Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Точечные множества
ОглавлениеТеория множеств

Точечные множества


Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.


Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.


Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.


Введем обозначения для простейших множеств на прямой.


Отрезок [math][a,b][/math] — это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам [math]a\leqslant x\leqslant b[/math].


Интервал [math](a,b)[/math] — это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям [math]a<x<b[/math].


Полуинтервалы [math][a,b)[/math] и [math](a,b][/math] определяются соответственно условиями: [math]a\leqslant x<b[/math] и [math]a<x\leqslant b[/math].


Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, [math](-\infty,+\infty)[/math] обозначает всю прямую, а, например, [math](-\infty,b][/math] — множество всех точек, для которых [math]x\leqslant b[/math].


Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.




Ограниченные и неограниченные множества


Множество [math]E[/math] точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество [math]E[/math] называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка [math][0,1][/math], а примером неограниченного множества—множество всех точек с целыми координатами.


Нетрудно видеть, что если [math]a[/math] — фиксированная точка на прямой, то множество [math]E[/math] будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки [math]a[/math] до любой точки [math]x\in E[/math] не превосходят некоторого положительного числа.




Множества, ограниченные сверху и снизу


Пусть [math]E[/math] — множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка [math]A[/math], что любая точка [math]x\in E[/math] расположена левее точки [math]A[/math], то говорят, что множество [math]E[/math] ограничено сверху. Аналогично, если на прямой существует такая точка [math]a[/math], что любая точка [math]x\in E[/math] расположена правее точки [math]a[/math], то множество [math]E[/math] называется ограниченным снизу. Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.


Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество [math]E[/math] точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.


Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке [math][a,b][/math].




Верхняя и нижняя грань множества


Пусть множество [math]E[/math] ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки [math]A[/math], правее которых нет ни одной точки множества [math]E[/math]. Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек [math]A[/math], обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества [math]E[/math]. Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.


Если во множестве [math]E[/math] есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества [math]E[/math]. Однако может случиться, что во множестве [math]E[/math] нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами


[math]\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots[/math]

ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань [math]a[/math] не принадлежит множеству [math]E[/math], но сколь угодно близко к [math]a[/math] имеются точки множества [math]a[/math]. В приведенном выше примере [math]a=1[/math].



Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой


Пусть [math]E[/math] — точечное множество и [math]x[/math] — какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества [math]E[/math] вблизи точки [math]x[/math]. Возможны следующие случаи:


1. Ни точка [math]x[/math], ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству [math]E[/math].

2. Точка [math]x[/math] не принадлежит [math]E[/math], но сколь угодно близко к ней имеются точки множества [math]E[/math].

3. Точка [math]x[/math] принадлежит [math]E[/math], но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат [math]E[/math].

4. Точка [math]x[/math] принадлежит [math]E[/math], и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества [math]E[/math].


В случае 1 точка [math]x[/math] называется внешней к множеству [math]E[/math], в случае 3 — изолированной точкой множества [math]E[/math], а в случаях 2 и 4 —предельной точкой множества [math]E[/math].


Таким образом, если [math]x\notin E[/math], то точка [math]x[/math] может быть либо внешней к [math]E[/math], либо предельной для него, а если [math]x\in E[/math], то она может быть либо изолированной точкой множества [math]E[/math], либо его предельной точкой.


Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству [math]E[/math] и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества [math]E[/math]. Иными словами, точка [math]x[/math] является предельной точкой множества [math]E[/math], если любой интервал [math]\delta[/math], содержащий точку [math]x[/math], содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.


Если точка [math]x[/math] и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству [math]E[/math], то такая точка [math]x[/math] называется внутренней точкой множества [math]E[/math]. Всякая точка [math]x[/math], которая не является для [math]E[/math] ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества [math]E[/math].


Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.




Пример 1. Пусть множество [math]E_1[/math] состоит из точек с координатами


[math]1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\ldots[/math]

Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка [math]E_1[/math] (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой — внешние к [math]E_1[/math].

Пример 2. Пусть множество [math]E_1[/math] состоит из всех рациональных точек отрезка [math][0,1][/math]. Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка [math][0,1][/math] является предельной точкой [math]E_2[/math], а все остальные точки на прямой — внешние к [math]E_2[/math]. Ясно, что среди предельных точек множества [math]E_2[/math] имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.


Пример 3. Пусть множество [math]E_3[/math] состоит из всех точек отрезка [math][0,1][/math]. Как и в предыдущем примере, множество [math]E_3[/math] не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка [math][0,1][/math] является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки [math]E_3[/math] принадлежат этому множеству.


Пример 4. Пусть множество [math]E_4[/math] состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка [math]E_4[/math] является его изолированной точкой; множество [math]E_4[/math] не имеет предельных точек.


Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала [math](0,1)[/math] является внутренней точкой [math]E_3[/math], а в примере 2 всякая точка отрезка [math][0,1][/math] — граничная точка [math]E_2[/math].


Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки [math](E_1,E_4)[/math], а может их не иметь [math](E_2,E_3)[/math]; точно так же оно может иметь внутренние точки [math](E_3)[/math] и может их не иметь [math](E_1,E_2,E_4)[/math]. Что же касается предельных точек, то лишь множество [math]E_4[/math] примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество [math]E_4[/math] неограничено.




Теорема Больцано-Вейерштрасса


Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.


Докажем эту теорему. Пусть [math]E[/math] — ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество [math]E[/math] ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке [math][a,b][/math]. Разделим этот отрезок пополам. Так как множество [math]E[/math] бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Обозначим этот отрезок через с1 (если в обеих половинах отрезка [math][a,b][/math] лежит бесконечно много точек множества [math]E[/math], то через [math]\sigma_1[/math] можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок [math]\sigma_1[/math] на два равных отрезка. Так как часть множества [math]E[/math], расположенная на отрезке [math]\sigma_1[/math] бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Обозначим этот отрезок через [math]\sigma_2[/math]. Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Мы получим последовательность отрезков [math]\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n,\ldots[/math]. Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок [math]\sigma_{n+1}[/math] содержится в предыдущем [math]\sigma_n[/math]; каждый отрезок [math]\sigma_n[/math] содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]; длины отрезков [math]\sigma_n[/math] стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из её построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить, что если длина отрезка [math][a,b][/math] равна [math]l[/math], то длина отрезка [math]\sigma_n[/math] равна [math]\frac{l}{2^n}[/math]. В силу принципа Кантора существует единственная точка [math]x[/math], принадлежащая всем отрезкам [math]\sigma_n[/math]. Покажем, что эта точка [math]x[/math] является предельной точкой множества [math]E[/math]. Для этого достаточно установить, что если [math]\delta[/math] есть некоторый интервал, содержащий точку [math]x[/math], то он содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Так как каждый отрезок [math]\sigma_n[/math] содержит точку [math]x[/math] и длины отрезков [math]\sigma_1[/math] стремятся к нулю, то при достаточно большом [math]n[/math] отрезок [math]\sigma_1[/math] будет целиком содержаться в интервале [math]\delta[/math]. Но по условию [math]\sigma_n[/math] содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Поэтому и [math]\delta[/math] содержит бесконечно много точек множества [math]E[/math]. Итак, точка [math]x[/math] действительно является предельной точкой множества [math]E[/math], и теорема Больцано-Вейерштрасса доказана.


Упражнение. Покажите, что если множество [math]E[/math] ограничено сверху и не имеет самой правой точки, то его верхняя грань является предельной точкой [math]E[/math] (и не принадлежит [math]E[/math]).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved