Транспонирование и сопряжение матриц
Транспонирование матриц
Для любой матрицы
транспонированной матрицей называется матрица 
получающаяся из матрицы заменой строк столбцами, а столбцов — строками. Чтобы по данной матрице получить матрицу , нужно первую строку матрицы записать как первый столбец матрицы , вторую строку матрица записать как второй столбец матрицы и т.д. Эта операция называется транспонированием матрицы .
Квадратная матрица называется симметрической, если
 и кососимметрической, если  .
У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. У кососимметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, имеют противоположные знаки, а все диагональные элементы равны нулю.
Свойства операции транспонирования матриц
Пусть — любое число, — произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:

Пример 1.18. Найти транспонированные матрицы , если
Решение. Согласно определению, при транспонировании первая строка матрицы является первым столбцом матрицы , вторая строка — вторым столбцом:
 Аналогично находим 
Так как , то матрица — кососимметрическая. Поскольку , то матрица — симметрическая.
Пример 1.19. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если 
Решение. Продемонстрируем свойство 1: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы
Продемонстрируем свойство 2: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы
Продемонстрируем свойство 3: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы:
Продемонстрируем свойство 4: . Вычисляя левую часть, получаем правую:
Пример 1.20. Пусть — произвольная матрица размеров , — любая квадратная n-го порядка. Доказать, что матрицы — симметрические, а матрица — кососимметрическая.
Решение. По свойствам 3,4 получаем:
По свойствам 2,4 имеем:
Сопряжение матриц
Пусть — матрица размеров , элементы которой являются комплексными числами (комплексная матрица). Сопряженной матрицей называется матрица размеров , получаемая из матрицы в результате транспонирования и замены каждого элемента транспонированной матрицы комплексным сопряженным.
Квадратная матрица называется эрмитовой, если .
Пример 1.21. Даны матрицы и . Найти сопряженные матрицы .
Решение. Найдем транспонированные матрицы:
Заменим все элементы сопряженными:
Заметим, что матрица — эрмитова, так как .
Свойства операции сопряжения матриц
1. ;
2. ;
3. ;
4. ,
где — произвольные матрицы, для которых определены соответствующие операции, — любое комплексное число, — сопряженное к число.
Пример 1.22. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если
Решение. 1. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 1:
2. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 2:
3. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства
4. Вычисляем левую часть равенства 4 и сравниваем ее с правой частью:
Замечания 1.4.
1. Если все элементы матрицы действительные числа (действительная матрица), то сопряженная матрица совпадает с транспонированной, т.е. .
2. Всякую комплексную матрицу (с элементами ) можно представить в виде , где и — действительная и мнимая части матрицы (с элементами и соответственно). При этом сопряженную матрицу можно представить в виде .
3. Всякую эрмитову матрицу можно представить в виде , где — действительная симметрическая матрица , а — действительная кососимметрическая матрица . В самом деле, из равенства , учитывая пункт 2, следует, что . Равенство действительных частей дает , а равенство мнимых частей влечет .
Пример 1.23. Пусть — комплексная матрица размеров . Доказать, что матрицы — эрмитовы m-го и n-го порядков соответственно.
Решение. Используя свойства 3, 4, получаем:
что и требовалось доказать.
Замечания 1.5
1. Эрмитова матрица с действительными элементами является симметрической. 2. Элементы эрмитовой матрицы, стоящие на главной диагонали, действительны (например, матрица в примере 1.21).
След матрицы
Следом квадратной матрицы называется сумма ее элементов, стоящих на главной диагонали. След квадратной матрицы n-го порядка обозначается
Для любых квадратных матриц n-го порядка и столбцов размеров справедливы следующие свойства:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
Замечание 1.6. След матрицы также обозначается .
Пример 1.24. Даны квадратные матрицы и столбцы . Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, 5, 7.
Решение.
1. ;
2. ;
![\begin{aligned}\text{3.}~~\operatorname{tr}(A^T B)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\!\begin{pmatrix}26&30\\38&44\end{pmatrix}=26+44=70,\\[2pt] \operatorname{tr}(B^TA)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\begin{pmatrix}26&38\\30&44\end{pmatrix}=26+44=70,\\[2pt] \operatorname{tr}(AB^T)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\begin{pmatrix}17&23\\39&53\end{pmatrix}=17+53=70,\\[2pt] \operatorname{tr}(BA^T)&= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\begin{pmatrix}17&39\\23&53\end{pmatrix}=17+53=70.\end{aligned}](data:image/png;base64,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)
4. ![\operatorname{tr}(xy^T)= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\! \begin{pmatrix}3&4\\6&8\end{pmatrix}=3+8=11.\,\quad x^Ty=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=1\cdot3+2\cdot4=11;](data:image/png;base64,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)
5. ![\operatorname{tr}(Axx^T)= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\!\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\right]= \operatorname{tr}\! \begin{pmatrix}5&10\\11&22\end{pmatrix}=27;](data:image/png;base64,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)
6. 
7. 
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|