Типовые задачи с прямыми в пространстве
Составление уравнений прямых
Разнообразие видов уравнений прямых в пространстве порождается многообразием геометрических способов их задания. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую в пространстве, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой в пространстве.
Для удобства решения типовых задач, связанных с прямыми в пространстве, все основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы задания этих прямых отражены в таблице 4.2.
Примеры составления уравнений прямых в пространстве по геометрическим данным, указанным в таблице 4.2, разбирались в предыдущих разделах.
Таблица 4.2. Основные типы уравнений прямых в пространстве
Метрические приложения уравнений прямых
Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих их прямых.
1. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
По этой же формуле вычисляется расстояние между параллельными прямыми и , координаты направляющих векторов которых пропорциональны: .
2. Расстояние между скрещивающимися прямыми и вычисляется по формуле
где
— смешанное и векторное произведения векторов
3. Угол между двумя прямыми
и вычисляется по формуле
4. Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
При решении задач свойства 1-4 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры.
Пример 4.17. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольной пирамиды (рис.4.39). Требуется:
а) найти угол между ребром и плоскостью грани ; б) составить каноническое уравнение прямой , где — точка пересечения медиан треугольника ; в) найти проекцию точки на плоскость грани ; г) составить каноническое уравнение прямой симметричной прямой относительно плоскости грани ; д) найти угол между прямыми и ; е) найти расстояние между прямыми и ; ж) найти проекцию точки на прямую ; з) составить уравнение прямой, содержащей ортогональную проекцию высоты грани на плоскость грани .
Решение.
а) Составим уравнение прямой . Уравнение плоскости грани было найдено в примере 4.12: . Вычисляем искомый угол (формула п.4):
б) Координаты точки пересечения медиан треугольника находим как среднее арифметическое координат его вершин:
то есть
Теперь составляем уравнение прямой, проходящей через две точки и (см. таблицу 4.2):
в) Составим параметрическое уравнение прямой (см. таблицу 4.2). Направляющим вектором этой прямой служит нормаль к плоскости (см. п."а"). Поэтому Подставляя эти соотношения в уравнение плоскости грани (см. п."а"), находим значение параметра , соответствующее точке :
Координаты точки вычисляем по параметрическому уравнению прямой , подставляя найденное значение параметра
то есть
г) Координаты точки , симметричной точке относительно плоскости грани , находим, подставляя в параметрическое уравнение прямой значение . Получим . Теперь составляем уравнение прямой, проходящей через точки и (см. таблицу 4.2):
д) Угол между прямыми и находим как угол между их направляющими векторами (формула п.3):
то есть
е) Расстояние между прямыми и находим по формуле п.2, полагая
(на прямой выбираем точку , а на прямой точку ):
ж) Составим уравнение (4.14) плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой (нормалью к этой плоскости служит вектор
Найдем точку пересечения этой плоскости с прямой . Для этого подставим в уравнение плоскости соотношения из параметрического уравнения
прямой , получаемого из канонического: (см. пункт "а"). Получим
Подставляя теперь значение параметра в уравнение прямой , находим координаты точки
то есть
з) Составим общее уравнение искомой прямой (см. рис.4.39) как линии пересечения плоскости основания пирамиды и плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой . Уравнение плоскости грани было найдено в примере 4.12: (см. пункт "а"). Общее уравнение плоскости, проходящей через точку с нормалью
имеет вид: . Записывая уравнения плоскостей в систему, получаем общее уравнение искомой прямой
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|