Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Типовые задачи с плоскостями

Типовые задачи с плоскостями


Составление уравнений плоскостей


Разнообразие видов уравнений плоскостей порождается многообразием геометрических способов их задания. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих плоскость, можно составить уравнение этой плоскости, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения плоскости имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания плоскости.


Для удобства решения типовых задач, связанных с плоскостями, все основные типы уравнений плоскостей и соответствующие геометрические способы задания этих плоскостей отражены в таблице 4.1.


Примеры составления плоскостей по геометрическим данным указанны в таблице 4.1.


Таблица 4.1. Основные типы уравнений плоскостей

Основные типы уравнений плоскостей




Метрические приложения уравнений плоскостей


Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих их плоскостей.


1. Расстояние [math]d[/math] от точки [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast},z^{\ast})[/math] до плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] вычисляется по формуле:


[math]d=\frac{|A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C\cdot z^{\ast}+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\,.[/math]

2. Расстояние между параллельными плоскостями [math]A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0[/math] и [math]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/math] находится как расстояние [math]d_1[/math] от точки [math]M_2(x_2,y_2,z_2)[/math], координаты которой удовлетворяют уравнению [math]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,[/math] до плоскости [math]A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0[/math] пo формуле:


[math]d_1=\frac{|A_1\cdot x_2+B_1\cdot y_2+C_1\cdot z_2+D_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}}\,.[/math]

3. а) Угол [math]\varphi[/math] между двумя плоскостями [math]\rho_1\colon A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0[/math] и [math]\rho_2\colon A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/math] находится по формуле:


[math]\cos\varphi=\frac{|A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\,,[/math]

где [math]\vec{n}_1=A_1\vec{i}+B_1\vec{j}+C_1\vec{k}[/math] и [math]\vec{n}_2=A_2\vec{i}+B_2\vec{j}+C_2\vec{k}[/math] — нормали к плоскостям [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2[/math] соответственно.


б) По формуле

[math]\cos\varphi=\frac{A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}[/math]

находится величина [math]\varphi[/math] того двугранного угла, образованного плоскостями [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2,[/math] в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полупространствам, определяемым данными плоскостями.


При решении задач свойства 1-3 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры.




Пример 4.12. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] заданы вершины [math]A(1;3;-1),[/math] [math]B(2;1;-2),[/math] [math]C(4;2;-6)[/math] треугольной пирамиды [math]OABC.[/math] Требуется:


а) составить общее уравнение плоскости, содержащей грань [math]ABC[/math];

б) найти расстояние [math]d[/math] от вершины [math]C[/math] до плоскости грани [math]OAB[/math];

в) найти величину [math]\varphi[/math] угла между плоскостями граней [math]ABC[/math] и [math]OAB[/math];

г) найти величину [math]\psi[/math] двугранного угла, образованного гранями [math]ABC[/math] и [math]OAB[/math] пирамиды.


Решение. а) По формуле (4.21) составим уравнение плоскости [math]\rho_{ABC}[/math] проходящей через три точки [math]A,\,B,\,C\colon[/math]


[math]\begin{vmatrix} x-1&y-3&z-(-1)\\ 2-1&1-3&-2-(-1)\\ 4-1&2-3&-6-(-1)\end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{vmatrix}x-1&y-3&z+1\\1&-2&-1\\3&-1&-5\end{vmatrix} =0\,.[/math]

Разлагая определитель по первой строке, получаем


[math]9\cdot(x-1)+2\cdot(y-3)+5\cdot(z+1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 9\cdot x+2\cdot y+5\cdot z-10=0\,.[/math]

Итак, искомое уравнение составлено.


б) Для нахождения расстояния [math]d[/math] составим уравнение плоскости, проходящей через точки [math]O,\,A,\,B[/math] (см. пункт "а"):


[math]\begin{vmatrix}x-0&y-0&z-0\\1-0&3-0&-1-0\\2-0&1-0&-2-0\end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{vmatrix}x&y&z\\1&3&-1\\2&1&-2\end{vmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x+z=0.[/math]

Пирамида и двугранные углы

Расстояние находим по формуле пункта 1 (см. метрические приложения) для [math]M^{\ast}\equiv C:[/math]


[math]d=\frac{|1\cdot4+0\cdot2+1\cdot(-6)+0|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,.[/math]

в) Острый угол [math]\varphi[/math] между плоскостями [math]9x+2y+5z-10=0[/math] и [math]x+z=0[/math] находим по формуле пункта 3,"а":


[math]\cos\varphi=\frac{|9\cdot1+ 2\cdot0+ 5\cdot1|}{\sqrt{9^2+2^2+5^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{14}{\sqrt{220}}=\frac{7}{55}\,.[/math] Следовательно, [math]\varphi=\arccos\frac{7}{\sqrt{55}}\,.[/math]

г) Двугранный угол [math]\psi[/math], образованный гранями [math]ABC[/math] и [math]OAB[/math] пирамиды либо равен острому углу [math]\varphi[/math] между плоскостями граней, либо дополняет его до [math]\pi\colon\,\psi=\pi-\varphi\,.[/math] Вычисляя угол [math]\varphi[/math] по формуле пункта 3,"б", получаем тот же результат, что и в пункте "в": [math]\varphi=\arccos\frac{7}{\sqrt{55}}\,,[/math] т.е. острому углу принадлежат точки, принадлежащие разноименным полупространствам. Выясним, в каких полупространствах (одноименных или разноименных) относительно плоскостей граней [math]ABC[/math] и [math]OAB[/math] лежит пирамида. Для этого достаточно проверить одну точку пирамиды, не принадлежащую граням [math]ABC[/math] и [math]OAB.[/math] Возьмем точку [math]N[/math] — середину ребра [math]OC\colon\,N(2;1;-3)[/math] (рис.4.23). Вычислим значения линейных четырехчленов в этой точке:


[math]9\cdot2+2\cdot1+5\cdot(-3)-10=-5<0[/math] и [math]1\cdot2+0\cdot1+1\cdot(-3)+0=-1<0.[/math]

Следовательно, точка [math]N[/math] принадлежит одноименным полупространствам. Поэтому двугранный угол при ребре [math]AB[/math] не острый, а тупой, т.е. [math]\psi=\pi-\varphi=\pi-\arccos\frac{7}{\sqrt{55}}\,.[/math]




Системы линейных уравнений с тремя неизвестными


Системой [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными называется система уравнений вида


[math]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2+a_{13}\cdot x_3=b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2+a_{23}\cdot x_3=b_2,\\ \quad\vdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2+a_{m3}\cdot x_3=b_m. \end{cases}[/math]
(4.29)

Числа [math]a_{ij},~i=1,\ldots,m,\,j=1,2,3[/math] называются коэффициентами системы; [math]b_1,b_2,\ldots,b_m[/math] — свободными членами; [math]x_1,x_2,x_3[/math] — неизвестными.


Решением системы называется такая упорядоченная тройка чисел [math](\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),[/math] что после замены неизвестных [math]x_1,x_2,x_3[/math] соответственно числами [math]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/math] каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. На системы с тремя неизвестными переносятся все термины, применяемые к системам с двумя неизвестными.


Матричная запись неоднородной системы уравнений (4.29) имеет вид


[math]Ax=b,[/math]
(4.30)

где [math]A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}\end{pmatrix}[/math]матрица системы, [math]b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}[/math] — столбец свободных членов, [math]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}[/math] – столбец неизвестных.


Рангом системы уравнений (4.29) называется ранг матрицы [math]A[/math] системы: [math]r=\operatorname{rang}A[/math] т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы [math]A[/math] (максимальное число линейно независимых уравнений системы).


Рассматривается случай, когда все уравнения системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого уравнения не равны нулю одновременно. Поэтому матрица [math]A[/math] системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.


Поскольку матрица системы (4.29) ненулевая и содержит три столбца, то ее ранг [math]r=\operatorname{rang}A\leqslant3.[/math] Ранг может быть равен либо единице ([math]r=1,[/math] если все строки матрицы [math]A[/math] пропорциональны), либо двум ([math]r=2,[/math] если имеются две линейно независимые строки), либо трем ([math]r=3[/math], если имеются три линейно независимые строки).


Примеры пересечения плоскостей

Выясним геометрический смысл и свойства решений системы уравнений (4.29).


Пусть в пространстве задана аффинная система координат [math]Ox_1x_2x_3.[/math] Множество точек [math]M(x_1x_2x_3),[/math] координаты которых удовлетворяют линейному уравнению с тремя неизвестными


[math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3=b_{i},[/math] или [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3-b_{i}=0,[/math]

представляет собой плоскость. Поэтому множество решений системы уравнений является пересечением плоскостей


[math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3=b_{i},[/math] [math]i=1,\ldots,m\,.[/math]

Рассмотрим примеры пересечения плоскостей.


1. Если ранг системы (4.29) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех уравнений пропорциональны. В этом случае любые две плоскости параллельны (система уравнений несовместна (рис.4.24,а)) или совпадают (в этом случае вся система (4.29) равносильна одному, например, первому ее уравнению (рис.4.24,б)).


2. Если ранг системы равен 2, то в системе имеются два линейно независимых уравнения. Плоскости, соответствующие этим уравнениям, пересекаются, например, по прямой [math]l[/math] (рис. 4.24,в,г). Поэтому множеством решений системы (4.29) является либо эта прямая (система совместна, все плоскости проходят через прямую [math]l,[/math] т.е. все плоскости принадлежат собственному пучку плоскостей (рис. 4.24,в)), либо пустое множество (система несовместна (рис.4.24,г)).


3. Если ранг системы равен 3, то в системе имеются три линейно независимых уравнения. Плоскости, соответствующие этим уравнениям, пересекаются в одной точке, например, в точке [math]X_0[/math] (рис. 4.24,д,е). Поэтому множеством решений системы (4.29) является либо одна точка [math]X_0[/math] (система совместна, все плоскости проходят через точку [math]X_0,[/math] т.е. все плоскости принадлежат собственной связке плоскостей (рис. 4.24,д)), либо пустое множество (система несовместна (рис. 4.24,е)).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved