Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Тавтологии логики предикатов
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Тавтологии логики предикатов Нахождение тавтологий является одной из важнейших задач логики предикатов, как и алгебры высказываний. Но если в алгебре высказываний имеется общий метод определения, является или нет данная формула тавтологией (это — метод составления таблицы истинности для формулы), то в логике предикатов такого общего метода не существует. Каждая формула подлежит изучению индивидуальным методом на тождественную истинность. Дело здесь в том, что каждое высказывание имеет только одно из двух логических значений: "истина" или "ложь"", тогда как значение предиката зависит от выбора значений его предметных переменных, который, вообще говоря, можно сделать бесконечным числом способов. Рассмотрим наиболее важные тавтологии логики предикатов. О значении тавтологий алгебры высказываний подробно говорилось ранее. Все сказанное там сохраняет свое значение и для тавтологий логики предикатов. Но, как уже отмечалось, язык логики предикатов более тонок, а поэтому тавтологии логики предикатов более тонко отражают процессы логических умозаключений. Рассмотрение тавтологий логики предикатов начнем с установления того, что простейшие ее тавтологии получаются из тавтологий алгебры высказываний, а тавтологии алгебры высказываний образуют часть тавтологий логики предикатов. Теорема 21.8. Всякая формула, получающаяся из тавтологии алгебры высказываний заменой входящих в нее пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов. Доказательство. Пусть $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ — тавтология алгебры высказываний и $P_1(x_1,x_2,\ldots,x_{m_1}),\quad P_2(y_1,y_2,\ldots,y_{m_2}),\quad \ldots,\quad P_n(z_1,z_2,\ldots,z_{m_n})$ являются предикатные переменные. Подставим их в данную формулу вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ соответственно. Получим формулу логики предикатов: $F\bigl(P_1(x_1,\ldots,x_{m_1}),\ldots, P_n(z_1,\ldots,z_{m_n})\bigr)$ . Если теперь вместо предикатных переменных подставить произвольные конкретные предикаты $A_1(x_1, \ldots, x_{m_1}),\ldots, A_n(z_1,\ldots,z_{m_n})$ , то формула превратится в конкретный предикат $F\bigl(A_1(x_1,\ldots,x_{m_1}),\ldots, A_n(z_1, \ldots, z_{m_n})\bigr)$ . Этот предикат тождественно истинный, потому что подстановка вместо предметных переменных $x_1,\ldots,x_{m_1},\ldots, z_1, \ldots, z_{m_n}$ любых конкретных предметов $a_1, \ldots, a_{m_1},\ldots,c_1, \ldots, c_{m_n}$ из соответствующих множеств превращает данный предикат в высказывание $F\bigl(A_1(x_1,\ldots,x_{m_1}),\ldots, A_n(z_1, \ldots, z_{m_n}) \bigr)$ , которое может быть получено также в результате подстановки в исходную тавтологию $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ алгебры высказываний вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ конкретных высказываний $A_1(a_1, \ldots, a_{m_1}),\ldots, A_n(c_1, \ldots, c_{m_n})$ соответственно и потому истинно. Следовательно, формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ логики предикатов также является тавтологией. Теорема доказана. В последующих теоремах приводятся наиболее важные тавтологии логики предикатов, не сводящиеся к тавтологиям алгебры высказываний. Все такие тавтологии содержат кванторы. Законы де Моргана для кванторов Теорема 21.9 (законы де Моргана для кванторов). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями: а) $\lnot (\forall x)(P(x)) \leftrightarrow (\exists x)(\lnot P(x))$ ; б) $\lnot (\exists x)(P(x)) \leftrightarrow (\forall x)(\lnot P(x))$ . Доказательство. Докажем тождественную истинность формулы а). (Тождественную истинность формулы б) предлагается проверить самостоятельно.) Данная формула замкнута, т. е. не имеет свободных предметных переменных. Поэтому, подставив в эту формулу вместо предикатной переменной $P(x)$ любой конкретный одноместный предикат $A(x)$ , определенный на некотором множестве $M$ , получим высказывание $\lnot (\forall x)\bigl(A(x)\bigr) \leftrightarrow (\exists x)\bigl(\lnot A(x)\bigr).$ (1) Для доказательства его истинности нужно убедиться, что обе части эквивалентности одновременно истинны или одновременно ложны. В самом деле, высказывание $\lnot (\forall x)(A(x))$ истинно тогда и только тогда, когда высказывание $(\forall x)(A(x))$ ложно, что возможно на основании определения 20.1 тогда и только тогда, когда предикат $A(x)$ опровержим. Далее, опровержимость предиката $A(z)$ означает выполнимость его отрицания $\lnot A(x)$ (обдумайте это!), что равносильно на основании определения 20.3 истинности высказывания $(\exists x)(\lnot A(x))$ . Итак, высказывание $\lnot (\forall x)(A(x))$ истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание $(\exists x)(\lnot A(x))$ . Следовательно, высказывание (1) истинно, что и доказывает тождественную истинность формулы а). Непосредственно из этой теоремы и закона двойного отрицания (теорема 3.1, в) вытекает следствие. Выражение кванторов одного через другой Следствие 21.10. Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями: а) $(\forall x)(P(x)) \leftrightarrow \lnot (\exists x)(\lnot P(x))$ ; б) $(\exists x)(P(x)) \leftrightarrow \lnot (\forall x)(\lnot P(x))$ . Заметим, что законы де Моргана для кванторов напоминают аналогичные законы для конъюнкции и дизъюнкции в алгебре высказываний. Можно считать, что эти законы для кванторов представляют собой обобщения соответствующих законов для конъюнкции и дизъюнкции, подобно тому как сами операции квантификации являются обобщениями операций конъюнкции и дизъюнкции, что отмечалось ранее. Пронесение кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию Теорема 21.11 (законы пронесения кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями: а) $(\forall x) (P(x)\land Q(x)) \leftrightarrow (\forall x)(P(x)) \land (\forall x)(Q(x))$ ; б) $(\exists x) (P(x)\lor Q(x)) \leftrightarrow (\exists x) (P(x)) \lor (\exists x)(Q(x))$ ; в) $(\forall x)(P(x)\lor Q) \leftrightarrow (\forall x)(P(x))\lor Q$ ; г) $(\exists x)(P(x)\land Q) \leftrightarrow (\exists x)(P(x))\land Q$ . Доказательство. а) Подставим вместо предикатных переменных $P(x)$ и $Q(x)$ конкретные предикаты $A(x)$ и $B(x)$ , определенные на некотором множестве $M$ . Формула превратится в высказывание $(\forall x)\bigl(A(x)\land B(x)\bigr) \leftrightarrow (\forall x)\bigl(A(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(B(x)\bigr).$ (1) Докажем его истинность. На основании определения 20.1 высказывание $(\forall x)\bigl(A(x)\land B(x)\bigr)$ истинно тогда и только тогда, когда предикат $A(x)\land B(x)$ тождественно истинен, что на основании следствия 19.7 возможно в том и только в том случае, когда оба предиката $A(x)$ и $B(x)$ тождественно истинны. Далее, тождественная истинность предикатов $A(x)$ и $B(x)$ равносильна, ввиду определения 20.1, истинности высказываний $(\forall x)(A(x))$ и $(\forall x)(B(x))$ соответственно, что равносильно истинности их конъюнкции $(\forall x)(A(x))\land (\forall x)(B(x))$ . Итак, левая и правая части эквивалентности (1) одновременно истинны и одновременно ложны, что дает истинность всего высказывания (1) и тождественную истинность Доказываемой формулы. Тождественную истинность формул б) и в) предлагается доказать в качестве упражнения. г) В этой формуле $Q$ — нульместная предикатная переменная. Поэтому подставим в данную формулу вместо $P(x)$ конкретный одноместный предикат $A(x)$ , определенный на некотором множестве $M$ , а вместо $Q$ — конкретное высказывание $B$ . Формула превратится в высказывание $(\exists x)\bigl(A(x)\land B\bigr) \leftrightarrow (\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\land B\,.$ (2) Докажем его истинность. Действительно, на основании определения 20.3 высказывание $(\exists x)(A(x)\land B)$ истинно тогда и только тогда, когда предикат $A(x)\land B$ выполним. Последнее возможно, если и только если предикаты $A(x)$ и $B$ выполнимы. (Напомним, что в конце предыдущего параграфа было условлено под выполнимостью нульместного предиката (высказывания) понимать его истинность.) Далее, выполнимость предиката $A(x)$ и истинность высказывания $B$ равносильны истинности высказываний $(\exists x)(A(x))$ и $B$ , а значит, и истинности их конъюнкции $(\exists x)(A(x))\land B$ . Следовательно, высказывание (2) истинно для любых $A(x)$ и $B$ , а поэтому рассматриваемая формула — тавтология. Полезно проанализировать и сопоставить между собой тавтологии, связанные с пронесением кванторов через различные логические операции, представленные в теоремах 21.11 и 21.12. Особая важность этих тавтологий будет обнаружена в следующей лекции, где рассматриваются равносильные преобразования формул логики предикатов. Здесь же мы имеем следующее. Квантор общности безоговорочно проносится через конъюнкцию, а также выносится из обоих членов конъюнкции (эта процедура важна для будущих равносильных преобразований формул), а квантор существования — через дизъюнкцию (теорема 21.11, пункты а, б). Проблемы начинаются при столкновении квантора общности с дизъюнкцией и квантора существования с конъюнкцией. Здесь общезначимыми являются формулы не с эквивалентностями, а с импликацией: $\vDash (\exists x)\bigl(P(x)\land Q(x)\bigr)\to \bigl((\exists x)(P(x))\land (\exists x)(Q(x))\bigr);$ (3) $\bigl((\forall x)(P(x))\land (\forall x)(Q(x))\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\lor Q(x)\bigr).$ (4) Оставив читателю проведение доказательств общезначимости приведенных формул, укажем примеры предикатов, которые показывают необщезначимость формул, являющихся обратными импликациями по отношению к данным. Для формулы (3) такими предикатами могут служить, например, следующие предикаты, заданные над множеством всех вещественных чисел $\mathbb{R}:$ " $x<1$ " и " $x>2$ ". Они посылку обратной импликации превращают в истинное высказывание $(\exists x)(x<1)\land (\exists x)(x>2)$ , а заключение — в ложное высказывание $(\exists x)(x<1\land x>2)$ . Для формулы (4) подойдут предикаты, также заданные над $\mathbb{R}:$ " $x \leqslant 0$ " и " $x>0$ ", превращающие посылку обратной импликации в истинное высказывание $(\forall x)(x \leqslant 0\lor x>0)$ , а следствие — в ложное высказывание $(\forall x)(x \leqslant 0)\lor (\forall x)(x>0)$ . Отметим, что тем не менее равносильное пронесение квантора общности через дизъюнкцию и квантора существования через конъюнкцию возможно. Это тот случай, когда один из членов дизъюнкции или конъюнкции не зависит от той предметной переменной, квантор по которой проносится (см. теорему 21.11, пункты в, г). Пронесение кванторов через импликацию предикатов Теорема 21.12 (законы пронесения кванторов через импликацию). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями: а) $(\forall x)(P(x)\to Q) \leftrightarrow ((\exists x)(P(x))\to Q)$ ; б) $(\exists x)(P(x)\to Q) \leftrightarrow ((\forall x)(P(x))\to Q)$ ; в) $(\forall x)(Q\to P(x)) \leftrightarrow (Q\to (\forall x)(P(x)))$ ; г) $(\exists x)(Q\to P(x)) \leftrightarrow (Q\to (\exists x)(P(x)))$ . Доказательство. Отметим, что предикатная переменная $Q$ в этих формулах может быть не только нульместной, но и любой n-местной, важно лишь, чтобы в нее не входила предметная переменная х. Итак, пусть $Q$ есть $Q(y_1,\ldots,y_n)$ . Будем считать для краткости, что $Q$ есть одноместная предикатная переменная $Q(y)$ . Тогда: а) предположим, что данная формула не является тавтологией. В этом случае существуют такие конкретные предикаты $A(x)$ и $B(x)$ , определенные на множествах $M$ и $M_1$ соответственно, что предикат (от $y$ ) $(\forall x)\bigl(A(x)\to B(y)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\exists x)(A(x))\to B(y)\bigr)$ опровержим, т.е. обращается в ложное высказывание при подстановке вместо предметной переменной $y$ некоторого конкретного предмета $b\in M_1$ $\lambda\bigl[ (\forall x)\bigl(A(x(\to B(b)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\exists x)(A(x))\to B(b)\bigr)\bigr]=0.$ Эквивалентность ложна, если ее члены принимают разные значения истинности, т. е. здесь могут представиться две возможности: первая $\lambda\bigl[(\forall x)\bigl(A(x)\to B(b)\bigr)\bigr]=1;$ (1) $\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\to B(b)\bigr]=0$ (2) и вторая $\lambda\bigl[(\forall x)\bigl(A(x)\to B(b)\bigr)\bigr]=0;$ (3) $\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\to B(b)\bigr]=1.$ (4) Рассмотрим первую возможность. Из формулы (2), по определению 1.7 импликации, имеем $\lambda\bigl[(\exists x)(A(x))\bigr]=1;$ (5) $\lambda\bigl[B(b)\bigr]=0.$ (6) Далее, из формулы (5) и по определению 20.3 квантора существования заключаем, что предикат $A(x)$ выполним, т.е. $\lambda\bigl[A(a)\bigr]=1$ (7) для некоторого $a\in M$ . Вернемся к соотношению (1). По определению 20.1 квантора общности предикат $A(x)\to B(b)$ тождественно истинен. В частности, если вместо предметной переменной $x$ подставить $a\in M$ , то получим истинное высказывание $\lambda\bigl[A(a)\to B(b)\bigr]=1$ . Но, учитывая (6) и (7), получаем противоречие: $\lambda\bigl[A(a)\to B(b)\bigr]= \lambda\bigl[A(a)\bigr]\to \lambda\bigl[B(b)\bigr]=1\to 0=0.$ Рассмотрим вторую возможность, выраженную в соотношениях (3), (4). Из формулы (3), на основании определения 20.1 квантора общности, следует, что предикат $A(x)\to B(b)$ опровержим, т.е. $\lambda\bigl[A(a)\to B(b)\bigr]=0$ для некоторого $a\in M$ . Тогда по определению 1.7 импликации получим $\lambda\bigl[A(a)\bigr]=1,\qquad \lambda\bigl[B(b)\bigr]=0.$ (8) Учитывая второе из соотношений (8), из соотношения (4) заключаем, что $\lambda\bigl[(\exists x)(A(x))\bigr]=0$ . Последнее означает тождественную ложность предиката $A(x)$ (см. определение 20.3). В частности, для предмета $a\in M$ имеем $\lambda\bigl[A(a)\bigr]=0$ , что противоречит первому из соотношений (8). Итак, в каждом случае приходим к противоречию, доказывающему невозможность сделанного предположения. Следовательно, данная формула — тавтология. г) Предположим, что данная формула не является тавтологией. Тогда существуют такие конкретные предикаты $A(x)$ и $B(y)$ , определенные на множествах $M$ и $M_1$ соответственно, что предикат (от $y$ ) $(\exists x)\bigl(B(y)\to A(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl(B(y)\to (\exists x)(A(x))\bigr)$ опровержим, т. е. обращается в ложное высказывание при подстановке вместо предметной переменной $y$ некоторого конкретного предмета $b$ из $M_1:$ $\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(B(b)\to A(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl(B(b)\to (\exists x)(A(x))\bigr)\bigr]=0.$ Эквивалентность ложна в двух случаях. Во-первых, когда $\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(B(b)\to A(x)\bigr)\bigr]=1;$ (1) $\lambda\bigl[B(b)\to (\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\bigr]=0,$ (2) и, во-вторых, когда $\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(B(b)\to A(x)\bigr)\bigr]=0;$ (3) $\lambda\bigl[B(b)\to (\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\bigr]=1.$ (4) Рассмотрим первый случай. Из соотношения (2), по определению 1.7 импликации, заключаем: $\lambda\bigl[B(b)\bigr]=1;$ (5) $\lambda\bigl[(\exists x)(A(x))\bigr]=0.$ (6) Соотношение (6) свидетельствует о том, что предикат $A(x)$ тождественно ложен (определение 20.3). Далее, соотношение (1) показывает, на основании того же определения 20.3, что предикат $B(b)\to A(x)$ выполним. Учитывая соотношение (5), получаем: существует такой элемент $a\in M$ , что $\lambda[A(a)]=1$ . Последнее противоречит доказанной выше тождественной ложности предиката $A(x)$ . Получить противоречие во втором случае, выраженном в соотношениях (3), (4), предлагается самостоятельно. Таким образом, рассматриваемая формула — тавтология. Докажите тождественную истинность двух оставшихся формул. Проанализируем теперь ситуацию, связанную с пронесением кванторов через импликацию, а также с их вынесением за знак импликации. В случаях, когда один из членов импликации (посылка или заключение) не зависит от той предметной переменной, по которой проносится квантор, равносильность также возможна. Но ситуация здесь несколько отличается от той, которая имеет место в случаях конъюнкции и дизъюнкции. Если от предметной переменной, стоящей под знаком квантора, не зависит посылка импликации, то соответствующий квантор без изменения проносится к заключению импликации (теорема 21.12, пункт в). Если же от предметной переменной, стоящей под знаком квантора, не зависит заключение импликации, то соответствующий квантор при пронесении его к посылке импликации переворачивается, т. е. меняется на противоположный: квантор общности — на квантор существования, а квантор существования — на квантор общности (теорема 21.12, пункты а, б). В ситуации с импликацией имеет место одна интересная тавтология: если оба члена импликации зависят от переменной, стоящей под знаком квантора, то через импликацию можно равносильным образом пронести квантор существования, но при постановке его перед посылкой он поменяется на квантор общности: $\vDash (\exists x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\forall x)(P(x))\to (\exists x)(Q(x))\bigr).$ В то же время, если мы рассмотрим аналогичную формулу для квантора общности: $(\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\exists x)(P(x))\to (\forall x)(Q(x))\bigr).$ то она уже не будет тавтологией. Тавтологией будет лишь импликация: $\vDash \bigl( (\exists x)(P(x))\to (\forall x)(Q(x))\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr).$ Докажите это самостоятельно. То, что обратная импликация не будет тавтологией, подтверждает пример двух предикатов $P(x)\colon$ " $x$ делится на 4" и $Q(x)\colon$ "x четно", заданных над множеством натуральных чисел. Отметим далее, что, используя импликацию, квантор общности можно следующими двумя способами пронести через импликацию предикатов, каждый из которых зависит от переменной, стоящей под знаком квантора: $\begin{aligned} &\vDash (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)\to \bigl((\forall x)(P(x))\to (\forall x)(Q(x))\bigr);\\ &\vDash (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)\to \bigl((\exists x)(P(x))\to (\exists x)(Q(x))\bigr). \end{aligned}$ Проверьте, что формулы действительно являются тавтологиями, а обратные импликации таковыми не являются. В то же время аналогичная конструкция с квантором существования $(\exists x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)\to \bigl((\exists x)(P(x))\to (\exists x)(Q(x))\bigr)$ уже не будет тавтологией. Пример: $P(x)\colon$ " $x$ — четно", $Q(x)\colon$ " $x<1$ ", $x\in \mathbb{N}$ . Не будет тавтологией и обратная импликация. Пример: $P(x)\colon$ " $x>2$ " и $Q(x)\colon$ " $x<1$ ", $x\in \mathbb{R}$ . Удаление квантора общности и введение квантора существования Теорема 21.13 (законы удаления квантора общности и введения квантора существования). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями: а) $(\forall x)(P(y))\to P(y)$ ; б) $P(y)\to (\exists x)(P(x))$ . Доказательство. Проверим, что формула а) тождественно истинна (соответствующую проверку для формулы б) выполнить самостоятельно). Предположим, что формула а) не тождественно истинна. Это значит: существует такой предикат $A(x)$ , определенный на некотором множестве $M$ , что предикат (от $y$ ) $(\forall x)(A(x))\to A(y)$ опровержим, т.е. превращается в ложное высказывание при подстановке вместо у некоторого $a\in M\colon$ $\lambda\bigl[(\forall x)(A(x)\to A(a))\bigr]=0$ . Последнее означает, что $\lambda\bigl[(\forall x)(A(x))\bigr]=1;$ (1) $\lambda\bigl[A(a)\bigr]=0.$ (2) Из соотношения (1) заключаем, что предикат $A(x)$ тождественно истинный. Но это противоречит соотношению (2). Следовательно, сделанное предположение неверно, и данная формула — тавтология. Законы коммутативности для кванторов Теорема 21.14 (законы коммутативности для кванторов). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями: а) $(\forall x)(\forall y)(P(x,y)) \leftrightarrow (\forall y)(\forall x)(P(x,y))$ ; б) $(\exists x)(\exists y)(P(x,y)) \leftrightarrow (\exists y)(\exists x)(P(x,y))$ ; в) $(\exists y)(\forall x)(P(x,y)) \to (\forall x)(\exists y)(P(x,y))$ . Доказательство. Тождественная истинность первых двух формул достаточно очевидна (проверьте самостоятельно). Предположим, что формула в) — не тавтология. Тогда существует такой предикат $A(x,y)$ , определенный на множествах $M_1$ и $M_2$ , что высказывание $(\exists y)(\forall x)(A(x,y)) \to (\forall x)(\exists y)(A(x,y))$ ложно. Импликация ложна, если и только если $\lambda\bigl[(\exists y) (\forall x)(A(x,y))\bigr]=1;$ (1) $\lambda\bigl[(\forall x) (\exists y)(A(x,y))\bigr]=0.$ (2) Из соотношения (1) по определению квантора существования следует, что предикат (от $y$ ) $(\forall x)(A(x,y))$ выполним, т.е. $\lambda\bigl[(\forall x)(A(x,b))\bigr]=1$ для некоторого $b\in M_2$ . Последнее, по определению 20.1 квантора общности, означает, что предикат $A(x,b)$ тождественно истинен на $M_1$ . Следовательно, тождественно истинным на $M_1$ будет и одноместный (от $x$ ) предикат $(\exists x)(A(x,y))$ . Но тогда, по определению квантора общности, $\lambda\bigl[(\forall x)(\exists y)(A(x,y))\bigr]=1$ , что противоречит соотношению (2). Следовательно, данная формула — тавтология. Теорема доказана. Во всех доказанных тавтологиях предикатные переменные нульместны, одноместны или (в последней теореме) двухместны. Сохранится ли тождественная истинность этих формул, если считать, что входящие в них предикатные переменные зависят от произвольного числа предметных переменных? Положительный ответ содержится в следующей теореме. Теорема 21.15. Если в тавтологиях теорем 21.9–21.14 считать, что предикатные переменные зависят от произвольного конечного числа предметных переменных, то полученные формулы будут также тавтологиями логики предикатов. Доказательство. При доказательстве теоремы 21.12 уже была предпринята попытка к расширению смысла приведенных там тавтологий: под предикатной переменной $Q$ понималась n-местная предикатная переменная $Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ . Можно было бы и под одноместной предикатной переменной $P(x)$ понимать m-местную предикатную переменную $P(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ , а квантор общности рассматривать по $x_1$ считая, что $x_1$ не входит в число предметных переменных предикатной переменной $Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ . Докажем, например, тождественную истинность формулы из теоремы 21.11, в, считая $P$ m-местной предикатной переменной $P(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ , a $Q$ — n-местной предикатной переменной $Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ . Причем пусть $x_1$ не содержится среди предметных переменных $y_1,y_2,\ldots,y_n$ , хотя некоторые (или все) из переменных $x_2,\ldots,x_m$ могут содержаться среди переменных $y_1,y_2,\ldots,y_n$ . Итак, требуется доказать тождественную истинность формулы $\begin{aligned}&(\forall x_1)\bigl(P(x_1,x_2,\ldots,x_m)\lor Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)\bigr) \leftrightarrow\\ &\leftrightarrow (\forall x_1)\bigl(P(x_1,x_2,\ldots,x_m)\bigr) \lor Q(y_1,y_2,\ldots,y_n). \end{aligned}$ (1) Подставим вместо предикатных переменных $P$ и $Q$ конкретные предикаты $A(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ и $B(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ , определенные на множествах $M_1,M_2,\ldots,M_m$ и $N_1,N_2,\ldots,N_n$ соответственно. Получим (m-1+n)-местный предикат $\begin{aligned}&(\forall x_1)\bigl(A(x_1,x_2,\ldots,x_m)\lor B(y_1,y_2,\ldots,y_n)\bigr) \leftrightarrow\\ &\leftrightarrow (\forall x_1)\bigl(A(x_1,x_2,\ldots,x_m)\bigr) \lor B(y_1,y_2,\ldots,y_n). \end{aligned}$ (2) определенный на множествах $M_1,M_2,\ldots,M_m$ и $N_1,N_2,\ldots,N_n$ (в случае, если некоторые переменные $x_2,\ldots,x_m$ встречаются среди переменных $y_1,y_2,\ldots,y_n$ "местность" полученного предиката будет меньше). Докажем тождественную истинность данного предиката. Для этого проверим, что он превратится в истинное высказывание для произвольных элементов $a_2,\ldots,a_m$ и $b_2,\ldots,b_n$ множеств $M_2,\ldots,M_m$ и $N_2,\ldots,N_n$ соответственно. Действительно, рассмотрим одноместный (от $x_1$ ) предикат $A(x_1,a_2,\ldots,a_m)$ , определенный на множестве $M_1$ и полученный из предиката $A(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ в результате подстановки вместо предметных переменных $x_2,\ldots,x_m$ элементов $a_2,\ldots,a_m$ соответственно, и высказывание $B(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ . Подставим их в тавтологию теоремы 21.11, в вместо одноместной предикатной переменной $P(x)$ и нульместной предикатной переменной $Q$ соответственно. Получим истинное высказывание $\begin{aligned}&(\forall x_1)\bigl(A(x_1,a_2,\ldots,a_m)\lor B(b_1,b_2,\ldots,b_n)\bigr) \leftrightarrow\\ &\leftrightarrow (\forall x_1)\bigl(A(x_1,a_2,\ldots,a_m)\bigr) \lor B(b_1,b_2,\ldots,b_n). \end{aligned}$ Это же высказывание получится, если в предикат (2) подставить вместо его предметных переменных $x_2,\ldots,a_m$ и $y_1,y_2,\ldots,y_n$ элементы $a_2,\ldots,a_m$ и $b_1,b_2,\ldots,b_n$ соответственно. Итак, любые предикаты превращают формулу (1) в тождественно истинный предикат. Следовательно, эта формула — тавтология. Замечание 21.16. В распространении взгляда на тавтологии, выраженного в теоремах 21.9–21.14, можно пойти еще дальше: считать, что буквы $P$ и $Q$ представляют собой произвольные формулы логики предикатов, а не просто n-местные предикатные переменные (представляющие собой на основании определения 21.1 так называемые элементарные или атомарные формулы). Получаемые формулы также будут тавтологиями логики предикатов. Рекомендуется самостоятельно проделать пропущенные доказательства тождественной истинности формул логики предикатов в теоремах данной лекции. Такая работа позволит глубже проникнуть в сущность понятий "для всех" и "существует", научит различать их и выделять в математической практике. Эти знания и навыки будут способствовать более отчетливому осознанию будущими учителями математики природы математических понятий, строения доказательств математических теорем, образованию значительного пласта логической и общематематической культуры. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Тавтологии логики предикатов

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Тавтологии логики предикатов

Нахождение тавтологий является одной из важнейших задач логики предикатов, как и алгебры высказываний. Но если в алгебре высказываний имеется общий метод определения, является или нет данная формула тавтологией (это — метод составления таблицы истинности для формулы), то в логике предикатов такого общего метода не существует. Каждая формула подлежит изучению индивидуальным методом на тождественную истинность. Дело здесь в том, что каждое высказывание имеет только одно из двух логических значений: "истина" или "ложь"", тогда как значение предиката зависит от выбора значений его предметных переменных, который, вообще говоря, можно сделать бесконечным числом способов.

Рассмотрим наиболее важные тавтологии логики предикатов. О значении тавтологий алгебры высказываний подробно говорилось ранее. Все сказанное там сохраняет свое значение и для тавтологий логики предикатов. Но, как уже отмечалось, язык логики предикатов более тонок, а поэтому тавтологии логики предикатов более тонко отражают процессы логических умозаключений.

Рассмотрение тавтологий логики предикатов начнем с установления того, что простейшие ее тавтологии получаются из тавтологий алгебры высказываний, а тавтологии алгебры высказываний образуют часть тавтологий логики предикатов.

Теорема 21.8. Всякая формула, получающаяся из тавтологии алгебры высказываний заменой входящих в нее пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов.

Доказательство. Пусть $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ — тавтология алгебры высказываний и

$P_1(x_1,x_2,\ldots,x_{m_1}),\quad P_2(y_1,y_2,\ldots,y_{m_2}),\quad \ldots,\quad P_n(z_1,z_2,\ldots,z_{m_n})$

являются предикатные переменные. Подставим их в данную формулу вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ соответственно. Получим формулу логики предикатов: $F\bigl(P_1(x_1,\ldots,x_{m_1}),\ldots, P_n(z_1,\ldots,z_{m_n})\bigr)$ . Если теперь вместо предикатных переменных подставить произвольные конкретные предикаты $A_1(x_1, \ldots, x_{m_1}),\ldots, A_n(z_1,\ldots,z_{m_n})$ , то формула превратится в конкретный предикат $F\bigl(A_1(x_1,\ldots,x_{m_1}),\ldots, A_n(z_1, \ldots, z_{m_n})\bigr)$ . Этот предикат тождественно истинный, потому что подстановка вместо предметных переменных $x_1,\ldots,x_{m_1},\ldots, z_1, \ldots, z_{m_n}$ любых конкретных предметов $a_1, \ldots, a_{m_1},\ldots,c_1, \ldots, c_{m_n}$ из соответствующих множеств превращает данный предикат в высказывание $F\bigl(A_1(x_1,\ldots,x_{m_1}),\ldots, A_n(z_1, \ldots, z_{m_n}) \bigr)$ , которое может быть получено также в результате подстановки в исходную тавтологию $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ алгебры высказываний вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ конкретных высказываний $A_1(a_1, \ldots, a_{m_1}),\ldots, A_n(c_1, \ldots, c_{m_n})$ соответственно и потому истинно. Следовательно, формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ логики предикатов также является тавтологией. Теорема доказана.

В последующих теоремах приводятся наиболее важные тавтологии логики предикатов, не сводящиеся к тавтологиям алгебры высказываний. Все такие тавтологии содержат кванторы.

Законы де Моргана для кванторов

Теорема 21.9 (законы де Моргана для кванторов). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

а) $\lnot (\forall x)(P(x)) \leftrightarrow (\exists x)(\lnot P(x))$ ;
б) $\lnot (\exists x)(P(x)) \leftrightarrow (\forall x)(\lnot P(x))$ .

Доказательство. Докажем тождественную истинность формулы а). (Тождественную истинность формулы б) предлагается проверить самостоятельно.) Данная формула замкнута, т. е. не имеет свободных предметных переменных. Поэтому, подставив в эту формулу вместо предикатной переменной $P(x)$ любой конкретный одноместный предикат $A(x)$ , определенный на некотором множестве $M$ , получим высказывание

$\lnot (\forall x)\bigl(A(x)\bigr) \leftrightarrow (\exists x)\bigl(\lnot A(x)\bigr).$

(1)

Для доказательства его истинности нужно убедиться, что обе части эквивалентности одновременно истинны или одновременно ложны. В самом деле, высказывание $\lnot (\forall x)(A(x))$ истинно тогда и только тогда, когда высказывание $(\forall x)(A(x))$ ложно, что возможно на основании определения 20.1 тогда и только тогда, когда предикат $A(x)$ опровержим. Далее, опровержимость предиката $A(z)$ означает выполнимость его отрицания $\lnot A(x)$ (обдумайте это!), что равносильно на основании определения 20.3 истинности высказывания $(\exists x)(\lnot A(x))$ . Итак, высказывание $\lnot (\forall x)(A(x))$ истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание $(\exists x)(\lnot A(x))$ . Следовательно, высказывание (1) истинно, что и доказывает тождественную истинность формулы а).

Непосредственно из этой теоремы и закона двойного отрицания (теорема 3.1, в) вытекает следствие.

Выражение кванторов одного через другой

Следствие 21.10. Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

а) $(\forall x)(P(x)) \leftrightarrow \lnot (\exists x)(\lnot P(x))$ ;
б) $(\exists x)(P(x)) \leftrightarrow \lnot (\forall x)(\lnot P(x))$ .

Заметим, что законы де Моргана для кванторов напоминают аналогичные законы для конъюнкции и дизъюнкции в алгебре высказываний. Можно считать, что эти законы для кванторов представляют собой обобщения соответствующих законов для конъюнкции и дизъюнкции, подобно тому как сами операции квантификации являются обобщениями операций конъюнкции и дизъюнкции, что отмечалось ранее.

Пронесение кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию

Теорема 21.11 (законы пронесения кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

а) $(\forall x) (P(x)\land Q(x)) \leftrightarrow (\forall x)(P(x)) \land (\forall x)(Q(x))$ ;
б) $(\exists x) (P(x)\lor Q(x)) \leftrightarrow (\exists x) (P(x)) \lor (\exists x)(Q(x))$ ;
в) $(\forall x)(P(x)\lor Q) \leftrightarrow (\forall x)(P(x))\lor Q$ ;
г) $(\exists x)(P(x)\land Q) \leftrightarrow (\exists x)(P(x))\land Q$ .

Доказательство. а) Подставим вместо предикатных переменных $P(x)$ и $Q(x)$ конкретные предикаты $A(x)$ и $B(x)$ , определенные на некотором множестве $M$ . Формула превратится в высказывание

$(\forall x)\bigl(A(x)\land B(x)\bigr) \leftrightarrow (\forall x)\bigl(A(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(B(x)\bigr).$

(1)

Докажем его истинность. На основании определения 20.1 высказывание $(\forall x)\bigl(A(x)\land B(x)\bigr)$ истинно тогда и только тогда, когда предикат $A(x)\land B(x)$ тождественно истинен, что на основании следствия 19.7 возможно в том и только в том случае, когда оба предиката $A(x)$ и $B(x)$ тождественно истинны. Далее, тождественная истинность предикатов $A(x)$ и $B(x)$ равносильна, ввиду определения 20.1, истинности высказываний $(\forall x)(A(x))$ и $(\forall x)(B(x))$ соответственно, что равносильно истинности их конъюнкции $(\forall x)(A(x))\land (\forall x)(B(x))$ . Итак, левая и правая части эквивалентности (1) одновременно истинны и одновременно ложны, что дает истинность всего высказывания (1) и тождественную истинность Доказываемой формулы.

Тождественную истинность формул б) и в) предлагается доказать в качестве упражнения.

г) В этой формуле $Q$ — нульместная предикатная переменная. Поэтому подставим в данную формулу вместо $P(x)$ конкретный одноместный предикат $A(x)$ , определенный на некотором множестве $M$ , а вместо $Q$ — конкретное высказывание $B$ . Формула превратится в высказывание

$(\exists x)\bigl(A(x)\land B\bigr) \leftrightarrow (\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\land B\,.$

(2)

Докажем его истинность. Действительно, на основании определения 20.3 высказывание $(\exists x)(A(x)\land B)$ истинно тогда и только тогда, когда предикат $A(x)\land B$ выполним. Последнее возможно, если и только если предикаты $A(x)$ и $B$ выполнимы. (Напомним, что в конце предыдущего параграфа было условлено под выполнимостью нульместного предиката (высказывания) понимать его истинность.) Далее, выполнимость предиката $A(x)$ и истинность высказывания $B$ равносильны истинности высказываний $(\exists x)(A(x))$ и $B$ , а значит, и истинности их конъюнкции $(\exists x)(A(x))\land B$ . Следовательно, высказывание (2) истинно для любых $A(x)$ и $B$ , а поэтому рассматриваемая формула — тавтология.

Полезно проанализировать и сопоставить между собой тавтологии, связанные с пронесением кванторов через различные логические операции, представленные в теоремах 21.11 и 21.12. Особая важность этих тавтологий будет обнаружена в следующей лекции, где рассматриваются равносильные преобразования формул логики предикатов. Здесь же мы имеем следующее. Квантор общности безоговорочно проносится через конъюнкцию, а также выносится из обоих членов конъюнкции (эта процедура важна для будущих равносильных преобразований формул), а квантор существования — через дизъюнкцию (теорема 21.11, пункты а, б). Проблемы начинаются при столкновении квантора общности с дизъюнкцией и квантора существования с конъюнкцией. Здесь общезначимыми являются формулы не с эквивалентностями, а с импликацией:

$\vDash (\exists x)\bigl(P(x)\land Q(x)\bigr)\to \bigl((\exists x)(P(x))\land (\exists x)(Q(x))\bigr);$

(3)

$\bigl((\forall x)(P(x))\land (\forall x)(Q(x))\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\lor Q(x)\bigr).$

(4)

Оставив читателю проведение доказательств общезначимости приведенных формул, укажем примеры предикатов, которые показывают необщезначимость формул, являющихся обратными импликациями по отношению к данным.

Для формулы (3) такими предикатами могут служить, например, следующие предикаты, заданные над множеством всех вещественных чисел $\mathbb{R}:$ " $x<1$ " и " $x>2$ ". Они посылку обратной импликации превращают в истинное высказывание $(\exists x)(x<1)\land (\exists x)(x>2)$ , а заключение — в ложное высказывание $(\exists x)(x<1\land x>2)$ .

Для формулы (4) подойдут предикаты, также заданные над $\mathbb{R}:$ " $x \leqslant 0$ " и " $x>0$ ", превращающие посылку обратной импликации в истинное высказывание $(\forall x)(x \leqslant 0\lor x>0)$ , а следствие — в ложное высказывание $(\forall x)(x \leqslant 0)\lor (\forall x)(x>0)$ .

Отметим, что тем не менее равносильное пронесение квантора общности через дизъюнкцию и квантора существования через конъюнкцию возможно. Это тот случай, когда один из членов дизъюнкции или конъюнкции не зависит от той предметной переменной, квантор по которой проносится (см. теорему 21.11, пункты в, г).

Пронесение кванторов через импликацию предикатов

Теорема 21.12 (законы пронесения кванторов через импликацию). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

а) $(\forall x)(P(x)\to Q) \leftrightarrow ((\exists x)(P(x))\to Q)$ ;
б) $(\exists x)(P(x)\to Q) \leftrightarrow ((\forall x)(P(x))\to Q)$ ;
в) $(\forall x)(Q\to P(x)) \leftrightarrow (Q\to (\forall x)(P(x)))$ ;
г) $(\exists x)(Q\to P(x)) \leftrightarrow (Q\to (\exists x)(P(x)))$ .

Доказательство. Отметим, что предикатная переменная $Q$ в этих формулах может быть не только нульместной, но и любой n-местной, важно лишь, чтобы в нее не входила предметная переменная х. Итак, пусть $Q$ есть $Q(y_1,\ldots,y_n)$ . Будем считать для краткости, что $Q$ есть одноместная предикатная переменная $Q(y)$ . Тогда:

а) предположим, что данная формула не является тавтологией. В этом случае существуют такие конкретные предикаты $A(x)$ и $B(x)$ , определенные на множествах $M$ и $M_1$ соответственно, что предикат (от $y$ )

$(\forall x)\bigl(A(x)\to B(y)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\exists x)(A(x))\to B(y)\bigr)$

опровержим, т.е. обращается в ложное высказывание при подстановке вместо предметной переменной $y$ некоторого конкретного предмета $b\in M_1$

$\lambda\bigl[ (\forall x)\bigl(A(x(\to B(b)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\exists x)(A(x))\to B(b)\bigr)\bigr]=0.$

Эквивалентность ложна, если ее члены принимают разные значения истинности, т. е. здесь могут представиться две возможности:

первая

$\lambda\bigl[(\forall x)\bigl(A(x)\to B(b)\bigr)\bigr]=1;$

(1)

$\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\to B(b)\bigr]=0$

(2)

и вторая

$\lambda\bigl[(\forall x)\bigl(A(x)\to B(b)\bigr)\bigr]=0;$

(3)

$\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\to B(b)\bigr]=1.$

(4)

Рассмотрим первую возможность. Из формулы (2), по определению 1.7 импликации, имеем

$\lambda\bigl[(\exists x)(A(x))\bigr]=1;$

(5)

$\lambda\bigl[B(b)\bigr]=0.$

(6)

Далее, из формулы (5) и по определению 20.3 квантора существования заключаем, что предикат $A(x)$ выполним, т.е.

$\lambda\bigl[A(a)\bigr]=1$

(7)

для некоторого $a\in M$ . Вернемся к соотношению (1). По определению 20.1 квантора общности предикат $A(x)\to B(b)$ тождественно истинен. В частности, если вместо предметной переменной $x$ подставить $a\in M$ , то получим истинное высказывание $\lambda\bigl[A(a)\to B(b)\bigr]=1$ . Но, учитывая (6) и (7), получаем противоречие:

$\lambda\bigl[A(a)\to B(b)\bigr]= \lambda\bigl[A(a)\bigr]\to \lambda\bigl[B(b)\bigr]=1\to 0=0.$

Рассмотрим вторую возможность, выраженную в соотношениях (3), (4). Из формулы (3), на основании определения 20.1 квантора общности, следует, что предикат $A(x)\to B(b)$ опровержим, т.е. $\lambda\bigl[A(a)\to B(b)\bigr]=0$ для некоторого $a\in M$ . Тогда по определению 1.7 импликации получим

$\lambda\bigl[A(a)\bigr]=1,\qquad \lambda\bigl[B(b)\bigr]=0.$

(8)

Учитывая второе из соотношений (8), из соотношения (4) заключаем, что $\lambda\bigl[(\exists x)(A(x))\bigr]=0$ . Последнее означает тождественную ложность предиката $A(x)$ (см. определение 20.3). В частности, для предмета $a\in M$ имеем $\lambda\bigl[A(a)\bigr]=0$ , что противоречит первому из соотношений (8).

Итак, в каждом случае приходим к противоречию, доказывающему невозможность сделанного предположения. Следовательно, данная формула — тавтология.

г) Предположим, что данная формула не является тавтологией. Тогда существуют такие конкретные предикаты $A(x)$ и $B(y)$ , определенные на множествах $M$ и $M_1$ соответственно, что предикат (от $y$ )

$(\exists x)\bigl(B(y)\to A(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl(B(y)\to (\exists x)(A(x))\bigr)$

опровержим, т. е. обращается в ложное высказывание при подстановке вместо предметной переменной $y$ некоторого конкретного предмета $b$ из $M_1:$

$\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(B(b)\to A(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl(B(b)\to (\exists x)(A(x))\bigr)\bigr]=0.$

Эквивалентность ложна в двух случаях. Во-первых, когда

$\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(B(b)\to A(x)\bigr)\bigr]=1;$

(1)

$\lambda\bigl[B(b)\to (\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\bigr]=0,$

(2)

и, во-вторых, когда

$\lambda\bigl[(\exists x)\bigl(B(b)\to A(x)\bigr)\bigr]=0;$

(3)

$\lambda\bigl[B(b)\to (\exists x)\bigl(A(x)\bigr)\bigr]=1.$

(4)

Рассмотрим первый случай. Из соотношения (2), по определению 1.7 импликации, заключаем:

$\lambda\bigl[B(b)\bigr]=1;$

(5)

$\lambda\bigl[(\exists x)(A(x))\bigr]=0.$

(6)

Соотношение (6) свидетельствует о том, что предикат $A(x)$ тождественно ложен (определение 20.3). Далее, соотношение (1) показывает, на основании того же определения 20.3, что предикат $B(b)\to A(x)$ выполним. Учитывая соотношение (5), получаем: существует такой элемент $a\in M$ , что $\lambda[A(a)]=1$ . Последнее противоречит доказанной выше тождественной ложности предиката $A(x)$ .

Получить противоречие во втором случае, выраженном в соотношениях (3), (4), предлагается самостоятельно. Таким образом, рассматриваемая формула — тавтология.

Докажите тождественную истинность двух оставшихся формул.

Проанализируем теперь ситуацию, связанную с пронесением кванторов через импликацию, а также с их вынесением за знак импликации. В случаях, когда один из членов импликации (посылка или заключение) не зависит от той предметной переменной, по которой проносится квантор, равносильность также возможна. Но ситуация здесь несколько отличается от той, которая имеет место в случаях конъюнкции и дизъюнкции. Если от предметной переменной, стоящей под знаком квантора, не зависит посылка импликации, то соответствующий квантор без изменения проносится к заключению импликации (теорема 21.12, пункт в). Если же от предметной переменной, стоящей под знаком квантора, не зависит заключение импликации, то соответствующий квантор при пронесении его к посылке импликации переворачивается, т. е. меняется на противоположный: квантор общности — на квантор существования, а квантор существования — на квантор общности (теорема 21.12, пункты а, б).

В ситуации с импликацией имеет место одна интересная тавтология: если оба члена импликации зависят от переменной, стоящей под знаком квантора, то через импликацию можно равносильным образом пронести квантор существования, но при постановке его перед посылкой он поменяется на квантор общности:

$\vDash (\exists x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\forall x)(P(x))\to (\exists x)(Q(x))\bigr).$

В то же время, если мы рассмотрим аналогичную формулу для квантора общности:

$(\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr) \leftrightarrow \bigl((\exists x)(P(x))\to (\forall x)(Q(x))\bigr).$

то она уже не будет тавтологией. Тавтологией будет лишь импликация:

$\vDash \bigl( (\exists x)(P(x))\to (\forall x)(Q(x))\bigr)\to (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr).$

Докажите это самостоятельно. То, что обратная импликация не будет тавтологией, подтверждает пример двух предикатов $P(x)\colon$ " $x$ делится на 4" и $Q(x)\colon$ "x четно", заданных над множеством натуральных чисел.

Отметим далее, что, используя импликацию, квантор общности можно следующими двумя способами пронести через импликацию предикатов, каждый из которых зависит от переменной, стоящей под знаком квантора:

$\begin{aligned} &\vDash (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)\to \bigl((\forall x)(P(x))\to (\forall x)(Q(x))\bigr);\\ &\vDash (\forall x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)\to \bigl((\exists x)(P(x))\to (\exists x)(Q(x))\bigr). \end{aligned}$

Проверьте, что формулы действительно являются тавтологиями, а обратные импликации таковыми не являются.

В то же время аналогичная конструкция с квантором существования

$(\exists x)\bigl(P(x)\to Q(x)\bigr)\to \bigl((\exists x)(P(x))\to (\exists x)(Q(x))\bigr)$

уже не будет тавтологией. Пример: $P(x)\colon$ " $x$ — четно", $Q(x)\colon$ " $x<1$ ", $x\in \mathbb{N}$ . Не будет тавтологией и обратная импликация. Пример: $P(x)\colon$ " $x>2$ " и $Q(x)\colon$ " $x<1$ ", $x\in \mathbb{R}$ .

Удаление квантора общности и введение квантора существования

Теорема 21.13 (законы удаления квантора общности и введения квантора существования). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

а) $(\forall x)(P(y))\to P(y)$ ;
б) $P(y)\to (\exists x)(P(x))$ .

Доказательство. Проверим, что формула а) тождественно истинна (соответствующую проверку для формулы б) выполнить самостоятельно). Предположим, что формула а) не тождественно истинна. Это значит: существует такой предикат $A(x)$ , определенный на некотором множестве $M$ , что предикат (от $y$ ) $(\forall x)(A(x))\to A(y)$ опровержим, т.е. превращается в ложное высказывание при подстановке вместо у некоторого $a\in M\colon$ $\lambda\bigl[(\forall x)(A(x)\to A(a))\bigr]=0$ . Последнее означает, что

$\lambda\bigl[(\forall x)(A(x))\bigr]=1;$

(1)

$\lambda\bigl[A(a)\bigr]=0.$

(2)

Из соотношения (1) заключаем, что предикат $A(x)$ тождественно истинный. Но это противоречит соотношению (2). Следовательно, сделанное предположение неверно, и данная формула — тавтология.

Законы коммутативности для кванторов

Теорема 21.14 (законы коммутативности для кванторов). Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

а) $(\forall x)(\forall y)(P(x,y)) \leftrightarrow (\forall y)(\forall x)(P(x,y))$ ;
б) $(\exists x)(\exists y)(P(x,y)) \leftrightarrow (\exists y)(\exists x)(P(x,y))$ ;
в) $(\exists y)(\forall x)(P(x,y)) \to (\forall x)(\exists y)(P(x,y))$ .

Доказательство. Тождественная истинность первых двух формул достаточно очевидна (проверьте самостоятельно).

Предположим, что формула в) — не тавтология. Тогда существует такой предикат $A(x,y)$ , определенный на множествах $M_1$ и $M_2$ , что высказывание

$(\exists y)(\forall x)(A(x,y)) \to (\forall x)(\exists y)(A(x,y))$

ложно. Импликация ложна, если и только если

$\lambda\bigl[(\exists y) (\forall x)(A(x,y))\bigr]=1;$

(1)

$\lambda\bigl[(\forall x) (\exists y)(A(x,y))\bigr]=0.$

(2)

Из соотношения (1) по определению квантора существования следует, что предикат (от $y$ ) $(\forall x)(A(x,y))$ выполним, т.е. $\lambda\bigl[(\forall x)(A(x,b))\bigr]=1$ для некоторого $b\in M_2$ . Последнее, по определению 20.1 квантора общности, означает, что предикат $A(x,b)$ тождественно истинен на $M_1$ . Следовательно, тождественно истинным на $M_1$ будет и одноместный (от $x$ ) предикат $(\exists x)(A(x,y))$ . Но тогда, по определению квантора общности, $\lambda\bigl[(\forall x)(\exists y)(A(x,y))\bigr]=1$ , что противоречит соотношению (2). Следовательно, данная формула — тавтология. Теорема доказана.

Во всех доказанных тавтологиях предикатные переменные нульместны, одноместны или (в последней теореме) двухместны. Сохранится ли тождественная истинность этих формул, если считать, что входящие в них предикатные переменные зависят от произвольного числа предметных переменных? Положительный ответ содержится в следующей теореме.

Теорема 21.15. Если в тавтологиях теорем 21.9–21.14 считать, что предикатные переменные зависят от произвольного конечного числа предметных переменных, то полученные формулы будут также тавтологиями логики предикатов.

Доказательство. При доказательстве теоремы 21.12 уже была предпринята попытка к расширению смысла приведенных там тавтологий: под предикатной переменной $Q$ понималась n-местная предикатная переменная $Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ . Можно было бы и под одноместной предикатной переменной $P(x)$ понимать m-местную предикатную переменную $P(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ , а квантор общности рассматривать по $x_1$ считая, что $x_1$ не входит в число предметных переменных предикатной переменной $Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ .

Докажем, например, тождественную истинность формулы из теоремы 21.11, в, считая $P$ m-местной предикатной переменной $P(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ , a $Q$ — n-местной предикатной переменной $Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ . Причем пусть $x_1$ не содержится среди предметных переменных $y_1,y_2,\ldots,y_n$ , хотя некоторые (или все) из переменных $x_2,\ldots,x_m$ могут содержаться среди переменных $y_1,y_2,\ldots,y_n$ . Итак, требуется доказать тождественную истинность формулы

$\begin{aligned}&(\forall x_1)\bigl(P(x_1,x_2,\ldots,x_m)\lor Q(y_1,y_2,\ldots,y_n)\bigr) \leftrightarrow\\ &\leftrightarrow (\forall x_1)\bigl(P(x_1,x_2,\ldots,x_m)\bigr) \lor Q(y_1,y_2,\ldots,y_n). \end{aligned}$

(1)

Подставим вместо предикатных переменных $P$ и $Q$ конкретные предикаты $A(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ и $B(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ , определенные на множествах $M_1,M_2,\ldots,M_m$ и $N_1,N_2,\ldots,N_n$ соответственно. Получим (m-1+n)-местный предикат

$\begin{aligned}&(\forall x_1)\bigl(A(x_1,x_2,\ldots,x_m)\lor B(y_1,y_2,\ldots,y_n)\bigr) \leftrightarrow\\ &\leftrightarrow (\forall x_1)\bigl(A(x_1,x_2,\ldots,x_m)\bigr) \lor B(y_1,y_2,\ldots,y_n). \end{aligned}$

(2)

определенный на множествах $M_1,M_2,\ldots,M_m$ и $N_1,N_2,\ldots,N_n$ (в случае, если некоторые переменные $x_2,\ldots,x_m$ встречаются среди переменных $y_1,y_2,\ldots,y_n$ "местность" полученного предиката будет меньше). Докажем тождественную истинность данного предиката. Для этого проверим, что он превратится в истинное высказывание для произвольных элементов $a_2,\ldots,a_m$ и $b_2,\ldots,b_n$ множеств $M_2,\ldots,M_m$ и $N_2,\ldots,N_n$ соответственно. Действительно, рассмотрим одноместный (от $x_1$ ) предикат $A(x_1,a_2,\ldots,a_m)$ , определенный на множестве $M_1$ и полученный из предиката $A(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ в результате подстановки вместо предметных переменных $x_2,\ldots,x_m$ элементов $a_2,\ldots,a_m$ соответственно, и высказывание $B(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ . Подставим их в тавтологию теоремы 21.11, в вместо одноместной предикатной переменной $P(x)$ и нульместной предикатной переменной $Q$ соответственно. Получим истинное высказывание

$\begin{aligned}&(\forall x_1)\bigl(A(x_1,a_2,\ldots,a_m)\lor B(b_1,b_2,\ldots,b_n)\bigr) \leftrightarrow\\ &\leftrightarrow (\forall x_1)\bigl(A(x_1,a_2,\ldots,a_m)\bigr) \lor B(b_1,b_2,\ldots,b_n). \end{aligned}$

Это же высказывание получится, если в предикат (2) подставить вместо его предметных переменных $x_2,\ldots,a_m$ и $y_1,y_2,\ldots,y_n$ элементы $a_2,\ldots,a_m$ и $b_1,b_2,\ldots,b_n$ соответственно. Итак, любые предикаты превращают формулу (1) в тождественно истинный предикат. Следовательно, эта формула — тавтология.

Замечание 21.16. В распространении взгляда на тавтологии, выраженного в теоремах 21.9–21.14, можно пойти еще дальше: считать, что буквы $P$ и $Q$ представляют собой произвольные формулы логики предикатов, а не просто n-местные предикатные переменные (представляющие собой на основании определения 21.1 так называемые элементарные или атомарные формулы). Получаемые формулы также будут тавтологиями логики предикатов.

Рекомендуется самостоятельно проделать пропущенные доказательства тождественной истинности формул логики предикатов в теоремах данной лекции. Такая работа позволит глубже проникнуть в сущность понятий "для всех" и "существует", научит различать их и выделять в математической практике. Эти знания и навыки будут способствовать более отчетливому осознанию будущими учителями математики природы математических понятий, строения доказательств математических теорем, образованию значительного пласта логической и общематематической культуры.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]