Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Теорема Поста и классы
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Теорема Поста и классы В силу теоремы о представлении любой булевой функции дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формой стандартный базис $\{\lor,\cdot,\overline{\phantom{A}}\}$ является полным множеством. Поскольку, согласно законам де Моргана, можно выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание, равно как и дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание, то при удалении из стандартного базиса одной функции, дизъюнкции или конъюнкции, при сохранении отрицания, получим снова полное множество. Прежде чем рассматривать другие примеры полных множеств, установим один важный факт. Теорема 6.3. Пусть $F$ и $G$ — некоторые множества булевых функций, причем $F$ — полное множество. Тогда, если каждая функция из $F$ может быть представлена некоторой формулой над множеством $G$ , то $G$ — полное множество. Из условия теоремы следует, что каждая функция $f\in F$ может быть представлена некоторой формулой $\Psi$ над $G$ , т.е. $f(x_1,\ldots,x_n)=\Psi(x_1,\ldots,x_n).$ (6.17) Докажем, что всякая формула над $F$ эквивалентна некоторой формуле над $G$ , т.е. всякая функция $\varphi$ , представляемая формулой над $F$ , может быть представлена также и некоторой формулой над $G$ . Доказательство проведем по такой схеме: сначала убедимся в справедливости утверждения для "базисных" формул, т.е. для переменных и констант из $F$ , а затем в предположении, что оно уже доказано для формул $\Phi_1,\ldots,\Phi_n$ , где $n\geqslant1$ , докажем его для любой формулы вида $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ , где $f\in F$ . Такой метод доказательства называют доказательством индукцией по построению формулы. Пусть $\varphi$ — какая-то формула над $F$ . Если $\varphi=x$ , где $x$ — булево переменное из множества $X$ , то, поскольку каждое переменное есть, по определению, и формула над $G$ , функция $\varphi$ представляется формулой над $G$ . Если $\varphi$ есть константа из $F$ , то представляющая $\varphi$ формула над $G$ существует ввиду (6.17). Рассмотрим формулу над $F$ вида $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ , где $n>0,~f\in F$ , а $\Phi_1,\ldots,\Phi_n$ — формулы над $F$ . Согласно предположению индукции, каждая формула $\Phi_1,~i=\overline{1,n}$ , может быть заменена эквивалентной ей формулой $\Theta_i$ над $G$ (т.е. имеет место тождество $\Phi_1=\Theta_i$ над $F\cup G$ ). Тогда, используя правила эквивалентных преобразований формул (см. теорему 6.1), получим тождество $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)= f(\Theta_1,\ldots,\Theta_n),$ а в соответствии с (6.17) будем иметь $f(\Theta_1,\ldots,\Theta_n)= \Psi(\Theta_1,\ldots,\Theta_n).$ (6.18) Правая часть тождества (6.18) и есть формула над $G$ , эквивалентная исходной формуле над $F$ . Поскольку в силу полноты множества $F$ любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над $F$ , а любая такая формула, как мы только что доказали, эквивалентна некоторой формуле над $G$ , то любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над $G$ , что и доказывает полноту множества $G$ . Пример 6.17. Рассмотрим базис Жегалкина $\{\oplus,\cdot,1\}$ . Чтобы доказать полноту этого множества, заметим, что $x\lor y=x\cdot y\oplus x\oplus y,\qquad \overline{x}=x\oplus1,$ т.е. каждый элемент стандартного базиса может быть представлен формулой над базисом Жегалкина. Отсюда и следует (ввиду полноты стандартного базиса и теоремы 6.3) полнота базиса Жегалкина. Любую формулу над базисом Жегалкина называют полиномом Жегалкина. Полином Жегалкина от $n$ переменных может быть записан в виде $P(x_1,\ldots,x_n)= \bigoplus\limits_{\{i_1,i_2,\ldots,i_m \}\subseteq\{1,2,\ldots,n\}} (\operatorname{mod}2)a_{i_1i_2\ldots i_m} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_m},$ где коэффициенты полинома $a_{i_1i_2\ldots i_m}\in\{0;1\}$ индексированы всеми возможными подмножествами множества $\{1,2,\ldots,n\}$ (коэффициент $a_0$ соответствует пустому множеству). В частности, при $n=3$ будем иметь: $a_{123}x_1x_2x_3\oplus a_{12}x_1x_2\oplus a_{13}x_1x_3\oplus a_{23}x_2x_3\oplus a_1x_1\oplus a_2x_2\oplus a_3x_3\oplus a_0$ (6.19) (общий вид полинома Жегалкина от трех переменных). Формула вида $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}(\operatorname{mod}2)a_ix_i\oplus a_0$ (6.20) называется полиномом Жегалкина первой степени от переменных. В таком полиноме отсутствуют "нелинейные" слагаемые, т.е. все коэффициенты, индексированные более чем одноэлементными подмножествами, равны 0 (и вместе с ними равны 0 все слагаемые, содержащие конъюнкции переменных). Можно доказать следующее достаточно простое, но важное утверждение. Теорема 6.4. Полином Жегалкина для любой булевой функции определен однозначно. Для функций от небольшого числа переменных (не превышающего 4) можно использовать метод неопределенных коэффициентов, позволяющий получить полином Жегалкина данной функции. Проиллюстрируем этот метод на примере. Пример 6.18. Пусть вектор значений булевой функции $f$ равен $11001011$ . Найдем полином Жегалкина, представляющий $f$ . Поскольку размерность вектора значений $f$ равна $2^3=8$ , то $f$ задана как функция от трех переменных. Тогда она представляется некоторым полиномом Жегалкина третьей степени, общий вид которого дает формула (6.19). Наша задача — найти такие значения коэффициентов этого полинома, при которых он представляет функцию $f$ . Ясно, что значение функции $f$ на наборе $000$ равно коэффициенту $a_0$ в формуле (6.19). Но, согласно заданному вектору значений, оно равно 1. Следовательно, $a_0=1$ . Далее, $f(0,0,1)=a_3\oplus a_0=a_3\oplus 1=1,$ откуда, решая уравнение относительно $a_3$ в поле $\mathbb{Z}_2$ , получим $a_3=0$ ; $f(0,1,0)=a_2\oplus1=0$ , то есть $a_2=1$ и $f(1,0,0)= a_1\oplus 1=1$ и $a_1=0$ . Чтобы найти коэффициенты $a_{12},\,a_{13}$ и $a_{23}$ , нужно рассмотреть значения функции на наборах $110,\,101$ и $011$ соответственно. Так, для первого набора получим $f(1,1,0)=a_{12}x_1x_2\oplus a_1x_1\oplus a_2x_2\oplus a_0= a_{12}\oplus a_{2}\oplus a_0=a_{12}\oplus1\oplus1=a_{12}$ (сумма по модулю 2 любого четного числа равных слагаемых равна 0). Поскольку в то же время $f(1,1,0)=1$ , то $a_0=1$ . Аналогично $f(1,0,1)=a_{13}\oplus a_0=0$ , откуда $a_{13}=1$ ; $f(0,1,1)=a_{23}\oplus a_2\oplus a_0=0$ , и, так как $a_2=a_0=1,~a_{23}=0$ . Наконец, $f(1,1,1)=a_{123}\oplus a_{12}\oplus a_{13}\oplus a_2\oplus a_0=a_{123}=1.$ Итак, окончательно имеем $f=x_1x_2x_3\oplus x_1x_2\oplus x_1x_3\oplus x_2\oplus 1$ . Как видно из примера 6.18, суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Записывая полином Жегалкина сначала в общем виде, с неопределенными коэффициентами, мы выражаем значение полинома на фиксированных наборах через коэффициенты и приравниваем его заданному значению функции. Начинаем с нулевого набора и находим коэффициент $a_0$ , равный значению заданной функции на нулевом наборе. Зная его, из рассмотрения значений функции на наборах, содержащих в точности одну единицу, находим коэффициенты а,- при "одиночных" переменных (коэффициенты "линейной части" полинома). Зная их, из рассмотрения значений функции на наборах, содержащих в точности две единицы, находим коэффициенты при конъюнкциях двух переменных и т.д. При этом выполняются вычисления и решаются простейшие линейные уравнения в поле вычетов по модулю 2. Пример 6.19. а. Рассмотрим множество $\{\mid\}$ , состоящее из единственной функции (штриха Шеффера). Полнота этого множества следует из легко проверяемых тождеств $x\cdot y=(x\|y)\|(x\|y),\qquad \overline{x}=(x\|x).$ б. Полнота множества $\{\downarrow\}$ , единственным элементом которого является стрелка Пирса, проверяется аналогично. Теперь мы сформулируем и докажем критерий (необходимое и достаточное условие) полноты для произвольного множества булевых функций. Для этого нам потребуется сначала рассмотреть некоторые специальные множества функций. Определение 6.8. Функцию $f$ называют функцией, сохраняющей константу 0 (соответственно константу 1), если $f(\widetilde{0})=0$ (соответственно: $f(\widetilde{1})=1$ , где $\widetilde{0}$ — нулевой, а $\widetilde{1}$ — единичный наборы значений переменных функции $f$ . Например, мажоритарная функция является функцией, сохраняющей и константу 0, и константу 1. Отрицание не сохраняет ни 0, ни 1, а эквивалентность сохраняет 1, но не сохраняет 0. Множество всех функций, сохраняющих константу 0 (константу 1), обозначается $T_0$ (соответственно $T_1$ ). Наборы $\widetilde{\alpha}$ и $\overline{\widetilde{\alpha}}$ из булева куба $\mathbb{B}^n=\{0;1\}^n$ (для произвольного фиксированного $n$ ) будем называть взаимно противоположными, говоря при этом также, что набор $\overline{\widetilde{\alpha}}$ есть инверсия (или отрицание) набора $\widetilde{\alpha}$ (в силу единственности дополнения любого элемента булевой алгебры набор $\widetilde{\alpha}$ будет, очевидно, инверсией набора $\overline{\widetilde{\alpha}}$ ). Определение 6.9. Функцию $g\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют двойственной к функции $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ , если для всякого $\widetilde{\alpha}\in \{0;1\}^n$ имеет место $g(\widetilde{\alpha})= \overline{f} (\overline{\widetilde{\alpha}})$ . Полагаем также, что константа 0 является двойственной к константе 1 и наоборот. Пример 6.20. а. Стрелка Пирса есть функция, двойственная к штриху Шеффера, так как $x\downarrow y=\overline{x\lor y}= \overline{\overline{\overline{x}\cdot \overline{y}}}= \overline{\overline{x}\|\overline{y}}.$ б. Сумма по модулю 2 двойственна к эквивалентности, так как $x\sim y=\overline{x\oplus y}=\overline{\overline{x}\oplus \overline{y}}$ . Эти две функции являются и отрицанием друг друга, но неверно в общем случае, что функция д, будучи отрицанием функции $f$ , двойственна к $f:$ штрих Шеффера не есть функция, двойственная к конъюнкции, а стрелка Пирса не есть функция, двойственная к дизъюнкции, но конъюнкция двойственна к дизъюнкции и наоборот, а стрелка Пирса двойственна к штриху Шеффера и наоборот. В общем случае в силу уже упомянутого свойства единственности дополнения в булевой алгебре функция $h$ , двойственная к функции $g$ , которая двойственна к $f$ , равна $f$ . Определение 6.10. Функцию $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют самодвойственной, если она двойственна к себе самой, т.е. $\bigl(\forall\widetilde{\alpha}\in\{0;1\}^n\bigr)\bigl(f(\widetilde{\alpha})= \overline{f}(\overline{\widetilde{\alpha}})\bigr)$ , или $\bigl(\forall \widetilde{\alpha}\in\{0;1\}^n\bigr)\bigl(f(\overline{\widetilde{\alpha}})= \overline{f}(\widetilde{\alpha})\bigr).$ Таким образом, функция самодвойственна тогда и только тогда, когда на взаимно противоположных наборах она принимает взаимно противоположные значения. Следовательно, для того чтобы убедиться в несамодвойственности заданной функции $f$ , достаточно найти хотя бы одну пару взаимно противоположных наборов $\widetilde{\alpha}$ и $\overline{\widetilde{\alpha}}$ , таких, что значения функции на них совпадают, т.е. $f(\widetilde{\alpha})=f(\overline{\widetilde{\alpha}})$ . Так, мажоритарная функция является самодвойственной, а эквивалентность — нет, поскольку при $\widetilde{\alpha}=(0;0)$ имеем $0\sim0=1$ и $1\sim1=1$ . Множество всех самодвойственных функций (при всех $n\geqslant1$ ) обозначим $S$ . Определение 6.11. Функцию $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют монотонной, если для любых наборов $\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta}\in\mathcal{B}^n$ , таких, что $\widetilde{\alpha}\leqslant \widetilde{\beta}$ , имеет место $f(\widetilde{\alpha})\leqslant f(\widetilde{\beta})$ . Другими словами, функция монотонна тогда и только тогда, когда для любого набора $\widetilde{\alpha}$ имеет место следующее свойство: если значение функции на наборе $\widetilde{\alpha}$ равно 1, то оно равно 1 и на всех наборах, строго больших (по отношению булева порядка на $\mathbb{B}^n$ ) набора $\widetilde{\alpha}$ . Любой минимальный (относительно того же порядка) набор $\widetilde{\alpha}$ , для которого значение $f(\widetilde{\alpha})$ монотонной функции $f$ равно 1, называют нижней единицей функции $f$ . Очевидно, что вектор значений монотонной булевой функции полностью определяется множеством ее нижних единиц. Мажоритарная функция монотонна, и множество ее нижних единиц есть $\{011,101,110\}$ . Штрих Шеффера — немонотонная функция, так как $00<11$ , но $0\|0=1$ , а $1\|1=0$ . Множество всех монотонных функций принято обозначать через $M$ . Нетрудно понять, что множество нижних единиц монотонной функции $f$ есть множество всех минимальных элементов множества $C_f^1$ — конституент единицы функции $f$ . Определение 6.12. Функцию $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют линейной, если она может быть представлена полиномом Жегалкина первой степени от п переменных, т.е. формулой вида (6.20). Множество всех линейных функций принято обозначать через $L$ . Любая булева константа и любая проектирующая функция х являются линейными функциями. Такова, разумеется, сумма по модулю 2. Отрицание также линейно, ибо $\overline{x}= x\oplus1$ . Конъюнкция и дизъюнкция не являются линейными функциями, так как не могут быть представлены полиномом Жегалкина первой степени (см. теорему 6.4). Определение 6.13. Множества функций $T_0,\,T_1,\,S,\,M,\,L$ называются классами Поста. Замечание 6.9. Каждый класс Поста состоит из функций с соответствующим свойством для любого числа переменных. Можно доказать также, что если функция $f$ принадлежит какому-то классу Поста $C$ , то и любая функция, равная функции $f$ , принадлежит этому же классу. Другими словами, добавление или удаление фиктивных переменных не выводит за пределы любого из классов Поста. Полезно еще заметить, что любая проектирующая функция х принадлежит одновременно всем пяти классам Поста. Действительно, если $f(x)=x$ , то $f(0)=0$ и $f(1)=1$ , то есть $f\in T_0\cap T_1$ . Отсюда же вытекает и самодвойственность функции $x$ . Монотонность следует из того, что $0<1$ и $f(0)=0<f(1)=1$ . Линейность очевидна. В то же время существуют функции, не принадлежащие ни одному из классов Поста. Таков, например, штрих Шеффера. Все свойства, кроме нелинейности, следуют прямо из таблицы этой функции. Нелинейность же доказывается выводом полинома Жегалкина для штриха Шеффера: $x\|y=\overline{x\cdot y}=x\cdot y\oplus1$ , что не есть полином Жегалкина первой степени. Фундаментальным свойством каждого класса Поста является его замкнутость (в смысле определения 6.3). Это означает для любого из классов Поста $C$ , что всякая суперпозиция над $C$ снова есть элемент $C$ . Теорема о замкнутости классов Поста Теорема 6.5. Каждый класс Поста замкнут. Нужно для каждого класса Поста $C\in\{T_0,T_1,S,M,L\}$ доказать, что замыкание $[ C]$ множества булевых функций $C$ совпадает с $C$ . Пусть $f(g_1,\ldots,g_n)$ — какая-то суперпозиция над $C$ . Обозначим ее через $\varphi$ . Без ограничения общности можно считать, что все функции $f,g_1,\ldots, g_n\in \mathcal{P}_{2,n}$ (для некоторого $n$ ). Рассуждаем, используя индукцию по определению суперпозиции. Если для каждого $i=\overline{1,n}$ функция $g_i=x_i$ , где $x_i$ — переменное, то $\varphi=f(x_1,\ldots,x_n)\in C$ . Предположим, что в суперпозиции $\varphi$ все функции $g_i$ есть элементы класса Поста $C$ (в частности, это может быть и соответствующая проектирующая функция, которая ввиду замечания 6.9 принадлежит всем классам Поста). Докажем, что и $\varphi=f(g_1,\ldots,g_n)\in C$ . 1. Если $C=T_0$ , то $\varphi(\widetilde{0})= f(g_1(\widetilde{0}),\ldots, g_2(\widetilde{0}))= f(0,\ldots,0)=0$ , так как $f,g_1,\ldots,g_n\in T_0$ . Следовательно, $\varphi\in T_0$ . 2. При $C=T_1$ рассуждаем точно так же. 3. Пусть $C=S$ . Фиксируем произвольно набор $\widetilde{\alpha}\in \{0;1\}^n$ . Вычислим (используя само двойственность всех функций): $\varphi\bigl(\overline{\widetilde{\alpha}}\bigr)= f\bigl(g_1(\overline{\widetilde{\alpha}}), \ldots, g_2(\overline{\widetilde{\alpha}})\bigr)= f\bigl(\overline{g_1}(\widetilde{\alpha}),\ldots, \overline{g_n}(\widetilde{\alpha})\bigr)= \overline{f}\bigl(g_1(\widetilde{\alpha}), \ldots g_n(\widetilde{\alpha})\bigr)= \overline{\varphi}(\widetilde{\alpha}).$ Следовательно, $\varphi\in S$ . 4. $C=M$ . Берем произвольно наборы $\widetilde{\alpha}$ и $\widetilde{\beta}$ так, что $\widetilde{\alpha}\leqslant \widetilde{\beta}$ . Докажем, что $\varphi\in M$ . Имеем $\varphi(\widetilde{\alpha})= f\bigl(g_1(\widetilde{\alpha}), \ldots g_n(\widetilde{\alpha}) \bigr)\leqslant f\bigl(g_1(\widetilde{\beta}), \ldots g_n(\widetilde{\beta})\bigr)= \varphi(\widetilde{\beta}).$ так как все функции $g_i,~i=\overline{1,n}$ , монотонны и тем самым вектор $(g_1(\widetilde{\alpha}), \ldots g_n(\widetilde{\alpha}))$ не больше вектора $(g_1(\widetilde{\beta}), \ldots g_n(\widetilde{\beta}))$ , а функция $f$ также монотонна. Тогда ясно, что $\varphi\in M$ . 5. Если же $C=L$ , то очевидно, что при подстановке в линейную функцию (полином Жегалкина первой степени) вместо ее переменных произвольных линейных функций получится снова линейная функция. Итак, мы доказали замкнутость каждого класса Поста. Докажем теперь теорему, характеризующую одно важное свойство немонотонных функций. Теорема 6.6. Если функция $f$ не является монотонной, т.е. $f\in M$ , то найдутся два таких набора $\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta}$ , что $\begin{aligned}\widetilde{\alpha}&= (\alpha_1,\ldots, \alpha_{i-1},0, \alpha_{i+1},\ldots, \alpha_n),\\ \widetilde{\beta}&= (\alpha_1,\ldots, \alpha_{i-1},1, \alpha_{i+1},\ldots, \alpha_n), \end{aligned}$ и $f(\widetilde{\alpha})=1,~f(\widetilde{\beta})=0$ , т.е. эти два набора различаются значениями в точности одной компоненты, а значение функции равно О на большем наборе и равно 1 на меньшем. Так как функция $f$ не является монотонной, то найдутся такие два набора $\widetilde{\gamma}$ и $\widetilde{\delta}$ , что $\widetilde{\gamma}<\widetilde{\delta}$ , но $f(\widetilde{\gamma})=1,~ f(\widetilde{\delta})=0$ . Строгое неравенство $\widetilde{\gamma}< \widetilde{\delta}$ означает, что найдутся такие номера (не меньше одного) $1\leqslant i_1<i_2<\ldots< i_k\leqslant n$ , что $\begin{aligned}\widetilde{\gamma}&=\bigl(\gamma_1,\ldots, \gamma_{i_1-1}, 0, \gamma_{i_1+1},\ldots, \gamma_{i_2-1},0,\ldots, \gamma_{i_2+1},\ldots, \gamma_{i_k-1},0, \gamma_{i_k+1},\ldots, \gamma_n \bigr),\\[2pt] \widetilde{\delta}&=\bigl(\gamma_1,\ldots, \gamma_{i_1-1}, 1, \gamma_{i_1+1},\ldots, \gamma_{i_2-1},1,\ldots, \gamma_{i_2+1},\ldots, \gamma_{i_k-1},1, \gamma_{i_k+1},\ldots, \gamma_n \bigr).\end{aligned}$ т.е. все компоненты наборов, кроме выделенных, с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ соответственно совпадают, а все компоненты с выделенными номерами у меньшего набора равны 0, а у большего равны 1. Построим монотонно возрастающую последовательность наборов $\widetilde{\gamma}=\widetilde{\gamma}_0<\widetilde{\gamma}_1<\widetilde{\gamma}_2<\ldots <\widetilde{\gamma}_k=\widetilde{\delta}.$ так что для каждого $s\in\{1,2,\ldots,k\}$ набор $\widetilde{\gamma}_s$ получается из набора $\widetilde{\gamma}_{s-1}$ заменой нулевого значения компоненты с номером $i_s$ единичным. Поскольку $f(\widetilde{\gamma})=1$ , а $f(\widetilde{\delta})=0$ , то обязательно найдется такое $s\in\{1,2,\ldots,k\}$ , что $f(\widetilde{\gamma}_{s-1})=1$ , а $f(\widetilde{\gamma}_s)=0$ (на наборе $\widetilde{\gamma}_{s-1}$ значение функции еще равно 1, а на наборе $\widetilde{\gamma}_{s}$ оно уже равно 0). Полагая $\widetilde{\alpha}= \widetilde{\gamma}_{s-1}$ и $\widetilde{\beta}= \widetilde{\gamma}_{s}$ получим доказываемое. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Теорема Поста и классы

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Теорема Поста и классы

В силу теоремы о представлении любой булевой функции дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формой стандартный базис $\{\lor,\cdot,\overline{\phantom{A}}\}$ является полным множеством. Поскольку, согласно законам де Моргана, можно выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание, равно как и дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание, то при удалении из стандартного базиса одной функции, дизъюнкции или конъюнкции, при сохранении отрицания, получим снова полное множество.

Прежде чем рассматривать другие примеры полных множеств, установим один важный факт.

Теорема 6.3. Пусть $F$ и $G$ — некоторые множества булевых функций, причем $F$ — полное множество. Тогда, если каждая функция из $F$ может быть представлена некоторой формулой над множеством $G$ , то $G$ — полное множество.

Из условия теоремы следует, что каждая функция $f\in F$ может быть представлена некоторой формулой $\Psi$ над $G$ , т.е.

$f(x_1,\ldots,x_n)=\Psi(x_1,\ldots,x_n).$

(6.17)

Докажем, что всякая формула над $F$ эквивалентна некоторой формуле над $G$ , т.е. всякая функция $\varphi$ , представляемая формулой над $F$ , может быть представлена также и некоторой формулой над $G$ . Доказательство проведем по такой схеме: сначала убедимся в справедливости утверждения для "базисных" формул, т.е. для переменных и констант из $F$ , а затем в предположении, что оно уже доказано для формул $\Phi_1,\ldots,\Phi_n$ , где $n\geqslant1$ , докажем его для любой формулы вида $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ , где $f\in F$ . Такой метод доказательства называют доказательством индукцией по построению формулы.

Пусть $\varphi$ — какая-то формула над $F$ . Если $\varphi=x$ , где $x$ — булево переменное из множества $X$ , то, поскольку каждое переменное есть, по определению, и формула над $G$ , функция $\varphi$ представляется формулой над $G$ .

Если $\varphi$ есть константа из $F$ , то представляющая $\varphi$ формула над $G$ существует ввиду (6.17).

Рассмотрим формулу над $F$ вида $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ , где $n>0,~f\in F$ , а $\Phi_1,\ldots,\Phi_n$ — формулы над $F$ . Согласно предположению индукции, каждая формула $\Phi_1,~i=\overline{1,n}$ , может быть заменена эквивалентной ей формулой $\Theta_i$ над $G$ (т.е. имеет место тождество $\Phi_1=\Theta_i$ над $F\cup G$ ). Тогда, используя правила эквивалентных преобразований формул (см. теорему 6.1), получим тождество

$f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)= f(\Theta_1,\ldots,\Theta_n),$

а в соответствии с (6.17) будем иметь

$f(\Theta_1,\ldots,\Theta_n)= \Psi(\Theta_1,\ldots,\Theta_n).$

(6.18)

Правая часть тождества (6.18) и есть формула над $G$ , эквивалентная исходной формуле над $F$ .

Поскольку в силу полноты множества $F$ любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над $F$ , а любая такая формула, как мы только что доказали, эквивалентна некоторой формуле над $G$ , то любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над $G$ , что и доказывает полноту множества $G$ .

Пример 6.17. Рассмотрим базис Жегалкина $\{\oplus,\cdot,1\}$ . Чтобы доказать полноту этого множества, заметим, что

$x\lor y=x\cdot y\oplus x\oplus y,\qquad \overline{x}=x\oplus1,$

т.е. каждый элемент стандартного базиса может быть представлен формулой над базисом Жегалкина. Отсюда и следует (ввиду полноты стандартного базиса и теоремы 6.3) полнота базиса Жегалкина.

Любую формулу над базисом Жегалкина называют полиномом Жегалкина. Полином Жегалкина от $n$ переменных может быть записан в виде

$P(x_1,\ldots,x_n)= \bigoplus\limits_{\{i_1,i_2,\ldots,i_m \}\subseteq\{1,2,\ldots,n\}} (\operatorname{mod}2)a_{i_1i_2\ldots i_m} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_m},$

где коэффициенты полинома $a_{i_1i_2\ldots i_m}\in\{0;1\}$ индексированы всеми возможными подмножествами множества $\{1,2,\ldots,n\}$ (коэффициент $a_0$ соответствует пустому множеству). В частности, при $n=3$ будем иметь:

$a_{123}x_1x_2x_3\oplus a_{12}x_1x_2\oplus a_{13}x_1x_3\oplus a_{23}x_2x_3\oplus a_1x_1\oplus a_2x_2\oplus a_3x_3\oplus a_0$

(6.19)

(общий вид полинома Жегалкина от трех переменных). Формула вида

$\bigoplus\limits_{i=1}^{n}(\operatorname{mod}2)a_ix_i\oplus a_0$

(6.20)

называется полиномом Жегалкина первой степени от переменных. В таком полиноме отсутствуют "нелинейные" слагаемые, т.е. все коэффициенты, индексированные более чем одноэлементными подмножествами, равны 0 (и вместе с ними равны 0 все слагаемые, содержащие конъюнкции переменных).

Можно доказать следующее достаточно простое, но важное утверждение.

Теорема 6.4. Полином Жегалкина для любой булевой функции определен однозначно.

Для функций от небольшого числа переменных (не превышающего 4) можно использовать метод неопределенных коэффициентов, позволяющий получить полином Жегалкина данной функции. Проиллюстрируем этот метод на примере.

Пример 6.18. Пусть вектор значений булевой функции $f$ равен $11001011$ . Найдем полином Жегалкина, представляющий $f$ . Поскольку размерность вектора значений $f$ равна $2^3=8$ , то $f$ задана как функция от трех переменных. Тогда она представляется некоторым полиномом Жегалкина третьей степени, общий вид которого дает формула (6.19). Наша задача — найти такие значения коэффициентов этого полинома, при которых он представляет функцию $f$ . Ясно, что значение функции $f$ на наборе $000$ равно коэффициенту $a_0$ в формуле (6.19). Но, согласно заданному вектору значений, оно равно 1. Следовательно, $a_0=1$ . Далее,

$f(0,0,1)=a_3\oplus a_0=a_3\oplus 1=1,$

откуда, решая уравнение относительно $a_3$ в поле $\mathbb{Z}_2$ , получим $a_3=0$ ;

$f(0,1,0)=a_2\oplus1=0$ , то есть $a_2=1$ и $f(1,0,0)= a_1\oplus 1=1$ и $a_1=0$ .

Чтобы найти коэффициенты $a_{12},\,a_{13}$ и $a_{23}$ , нужно рассмотреть значения функции на наборах $110,\,101$ и $011$ соответственно. Так, для первого набора получим

$f(1,1,0)=a_{12}x_1x_2\oplus a_1x_1\oplus a_2x_2\oplus a_0= a_{12}\oplus a_{2}\oplus a_0=a_{12}\oplus1\oplus1=a_{12}$

(сумма по модулю 2 любого четного числа равных слагаемых равна 0). Поскольку в то же время $f(1,1,0)=1$ , то $a_0=1$ . Аналогично $f(1,0,1)=a_{13}\oplus a_0=0$ , откуда $a_{13}=1$ ; $f(0,1,1)=a_{23}\oplus a_2\oplus a_0=0$ , и, так как $a_2=a_0=1,~a_{23}=0$ . Наконец,

$f(1,1,1)=a_{123}\oplus a_{12}\oplus a_{13}\oplus a_2\oplus a_0=a_{123}=1.$

Итак, окончательно имеем $f=x_1x_2x_3\oplus x_1x_2\oplus x_1x_3\oplus x_2\oplus 1$ .

Как видно из примера 6.18, суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Записывая полином Жегалкина сначала в общем виде, с неопределенными коэффициентами, мы выражаем значение полинома на фиксированных наборах через коэффициенты и приравниваем его заданному значению функции. Начинаем с нулевого набора и находим коэффициент $a_0$ , равный значению заданной функции на нулевом наборе. Зная его, из рассмотрения значений функции на наборах, содержащих в точности одну единицу, находим коэффициенты а,- при "одиночных" переменных (коэффициенты "линейной части" полинома). Зная их, из рассмотрения значений функции на наборах, содержащих в точности две единицы, находим коэффициенты при конъюнкциях двух переменных и т.д. При этом выполняются вычисления и решаются простейшие линейные уравнения в поле вычетов по модулю 2.

Пример 6.19. а. Рассмотрим множество $\{\mid\}$ , состоящее из единственной функции (штриха Шеффера). Полнота этого множества следует из легко проверяемых тождеств

$x\cdot y=(x|y)|(x|y),\qquad \overline{x}=(x|x).$

б. Полнота множества $\{\downarrow\}$ , единственным элементом которого является стрелка Пирса, проверяется аналогично.

Теперь мы сформулируем и докажем критерий (необходимое и достаточное условие) полноты для произвольного множества булевых функций. Для этого нам потребуется сначала рассмотреть некоторые специальные множества функций.

Определение 6.8. Функцию $f$ называют функцией, сохраняющей константу 0 (соответственно константу 1), если $f(\widetilde{0})=0$ (соответственно: $f(\widetilde{1})=1$ , где $\widetilde{0}$ — нулевой, а $\widetilde{1}$ — единичный наборы значений переменных функции $f$ .

Например, мажоритарная функция является функцией, сохраняющей и константу 0, и константу 1. Отрицание не сохраняет ни 0, ни 1, а эквивалентность сохраняет 1, но не сохраняет 0. Множество всех функций, сохраняющих константу 0 (константу 1), обозначается $T_0$ (соответственно $T_1$ ).

Наборы $\widetilde{\alpha}$ и $\overline{\widetilde{\alpha}}$ из булева куба $\mathbb{B}^n=\{0;1\}^n$ (для произвольного фиксированного $n$ ) будем называть взаимно противоположными, говоря при этом также, что набор $\overline{\widetilde{\alpha}}$ есть инверсия (или отрицание) набора $\widetilde{\alpha}$ (в силу единственности дополнения любого элемента булевой алгебры набор $\widetilde{\alpha}$ будет, очевидно, инверсией набора $\overline{\widetilde{\alpha}}$ ).

Определение 6.9. Функцию $g\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют двойственной к функции $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ , если для всякого $\widetilde{\alpha}\in \{0;1\}^n$ имеет место $g(\widetilde{\alpha})= \overline{f} (\overline{\widetilde{\alpha}})$ .

Полагаем также, что константа 0 является двойственной к константе 1 и наоборот.

Пример 6.20. а. Стрелка Пирса есть функция, двойственная к штриху Шеффера, так как

$x\downarrow y=\overline{x\lor y}= \overline{\overline{\overline{x}\cdot \overline{y}}}= \overline{\overline{x}|\overline{y}}.$

б. Сумма по модулю 2 двойственна к эквивалентности, так как $x\sim y=\overline{x\oplus y}=\overline{\overline{x}\oplus \overline{y}}$ .

Эти две функции являются и отрицанием друг друга, но неверно в общем случае, что функция д, будучи отрицанием функции $f$ , двойственна к $f:$ штрих Шеффера не есть функция, двойственная к конъюнкции, а стрелка Пирса не есть функция, двойственная к дизъюнкции, но конъюнкция двойственна к дизъюнкции и наоборот, а стрелка Пирса двойственна к штриху Шеффера и наоборот.

В общем случае в силу уже упомянутого свойства единственности дополнения в булевой алгебре функция $h$ , двойственная к функции $g$ , которая двойственна к $f$ , равна $f$ .

Определение 6.10. Функцию $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют самодвойственной, если она двойственна к себе самой, т.е.

$\bigl(\forall\widetilde{\alpha}\in\{0;1\}^n\bigr)\bigl(f(\widetilde{\alpha})= \overline{f}(\overline{\widetilde{\alpha}})\bigr)$ , или $\bigl(\forall \widetilde{\alpha}\in\{0;1\}^n\bigr)\bigl(f(\overline{\widetilde{\alpha}})= \overline{f}(\widetilde{\alpha})\bigr).$

Таким образом, функция самодвойственна тогда и только тогда, когда на взаимно противоположных наборах она принимает взаимно противоположные значения. Следовательно, для того чтобы убедиться в несамодвойственности заданной функции $f$ , достаточно найти хотя бы одну пару взаимно противоположных наборов $\widetilde{\alpha}$ и $\overline{\widetilde{\alpha}}$ , таких, что значения функции на них совпадают, т.е. $f(\widetilde{\alpha})=f(\overline{\widetilde{\alpha}})$ . Так, мажоритарная функция является самодвойственной, а эквивалентность — нет, поскольку при $\widetilde{\alpha}=(0;0)$ имеем $0\sim0=1$ и $1\sim1=1$ .

Множество всех самодвойственных функций (при всех $n\geqslant1$ ) обозначим $S$ .

Определение 6.11. Функцию $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют монотонной, если для любых наборов $\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta}\in\mathcal{B}^n$ , таких, что $\widetilde{\alpha}\leqslant \widetilde{\beta}$ , имеет место $f(\widetilde{\alpha})\leqslant f(\widetilde{\beta})$ .

Другими словами, функция монотонна тогда и только тогда, когда для любого набора $\widetilde{\alpha}$ имеет место следующее свойство: если значение функции на наборе $\widetilde{\alpha}$ равно 1, то оно равно 1 и на всех наборах, строго больших (по отношению булева порядка на $\mathbb{B}^n$ ) набора $\widetilde{\alpha}$ . Любой минимальный (относительно того же порядка) набор $\widetilde{\alpha}$ , для которого значение $f(\widetilde{\alpha})$ монотонной функции $f$ равно 1, называют нижней единицей функции $f$ . Очевидно, что вектор значений монотонной булевой функции полностью определяется множеством ее нижних единиц*. Мажоритарная функция монотонна, и множество ее нижних единиц есть $\{011,101,110\}$ . Штрих Шеффера — немонотонная функция, так как $00<11$ , но $0|0=1$ , а $1|1=0$ . Множество всех монотонных функций принято обозначать через $M$ .

*Нетрудно понять, что множество нижних единиц монотонной функции $f$ есть множество всех минимальных элементов множества $C_f^1$ — конституент единицы функции $f$ .

Определение 6.12. Функцию $f\in\mathcal{P}_{2,n}$ называют линейной, если она может быть представлена полиномом Жегалкина первой степени от п переменных, т.е. формулой вида (6.20).

Множество всех линейных функций принято обозначать через $L$ .

Любая булева константа и любая проектирующая функция х являются линейными функциями. Такова, разумеется, сумма по модулю 2. Отрицание также линейно, ибо $\overline{x}= x\oplus1$ . Конъюнкция и дизъюнкция не являются линейными функциями, так как не могут быть представлены полиномом Жегалкина первой степени (см. теорему 6.4).

Определение 6.13. Множества функций $T_0,\,T_1,\,S,\,M,\,L$ называются классами Поста.

Замечание 6.9. Каждый класс Поста состоит из функций с соответствующим свойством для любого числа переменных. Можно доказать также, что если функция $f$ принадлежит какому-то классу Поста $C$ , то и любая функция, равная функции $f$ , принадлежит этому же классу. Другими словами, добавление или удаление фиктивных переменных не выводит за пределы любого из классов Поста.

Полезно еще заметить, что любая проектирующая функция х принадлежит одновременно всем пяти классам Поста. Действительно, если $f(x)=x$ , то $f(0)=0$ и $f(1)=1$ , то есть $f\in T_0\cap T_1$ . Отсюда же вытекает и самодвойственность функции $x$ . Монотонность следует из того, что $0<1$ и $f(0)=0<f(1)=1$ . Линейность очевидна.

В то же время существуют функции, не принадлежащие ни одному из классов Поста. Таков, например, штрих Шеффера. Все свойства, кроме нелинейности, следуют прямо из таблицы этой функции. Нелинейность же доказывается выводом полинома Жегалкина для штриха Шеффера: $x|y=\overline{x\cdot y}=x\cdot y\oplus1$ , что не есть полином Жегалкина первой степени.

Фундаментальным свойством каждого класса Поста является его замкнутость (в смысле определения 6.3). Это означает для любого из классов Поста $C$ , что всякая суперпозиция над $C$ снова есть элемент $C$ .

Теорема о замкнутости классов Поста

Теорема 6.5. Каждый класс Поста замкнут.

Нужно для каждого класса Поста $C\in\{T_0,T_1,S,M,L\}$ доказать, что замыкание $[ C]$ множества булевых функций $C$ совпадает с $C$ . Пусть $f(g_1,\ldots,g_n)$ — какая-то суперпозиция над $C$ . Обозначим ее через $\varphi$ . Без ограничения общности можно считать, что все функции $f,g_1,\ldots, g_n\in \mathcal{P}_{2,n}$ (для некоторого $n$ ).

Рассуждаем, используя индукцию по определению суперпозиции. Если для каждого $i=\overline{1,n}$ функция $g_i=x_i$ , где $x_i$ — переменное, то $\varphi=f(x_1,\ldots,x_n)\in C$ . Предположим, что в суперпозиции $\varphi$ все функции $g_i$ есть элементы класса Поста $C$ (в частности, это может быть и соответствующая проектирующая функция, которая ввиду замечания 6.9 принадлежит всем классам Поста). Докажем, что и $\varphi=f(g_1,\ldots,g_n)\in C$ .

1. Если $C=T_0$ , то $\varphi(\widetilde{0})= f(g_1(\widetilde{0}),\ldots, g_2(\widetilde{0}))= f(0,\ldots,0)=0$ , так как $f,g_1,\ldots,g_n\in T_0$ . Следовательно, $\varphi\in T_0$ .

2. При $C=T_1$ рассуждаем точно так же.

3. Пусть $C=S$ . Фиксируем произвольно набор $\widetilde{\alpha}\in \{0;1\}^n$ . Вычислим (используя само двойственность всех функций):

$\varphi\bigl(\overline{\widetilde{\alpha}}\bigr)= f\bigl(g_1(\overline{\widetilde{\alpha}}), \ldots, g_2(\overline{\widetilde{\alpha}})\bigr)= f\bigl(\overline{g_1}(\widetilde{\alpha}),\ldots, \overline{g_n}(\widetilde{\alpha})\bigr)= \overline{f}\bigl(g_1(\widetilde{\alpha}), \ldots g_n(\widetilde{\alpha})\bigr)= \overline{\varphi}(\widetilde{\alpha}).$

Следовательно, $\varphi\in S$ .

4. $C=M$ . Берем произвольно наборы $\widetilde{\alpha}$ и $\widetilde{\beta}$ так, что $\widetilde{\alpha}\leqslant \widetilde{\beta}$ . Докажем, что $\varphi\in M$ . Имеем

$\varphi(\widetilde{\alpha})= f\bigl(g_1(\widetilde{\alpha}), \ldots g_n(\widetilde{\alpha}) \bigr)\leqslant f\bigl(g_1(\widetilde{\beta}), \ldots g_n(\widetilde{\beta})\bigr)= \varphi(\widetilde{\beta}).$

так как все функции $g_i,~i=\overline{1,n}$ , монотонны и тем самым вектор $(g_1(\widetilde{\alpha}), \ldots g_n(\widetilde{\alpha}))$ не больше вектора $(g_1(\widetilde{\beta}), \ldots g_n(\widetilde{\beta}))$ , а функция $f$ также монотонна. Тогда ясно, что $\varphi\in M$ .

5. Если же $C=L$ , то очевидно, что при подстановке в линейную функцию (полином Жегалкина первой степени) вместо ее переменных произвольных линейных функций получится снова линейная функция. Итак, мы доказали замкнутость каждого класса Поста.

Докажем теперь теорему, характеризующую одно важное свойство немонотонных функций.

Теорема 6.6. Если функция $f$ не является монотонной, т.е. $f\in M$ , то найдутся два таких набора $\widetilde{\alpha},\widetilde{\beta}$ , что

$\begin{aligned}\widetilde{\alpha}&= (\alpha_1,\ldots, \alpha_{i-1},0, \alpha_{i+1},\ldots, \alpha_n),\\ \widetilde{\beta}&= (\alpha_1,\ldots, \alpha_{i-1},1, \alpha_{i+1},\ldots, \alpha_n), \end{aligned}$

и $f(\widetilde{\alpha})=1,~f(\widetilde{\beta})=0$ , т.е. эти два набора различаются значениями в точности одной компоненты, а значение функции равно О на большем наборе и равно 1 на меньшем.

Так как функция $f$ не является монотонной, то найдутся такие два набора $\widetilde{\gamma}$ и $\widetilde{\delta}$ , что $\widetilde{\gamma}<\widetilde{\delta}$ , но $f(\widetilde{\gamma})=1,~ f(\widetilde{\delta})=0$ . Строгое неравенство $\widetilde{\gamma}< \widetilde{\delta}$ означает, что найдутся такие номера (не меньше одного) $1\leqslant i_1<i_2<\ldots< i_k\leqslant n$ , что

$\begin{aligned}\widetilde{\gamma}&=\bigl(\gamma_1,\ldots, \gamma_{i_1-1}, 0, \gamma_{i_1+1},\ldots, \gamma_{i_2-1},0,\ldots, \gamma_{i_2+1},\ldots, \gamma_{i_k-1},0, \gamma_{i_k+1},\ldots, \gamma_n \bigr),\\[2pt] \widetilde{\delta}&=\bigl(\gamma_1,\ldots, \gamma_{i_1-1}, 1, \gamma_{i_1+1},\ldots, \gamma_{i_2-1},1,\ldots, \gamma_{i_2+1},\ldots, \gamma_{i_k-1},1, \gamma_{i_k+1},\ldots, \gamma_n \bigr).\end{aligned}$

т.е. все компоненты наборов, кроме выделенных, с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ соответственно совпадают, а все компоненты с выделенными номерами у меньшего набора равны 0, а у большего равны 1. Построим монотонно возрастающую последовательность наборов

$\widetilde{\gamma}=\widetilde{\gamma}_0<\widetilde{\gamma}_1<\widetilde{\gamma}_2<\ldots <\widetilde{\gamma}_k=\widetilde{\delta}.$

так что для каждого $s\in\{1,2,\ldots,k\}$ набор $\widetilde{\gamma}_s$ получается из набора $\widetilde{\gamma}_{s-1}$ заменой нулевого значения компоненты с номером $i_s$ единичным. Поскольку $f(\widetilde{\gamma})=1$ , а $f(\widetilde{\delta})=0$ , то обязательно найдется такое $s\in\{1,2,\ldots,k\}$ , что $f(\widetilde{\gamma}_{s-1})=1$ , а $f(\widetilde{\gamma}_s)=0$ (на наборе $\widetilde{\gamma}_{s-1}$ значение функции еще равно 1, а на наборе $\widetilde{\gamma}_{s}$ оно уже равно 0). Полагая $\widetilde{\alpha}= \widetilde{\gamma}_{s-1}$ и $\widetilde{\beta}= \widetilde{\gamma}_{s}$ получим доказываемое.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]