Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Типовые задачи с прямыми в пространстве

Типовые задачи с прямыми в пространстве


Составление уравнений прямых


Разнообразие видов уравнений прямых в пространстве порождается многообразием геометрических способов их задания. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую в пространстве, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой в пространстве.


Для удобства решения типовых задач, связанных с прямыми в пространстве, все основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы задания этих прямых отражены в таблице 4.2.


Примеры составления уравнений прямых в пространстве по геометрическим данным, указанным в таблице 4.2, разбирались в предыдущих разделах.


Таблица 4.2. Основные типы уравнений прямых в пространстве


Основные типы уравнений прямых в пространстве



Метрические приложения уравнений прямых


Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих их прямых.


1. Расстояние [math]d[/math] от точки [math]M_1(x_1,y_1,z_1)[/math] до прямой [math]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}[/math] вычисляется по формуле


[math]d=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \sqrt{\begin{vmatrix}x_1-x_0&y_1-y_0\\a&b\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y_1-y_0&z_1-z_0\\b&c\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}x_1-x_0&z_1-z_0\\a&c\end{vmatrix}^2}\,.[/math]

По этой же формуле вычисляется расстояние между параллельными прямыми [math]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}[/math] и [math]\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}[/math], координаты направляющих векторов которых пропорциональны: [math]\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}[/math].


2. Расстояние [math]d[/math] между скрещивающимися прямыми [math]\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} ~\phantom{0}[/math] и [math]\phantom{0}~\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}[/math] вычисляется по формуле


[math]d=\frac{|\langle\,\vec{m},\vec{p}_1,\vec{p}_2\,\rangle|}{|[\,\vec{p}_1,\vec{p}_2\,]|}\,,[/math] где

[math]\langle\,\vec{m},\vec{p}_1,\vec{p}_2\,\rangle= \begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}\ne0,~[\,\vec{p}_1,\vec{p}_2\,]= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\end{vmatrix}[/math] — смешанное и векторное произведения векторов


[math]\vec{m}=(x_2-x_1)\vec{i}+(y_2-y_1)\vec{j}+(z_2-z_1)\vec{k},[/math] [math]\vec{p}_1=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k}[/math] и [math]\vec{p}_2=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k}[/math].

3. Угол [math]\varphi[/math] между двумя прямыми


[math]\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}[/math] и [math]\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}[/math]
вычисляется по формуле
[math]\cos\varphi= \frac{|a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\,.[/math]

4. Угол [math]\varphi[/math] между прямой [math]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}[/math] и плоскостью[math]Ax+By+Cz+D=0[/math] вычисляется по формуле


[math]\sin\varphi= \frac{|a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,.[/math]

При решении задач свойства 1-4 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры.




Пирамида по координатам точек вершин

Пример 4.17. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) заданы вершины [math]A(1;3;-1),[/math] [math]B(2;1;-2),[/math] [math]C(3;-2;4)[/math] треугольной пирамиды [math]OABC[/math] (рис.4.39). Требуется:


а) найти угол [math]\varphi[/math] между ребром [math]OA[/math] и плоскостью грани [math]ABC[/math];

б) составить каноническое уравнение прямой [math]OM[/math], где [math]M[/math] — точка пересечения медиан треугольника [math]ABC[/math];

в) найти проекцию [math]H[/math] точки [math]O[/math] на плоскость грани [math]ABC[/math];

г) составить каноническое уравнение прямой [math]O'M[/math] симметричной прямой [math]OM[/math] относительно плоскости грани [math]ABC[/math];

д) найти угол [math]\psi[/math] между прямыми [math]OM[/math] и [math]AB[/math];

е) найти расстояние [math]d[/math] между прямыми [math]OM[/math] и [math]AB[/math];

ж) найти проекцию [math]C'[/math] точки [math]C[/math] на прямую [math]OA[/math];

з) составить уравнение прямой, содержащей ортогональную проекцию высоты [math]ON[/math] грани [math]OBC[/math] на плоскость грани [math]ABC[/math].


Решение.


а) Составим уравнение прямой [math]OA\colon\,\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}[/math]. Уравнение плоскости грани [math]ABC[/math] было найдено в примере 4.12: [math]15x+7y+z-35=0[/math]. Вычисляем искомый угол [math]\varphi[/math] (формула п.4):


[math]\sin\varphi=\frac{|1\cdot15+3\cdot7-1\cdot1|}{\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{15^2+7^2+1^2}}=\frac{35}{55}=\frac{7}{11} \quad \Rightarrow \quad \varphi=\arcsin\frac{7}{11}\,.[/math]

б) Координаты точки пересечения медиан треугольника [math]ABC[/math] находим как среднее арифметическое координат его вершин:


[math]M\!\left(\frac{1+2+3}{3},\,\frac{3+1-2}{3},\,\frac{-1-2+4}{3}\right)[/math] то есть [math]M\!\left(2,\,\frac{2}{3},\,\frac{1}{3}\right)\!.[/math]

Теперь составляем уравнение прямой, проходящей через две точки [math]O[/math] и [math]M[/math] (см. таблицу 4.2):


[math]\frac{x-0}{2-0}=\frac{y-0}{2/3-0}=\frac{z-0}{1/3-0} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x}{6}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}.[/math]

в) Составим параметрическое уравнение прямой [math]OH[/math] (см. таблицу 4.2). Направляющим вектором этой прямой служит нормаль [math]\vec{n}= 15\vec{i}+7\vec{j}+\vec{k}[/math] к плоскости [math]ABC[/math] (см. п."а"). Поэтому [math]\begin{cases}x=15t,\\y=7t,\\z=t.\end{cases}[/math] Подставляя эти соотношения в уравнение плоскости грани [math]ABC[/math] (см. п."а"), находим значение параметра [math]t[/math], соответствующее точке [math]H[/math]:


[math]15\cdot15t+7\cdot7t+1\cdot t-35=0 \quad \Leftrightarrow \quad 275t-35=0 \quad \Leftrightarrow \quad t=\frac{7}{35}.[/math]

Координаты точки [math]H[/math] вычисляем по параметрическому уравнению прямой [math]OH[/math], подставляя найденное значение параметра [math]t:[/math]


[math]x=15\cdot\frac{7}{55}= \frac{21}{11}, \quad y=7\cdot\frac{7}{55}= \frac{49}{55}, \quad z= \frac{7}{55},[/math] то есть [math]H\!\left(\frac{21}{11},\, \frac{49}{55},\, \frac{7}{55}\right)\!.[/math]

г) Координаты точки [math]O'[/math], симметричной точке [math]O[/math] относительно плоскости грани [math]ABC[/math] , находим, подставляя в параметрическое уравнение прямой [math]OH[/math] значение [math]t=2\cdot\frac{7}{55}=\frac{14}{55}[/math]. Получим [math]O'\!\left(\frac{42}{11},\, \frac{98}{55},\, \frac{14}{55}\right)[/math]. Теперь составляем уравнение прямой, проходящей через точки [mathM[/math] и [math]O'[/math] (см. таблицу 4.2):


[math]\frac{x-2}{\frac{42}{11}-2}=\frac{y-\frac{2}{3}}{\frac{98}{55}-\frac{2}{3}}=\frac{z-\frac{1}{3}}{\frac{14}{55}-\frac{1}{3}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x-2}{300}=\frac{y-\frac{2}{3}}{184}=\frac{z-\frac{1}{3}}{-13}.[/math]

д) Угол [math]\psi[/math] между прямыми [math]OM[/math] и [math]AB[/math] находим как угол между их направляющими векторами [math]\overrightarrow{OM}= 2\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k},[/math] [math]\overrightarrow{AB}= \vec{i}-2\vec{j}-\vec{k},[/math] (формула п.3):


[math]\cos\psi= \frac{\Bigl|2\cdot1+\frac{2}{3}\cdot(-2)+\frac{1}{3}\cdot(-1)\Bigr|}{\sqrt{2^2+ {\left(\dfrac{2}{3}\right)\!}^2+{\left(\dfrac{1}{3}\right)\!}^2}\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{246}},[/math] то есть [math]\psi=\arccos\frac{1}{\sqrt{246}}.[/math]

е) Расстояние [math]d[/math] между прямыми [math]OM[/math] и [math]AB[/math] находим по формуле п.2, полагая


[math]\vec{p}_1= \overrightarrow{OM}= 2\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}, \quad \vec{p}_2= \overrightarrow{AB}= \vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}, \quad \vec{m}= \overrightarrow{OA}= \vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}[/math]

(на прямой [math]OM[/math] выбираем точку [math]O[/math], а на прямой [math]AB[/math] точку [math]A[/math]):

[math]\begin{gathered}\Bigl\langle\vec{m},\vec{p}_1,\vec{p}_2\Bigr\rangle= \,\,\vline\,\begin{matrix}1&3&-1\\2&\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\\1&-2&-1\end{matrix}\,\vline\,=\frac{35}{3}, \quad \Bigl[\vec{p}_1,\vec{p}_2\Bigr]= \,\,\vline\,\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\\1&-2&-1\end{matrix}\,\vline\,= \vec{i}+\frac{7}{3}\,\vec{j}-\frac{14}{3}\,\vec{k}\,;\\[5pt] d=\frac{|\langle\vec{m},\vec{p}_1,\vec{p}_2\rangle|}{|[\vec{p}_1,\vec{p}_2]|}= \frac{|35/3|}{\sqrt{0^2+(7/3)^2+(-14/3)^2}}= \sqrt{5}\,. \end{gathered}[/math]

ж) Составим уравнение (4.14) плоскости, проходящей через точку [math]C(3,-2,4)[/math] перпендикулярно прямой [math]OA[/math] (нормалью к этой плоскости служит вектор [math]\overrightarrow{OA}= \vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}:[/math]


[math]1\cdot(x-3)+3\cdot(y+2)-1\cdot(z-4)=0 \quad\Leftrightarrow\quad x+3y-z+7=0.[/math]

Найдем точку пересечения этой плоскости с прямой [math]OA[/math]. Для этого подставим в уравнение плоскости соотношения из параметрического уравнения


[math]\begin{cases}x=1\cdot t,\\y=3\cdot t,\\z=-1\cdot t.\end{cases}[/math]

прямой [math]OA[/math], получаемого из канонического: [math]\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}=t[/math] (см. пункт "а"). Получим


[math]t+3\cdot3\cdot t+t+7=0 \quad\Leftrightarrow\quad t=-\frac{7}{11}.[/math]

Подставляя теперь значение параметра в уравнение прямой [math]OA[/math], находим координаты точки [math]C':[/math]


[math]x=-\frac{7}{11},~y=-\frac{21}{11},~z=\frac{7}{11}[/math] то есть [math]C'\!\left(-\frac{7}{11},\,-\frac{21}{11},\,\frac{7}{11}\right)\!.[/math]

з) Составим общее уравнение искомой прямой [math]HN[/math] (см. рис.4.39) как линии пересечения плоскости основания [math]ABC[/math] пирамиды и плоскости, проходящей через точку [math]O[/math] и перпендикулярной прямой [math]BC[/math]. Уравнение плоскости грани ABC было найдено в примере 4.12: [math]15x+7y+z-35=0[/math] (см. пункт "а"). Общее уравнение плоскости, проходящей через точку [math]O(0,0,0)[/math] с нормалью


[math]\overrightarrow{BC}= (3-2)\vec{i}+(-2-1)\vec{j}+(4-(-2))\vec{k}= \vec{i}-3\vec{j}+6\vec{k}[/math]

имеет вид: [math]x-3y+6z=0[/math]. Записывая уравнения плоскостей в систему, получаем общее уравнение искомой прямой [math]HN:[/math]

[math]\begin{cases}15\cdot x+7\cdot y+1\cdot z-35=0,\\ 1\cdot x-3\cdot y+6\cdot z=0.\end{cases}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved