Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Содержание 1. Формальные аксиоматические теории и натуральные числа 2. Формальная арифметика и ее свойства 3. Теорема Гёделя о неполноте 4. Гёдель и его роль в математической логике XX в Эта теорема, уже неоднократно встречавшаяся нам, утверждает, что любая непротиворечивая формальная аксиоматическая теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не является (абсолютно) полной. В настоящем параграфе дается доказательство этой теоремы, опирающееся на идеи и методы теорий алгоритмов. Тем самым будет еще раз продемонстрирована на самом высоком уровне теснейшая связь математической логики и теории алгоритмов — двух математических дисциплин, образующих фундамент всей современной математики. Наше изложение будет основываться на доказательстве, разработанном М.Арбибом. После доказательства теоремы 35.7 о том, что существует перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел, было заявлено, что она фактически включает в себя в неявном виде теорему Гёделя о неполноте формальной арифметики. Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы обосновать это заявление. Таким образом, в рамках общей теории алгоритмов, кроме тех теорем, которые были доказаны в двух предыдущих параграфах, будет продемонстрировано продвижение теории алгоритмов в направлении решения чисто логических проблем. Для этого сначала предстоит увязать терминологию логической проблемы о неполноте формальной арифметики с методологической терминологией общей теории алгоритмов, методами которой эта проблема будет решена. При этом утверждение теоремы 35.7 о существовании перечислимого, но неразрешимого множества натуральных чисел будет основополагающей предпосылкой для доказательства теоремы Гёделя, которую мы докажем в следующей формулировке: "Каждая адекватная со-непротиворечивая формальная арифметика неполна". Далее, мы поясним, что будем понимать под формальной арифметикой, а также определим и разъясним те понятия, которые участвуют в приведенной формулировке теоремы Гёделя. Начнем с формальных аксиоматических теорий. Формальные аксиоматические теории и натуральные числа Ранее было определено понятие формальной аксиоматической теории. Чтобы задать такую теорию $T$ , нужно задать алфавит (счетное множество символов); в множестве всех слов, составленных из букв данного алфавита, выделить подмножество, элементы которого будут называться формулами (или правильно построенными выражениями) данной теории; в множестве формул выделить те, которые будут называться аксиомами теории; наконец, должно быть задано конечное число отношений между формулами, называемых правилами вывода. При этом должны существовать эффективные процедуры (алгоритмы) для определения того, являются ли данные слова (выражения) формулами (т.е. правильно построенными выражениями), являются ли данные формулы аксиомами и, наконец, получается ли одна данная формула из ряда других Данных формул с помощью данного правила вывода. Это означает, что множество всех формул разрешимо и множество всех аксиом разрешимо. Следовательно, каждое из этих множеств перечислимо. Понятия вывода и теоремы в формальной аксиоматической теории даны в определении 28.2. Все теоремы, приводимые в настоящей лекции, в соответствии с нашей терминологией являются фактически метатеоремами, т.е. теоремами о свойствах (формальных) аксиоматически* теорий. Но поскольку здесь никакой конкретной аксиоматической теории мы не рассматриваем, никаких теорем такой теории не доказываем, т.е. никаких теорем, кроме метатеорем, здесь не будет, то мы метатеоремы будем называть просто теоремами. Теорема 37.1. Множество $\operatorname{Th}(T)$ всех теорем формальной аксиоматической теории Т перечислимо. Доказательство. Мы уже отметили, что множество аксиом формальной теории перечислимо, т. е. мы можем их эффективно перенумеровать $A_1,A_2,A_3,\ldots$ . Поскольку все формулы состоят из конечного числа букв (символов), все выводы содержат конечное число формул и каждый вывод использует лишь конечное число аксиом, то ясно, что для каждого натурального п существует лишь конечное число выводов, имеющих не более чем п формул (шагов) и использующих только аксиомы $\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ . Следовательно, двигаясь от $n=1$ к $n=2,~ n=3$ и т.д., можно эффективно перенумеровать все теоремы данной теории. Это и означает, что множество теорем перечислимо. Теперь от произвольных формальных теорий будем переходить к таким, которые так или иначе имеют дело с натуральными числами. Если мы хотим в нашей теории говорить о подмножестве $Q$ множества натуральных чисел, то мы должны иметь эффективный способ выписывания для каждого натурального п формулы $W_n$ , означающей, что $n\in Q$ . Более того, если мы сможем доказать, что формула $W_n$ является теоремой теории $T$ тогда и только тогда, когда $n\in Q$ , то будем говорить, что теория $T$ полуполна для $Q$ (или что в $T$ имеется полуполное описание $Q$ ). Точнее, это определение сформулируем так. Определение 37.2. Теория $T$ называется полуполной для множества натуральных чисел $Q\subseteq \mathbb{N}$ , если существует перечислимое множество формул $W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots$ , такое, что $Q=\{n\colon \vdash W_n\}$ . Определение 37.3. Теория $T$ называется полной для $Q$ , если она полуполна для $Q$ и мы также имеем формулу $\lnot W_n$ , которая интерпретируется как $n\notin Q$ , и мы можем доказать, что $\lnot W_n$ является теоремой теории $T$ тогда и только тогда, когда $n\notin Q$ . Другими словами, теория $T$ полна для $Q$ , если в $T$ для каждого п мы можем установить, принадлежит оно $Q$ или нет. Точнее, это означает, что теория $T$ называется полной для множества натуральных чисел $T$ , если она полуполна для $Q$ и полуполна для его дополнения $\overline{Q}$ . Теорема 37.4. Если теория $T$ полуполна для множества $Q$ , то $Q$ перечислимо. Доказательство. По определению полуполноты $T$ для $Q$ множество $Q$ есть множество номеров тех формул из некоторого перечислимого множества $\{W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\}$ формул, которые являются теоремами теории $T$ , т.е. принадлежит и множеству $\operatorname{Th}(T)$ . Таким образом, $Q$ есть множество номеров всех формул из множества $\operatorname{Th}(T)\cap \{W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\}$ . Каждое из этих пересекаемых множеств перечислимо: первое — по предыдущей теореме 37.1, второе — по сказанному в начале доказательства. Следовательно, и их пересечение, по теореме 35.5, перечислимо. Но тогда пере-цислимо и множество номеров тех формул, которые входят в это пересечение. Следствие 37.5. Если $Q$ перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел, то никакая формальная теория не может быть полной для $Q$ . Доказательство. Если множество $Q$ перечислимо, но неразрешимо, то в силу теоремы 35.6 его дополнение $\overline{Q}$ неперечис-лимо. Тогда по теореме 37.4 никакая теория $T$ не является полуполной для $\overline{Q}$ . Следовательно, никакая теория $T$ неполна для $Q$ . От этого следствия до теоремы Гёделя совсем недалеко. Для этого нужно средствами некоторой формальной теории $T$ развить теорию натуральных чисел, причем так, чтобы принадлежность чисел данному множеству $Q$ можно было трактовать адекватно (т. е. число п принадлежит $Q$ тогда и только тогда, когда некоторая эффективно сопоставленная ему формула теории $T$ является теоремой этой теории). Это возможно только тогда, когда $Q$ по меньшей мере перечислимо. Формальная арифметика и ее свойства Формальная арифметика как формальная аксиоматическая теория строится на базе формализованного исчисления предикатов, рассмотренного ранее. Предметные переменные $x_1,x_2,x_3,\ldots$ здесь будем называть числовыми, потому что вместо них будем подставлять натуральные числа. Предметная переменная называется свободной в формуле, если она не стоит под знаком квантора (общности или существования), и связанной — в противном случае. Формула называется замкнутой, если все ее предметные переменные связаны, и открытой, если в ней имеются свободные переменные. Замыканием формулы $F$ называется формула $C(F)$ , получающаяся из $F$ дописыванием спереди кванторов общности по всем переменным, свободным в $F$ . Ясно, что для любой $F$ формула $C(F)$ замкнута. Если $F$ замкнута, то $C(F)=F$ . Функция $C(F)$ вычислима. Отсюда следует, что класс замкнутых формул разрешим, поскольку .Рему принадлежит тогда и только тогда, когда $C(F)=F$ , и для распознавания этого равенства существует вычислительная процедура. С понятием подстановки в формулу мы уже знакомы. Если в формулу $F$ вместо символа (слова) $X$ везде, где он входит в $F$ , вставить слово (формулу) $H$ , то получим новое слово (формулу), обозначаемое $S_X^HF$ и называемое результатом подста-новки в $F$ слова $H$ вместо слова $X$ . Тогда ясно, что $\begin{gathered}S_X^H(\lnot F)\equiv \lnot S_X^HF;\qquad S_X^H(F\to G)\equiv S_X^HF\to S_X^HG;\\ \text{esli}~ i\ne j,~ \text{to}~ S_{x_i}^N(\forall x_j)(F)\equiv (\forall x_j)S_{x_i}^NF,~ S_{x_i}^N(\exists x_j)(F)\equiv (\exists x_j)S_{x_i}^NF. \end{gathered}$ Имея дело с натуральными числами, мы хотели бы иметь возможность подставлять их в формулы формальной теории (арифметики), т.е. иметь возможность говорить о числах на языке нашей формальной теории. Для этой цели в формальной теории необходимо иметь слова, которые служили бы названиями натуральных чисел. Такие слова называются нумералами. Нумерал числа п обозначается $n^{\ast}$ . Требование к этим названиям (именам) вполне естественное: различные числа должны называться различными именами, т.е. если $m\ne n$ , то $m^{\ast}\ne n^{\ast}$ . (Идея введения нумералов состоит в том, чтобы разделить вещи и имена этих вещей.) Таким образом, в формулы арифметики мы будем подставлять вместо числовых переменных $x_1,x_2,x_3,\ldots$ не сами натуральные числа $m,n,k,\ldots$ , а их нумералы (имена) $m^{\ast},n^{\ast},k^{\ast},\ldots$ соответственно. Наконец, мы можем сформулировать последнее требование (аксиому), которое мы предъявляем к формальной арифметике. Назовем его аксиомой арифметики: если предметная переменная jc, не связана в $F$ , то $\text{(AA)}\colon~ S_{x_i}^{n^{\ast}}F\to (\exists x_i)(F).$ Если ввести для $S_{x_i}^{n^{\ast}}F$ обозначение $F(n^{\ast})$ , то эта аксиома принимает вид: $\text{(AA)}\colon~ F(n^{\ast})\to (\exists x_i)(F).$ Это исключительно естественное требование: если формула $F$ превращается в истинное высказывание при подстановке в нее вместо переменной $x_i$ какого-нибудь натурального числа $n^{\ast}$ , то истинно и высказывание $(\exists x_i)(F)$ . Никаких других ограничений на формализацию арифметики не накладывается. Неважно, в частности, как определяются сложение и умножение натуральных чисел, как вводится отношение порядка, чем мы скрупулезно занимались при построении теории натуральных чисел на основе системы аксиом Пеано. Даже при таких самых общих допущениях на формализацию арифметики эта формализация будет подчиняться теореме Гёделя: если она будет непротиворечива, то она будет неполной. Итак, определившись с понятием формальной арифметики, посвятим оставшуюся часть этого пункта понятиям ю-непротиво-речивости, адекватности и полноты этой формальной теории, участвующим в точной формулировке теоремы Гёделя. Начнем с понятия непротиворечивости. Как и всякая аксиоматическая теория, формальная арифметика называется непротиворечивой, если в ней нельзя доказать какое-либо утверждение и его отрицание, т.е. если не существует такой формулы $F$ , что одновременно $\vdash F$ и $\vdash\lnot F$ . Предположим теперь, что для некоторой формулы $G(x)$ , содержащей свободно единственную предметную переменную х, установ-дено, что $\vdash G(n^{\ast})$ для всех натуральных чисел $n=0,1,2,3,\ldots$ . Даже если в формальной арифметике невозможно доказать $\vdash (\forall x)(G(x))$ , мы конечно же можем считать это утверждение следствием приведенного списка теорем. Следовательно, если в теории удастся доказать теорему $\vdash\lnot (\forall x)(G(x))$ , то такую формальную арифметику следует считать противоречивой. Определение 37.6. Формальная арифметика называется ω-непротиворечивой, если в ней нет такой формулы $G(x)$ с единственной свободной предметной переменной $x$ , что для всех натуральных чисел $n$ справедливы теоремы $\vdash G(n^{\ast})$ и $\vdash\lnot (\forall x)(G(x))$ . Теорема 37.7. Если формальная арифметика ^-непротиворечива, то она непротиворечива. Доказательство. В самом деле, если бы она была противоречива, то, как доказано в §27, после определения 27.1, все ее формулы были бы теоремами, в том числе и те, которые создают ω-противоречивость формальной арифметики, и последняя была бы ω-противоречива. Определение 37.8. Назовем n-местный предикат $P(x_1,\ldots,x_n)$ над множеством натуральных чисел $N$ вполне представимым в формальной арифметике, если существует такая формула $F(x_1,\ldots,x_n)$ , свободными предметными переменными которой являются п переменных $x_1,\ldots,x_n$ (и только они), что: а) для каждого набора $n$ натуральных чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ , для которого предикат $P$ превращается в истинное высказывание $P(a_1,\ldots,a_n)$ , имеет место теорема: $\vdash F(a_1^{\ast},\ldots,a_n^{\ast})$ ; б) для каждого набора $n$ натуральных чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ , для которого предикат $P$ превращается в ложное высказывание $P(a_1,\ldots,a_n)$ , имеет место теорема: $\vdash\lnot F(a_1^{\ast},\ldots,a_n^{\ast})$ . Таким образом, вполне представимость предиката в формальной арифметике означает, что мы средствами этой формальной теории всегда можем решить, превратится он в истинное или ложное высказывание при подстановке вместо всех его предметных переменных тех или иных натуральных чисел. Разъясним теперь понятие адекватности формальной арифметики, участвующее в формулировке теоремы Гёделя. Мы хотели бы иметь возможность отвечать на вопросы о перечислимых множествах в такой арифметике. В теореме 37.4 мы показали, что лишь перечислимые множества чисел могут иметь полуполное описание в формальной теории, т.е. существует перечислимое множество формул $W_0,W_1,W_2,\ldots$ , такое, что $Q=\{n\colon \vdash W_n\}$ . Адекватность нашей формальной теории (арифметики) могла бы означать, что она является полуполной для каждого перечислимого Множества натуральных чисел, т.е. что в ней имеет полуполное описание всякое множество, которое вообще может иметь такое описание хотя бы в какой-нибудь теории. В теореме 37.1 мы установили, что множество всех теорем фор. мальной теории перечислимо, т.е. все теоремы и, значит, приво-дящие к ним выводы (доказательства) могут быть эффективно перенумерованы. Возьмем наше множество $Q$ и соответствующее ему множество теорем $\{W_0,W_1,W_2,\ldots\}$ . Рассмотрим следующий предикат $P(x,y)\colon$ " $y$ — номер доказательства теоремы $W_x$ ". Если высказывание $P(m,n)$ истинно, то это означает, что $n$ есть номер вывода теоремы $W_m$ , что, в свою очередь, означает, что $m\in Q$ , т.е. $n$ есть номер вывода о том, что $m\in Q$ . Обратно, взяв конкретные числа $m$ и $n$ , мы можем эффективно построить теорему (формулу) $W_m$ и эффективно построить n-й вывод, после чего эффективно определить, является ли построенный вывод выводом теоремы $W_m$ , т.е. эффективно узнать, истинно ли высказывание $P(m,n)$ . Следовательно, $P(x,y)$ — такой вычислимый предикат, что $Q=\bigl\{x\colon (\exists y)(\lambda [P(x,y)]=1)\bigr\}$ . Сформулируем теперь определение. Определение 37.9. Формальная арифметика называется адекватной, если для каждого перечислимого множества $Q$ натуральных чисел существует вполне представимый в этой арифметике предикат $P(x,y)$ такой, что $Q=\bigl\{x\colon (\exists y)(\lambda [P(x,y)]=1)\bigr\}$ . Под полнотой формальной арифметики будем понимать абсолютную полноту, т.е. если для каждой замкнутой формулы $F$ этой теории либо она сама, либо ее отрицание является теоремой этой теории: $\vdash F$ или $\vdash\lnot F$ . Теперь мы можем перейти непосредственно к формулировке и доказательству теоремы Гёделя. Теорема Гёделя о неполноте Теорема утверждает следующее. Всякая ω-непротиворечивая и адекватная формальная арифметика не является полной. Доказательство Согласно теореме 35.7, выберем такое множество $Q$ натуральных чисел, которое перечислимо, но неразрешимо. Так как наша формальная арифметика адекватна, то существует вполне представимый в ней перидикат $P(x,y)$ такой, что $Q= \bigl\{x\colon\, (\exists y)\bigl(\lambda [P(x,y)]=1\bigr)\bigr\}.$ () Вполне представимость предиката $P(x,y)$ в формальной арифметике означает, что найдется такая формула $F(x,y)$ этой теории, содержащая лишь две свободных предметных переменных, что для каждой пары натуральных чисел $(a,b)$ , для которой $\lambda [P(a,b)]=1$ , имеет место теорема: $\vdash F(a^{\ast},b^{\ast})$ , а для каждой пары натуральных чисел $(a,b)$ , для которой $\lambda [P(a,b)]=1$ , имеет место теорема: $\vdash\lnot F(a^{ast},b^{\ast})$ . Применим к формуле $F(x,y)$ квантор общности по переменной $y$ . Получим формулу с единственной свободной предметной переменной $x\colon\, G(x)\equiv (\exists y)(F(x,y))$ . Покажем, что $Q= \bigl\{x\colon\, \vdash G(x^{\ast})\bigr\}.$ () Предположим, что $m\in Q$ . Тогда (согласно ()) найдется такое натуральное $n$ , что высказывание $P(m,n)$ истинно. Следовательно, имеет место теорема: $\vdash F(m^{\ast},n^{\ast})$ В силу аксиомы арифметики $\text{AA}$ имеем теорему: $\vdash F(m^{\ast},n^{\ast})\to (\exists y)\bigl(F(m^{\ast},y)\bigr).$ Из двух последних теорем по правилу МР заключаем: $\vdash (\exists y)\bigl(F(m^{\ast},y)\bigr)$ , то есть $\vdash G(m^{\ast})$ . Это означает, что $m\in \bigl\{x\colon \vdash G(x^{\ast})\bigr\}$ . Таким образом, $Q \subseteq \bigl\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\bigr\}$ . Обратно, предположим, что $m\in \bigl\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\bigr\}$ , то есть $\vdash G(m^{\ast})$ , то есть $\vdash (\exists y)(F(m^{\ast},y))$ . Отсюда, в силу известного выражения (по закону де Моргана) квантора существования через квантор общности, заключаем, что $\vdash\lnot (\forall y)\bigl(\lnot F(m^{\ast},y)\bigr).$ Поскольку наша формальная арифметика, кроме того, со-непро-тиворечива, то, ввиду наличия в ней последней теоремы, должно существовать такое натуральное число $n_0$ , что формула - $\lnot F(m^{\ast},n^{\ast}_0)$ не является теоремой этой арифметики. А раз так, то высказывание $P(m,n_0)$ истинно (если бы оно было ложно, то мы имели бы теорему $\vdash\lnot F(m^{\ast},n^{\ast}_0)$ , что не так). По определению () множества $Q$ , это означает, что $m\in Q$ . Таким образом, $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\subseteq Q$ . Итак, равенство () доказано. Теперь выясним, в каком отношении находятся между собой множества $\overline{Q}$ (дополнение $Q$ ) и $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}$ . Пусть me $m\in \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}$ , то есть $\vdash\lnot G(x^{\ast})$ . Тогда $m\in \overline{Q}$ , ибо если бы $m\in Q$ , то в силу () мы имели бы $\vdash G(m^{\ast})$ и наша формальная арифметика была бы противоречивой, но это не так в силу ее ©-непротиворечивости (по условию) и теоремы 37.7. Таким образом, $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\subseteq \overline{Q}$ . Покажем, что последнее включение является строгим. Напомним, что мы выбрали множество $Q$ перечислимым, но не являющимся разрешимым. Тогда согласно следствию 37.5 из теоремы 37.4, никакая формальная теория не может быть полной для $Q$ . Равенство () говорит, что наша формальная арифметика полуполна для $Q$ . Если бы имело место равенство $\overline{Q}= \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}$ , то это означало бы, что наша формальная арифметика полуполна и для $\overline{Q}$ и, значит, она была бы полной для $Q$ . Последнее невозможно в силу следствия 37.5 из теоремы_37.4. Следовательно, $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\ne \overline{Q}$ . Итак, $\{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}\subset \overline{Q}$ . Следовательно, существует такое число $m_0\in \overline{Q}$ , что $m_0\notin \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}$ , т. е. неверно, что $\vdash\lnot G(m_0^{\ast})$ . В тоже время неверно также, что $\vdash G(m_0^{\ast})$ , поскольку это, в силу (), означало бы, что $m_0\in Q$ , а это не так. Следовательно, мы нашли формулу $G(m_0^{\ast})$ , такую, что ни она сама, ни ее отрицание $\lnot G(m_0^{\ast})$ не являются теоремами нашей формальной арифметики. Это и означает, что данная формальная арифметика не является полной. Теорема Гёделя полностью доказана. Обратимся еще раз к высказыванию $\lnot G(m_0^{\ast})$ . Согласно равенству (*), его можно интерпретировать как $m_0\in \overline{Q}$ и, следовательно, оно обязательно является "истинным" высказыванием. Но тем не менее оно не является теоремой нашей формальной арифметики. Если добавить формулу $G(m_0^{\ast})$ к списку аксиом и рассмотреть новую формальную арифметику, то положение не изменится: для вновь полученной формальной арифметики верны все те предпосылки, которые привели нас к теореме Гёделя. Значит, мы снова найдем такое число $m_1$ , что высказывание $\lnot G(m_1^{\ast})$ истинно, но не является теоремой новой формальной арифметики и т.д. Гёдель и его роль в математической логике XX в Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 г. в г. Брюнне (ныне г. Брно в Чехии). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию и был доцентом в период 1933— 1938 гг. После оккупации Австрии фашистской Германией эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работает в Принстонском институте высших исследований (с 1953 г. он профессор этого института). Гёдель — почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества. В 1951 г. Гёдель удостоен высшей научной награды США — Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал: "Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это — больше, чем просто монумент, это веха, разделяющая две эпохи... Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки". Гёдель заложил основы целых разделов математической логики: теории моделей (1930), конструктивной логики (1932—1933), формальной арифметики (1932—1933), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934), аксиоматической теории множеств (1938). Гёдель умер в Принстоне (США) 14 января 1978 г. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Эта теорема, уже неоднократно встречавшаяся нам, утверждает, что любая непротиворечивая формальная аксиоматическая теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не является (абсолютно) полной. В настоящем параграфе дается доказательство этой теоремы, опирающееся на идеи и методы теорий алгоритмов. Тем самым будет еще раз продемонстрирована на самом высоком уровне теснейшая связь математической логики и теории алгоритмов — двух математических дисциплин, образующих фундамент всей современной математики. Наше изложение будет основываться на доказательстве, разработанном М.Арбибом.

После доказательства теоремы 35.7 о том, что существует перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел, было заявлено, что она фактически включает в себя в неявном виде теорему Гёделя о неполноте формальной арифметики. Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы обосновать это заявление. Таким образом, в рамках общей теории алгоритмов, кроме тех теорем, которые были доказаны в двух предыдущих параграфах, будет продемонстрировано продвижение теории алгоритмов в направлении решения чисто логических проблем. Для этого сначала предстоит увязать терминологию логической проблемы о неполноте формальной арифметики с методологической терминологией общей теории алгоритмов, методами которой эта проблема будет решена. При этом утверждение теоремы 35.7 о существовании перечислимого, но неразрешимого множества натуральных чисел будет основополагающей предпосылкой для доказательства теоремы Гёделя, которую мы докажем в следующей формулировке: "Каждая адекватная со-непротиворечивая формальная арифметика неполна". Далее, мы поясним, что будем понимать под формальной арифметикой, а также определим и разъясним те понятия, которые участвуют в приведенной формулировке теоремы Гёделя. Начнем с формальных аксиоматических теорий.

Формальные аксиоматические теории и натуральные числа

Ранее было определено понятие формальной аксиоматической теории. Чтобы задать такую теорию $T$ , нужно задать алфавит (счетное множество символов); в множестве всех слов, составленных из букв данного алфавита, выделить подмножество, элементы которого будут называться формулами (или правильно построенными выражениями) данной теории; в множестве формул выделить те, которые будут называться аксиомами теории; наконец, должно быть задано конечное число отношений между формулами, называемых правилами вывода. При этом должны существовать эффективные процедуры (алгоритмы) для определения того, являются ли данные слова (выражения) формулами (т.е. правильно построенными выражениями), являются ли данные формулы аксиомами и, наконец, получается ли одна данная формула из ряда других Данных формул с помощью данного правила вывода. Это означает, что множество всех формул разрешимо и множество всех аксиом разрешимо. Следовательно, каждое из этих множеств перечислимо.

Понятия вывода и теоремы в формальной аксиоматической теории даны в определении 28.2.

Все теоремы, приводимые в настоящей лекции, в соответствии с нашей терминологией являются фактически метатеоремами, т.е. теоремами о свойствах (формальных) аксиоматически* теорий. Но поскольку здесь никакой конкретной аксиоматической теории мы не рассматриваем, никаких теорем такой теории не доказываем, т.е. никаких теорем, кроме метатеорем, здесь не будет, то мы метатеоремы будем называть просто теоремами.

Теорема 37.1. Множество $\operatorname{Th}(T)$ всех теорем формальной аксиоматической теории Т перечислимо.

Доказательство. Мы уже отметили, что множество аксиом формальной теории перечислимо, т. е. мы можем их эффективно перенумеровать $A_1,A_2,A_3,\ldots$ . Поскольку все формулы состоят из конечного числа букв (символов), все выводы содержат конечное число формул и каждый вывод использует лишь конечное число аксиом, то ясно, что для каждого натурального п существует лишь конечное число выводов, имеющих не более чем п формул (шагов) и использующих только аксиомы $\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ . Следовательно, двигаясь от $n=1$ к $n=2,~ n=3$ и т.д., можно эффективно перенумеровать все теоремы данной теории. Это и означает, что множество теорем перечислимо.

Теперь от произвольных формальных теорий будем переходить к таким, которые так или иначе имеют дело с натуральными числами. Если мы хотим в нашей теории говорить о подмножестве $Q$ множества натуральных чисел, то мы должны иметь эффективный способ выписывания для каждого натурального п формулы $W_n$ , означающей, что $n\in Q$ . Более того, если мы сможем доказать, что формула $W_n$ является теоремой теории $T$ тогда и только тогда, когда $n\in Q$ , то будем говорить, что теория $T$ полуполна для $Q$ (или что в $T$ имеется полуполное описание $Q$ ). Точнее, это определение сформулируем так.

Определение 37.2. Теория $T$ называется полуполной для множества натуральных чисел $Q\subseteq \mathbb{N}$ , если существует перечислимое множество формул $W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots$ , такое, что $Q=\{n\colon \vdash W_n\}$ .

Определение 37.3. Теория $T$ называется полной для $Q$ , если она полуполна для $Q$ и мы также имеем формулу $\lnot W_n$ , которая интерпретируется как $n\notin Q$ , и мы можем доказать, что $\lnot W_n$ является теоремой теории $T$ тогда и только тогда, когда $n\notin Q$ . Другими словами, теория $T$ полна для $Q$ , если в $T$ для каждого п мы можем установить, принадлежит оно $Q$ или нет. Точнее, это означает, что теория $T$ называется полной для множества натуральных чисел $T$ , если она полуполна для $Q$ и полуполна для его дополнения $\overline{Q}$ .

Теорема 37.4. Если теория $T$ полуполна для множества $Q$ , то $Q$ перечислимо.

Доказательство. По определению полуполноты $T$ для $Q$ множество $Q$ есть множество номеров тех формул из некоторого перечислимого множества $\{W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\}$ формул, которые являются теоремами теории $T$ , т.е. принадлежит и множеству $\operatorname{Th}(T)$ . Таким образом, $Q$ есть множество номеров всех формул из множества $\operatorname{Th}(T)\cap \{W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\}$ . Каждое из этих пересекаемых множеств перечислимо: первое — по предыдущей теореме 37.1, второе — по сказанному в начале доказательства. Следовательно, и их пересечение, по теореме 35.5, перечислимо. Но тогда пере-цислимо и множество номеров тех формул, которые входят в это пересечение.

Следствие 37.5. Если $Q$ перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел, то никакая формальная теория не может быть полной для $Q$ .

Доказательство. Если множество $Q$ перечислимо, но неразрешимо, то в силу теоремы 35.6 его дополнение $\overline{Q}$ неперечис-лимо. Тогда по теореме 37.4 никакая теория $T$ не является полуполной для $\overline{Q}$ . Следовательно, никакая теория $T$ неполна для $Q$ .

От этого следствия до теоремы Гёделя совсем недалеко. Для этого нужно средствами некоторой формальной теории $T$ развить теорию натуральных чисел, причем так, чтобы принадлежность чисел данному множеству $Q$ можно было трактовать адекватно (т. е. число п принадлежит $Q$ тогда и только тогда, когда некоторая эффективно сопоставленная ему формула теории $T$ является теоремой этой теории). Это возможно только тогда, когда $Q$ по меньшей мере перечислимо.

Формальная арифметика и ее свойства

Формальная арифметика как формальная аксиоматическая теория строится на базе формализованного исчисления предикатов, рассмотренного ранее. Предметные переменные $x_1,x_2,x_3,\ldots$ здесь будем называть числовыми, потому что вместо них будем подставлять натуральные числа.

Предметная переменная называется свободной в формуле, если она не стоит под знаком квантора (общности или существования), и связанной — в противном случае. Формула называется замкнутой, если все ее предметные переменные связаны, и открытой, если в ней имеются свободные переменные. Замыканием формулы $F$ называется формула $C(F)$ , получающаяся из $F$ дописыванием спереди кванторов общности по всем переменным, свободным в $F$ . Ясно, что для любой $F$ формула $C(F)$ замкнута. Если $F$ замкнута, то $C(F)=F$ .

Функция $C(F)$ вычислима. Отсюда следует, что класс замкнутых формул разрешим, поскольку .Рему принадлежит тогда и только тогда, когда $C(F)=F$ , и для распознавания этого равенства существует вычислительная процедура.

С понятием подстановки в формулу мы уже знакомы. Если в формулу $F$ вместо символа (слова) $X$ везде, где он входит в $F$ , вставить слово (формулу) $H$ , то получим новое слово (формулу), обозначаемое $S_X^HF$ и называемое результатом подста-новки в $F$ слова $H$ вместо слова $X$ . Тогда ясно, что

$\begin{gathered}S_X^H(\lnot F)\equiv \lnot S_X^HF;\qquad S_X^H(F\to G)\equiv S_X^HF\to S_X^HG;\\ \text{esli}~ i\ne j,~ \text{to}~ S_{x_i}^N(\forall x_j)(F)\equiv (\forall x_j)S_{x_i}^NF,~ S_{x_i}^N(\exists x_j)(F)\equiv (\exists x_j)S_{x_i}^NF. \end{gathered}$

Имея дело с натуральными числами, мы хотели бы иметь возможность подставлять их в формулы формальной теории (арифметики), т.е. иметь возможность говорить о числах на языке нашей формальной теории. Для этой цели в формальной теории необходимо иметь слова, которые служили бы названиями натуральных чисел. Такие слова называются нумералами. Нумерал числа п обозначается $n^{\ast}$ . Требование к этим названиям (именам) вполне естественное: различные числа должны называться различными именами, т.е. если $m\ne n$ , то $m^{\ast}\ne n^{\ast}$ . (Идея введения нумералов состоит в том, чтобы разделить вещи и имена этих вещей.)

Таким образом, в формулы арифметики мы будем подставлять вместо числовых переменных $x_1,x_2,x_3,\ldots$ не сами натуральные числа $m,n,k,\ldots$ , а их нумералы (имена) $m^{\ast},n^{\ast},k^{\ast},\ldots$ соответственно.

Наконец, мы можем сформулировать последнее требование (аксиому), которое мы предъявляем к формальной арифметике. Назовем его аксиомой арифметики: если предметная переменная jc, не связана в $F$ , то

$\text{(AA)}\colon~ S_{x_i}^{n^{\ast}}F\to (\exists x_i)(F).$

Если ввести для $S_{x_i}^{n^{\ast}}F$ обозначение $F(n^{\ast})$ , то эта аксиома принимает вид:

$\text{(AA)}\colon~ F(n^{\ast})\to (\exists x_i)(F).$

Это исключительно естественное требование: если формула $F$ превращается в истинное высказывание при подстановке в нее вместо переменной $x_i$ какого-нибудь натурального числа $n^{\ast}$ , то истинно и высказывание $(\exists x_i)(F)$ .

Никаких других ограничений на формализацию арифметики не накладывается. Неважно, в частности, как определяются сложение и умножение натуральных чисел, как вводится отношение порядка, чем мы скрупулезно занимались при построении теории натуральных чисел на основе системы аксиом Пеано. Даже при таких самых общих допущениях на формализацию арифметики эта формализация будет подчиняться теореме Гёделя: если она будет непротиворечива, то она будет неполной.

Итак, определившись с понятием формальной арифметики, посвятим оставшуюся часть этого пункта понятиям ю-непротиво-речивости, адекватности и полноты этой формальной теории, участвующим в точной формулировке теоремы Гёделя.

Начнем с понятия непротиворечивости. Как и всякая аксиоматическая теория, формальная арифметика называется непротиворечивой, если в ней нельзя доказать какое-либо утверждение и его отрицание, т.е. если не существует такой формулы $F$ , что одновременно $\vdash F$ и $\vdash\lnot F$ .

Предположим теперь, что для некоторой формулы $G(x)$ , содержащей свободно единственную предметную переменную х, установ-дено, что $\vdash G(n^{\ast})$ для всех натуральных чисел $n=0,1,2,3,\ldots$ . Даже если в формальной арифметике невозможно доказать $\vdash (\forall x)(G(x))$ , мы конечно же можем считать это утверждение следствием приведенного списка теорем. Следовательно, если в теории удастся доказать теорему $\vdash\lnot (\forall x)(G(x))$ , то такую формальную арифметику следует считать противоречивой.

Определение 37.6. Формальная арифметика называется ω-непротиворечивой, если в ней нет такой формулы $G(x)$ с единственной свободной предметной переменной $x$ , что для всех натуральных чисел $n$ справедливы теоремы $\vdash G(n^{\ast})$ и $\vdash\lnot (\forall x)(G(x))$ .

Теорема 37.7. Если формальная арифметика ^-непротиворечива, то она непротиворечива.

Доказательство. В самом деле, если бы она была противоречива, то, как доказано в §27, после определения 27.1, все ее формулы были бы теоремами, в том числе и те, которые создают ω-противоречивость формальной арифметики, и последняя была бы ω-противоречива.

Определение 37.8. Назовем n-местный предикат $P(x_1,\ldots,x_n)$ над множеством натуральных чисел $N$ вполне представимым в формальной арифметике, если существует такая формула $F(x_1,\ldots,x_n)$ , свободными предметными переменными которой являются п переменных $x_1,\ldots,x_n$ (и только они), что:

а) для каждого набора $n$ натуральных чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ , для которого предикат $P$ превращается в истинное высказывание $P(a_1,\ldots,a_n)$ , имеет место теорема: $\vdash F(a_1^{\ast},\ldots,a_n^{\ast})$ ;

б) для каждого набора $n$ натуральных чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ , для которого предикат $P$ превращается в ложное высказывание $P(a_1,\ldots,a_n)$ , имеет место теорема: $\vdash\lnot F(a_1^{\ast},\ldots,a_n^{\ast})$ .

Таким образом, вполне представимость предиката в формальной арифметике означает, что мы средствами этой формальной теории всегда можем решить, превратится он в истинное или ложное высказывание при подстановке вместо всех его предметных переменных тех или иных натуральных чисел.

Разъясним теперь понятие адекватности формальной арифметики, участвующее в формулировке теоремы Гёделя. Мы хотели бы иметь возможность отвечать на вопросы о перечислимых множествах в такой арифметике. В теореме 37.4 мы показали, что лишь перечислимые множества чисел могут иметь полуполное описание в формальной теории, т.е. существует перечислимое множество формул $W_0,W_1,W_2,\ldots$ , такое, что $Q=\{n\colon \vdash W_n\}$ . Адекватность нашей формальной теории (арифметики) могла бы означать, что она является полуполной для каждого перечислимого Множества натуральных чисел, т.е. что в ней имеет полуполное описание всякое множество, которое вообще может иметь такое описание хотя бы в какой-нибудь теории.

В теореме 37.1 мы установили, что множество всех теорем фор. мальной теории перечислимо, т.е. все теоремы и, значит, приво-дящие к ним выводы (доказательства) могут быть эффективно перенумерованы. Возьмем наше множество $Q$ и соответствующее ему множество теорем $\{W_0,W_1,W_2,\ldots\}$ . Рассмотрим следующий предикат $P(x,y)\colon$ " $y$ — номер доказательства теоремы $W_x$ ". Если высказывание $P(m,n)$ истинно, то это означает, что $n$ есть номер вывода теоремы $W_m$ , что, в свою очередь, означает, что $m\in Q$ , т.е. $n$ есть номер вывода о том, что $m\in Q$ . Обратно, взяв конкретные числа $m$ и $n$ , мы можем эффективно построить теорему (формулу) $W_m$ и эффективно построить n-й вывод, после чего эффективно определить, является ли построенный вывод выводом теоремы $W_m$ , т.е. эффективно узнать, истинно ли высказывание $P(m,n)$ . Следовательно, $P(x,y)$ — такой вычислимый предикат, что $Q=\bigl\{x\colon (\exists y)(\lambda [P(x,y)]=1)\bigr\}$ .

Сформулируем теперь определение.

Определение 37.9. Формальная арифметика называется адекватной, если для каждого перечислимого множества $Q$ натуральных чисел существует вполне представимый в этой арифметике предикат $P(x,y)$ такой, что $Q=\bigl\{x\colon (\exists y)(\lambda [P(x,y)]=1)\bigr\}$ .

Под полнотой формальной арифметики будем понимать абсолютную полноту, т.е. если для каждой замкнутой формулы $F$ этой теории либо она сама, либо ее отрицание является теоремой этой теории: $\vdash F$ или $\vdash\lnot F$ .

Теперь мы можем перейти непосредственно к формулировке и доказательству теоремы Гёделя.

Теорема Гёделя о неполноте

Теорема утверждает следующее. Всякая ω-непротиворечивая и адекватная формальная арифметика не является полной.

Доказательство

Согласно теореме 35.7, выберем такое множество $Q$ натуральных чисел, которое перечислимо, но неразрешимо. Так как наша формальная арифметика адекватна, то существует вполне представимый в ней перидикат $P(x,y)$ такой, что

$Q= \bigl\{x\colon\, (\exists y)\bigl(\lambda [P(x,y)]=1\bigr)\bigr\}.$

(*)

Вполне представимость предиката $P(x,y)$ в формальной арифметике означает, что найдется такая формула $F(x,y)$ этой теории, содержащая лишь две свободных предметных переменных, что для каждой пары натуральных чисел $(a,b)$ , для которой $\lambda [P(a,b)]=1$ , имеет место теорема: $\vdash F(a^{\ast},b^{\ast})$ , а для каждой пары натуральных чисел $(a,b)$ , для которой $\lambda [P(a,b)]=1$ , имеет место теорема: $\vdash\lnot F(a^{ast},b^{\ast})$ .

Применим к формуле $F(x,y)$ квантор общности по переменной $y$ . Получим формулу с единственной свободной предметной переменной $x\colon\, G(x)\equiv (\exists y)(F(x,y))$ . Покажем, что

$Q= \bigl\{x\colon\, \vdash G(x^{\ast})\bigr\}.$

(**)

Предположим, что $m\in Q$ . Тогда (согласно (*)) найдется такое натуральное $n$ , что высказывание $P(m,n)$ истинно. Следовательно, имеет место теорема: $\vdash F(m^{\ast},n^{\ast})$ В силу аксиомы арифметики $\text{AA}$ имеем теорему:

$\vdash F(m^{\ast},n^{\ast})\to (\exists y)\bigl(F(m^{\ast},y)\bigr).$

Из двух последних теорем по правилу МР заключаем:

$\vdash (\exists y)\bigl(F(m^{\ast},y)\bigr)$ , то есть $\vdash G(m^{\ast})$ .

Это означает, что $m\in \bigl\{x\colon \vdash G(x^{\ast})\bigr\}$ . Таким образом, $Q \subseteq \bigl\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\bigr\}$ .

Обратно, предположим, что $m\in \bigl\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\bigr\}$ , то есть $\vdash G(m^{\ast})$ , то есть $\vdash (\exists y)(F(m^{\ast},y))$ . Отсюда, в силу известного выражения (по закону де Моргана) квантора существования через квантор общности, заключаем, что

$\vdash\lnot (\forall y)\bigl(\lnot F(m^{\ast},y)\bigr).$

Поскольку наша формальная арифметика, кроме того, со-непро-тиворечива, то, ввиду наличия в ней последней теоремы, должно существовать такое натуральное число $n_0$ , что формула - $\lnot F(m^{\ast},n^{\ast}_0)$ не является теоремой этой арифметики. А раз так, то высказывание $P(m,n_0)$ истинно (если бы оно было ложно, то мы имели бы теорему $\vdash\lnot F(m^{\ast},n^{\ast}_0)$ , что не так). По определению (*) множества $Q$ , это означает, что $m\in Q$ . Таким образом, $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\subseteq Q$ . Итак, равенство (**) доказано.

Теперь выясним, в каком отношении находятся между собой множества $\overline{Q}$ (дополнение $Q$ ) и $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}$ . Пусть me $m\in \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}$ , то есть $\vdash\lnot G(x^{\ast})$ . Тогда $m\in \overline{Q}$ , ибо если бы $m\in Q$ , то в силу (**) мы имели бы $\vdash G(m^{\ast})$ и наша формальная арифметика была бы противоречивой, но это не так в силу ее ©-непротиворечивости (по условию) и теоремы 37.7. Таким образом, $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\subseteq \overline{Q}$ .

Покажем, что последнее включение является строгим. Напомним, что мы выбрали множество $Q$ перечислимым, но не являющимся разрешимым. Тогда согласно следствию 37.5 из теоремы 37.4, никакая формальная теория не может быть полной для $Q$ . Равенство (**) говорит, что наша формальная арифметика полуполна для $Q$ . Если бы имело место равенство $\overline{Q}= \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}$ , то это означало бы, что наша формальная арифметика полуполна и для $\overline{Q}$ и, значит, она была бы полной для $Q$ . Последнее невозможно в силу следствия 37.5 из теоремы_37.4. Следовательно, $\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\ne \overline{Q}$ .

Итак, $\{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}\subset \overline{Q}$ . Следовательно, существует такое число $m_0\in \overline{Q}$ , что $m_0\notin \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}$ , т. е. неверно, что $\vdash\lnot G(m_0^{\ast})$ . В тоже время неверно также, что $\vdash G(m_0^{\ast})$ , поскольку это, в силу (**), означало бы, что $m_0\in Q$ , а это не так. Следовательно, мы нашли формулу $G(m_0^{\ast})$ , такую, что ни она сама, ни ее отрицание $\lnot G(m_0^{\ast})$ не являются теоремами нашей формальной арифметики. Это и означает, что данная формальная арифметика не является полной.

Теорема Гёделя полностью доказана.

Обратимся еще раз к высказыванию $\lnot G(m_0^{\ast})$ . Согласно равенству (**), его можно интерпретировать как $m_0\in \overline{Q}$ и, следовательно, оно обязательно является "истинным" высказыванием. Но тем не менее оно не является теоремой нашей формальной арифметики. Если добавить формулу $G(m_0^{\ast})$ к списку аксиом и рассмотреть новую формальную арифметику, то положение не изменится: для вновь полученной формальной арифметики верны все те предпосылки, которые привели нас к теореме Гёделя. Значит, мы снова найдем такое число $m_1$ , что высказывание $\lnot G(m_1^{\ast})$ истинно, но не является теоремой новой формальной арифметики и т.д.

Гёдель и его роль в математической логике XX в

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 г. в г. Брюнне (ныне г. Брно в Чехии). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию и был доцентом в период 1933— 1938 гг. После оккупации Австрии фашистской Германией эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работает в Принстонском институте высших исследований (с 1953 г. он профессор этого института). Гёдель — почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества. В 1951 г. Гёдель удостоен высшей научной награды США — Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал: "Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это — больше, чем просто монумент, это веха, разделяющая две эпохи... Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки". Гёдель заложил основы целых разделов математической логики: теории моделей (1930), конструктивной логики (1932—1933), формальной арифметики (1932—1933), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934), аксиоматической теории множеств (1938). Гёдель умер в Принстоне (США) 14 января 1978 г.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]