Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Точечные множества

Точечные множества


Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.


Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.


Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.


Введем обозначения для простейших множеств на прямой.


Отрезок [a,b] — это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам a\leqslant x\leqslant b.


Интервал (a,b) — это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям a<x<b.


Полуинтервалы [a,b) и (a,b] определяются соответственно условиями: a\leqslant x<b и a<x\leqslant b.


Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, (-\infty,+\infty) обозначает всю прямую, а, например, (-\infty,b] — множество всех точек, для которых x\leqslant b.


Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.




Ограниченные и неограниченные множества


Множество E точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество E называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка [0,1], а примером неограниченного множества—множество всех точек с целыми координатами.


Нетрудно видеть, что если a — фиксированная точка на прямой, то множество E будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки a до любой точки x\in E не превосходят некоторого положительного числа.




Множества, ограниченные сверху и снизу


Пусть E — множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка A, что любая точка x\in E расположена левее точки A, то говорят, что множество E ограничено сверху. Аналогично, если на прямой существует такая точка a, что любая точка x\in E расположена правее точки a, то множество E называется ограниченным снизу. Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.


Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество E точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.


Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке [a,b].




Верхняя и нижняя грань множества


Пусть множество E ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки A, правее которых нет ни одной точки множества E. Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек A, обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества E. Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.


Если во множестве E есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества E. Однако может случиться, что во множестве E нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами


\frac{0}{1},\quad \frac{1}{2},\quad \frac{2}{3},\quad \frac{3}{4},\quad \frac{4}{5},\quad \ldots

ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань a не принадлежит множеству E, но сколь угодно близко к a имеются точки множества a. В приведенном выше примере a=1.




Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой


Пусть E — точечное множество и x — какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества E вблизи точки x. Возможны следующие случаи:


1. Ни точка x, ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству E.

2. Точка x не принадлежит E, но сколь угодно близко к ней имеются точки множества E.

3. Точка x принадлежит E, но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат E.

4. Точка x принадлежит E, и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества E.


В случае 1 точка x называется внешней к множеству E, в случае 3 — изолированной точкой множества E, а в случаях 2 и 4 —предельной точкой множества E.


Таким образом, если x\notin E, то точка x может быть либо внешней к E, либо предельной для него, а если x\in E, то она может быть либо изолированной точкой множества E, либо его предельной точкой.


Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству E и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества E. Иными словами, точка x является предельной точкой множества E, если любой интервал \delta, содержащий точку x, содержит бесконечно много точек множества E. Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.


Если точка x и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству E, то такая точка x называется внутренней точкой множества E. Всякая точка x, которая не является для E ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества E.


Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.




Пример 1. Пусть множество E_1 состоит из точек с координатами


1,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{3},\quad \ldots,\quad \frac{1}{n},\ldots

Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка E_1 (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой — внешние к E_1.


Пример 2. Пусть множество E_1 состоит из всех рациональных точек отрезка [0,1]. Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка [0,1] является предельной точкой E_2, а все остальные точки на прямой — внешние к E_2. Ясно, что среди предельных точек множества E_2 имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.


Пример 3. Пусть множество E_3 состоит из всех точек отрезка [0,1]. Как и в предыдущем примере, множество E_3 не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка [0,1] является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки E_3 принадлежат этому множеству.


Пример 4. Пусть множество E_4 состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка E_4 является его изолированной точкой; множество E_4 не имеет предельных точек.


Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала (0,1) является внутренней точкой E_3, а в примере 2 всякая точка отрезка [0,1] — граничная точка E_2.


Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки (E_1,E_4), а может их не иметь (E_2,E_3); точно так же оно может иметь внутренние точки (E_3) и может их не иметь (E_1,E_2,E_4). Что же касается предельных точек, то лишь множество E_4 примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество E_4 неограничено.




Теорема Больцано-Вейерштрасса


Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.


Докажем эту теорему. Пусть E — ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество E ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке [a,b]. Разделим этот отрезок пополам. Так как множество E бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества E. Обозначим этот отрезок через \sigma_1 (если в обеих половинах отрезка [a,b] лежит бесконечно много точек множества E, то через \sigma_1 можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок \sigma_1 на два равных отрезка. Так как часть множества E, расположенная на отрезке \sigma_1 бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много точек множества E. Обозначим этот отрезок через \sigma_2. Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит бесконечно много точек множества E. Мы получим последовательность отрезков \sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n,\ldots. Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок \sigma_{n+1} содержится в предыдущем \sigma_n; каждый отрезок \sigma_n содержит бесконечно много точек множества E; длины отрезков \sigma_n стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из её построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить, что если длина отрезка [a,b] равна l, то длина отрезка \sigma_n равна l/ 2^n. В силу принципа Кантора существует единственная точка x, принадлежащая всем отрезкам \sigma_n. Покажем, что эта точка x является предельной точкой множества E. Для этого достаточно установить, что если \delta есть некоторый интервал, содержащий точку x, то он содержит бесконечно много точек множества E. Так как каждый отрезок \sigma_n содержит точку x и длины отрезков \sigma_1 стремятся к нулю, то при достаточно большом n отрезок \sigma_1 будет целиком содержаться в интервале \delta. Но по условию \sigma_n содержит бесконечно много точек множества E. Поэтому и \delta содержит бесконечно много точек множества E. Итак, точка x действительно является предельной точкой множества E, и теорема Больцано-Вейерштрасса доказана.


Упражнение. Покажите, что если множество E ограничено сверху и не имеет самой правой точки, то его верхняя грань является предельной точкой E (и не принадлежит E).

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved