Точечные множества
Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.
Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.
Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.
Введем обозначения для простейших множеств на прямой.
Отрезок — это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам .
Интервал — это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям .
Полуинтервалы и определяются соответственно условиями: и .
Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, обозначает всю прямую, а, например, — множество всех точек, для которых .
Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.
Ограниченные и неограниченные множества
Множество точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка , а примером неограниченного множества—множество всех точек с целыми координатами.
Нетрудно видеть, что если — фиксированная точка на прямой, то множество будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.
Множества, ограниченные сверху и снизу
Пусть — множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка , что любая точка расположена левее точки , то говорят, что множество ограничено сверху. Аналогично, если на прямой существует такая точка , что любая точка расположена правее точки , то множество называется ограниченным снизу. Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.
Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.
Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке .
Верхняя и нижняя грань множества
Пусть множество ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки , правее которых нет ни одной точки множества . Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек , обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества . Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.
Если во множестве есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества . Однако может случиться, что во множестве нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами
ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань не принадлежит множеству , но сколь угодно близко к имеются точки множества . В приведенном выше примере .
Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой
Пусть — точечное множество и — какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества вблизи точки . Возможны следующие случаи:
1. Ни точка , ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству . 2. Точка не принадлежит , но сколь угодно близко к ней имеются точки множества . 3. Точка принадлежит , но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат . 4. Точка принадлежит , и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества .
В случае 1 точка называется внешней к множеству , в случае 3 — изолированной точкой множества , а в случаях 2 и 4 —предельной точкой множества .
Таким образом, если , то точка может быть либо внешней к , либо предельной для него, а если , то она может быть либо изолированной точкой множества , либо его предельной точкой.
Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества . Иными словами, точка является предельной точкой множества , если любой интервал , содержащий точку , содержит бесконечно много точек множества . Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.
Если точка и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству , то такая точка называется внутренней точкой множества . Всякая точка , которая не является для ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества .
Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.
Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами
Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой — внешние к .
Пример 2. Пусть множество состоит из всех рациональных точек отрезка . Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка является предельной точкой , а все остальные точки на прямой — внешние к . Ясно, что среди предельных точек множества имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.
Пример 3. Пусть множество состоит из всех точек отрезка . Как и в предыдущем примере, множество не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки принадлежат этому множеству.
Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.
Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала является внутренней точкой , а в примере 2 всякая точка отрезка — граничная точка .
Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки , а может их не иметь ; точно так же оно может иметь внутренние точки и может их не иметь . Что же касается предельных точек, то лишь множество примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество неограничено.
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.
Докажем эту теорему. Пусть — ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке . Разделим этот отрезок пополам. Так как множество бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества . Обозначим этот отрезок через (если в обеих половинах отрезка лежит бесконечно много точек множества , то через можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок на два равных отрезка. Так как часть множества , расположенная на отрезке бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много точек множества . Обозначим этот отрезок через . Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит бесконечно много точек множества . Мы получим последовательность отрезков . Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок содержится в предыдущем ; каждый отрезок содержит бесконечно много точек множества ; длины отрезков стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из её построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить, что если длина отрезка равна , то длина отрезка равна . В силу принципа Кантора существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам . Покажем, что эта точка является предельной точкой множества . Для этого достаточно установить, что если есть некоторый интервал, содержащий точку , то он содержит бесконечно много точек множества . Так как каждый отрезок содержит точку и длины отрезков стремятся к нулю, то при достаточно большом отрезок будет целиком содержаться в интервале . Но по условию содержит бесконечно много точек множества . Поэтому и содержит бесконечно много точек множества . Итак, точка действительно является предельной точкой множества , и теорема Больцано-Вейерштрасса доказана.
Упражнение. Покажите, что если множество ограничено сверху и не имеет самой правой точки, то его верхняя грань является предельной точкой (и не принадлежит ).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|