. \textstyle{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}=\operatorname{tr}(AB^T)}.


Замечание 1.6. След матрицы также обозначается \operatorname{sp}A.




Пример 1.24. Даны квадратные матрицы A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} и столбцы x=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\!,~ y=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, 5, 7.


Решение.


1. \operatorname{tr}A= 1+4=5,~~ \operatorname{tr}B=5+8=13,~~ \operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B=18,~~ \operatorname{tr}(A+B)= \operatorname{tr}\!\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}=18;


2. \operatorname{tr}A=5,~~ \operatorname{tr}A^T=\operatorname{tr}\! \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=5;;


\begin{aligned}\text{3.}~~\operatorname{tr}(A^T B)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\!\begin{pmatrix}26&30\\38&44\end{pmatrix}=26+44=70,\\[2pt] \operatorname{tr}(B^TA)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\begin{pmatrix}26&38\\30&44\end{pmatrix}=26+44=70,\\[2pt] \operatorname{tr}(AB^T)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\begin{pmatrix}17&23\\39&53\end{pmatrix}=17+53=70,\\[2pt] \operatorname{tr}(BA^T)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\begin{pmatrix}17&39\\23&53\end{pmatrix}=17+53=70.\end{aligned}


4. \operatorname{tr}(xy^T)= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\! \begin{pmatrix}3&4\\6&8\end{pmatrix}=3+8=11.\,\quad x^Ty=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=1\cdot3+2\cdot4=11;


5. \operatorname{tr}(Axx^T)= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\! \begin{pmatrix}5&10\\11&22\end{pmatrix}=27;


6. x^Tax= \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix}=27.


7. \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}a_{ij}b_{ij}= 1\cdot5+2\cdot6+3\cdot7+4\cdot8=70= \operatorname{tr}(AB^T).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved