Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Теория графов: основные понятия и определения
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Теория графов: основные понятия и определения Неформально граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них. Первой работой теории графов как математической дисциплины считают статью Эйлера (1736 г.), в которой рассматривалась задача о Кёнингсбергских мостах. Эйлер показал, что нельзя обойти семь городских мостов и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам. С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями — пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое древо. И это древо — граф. Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Ранее мы уже использовали графы как способ наглядного представления конечных бинарных отношений. Но граф используют отнюдь не только как иллюстрацию. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать. Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д. В настоящее время теория графов охватывает большой материал и активно развивается. При ее изложении ограничимся только частью результатов и основной акцент сделаем на описании и обосновании некоторых широко распространенных алгоритмов анализа графов, которые применяются в теории формальных языков. Графы, как уже отмечалось в примерах, есть способ "визуализации" связей между определенными объектами. Связи эти могут быть "направленными", как, например, в генеалогическом древе, или "ненаправленными" (сеть дорог с двусторонним движением). В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные (или направленные) и неориентированные. Построение математического определения графа осуществляется путем формализации и "объектов", и "связей" как элементов некоторых (как правило, конечных) множеств. Неориентированные графы Неориентированный граф $G$ задается двумя множествами $G=(V,E)$ , где $V$ — конечное множество, элементы которого называют вершинами или узлами; $E$ — множество неупорядоченных пар на $V$ , т.е. подмножество множества двухэлементных подмножеств $V$ , элементы которого называют ребрами. Для каждого ребра $\{u,v\}\in E$ считаем, что $u$ и ${v}$ — различные вершины. Если ребро $e=\{u,v\}$ , то говорят, что ребро $e$ соединяет вершины $u$ и ${v}$ , и обозначают это мы $u\mapsto v$ ; если необходимо, указывают имя графа $G\colon u\mapsto_{G}v$ . Вершины $u$ и ${v}$ , соединенные ребром $(u\mapsto v)$ , называют смежными, а также концами ребра $\{u,v\}$ . Если $u\mapsto v$ , говорят, что вершины $u$ и ${v}$ связаны отношением непосредственной достижимости. Ребро $e$ называют инцидентным вершине ${v}$ , если она является одним из его концов. Степенью вершины ${v}$ называют число $\operatorname{dg}v$ всех инцидентных ей ребер. Для вершины ${v}$ множество $\Gamma(v)=\{x\colon\,x\mapsto v\}$ называют множеством смежных с ${v}$ вершин. Справедливо равенство $\operatorname{dg}v=\|\Gamma(v)\|$ . Цепь в неориентированном графе $G$ — это последовательность вершин (конечная или бесконечная) $v_0,v_1,\ldots,v_n,\ldots$ , такая, что $v_i\mapsto v_{i+1}$ для любого $i$ , если $v_{i+1}$ существует. (Под конечной последовательностью понимается кортеж вершин.) Для конечной цепи $v_0,v_1,\ldots,v_n$ число $n~(n\geqslant0)$ называют длиной цепи. Таким образом, длина цепи есть число ее ребер, т.е. всех ребер, соединяющих вершины $v_i$ и $v_{i+1}~(i=\overline{0,n-1})$ . Цепь длины 0 — это произвольная вершина графа. Говорят, что вершина ${v}$ неориентированного графа $G$ достижима из вершины $u$ этого графа и обозначают и $u\shortmid\!= \!\shortmid^{\ast}\!v$ , если существует цепь $v_0,v_1,\ldots,v_n$ такая, что $u=v_0,$ $v_n=v$ (при этом говорят также, что данная цепь соединяет вершины $u$ и ${v}$ , которые называют концами цепи). Таким образом, задано отношение достижимости $\shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}$ в неориентированном графе. Оно является рефлексивно-транзитивным замыканием отношения $\shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid$ непосредственной достижимости. Отношение достижимости в неориентированном графе рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности Если существует цепь ненулевой длины, соединяющая $u$ и ${v}$ , то пишут $u\shortmid\!= \!\shortmid^{+}\!v$ . Если необходимо явно указать длину цепи, то пишут $u \shortmid\!=\!\shortmid^{n}\!v$ и говорят, что существует цепь длины $n$ , соединяющая $u$ и ${v}$ . Простая цепь — это цепь, все вершины которой, кроме, быть может, первой и последней, попарно различны и все ребра попарно различны. Простую цепь ненулевой длины с совпадающими концами называют циклом. Произвольную цепь ненулевой длины с совпадающими концами, все ребра которой попарно различны, будем называть замкнутой цепью. Неориентированный граф, не содержащий циклов, называют ациклическим графом. Ориентированные графы Ориентированный граф $G$ задается двумя множествами $G=(V,E)$ , где $V$ — конечное множество, элементы которого называют вершинами или узлами; $E$ — множество упорядоченных пар на $V$ , т.е. подмножество множества $V\times V$ , элементы которого называют дугами. Если дуга $e=(u,v)$ , то говорят, что дуга $e$ ведет из вершины $u$ в вершину ${v}$ , и обозначают это $u\to v$ ; если необходимо, указывают имя графа $G\colon u\to_{G}v$ . Вершины $u$ и ${v}$ , такие, что из вершины $u$ в вершину ${v}$ ведет дуга $(u\to v)$ , называют сиежнылси, причем м называют началом, а $v$ — концом дуги $(u,v)$ . Дугу, начало и конец которой есть одна и та же вершина, называют петлей. Если $u\to v$ , то говорят, что вершины и и v связаны отношением непосредственной достижимости. Дугу $(u,v)$ называют заходящей в вершину ${v}$ и исходящей из вершины $u$ . Дугу называют инцидентной вершине ${v}$ , если она заходит в ${v}$ или исходит из ${v}$ . Полустепенью захода вершины ${v}$ называют число $\operatorname{dg}^{-}(v)$ заходящих в нее дуг, а полустепенью исхода вершины ${v}$ — число $\operatorname{dg}^{+}(v)$ исходящих из нее дуг. Степень вершины ${v}$ , обозначаемая $\operatorname{dg}(v)$ , — это сумма полустепеней захода и исхода. Для вершины ${v}$ множество $\Gamma(v)=\{x\colon\, v\to x\}$ называют множеством преемников вершины ${v}$ , а множество $\Gamma^{-1}(v)= \{x\colon\, x\to v\}$ — множеством предшественников вершины ${v}$ . Справедливы равенства $\operatorname{dg}^{+}(v)= \|\Gamma(v)\|,\qquad \operatorname{dg}^{-}(v)= \|\Gamma^{-1}(v)\|.$ Путь в ориентированном графе $G$ — это последовательность вершин (конечная или бесконечная) $v_0,v_1,\ldots,v_n,\ldots$ , такая, что $v_i\to v_{i+1}$ для любого $i$ , если $v_{i+1}$ существует. Для конечного пути $v_0,v_1,\ldots,v_n$ число $n$ называют длиной пути $(n\geqslant0)$ . Тем самым длина пути есть число его дуг, т.е. всех дуг, которые ведут из вершины $v_i$ в вершину $v_{i+1}~(i=\overline{0,n-1})$ . Путь длины 0 — это произвольная вершина графа. Говорят, что вершина ${v}$ ориентированного графа $G$ достижима из вершины $u$ этого графа и обозначают $u\Rightarrow^{\ast}v$ , если существует путь $v_0,v_1,\ldots,v_n$ . такой, что $u=v_0,~v=v_n$ (при этом говорят, что данный путь ведет из вершины $u$ в вершину ${v}$ , называя первую вершину началом, а вторую — концом данного пути). Таким образом, задано отношение достижимости $\Rightarrow^{\ast}$ в ориентированном графе. Оно является рефлексивно-транзитивным замыканием отношения $\to$ непосредственной достижимости. Отношение достижимости в ориентированном графе рефлексивно и транзитивно, но в общем случае не антисимметрично: если две вершины ориентированного графа достижимы одна из другой, то из этого вовсе не следует, что они совпадают. Таким образом, отношение достижимости в ориентированном графе есть отношение предпорядка. Если существует путь ненулевой длины, ведущий из $u$ в ${v}$ , то пишут $u\Rightarrow^{+}v$ . Если необходимо явно указать длину пути, то пишут $u\Rightarrow^{n}v$ и говорят, что существует путь длины $n$ , ведущий из $u$ в ${v}$ . Простой путь — это путь, все вершины которого, кроме, быть может, первой и последней, попарно различны. Простой путь ненулевой длины, начало и конец которого совпадают, называют контуром. Произвольный путь ненулевой 1 длины, начало и конец которого совпадают, будем называть замкнутым путем. Ориентированный граф, не содержащий контуров, называют бесконтурным графом. Замечание 5.1. Требование, чтобы все ребра простой цепи неориентированного графа были попарно различными, существенно. Если его снять, то цепь вида $u,v,u$ , где $u\mapsto v$ , будет циклом, в котором одно и то же ребро $\{u,v\}$ проходится дважды в противоположных направлениях, хотя такую цепь естественно циклом не считать. Не будет эта цепь в соответствии с принятой терминологией и замкнутой цепью. В неориентированном графе на рис. 5.1 цепь $a \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid b \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid \! c \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid d \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid e \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid c \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid a$ является примером замкнутой цепи. Замечание 5.2. В общем случае в ориентированном графе пересечение множества преемников $\Gamma(v)$ вершины ${v}$ и множества $\Gamma^{-1}(v)$ ее предшественников будет не пусто, если есть петля $(v,v)\colon\, \Gamma(v)\cap \Gamma^{-1}(v)\ne \varnothing$ . Пример 5.1. Рассмотрим неориентированный граф, изображенный на рис. 5.2. Он задается множеством вершин $V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,v_7\}$ и множеством неупорядоченных пар $E=\bigl\{\{v_1,v_2\}, \{v_1,v_3\}, \{v_2,v_3\}, \{v_3,v_4\}, \{v_5,v_6\}\bigr\}$ . В этом графе последовательность вершин $v_1,v_3,v_4$ есть простая цепь, а последовательность $v_1,v_3,v_2,v_1,v_3,v_4$ — цепь, не являющаяся простои, поскольку в ней есть совпадающие ребра. Последовательность вершин $v_3,v_1,v_2,v_4$ не является цепью, поскольку в графе нет ребра $\{v_2,v_4\}$ . Последовательность $v_1,v_3,v_2,v_1$ есть цикл, а последовательность $v_4,v_3,v_1,v_2,v_3,v_4$ — цепь с совпадающими концами, но не цикл, поскольку эта цепь не является простой. Эта цепь не будет и замкнутой, так как в ней есть повторяющееся ребро $\{v_3,v_4\}$ . Степени вершин графа следующие: $\operatorname{dg}v_1= \operatorname{dg}v_2=2,\quad \operatorname{dg}v_3=3,\quad \operatorname{dg}v_4= \operatorname{dg}v_5= \operatorname{dg}v_6=1,\quad \operatorname{dg}v_7=0.$ Вершины $v_1,v_2,v_3,v_4$ попарно достижимы $(v_i \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\! v_j,~ i,j\in\{1,2,3,4\})$ и образуют класс эквивалентности по отношению достижимости. Для вершин $v_5$ и $v_6$ имеет место $v_5 \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\! v_6$ , и они также образуют класс эквивалентности. Заметим, что вершина V7, по определению, образует цепь длины 0 и эквивалентна по отношению достижимости только самой себе. Пример 5.2. Обратимся к ориентированному графу, изображенному на рис. 5.3. Он задается множеством вершин $V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ и множеством дуг $E= \bigl\{(v_1,v_2), (v_1,v_3), (v_2,v_1), (v_2,v_3), (v_2,v_4), (v_3,v_1), (v_3,v_4), (v_5,v_6), (v_6,v_4)\bigr\}.$ В этом ориентированном графе последовательность вершин $v_1,v_2,v_3,v_4$ есть простой путь, а последовательность вершин $v_1,v_2,v_3,v_1,v_3,v_4$ — путь, не являющийся простым, поскольку в нем, например, два раза встречается вершина, не служащая началом и концом пути. Последовательность вершин $v_3,v_1,v_2,v_3$ есть контур, а последовательность $v_3,v_1,v_2,v_1,v_3$ — замкнутый путь, но не контур, поскольку вершина $v_1$ , не являющаяся началом пути, встречается два раза. Последовательность вершин $v_1,v_3,v_4,v_6$ не задает путь, так как в рассматриваемом ориентированном графе нет дуги $(v_4,v_6)$ . Полустепени захода, полустепени исхода и степени у вершин следующие: $\begin{array}{lll}\operatorname{dg}^{-}(v_1) = 2,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_1)= 2,&\qquad \operatorname{dg}(v_1)=4;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_2) =1,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_2)=3,&\qquad \operatorname{dg}(v_2)=4;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_3)=2,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_3)=2,&\qquad \operatorname{dg}(v_3)=4;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_4) =3,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_4)=0,&\qquad \operatorname{dg} (v_4)=3;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_5) =0,&\qquad \operatorname{dg}^{+} (v_5)=1,&\qquad \operatorname{dg}(v_5)=1;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_6) =1,&\qquad \operatorname{dg}^{+} (v_6)=1,&\qquad \operatorname{dg}(v_6)=2. \end{array}$ Свойства отношения достижимости в графах Отношение достижимости в неориентированных и ориентированных графах обладает следующим важным свойством. Теорема 5.1. Для любой цепи, соединяющей две вершины неориентированного графа, существует простая цепь, соединяющая те же вершины. Для любого пути, ведущего из вершины $u$ в вершину ${v}$ ориентированного графа, существует простой путь, ведущий из $u$ в ${v}$ . Проведем доказательство для неориентированного графа (для ориентированного графа доказательство проводится аналогично). Пусть вершины $u$ и ${v}$ неориентированного графа таковы, что $u \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\!v$ . Если эти вершины являются концами цепи нулевой длины, то утверждение теоремы тривиально. Пусть $u \shortmid\!=\!\shortmid^{+}\!v$ , т.е. существует цепь ненулевой длины, соединяющая $u$ в ${v}$ . Рассмотрим какую-либо из таких цепей (рис. 5.4). Обозначим ее $C$ . Если цепь $C$ простая, то доказывать нечего. Пусть существует внутренняя (не совпадающая ни с одним из концов) вершина $w$ цепи $C$ , которая повторяется в этой цепи, т.е. $u \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\! w \shortmid\!=\!\shortmid^{+}\!w \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\!v$ . Это значит, что вершина $w$ содержится в некоторой цепи $C'$ ненулевой длины (подцепи цепи $C$ ) с совпадающими концами (рис. 5.5). Удалим все вершины и ребра цепи $C'$ , кроме вершины $w$ (служащей ее началом и концом одновременно). После этого получим новую цепь $C_1$ , соединяющую вершины $u$ и ${v}$ (рис. 5.6), в которой число повторений вершины $w$ будет по крайней мере на единицу меньше, чем в цепи $C$ . Если цепь $C_1$ простая, то утверждение доказано. В противном случае поступаем с ней так же, как и с цепью $C$ . В силу конечности множества вершин и ребер графа после конечного числа шагов получим простую цепь, соединяющую вершины $u$ и ${v}$ . Следствие 5.1. Если вершина неориентированного графа содержится в некоторой замкнутой цепи, то она содержится и в некотором цикле. Если вершина ориентированного графа содержится в некотором замкнутом пути, то она содержится и в некотором контуре. Замечание 5.3. Следствие 5.1 перестает быть верным для произвольной цепи с совпадающими концами. Например, для неориентированного графа, состоящего из двух вершин $v_1,v_2$ и единственного ребра $(v_1,v_2)$ цепь $v_1,v_2,v_1$ с совпадающими концами не содержит цикла. Подграфы неориентированных и ориентированных графов Перейдем теперь к понятию подграфа. Формулируется это понятие одновременно для неориентированных и ориентированных графов (с учетом различий в терминологии). Определение 5.1. Неориентированный (ориентированный) граф $G_1= (V_1,E_1)$ называют подграфом неориентированного (ориентированного) графа $G= (V,E)$ , если $V_1\subseteq V$ и $E_1\subseteq E$ . Будем использовать обозначение $G_1\subseteq G$ , аналогичное обозначению включения для множеств. Замечание 5.4. Так как в определении 5.1 пара $G_1= (V_1,E_1)$ есть неориентированный (ориентированный) граф, то для любого ребра $\{u,v\}\in E_1$ (дуги $(u,v)\in E_1$ ) предполагается, конечно, что $u,v\in V_1$ , поскольку иначе пару $(V_1,E_1)$ нельзя будет считать неориентированным (ориентированным) графом. Если хотя бы одно из указанных двух включений в определении 5.1 строгое, то $G_1$ называют собственным подграфом графа $G$ ; если $V_1=V$ , то $G_1$ называют остовным подграфом графа $G$ . Подграф $G_1$ неориентированного (ориентированного) графа $G$ называют подграфом, порожденным множеством вершин $V_1\subseteq V$ , если каждое ребро (дуга) тогда и только тогда принадлежит $E_1\subseteq E$ , когда его (ее) концы принадлежат $V_1$ . Часто в случае, если множество вершин $V_1$ подразумевается, говорят просто о порожденном подграфе. Отметим, что подграф графа $G$ , порожденный множеством вершин $V_1$ , в отличие от произвольного подграфа графа $G$ с множеством вершин $V_1$ , должен включать все ребра (дуги), концы которых принадлежат множеству $V_1$ . Подграф $G_1\subseteq G$ называют максимальным подграфом, обладающим данным свойством $P$ , если он не является собственным подграфом никакого другого подграфа графа $G$ , обладающего свойством $P$ . Например, на рис. 5.7 подграфы $G_1,\,G_2,\,G_3$ являются максимальными ациклическими подграфами графа $G$ . Отметим, что они также являются собственными и остовными подграфами указанного графа. Связность и компонента связности графов Следующее важное понятие снова введем параллельно для рассматриваемых двух видов графов. Неориентированный граф называют связным, если любые две его вершины $u$ и ${v}$ соединены цепью $(u \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\!v)$ . Компонента связности (или просто компонента) неориентированного графа — это его максимальный связный подграф. Ориентированный граф называют связным, если для любых двух его вершин $u,v$ вершина ${v}$ достижима из вершины $u$ или вершина $u$ достижима из вершины ${v}$ ( $u \Rightarrow^{\ast}v$ или $v\Rightarrow^{\ast}u$ ). Компонента связности (или просто компонента) ориентированного графа — это максимальный связный подграф. В неориентированном графе две вершины, соединенные цепью, связаны отношением достижимости, которое является эквивалентностью. Поэтому компонента такого графа — это подграф, порожденный некоторым классом эквивалентности вершин по отношению достижимости. Поскольку каждая компонента неориентированного графа порождается некоторым классом эквивалентности вершин, то две различные компоненты не пересекаются, т.е. не имеют ни общих вершин, ни общих ребер. Так как отношение достижимости в ориентированном графе не является эквивалентностью, то компоненты ориентированного графа могут пересекаться. Пример 5.3. Граф, изображенный на рис. 5.2, не является связным. Он состоит из трех компонент. Эти компоненты порождены тремя классами эквивалентности по отношению достижимости, указанными в примере 5.1. Связными являются все графы, изображенные на рис. 5.7. Ориентированный граф на рис. 5.8 связный, а ориентированные графы на рис. 5.3 и 5.9 не являются связными. В ориентированном графе на рис. 5.3 вершины $v_2$ и $v_5$ не достижимы одна из другой, а в ориентированном графе на рис. 5.9 взаимно не достижимы, например, вершины $v_2$ и $v_6$ . В ориентированном графе, изображенном на рис. 5.9, имеются две компоненты связности: $C_1$ и $C_2$ , которые пересекаются. Сильная и слабая связности графов Для ориентированного графа можно определить также понятия сильной и слабой связности. Определение 5.2. Ориентированный граф называют сильно связным, если для любых двух его вершин $u$ и ${v}$ вершина ${v}$ достижима из вершины $u$ и вершина $u$ достижима из вершины ${v}$ ( $u\Rightarrow^{\ast}v$ и $v\Rightarrow^{\ast}u$ ). Бикомпонента ориентированного графа — это его максимальный сильно связный подграф. Если $u\Rightarrow^{\ast}v$ и $v\Rightarrow^{\ast}u$ , то говорят, что $u$ и ${v}$ связаны отношением взаимной достижимости. Это бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Следовательно, две различные бикомпоненты не пересекаются, т.е. не имеют ни общих вершин, ни общих ребер. Пример 5.4. а. В ориентированном графе, изображенном на рис. 5.3, бикомпонентой является подграф $G_1$ , порожденный множеством вершин $\{v_1,v_2,v_3\}$ . Действительно, эти вершины взаимно достижимы, поэтому ориентированный граф $G_1$ сильно связный. Так как из вершин $v_4,v_5,v_6$ ни одна из вершин $v_1,v_2,v_3$ не достижима, то выделенный сильно связный подграф $G_1$ является максимальным. б. В ориентированном графе, представленном на рис. 5.9, имеются четыре бикомпоненты $B_1,\,B_2,\,B_3$ и $B_4$ . Это подграфы, порожденные соответственно множествами вершин $\{v_1\},\, \{v_2,v_3\},\, \{v_4,v_5\}$ и $\{v_6,v_7\}$ . Отметим, что подграф, порожденный множеством $\{v_1\}$ , не содержит ни одной дуги. Тем не менее этот подграф — бикомпонента, поскольку каждая вершина достижима сама из себя (по пути длины 0). Определение 5.3. Неориентированный граф $G_1=(V_1,E_1)$ называют ассоциированным с ориентированном графом $G=(V,E)$ , если его множество вершин совпадает с множеством вершин ориентированного графа $G$ , а пара $\{u,v\}$ образует ребро тогда и только тогда, когда $u\ne v$ и из $u$ в ${v}$ или из ${v}$ в $u$ ведет дуга, т.е. $V_1=V$ и $E_1=\bigl\{\{u,v\}\colon\, (u,v)\in E\,\lor\, (v,u)\in E,~ u\ne v\bigr\}.$ . Таким образом, переход от ориентированного графа к ассоциированному с ним неориентированному графу состоит в "стирании" ориентации дуг ориентированного графа с учетом того, что все петли исчезают, а дуги $(u,v)$ и $(v,u)$ при $u\ne v$ переходят в одно и то же ребро $\{u,v\}$ . Для ориентированного графа, изображенного на рис. 5.10, а, ассоциированный с ним неориентированный граф приведен на рис. 5.10, б. Отметим, что дуги $(v_1,v_2)$ и $(v_2,v_1)$ переходят в ребро $\{v_1,v_2\}$ , а петля $(v_6,v_6)$ исчезает. Определение 5.4. Ориентированный граф называют слабо связным, если ассоциированный с ним неориентированный граф связный. Компонентой слабой связности (слабой компонентой) ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф. Ориентированные графы, представленные на рис. 5.3, 5.9 и 5.8, являются слабо связными. Ориентированный граф, изображенный на рис. 5.10, не является слабо связным, поскольку не является связным ассоциированный с ним неориентированный граф. Ориентированный граф на рис. 5.10,а имеет две компоненты слабой связности. Соответственно ассоциированный с ним неориентированный граф на рис. 5.10,б имеет две компоненты связности. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Теория графов: основные понятия и определения

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Теория графов: основные понятия и определения

Неформально граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них.

Первой работой теории графов как математической дисциплины считают статью Эйлера (1736 г.), в которой рассматривалась задача о Кёнингсбергских мостах. Эйлер показал, что нельзя обойти семь городских мостов и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам.

С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями — пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое древо. И это древо — граф.

Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Ранее мы уже использовали графы как способ наглядного представления конечных бинарных отношений. Но граф используют отнюдь не только как иллюстрацию. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать.

Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д.

В настоящее время теория графов охватывает большой материал и активно развивается. При ее изложении ограничимся только частью результатов и основной акцент сделаем на описании и обосновании некоторых широко распространенных алгоритмов анализа графов, которые применяются в теории формальных языков.

Графы, как уже отмечалось в примерах, есть способ "визуализации" связей между определенными объектами. Связи эти могут быть "направленными", как, например, в генеалогическом древе, или "ненаправленными" (сеть дорог с двусторонним движением). В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные (или направленные) и неориентированные.

Построение математического определения графа осуществляется путем формализации и "объектов", и "связей" как элементов некоторых (как правило, конечных) множеств.

Неориентированные графы

Неориентированный граф $G$ задается двумя множествами $G=(V,E)$ , где $V$ — конечное множество, элементы которого называют вершинами или узлами; $E$ — множество неупорядоченных пар на $V$ , т.е. подмножество множества двухэлементных подмножеств $V$ , элементы которого называют ребрами. Для каждого ребра $\{u,v\}\in E$ считаем, что $u$ и ${v}$ — различные вершины.

Если ребро $e=\{u,v\}$ , то говорят, что ребро $e$ соединяет вершины $u$ и ${v}$ , и обозначают это мы $u\mapsto v$ ; если необходимо, указывают имя графа $G\colon u\mapsto_{G}v$ .

Вершины $u$ и ${v}$ , соединенные ребром $(u\mapsto v)$ , называют смежными, а также концами ребра $\{u,v\}$ . Если $u\mapsto v$ , говорят, что вершины $u$ и ${v}$ связаны отношением непосредственной достижимости.

Ребро $e$ называют инцидентным вершине ${v}$ , если она является одним из его концов.

Степенью вершины ${v}$ называют число $\operatorname{dg}v$ всех инцидентных ей ребер.

Для вершины ${v}$ множество $\Gamma(v)=\{x\colon\,x\mapsto v\}$ называют множеством смежных с ${v}$ вершин. Справедливо равенство $\operatorname{dg}v=|\Gamma(v)|$ .

Цепь в неориентированном графе $G$ — это последовательность вершин (конечная или бесконечная) $v_0,v_1,\ldots,v_n,\ldots$ , такая, что $v_i\mapsto v_{i+1}$ для любого $i$ , если $v_{i+1}$ существует. (Под конечной последовательностью понимается кортеж вершин.)

Для конечной цепи $v_0,v_1,\ldots,v_n$ число $n~(n\geqslant0)$ называют длиной цепи. Таким образом, длина цепи есть число ее ребер, т.е. всех ребер, соединяющих вершины $v_i$ и $v_{i+1}~(i=\overline{0,n-1})$ . Цепь длины 0 — это произвольная вершина графа.

Говорят, что вершина ${v}$ неориентированного графа $G$ достижима из вершины $u$ этого графа и обозначают и $u\shortmid\!= \!\shortmid^{\ast}\!v$ , если существует цепь $v_0,v_1,\ldots,v_n$ такая, что $u=v_0,$ $v_n=v$ (при этом говорят также, что данная цепь соединяет вершины $u$ и ${v}$ , которые называют концами цепи). Таким образом, задано отношение достижимости $\shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}$ в неориентированном графе. Оно является рефлексивно-транзитивным замыканием отношения $\shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid$ непосредственной достижимости.

Отношение достижимости в неориентированном графе рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности

Если существует цепь ненулевой длины, соединяющая $u$ и ${v}$ , то пишут $u\shortmid\!= \!\shortmid^{+}\!v$ . Если необходимо явно указать длину цепи, то пишут $u \shortmid\!=\!\shortmid^{n}\!v$ и говорят, что существует цепь длины $n$ , соединяющая $u$ и ${v}$ .

Простая цепь — это цепь, все вершины которой, кроме, быть может, первой и последней, попарно различны и все ребра попарно различны.
Простую цепь ненулевой длины с совпадающими концами называют циклом.
Произвольную цепь ненулевой длины с совпадающими концами, все ребра которой попарно различны, будем называть замкнутой цепью.
Неориентированный граф, не содержащий циклов, называют ациклическим графом.

Ориентированные графы

Ориентированный граф $G$ задается двумя множествами $G=(V,E)$ , где $V$ — конечное множество, элементы которого называют вершинами или узлами; $E$ — множество упорядоченных пар на $V$ , т.е. подмножество множества $V\times V$ , элементы которого называют дугами.

Если дуга $e=(u,v)$ , то говорят, что дуга $e$ ведет из вершины $u$ в вершину ${v}$ , и обозначают это $u\to v$ ; если необходимо, указывают имя графа $G\colon u\to_{G}v$ .

Вершины $u$ и ${v}$ , такие, что из вершины $u$ в вершину ${v}$ ведет дуга $(u\to v)$ , называют сиежнылси, причем м называют началом, а $v$ — концом дуги $(u,v)$ . Дугу, начало и конец которой есть одна и та же вершина, называют петлей. Если $u\to v$ , то говорят, что вершины и и v связаны отношением непосредственной достижимости.

Дугу $(u,v)$ называют заходящей в вершину ${v}$ и исходящей из вершины $u$ . Дугу называют инцидентной вершине ${v}$ , если она заходит в ${v}$ или исходит из ${v}$ .

Полустепенью захода вершины ${v}$ называют число $\operatorname{dg}^{-}(v)$ заходящих в нее дуг, а полустепенью исхода вершины ${v}$ — число $\operatorname{dg}^{+}(v)$ исходящих из нее дуг. Степень вершины ${v}$ , обозначаемая $\operatorname{dg}(v)$ , — это сумма полустепеней захода и исхода.

Для вершины ${v}$ множество $\Gamma(v)=\{x\colon\, v\to x\}$ называют множеством преемников вершины ${v}$ , а множество $\Gamma^{-1}(v)= \{x\colon\, x\to v\}$ — множеством предшественников вершины ${v}$ . Справедливы равенства

$\operatorname{dg}^{+}(v)= |\Gamma(v)|,\qquad \operatorname{dg}^{-}(v)= |\Gamma^{-1}(v)|.$

Путь в ориентированном графе $G$ — это последовательность вершин (конечная или бесконечная) $v_0,v_1,\ldots,v_n,\ldots$ , такая, что $v_i\to v_{i+1}$ для любого $i$ , если $v_{i+1}$ существует.

Для конечного пути $v_0,v_1,\ldots,v_n$ число $n$ называют длиной пути $(n\geqslant0)$ . Тем самым длина пути есть число его дуг, т.е. всех дуг, которые ведут из вершины $v_i$ в вершину $v_{i+1}~(i=\overline{0,n-1})$ . Путь длины 0 — это произвольная вершина графа.

Говорят, что вершина ${v}$ ориентированного графа $G$ достижима из вершины $u$ этого графа и обозначают $u\Rightarrow^{\ast}v$ , если существует путь $v_0,v_1,\ldots,v_n$ . такой, что $u=v_0,~v=v_n$ (при этом говорят, что данный путь ведет из вершины $u$ в вершину ${v}$ , называя первую вершину началом, а вторую — концом данного пути). Таким образом, задано отношение достижимости $\Rightarrow^{\ast}$ в ориентированном графе. Оно является рефлексивно-транзитивным замыканием отношения $\to$ непосредственной достижимости.

Отношение достижимости в ориентированном графе рефлексивно и транзитивно, но в общем случае не антисимметрично: если две вершины ориентированного графа достижимы одна из другой, то из этого вовсе не следует, что они совпадают. Таким образом, отношение достижимости в ориентированном графе есть отношение предпорядка.

Если существует путь ненулевой длины, ведущий из $u$ в ${v}$ , то пишут $u\Rightarrow^{+}v$ . Если необходимо явно указать длину пути, то пишут $u\Rightarrow^{n}v$ и говорят, что существует путь длины $n$ , ведущий из $u$ в ${v}$ .

Простой путь — это путь, все вершины которого, кроме, быть может, первой и последней, попарно различны.
Простой путь ненулевой длины, начало и конец которого совпадают, называют контуром.
Произвольный путь ненулевой 1 длины, начало и конец которого совпадают, будем называть замкнутым путем.
Ориентированный граф, не содержащий контуров, называют бесконтурным графом.

Пример замкнутой цепи в неориентированном графе

Замечание 5.1. Требование, чтобы все ребра простой цепи неориентированного графа были попарно различными, существенно. Если его снять, то цепь вида $u,v,u$ , где $u\mapsto v$ , будет циклом, в котором одно и то же ребро $\{u,v\}$ проходится дважды в противоположных направлениях, хотя такую цепь естественно циклом не считать. Не будет эта цепь в соответствии с принятой терминологией и замкнутой цепью.

В неориентированном графе на рис. 5.1 цепь $a \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid b \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid \! c \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid d \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid e \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid c \shortmid\!\!\!-\!\!\!\shortmid a$ является примером замкнутой цепи.

Замечание 5.2. В общем случае в ориентированном графе пересечение множества преемников $\Gamma(v)$ вершины ${v}$ и множества $\Gamma^{-1}(v)$ ее предшественников будет не пусто, если есть петля $(v,v)\colon\, \Gamma(v)\cap \Gamma^{-1}(v)\ne \varnothing$ .

Пример 5.1. Рассмотрим неориентированный граф, изображенный на рис. 5.2. Он задается множеством вершин

Неориентированный граф, в котором последовательность вершин есть простая цепь

$V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,v_7\}$

и множеством неупорядоченных пар $E=\bigl\{\{v_1,v_2\}, \{v_1,v_3\}, \{v_2,v_3\}, \{v_3,v_4\}, \{v_5,v_6\}\bigr\}$ .

В этом графе последовательность вершин $v_1,v_3,v_4$ есть простая цепь, а последовательность $v_1,v_3,v_2,v_1,v_3,v_4$ — цепь, не являющаяся простои, поскольку в ней есть совпадающие ребра. Последовательность вершин $v_3,v_1,v_2,v_4$ не является цепью, поскольку в графе нет ребра $\{v_2,v_4\}$ . Последовательность $v_1,v_3,v_2,v_1$ есть цикл, а последовательность $v_4,v_3,v_1,v_2,v_3,v_4$ — цепь с совпадающими концами, но не цикл, поскольку эта цепь не является простой. Эта цепь не будет и замкнутой, так как в ней есть повторяющееся ребро $\{v_3,v_4\}$ .

Степени вершин графа следующие:

$\operatorname{dg}v_1= \operatorname{dg}v_2=2,\quad \operatorname{dg}v_3=3,\quad \operatorname{dg}v_4= \operatorname{dg}v_5= \operatorname{dg}v_6=1,\quad \operatorname{dg}v_7=0.$

Вершины $v_1,v_2,v_3,v_4$ попарно достижимы $(v_i \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\! v_j,~ i,j\in\{1,2,3,4\})$ и образуют класс эквивалентности по отношению достижимости. Для вершин $v_5$ и $v_6$ имеет место $v_5 \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\! v_6$ , и они также образуют класс эквивалентности. Заметим, что вершина V7, по определению, образует цепь длины 0 и эквивалентна по отношению достижимости только самой себе.

Пример 5.2. Обратимся к ориентированному графу, изображенному на рис. 5.3. Он задается множеством вершин $V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ и множеством дуг

$E= \bigl\{(v_1,v_2), (v_1,v_3), (v_2,v_1), (v_2,v_3), (v_2,v_4), (v_3,v_1), (v_3,v_4), (v_5,v_6), (v_6,v_4)\bigr\}.$

Ориентированный граф, в котором последовательность вершин есть простой путь

В этом ориентированном графе последовательность вершин $v_1,v_2,v_3,v_4$ есть простой путь, а последовательность вершин $v_1,v_2,v_3,v_1,v_3,v_4$ — путь, не являющийся простым, поскольку в нем, например, два раза встречается вершина, не служащая началом и концом пути.

Последовательность вершин $v_3,v_1,v_2,v_3$ есть контур, а последовательность $v_3,v_1,v_2,v_1,v_3$ — замкнутый путь, но не контур, поскольку вершина $v_1$ , не являющаяся началом пути, встречается два раза. Последовательность вершин $v_1,v_3,v_4,v_6$ не задает путь, так как в рассматриваемом ориентированном графе нет дуги $(v_4,v_6)$ .

Полустепени захода, полустепени исхода и степени у вершин следующие:

$\begin{array}{lll}\operatorname{dg}^{-}(v_1) = 2,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_1)= 2,&\qquad \operatorname{dg}(v_1)=4;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_2) =1,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_2)=3,&\qquad \operatorname{dg}(v_2)=4;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_3)=2,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_3)=2,&\qquad \operatorname{dg}(v_3)=4;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_4) =3,&\qquad \operatorname{dg}^{+}(v_4)=0,&\qquad \operatorname{dg} (v_4)=3;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_5) =0,&\qquad \operatorname{dg}^{+} (v_5)=1,&\qquad \operatorname{dg}(v_5)=1;\\[4pt] \operatorname{dg}^{-}(v_6) =1,&\qquad \operatorname{dg}^{+} (v_6)=1,&\qquad \operatorname{dg}(v_6)=2. \end{array}$

Свойства отношения достижимости в графах

Отношение достижимости в неориентированных и ориентированных графах обладает следующим важным свойством.

Теорема 5.1. Для любой цепи, соединяющей две вершины неориентированного графа, существует простая цепь, соединяющая те же вершины. Для любого пути, ведущего из вершины $u$ в вершину ${v}$ ориентированного графа, существует простой путь, ведущий из $u$ в ${v}$ .

Проведем доказательство для неориентированного графа (для ориентированного графа доказательство проводится аналогично).

Пусть вершины $u$ и ${v}$ неориентированного графа таковы, что $u \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\!v$ . Если эти вершины являются концами цепи нулевой длины, то утверждение теоремы тривиально. Пусть $u \shortmid\!=\!\shortmid^{+}\!v$ , т.е. существует цепь ненулевой длины, соединяющая $u$ в ${v}$ . Рассмотрим какую-либо из таких цепей (рис. 5.4). Обозначим ее $C$ . Если цепь $C$ простая, то доказывать нечего. Пусть существует внутренняя (не совпадающая ни с одним из концов) вершина $w$ цепи $C$ , которая повторяется в этой цепи, т.е. $u \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\! w \shortmid\!=\!\shortmid^{+}\!w \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\!v$ . Это значит, что вершина $w$ содержится в некоторой цепи $C'$ ненулевой длины (подцепи цепи $C$ ) с совпадающими концами (рис. 5.5). Удалим все вершины и ребра цепи $C'$ , кроме вершины $w$ (служащей ее началом и концом одновременно). После этого получим новую цепь $C_1$ , соединяющую вершины $u$ и ${v}$ (рис. 5.6), в которой число повторений вершины $w$ будет по крайней мере на единицу меньше, чем в цепи $C$ . Если цепь $C_1$ простая, то утверждение доказано. В противном случае поступаем с ней так же, как и с цепью $C$ . В силу конечности множества вершин и ребер графа после конечного числа шагов получим простую цепь, соединяющую вершины $u$ и ${v}$ .

Следствие 5.1. Если вершина неориентированного графа содержится в некоторой замкнутой цепи, то она содержится и в некотором цикле. Если вершина ориентированного графа содержится в некотором замкнутом пути, то она содержится и в некотором контуре.

Замечание 5.3. Следствие 5.1 перестает быть верным для произвольной цепи с совпадающими концами. Например, для неориентированного графа, состоящего из двух вершин $v_1,v_2$ и единственного ребра $(v_1,v_2)$ цепь $v_1,v_2,v_1$ с совпадающими концами не содержит цикла.

Подграфы неориентированных и ориентированных графов

Перейдем теперь к понятию подграфа. Формулируется это понятие одновременно для неориентированных и ориентированных графов (с учетом различий в терминологии).

Определение 5.1. Неориентированный (ориентированный) граф $G_1= (V_1,E_1)$ называют подграфом неориентированного (ориентированного) графа $G= (V,E)$ , если $V_1\subseteq V$ и $E_1\subseteq E$ .

Будем использовать обозначение $G_1\subseteq G$ , аналогичное обозначению включения для множеств.

Замечание 5.4. Так как в определении 5.1 пара $G_1= (V_1,E_1)$ есть неориентированный (ориентированный) граф, то для любого ребра $\{u,v\}\in E_1$ (дуги $(u,v)\in E_1$ ) предполагается, конечно, что $u,v\in V_1$ , поскольку иначе пару $(V_1,E_1)$ нельзя будет считать неориентированным (ориентированным) графом.

Если хотя бы одно из указанных двух включений в определении 5.1 строгое, то $G_1$ называют собственным подграфом графа $G$ ; если $V_1=V$ , то $G_1$ называют остовным подграфом графа $G$ .

Подграф $G_1$ неориентированного (ориентированного) графа $G$ называют подграфом, порожденным множеством вершин $V_1\subseteq V$ , если каждое ребро (дуга) тогда и только тогда принадлежит $E_1\subseteq E$ , когда его (ее) концы принадлежат $V_1$ . Часто в случае, если множество вершин $V_1$ подразумевается, говорят просто о порожденном подграфе.

Отметим, что подграф графа $G$ , порожденный множеством вершин $V_1$ , в отличие от произвольного подграфа графа $G$ с множеством вершин $V_1$ , должен включать все ребра (дуги), концы которых принадлежат множеству $V_1$ .

Подграф $G_1\subseteq G$ называют максимальным подграфом, обладающим данным свойством $P$ , если он не является собственным подграфом никакого другого подграфа графа $G$ , обладающего свойством $P$ .

Например, на рис. 5.7 подграфы $G_1,\,G_2,\,G_3$ являются максимальными ациклическими подграфами графа $G$ . Отметим, что они также являются собственными и остовными подграфами указанного графа.

Максимальные ациклические подграфы графа

Связность и компонента связности графов

Следующее важное понятие снова введем параллельно для рассматриваемых двух видов графов.

Неориентированный граф называют связным, если любые две его вершины $u$ и ${v}$ соединены цепью $(u \shortmid\!=\!\shortmid^{\ast}\!v)$ .

Компонента связности (или просто компонента) неориентированного графа — это его максимальный связный подграф.

Ориентированный граф называют связным, если для любых двух его вершин $u,v$ вершина ${v}$ достижима из вершины $u$ или вершина $u$ достижима из вершины ${v}$ ( $u \Rightarrow^{\ast}v$ или $v\Rightarrow^{\ast}u$ ).

Компонента связности (или просто компонента) ориентированного графа — это максимальный связный подграф.

В неориентированном графе две вершины, соединенные цепью, связаны отношением достижимости, которое является эквивалентностью. Поэтому компонента такого графа — это подграф, порожденный некоторым классом эквивалентности вершин по отношению достижимости.

Поскольку каждая компонента неориентированного графа порождается некоторым классом эквивалентности вершин, то две различные компоненты не пересекаются, т.е. не имеют ни общих вершин, ни общих ребер.

Так как отношение достижимости в ориентированном графе не является эквивалентностью, то компоненты ориентированного графа могут пересекаться.

Пример 5.3. Граф, изображенный на рис. 5.2, не является связным. Он состоит из трех компонент. Эти компоненты порождены тремя классами эквивалентности по отношению достижимости, указанными в примере 5.1.

Связными являются все графы, изображенные на рис. 5.7.

Ориентированный граф на рис. 5.8 связный, а ориентированные графы на рис. 5.3 и 5.9 не являются связными. В ориентированном графе на рис. 5.3 вершины $v_2$ и $v_5$ не достижимы одна из другой, а в ориентированном графе на рис. 5.9 взаимно не достижимы, например, вершины $v_2$ и $v_6$ . В ориентированном графе, изображенном на рис. 5.9, имеются две компоненты связности: $C_1$ и $C_2$ , которые пересекаются.

Ориентированный граф с взаимно не достижимыми вершинами

Сильная и слабая связности графов

Для ориентированного графа можно определить также понятия сильной и слабой связности.

Определение 5.2. Ориентированный граф называют сильно связным, если для любых двух его вершин $u$ и ${v}$ вершина ${v}$ достижима из вершины $u$ и вершина $u$ достижима из вершины ${v}$ ( $u\Rightarrow^{\ast}v$ и $v\Rightarrow^{\ast}u$ ). Бикомпонента ориентированного графа — это его максимальный сильно связный подграф.

Если $u\Rightarrow^{\ast}v$ и $v\Rightarrow^{\ast}u$ , то говорят, что $u$ и ${v}$ связаны отношением взаимной достижимости. Это бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Следовательно, две различные бикомпоненты не пересекаются, т.е. не имеют ни общих вершин, ни общих ребер.

Пример 5.4. а. В ориентированном графе, изображенном на рис. 5.3, бикомпонентой является подграф $G_1$ , порожденный множеством вершин $\{v_1,v_2,v_3\}$ . Действительно, эти вершины взаимно достижимы, поэтому ориентированный граф $G_1$ сильно связный. Так как из вершин $v_4,v_5,v_6$ ни одна из вершин $v_1,v_2,v_3$ не достижима, то выделенный сильно связный подграф $G_1$ является максимальным.

б. В ориентированном графе, представленном на рис. 5.9, имеются четыре бикомпоненты $B_1,\,B_2,\,B_3$ и $B_4$ . Это подграфы, порожденные соответственно множествами вершин $\{v_1\},\, \{v_2,v_3\},\, \{v_4,v_5\}$ и $\{v_6,v_7\}$ . Отметим, что подграф, порожденный множеством $\{v_1\}$ , не содержит ни одной дуги. Тем не менее этот подграф — бикомпонента, поскольку каждая вершина достижима сама из себя (по пути длины 0).

Определение 5.3. Неориентированный граф $G_1=(V_1,E_1)$ называют ассоциированным с ориентированном графом $G=(V,E)$ , если его множество вершин совпадает с множеством вершин ориентированного графа $G$ , а пара $\{u,v\}$ образует ребро тогда и только тогда, когда $u\ne v$ и из $u$ в ${v}$ или из ${v}$ в $u$ ведет дуга, т.е. $V_1=V$ и

$E_1=\bigl\{\{u,v\}\colon\, (u,v)\in E\,\lor\, (v,u)\in E,~ u\ne v\bigr\}.$ .

Таким образом, переход от ориентированного графа к ассоциированному с ним неориентированному графу состоит в "стирании" ориентации дуг ориентированного графа с учетом того, что все петли исчезают, а дуги $(u,v)$ и $(v,u)$ при $u\ne v$ переходят в одно и то же ребро $\{u,v\}$ .

Для ориентированного графа, изображенного на рис. 5.10, а, ассоциированный с ним неориентированный граф приведен на рис. 5.10, б. Отметим, что дуги $(v_1,v_2)$ и $(v_2,v_1)$ переходят в ребро $\{v_1,v_2\}$ , а петля $(v_6,v_6)$ исчезает.

Ориентированный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф

Определение 5.4. Ориентированный граф называют слабо связным, если ассоциированный с ним неориентированный граф связный. Компонентой слабой связности (слабой компонентой) ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф.

Ориентированные графы, представленные на рис. 5.3, 5.9 и 5.8, являются слабо связными. Ориентированный граф, изображенный на рис. 5.10, не является слабо связным, поскольку не является связным ассоциированный с ним неориентированный граф. Ориентированный граф на рис. 5.10,а имеет две компоненты слабой связности. Соответственно ассоциированный с ним неориентированный граф на рис. 5.10,б имеет две компоненты связности.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]