Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Существование первообразной для непрерывной функции

Существование первообразной для непрерывной функции


Вычисление определенных интегралов путем нахождения числа, разделяющего множества сумм Дарбу, весьма громоздко. Гораздо проще вычислять определенный интеграл как разность значений первообразной. Но для этого нужно выяснить, какие из интегрируемых функций имеют первообразные. Мы докажем, что их имеют все непрерывные функции.


Разбиение промежутка интегрирования


Теорема 1. Если функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема на отрезках [math][a;c][/math] и [math][c;b],[/math] [math]a<c<b[/math], то она интегрируема и на отрезке [math][a;b][/math], причем выполняется равенство


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+ \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx\,.[/math]
(1)

Доказательство. Возьмем любое разбиение [math]P\colon\, a<x_0<x_1<\ldots<x_n=b[/math] отрезка [math][a;b][/math]. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что точка с является одной из точек разбиения (в противном случае мы присоединим ее к ним). Но тогда, если, например, [math]c=x_r[/math], каждая сумма Дарбу для отрезка [math][a;b][/math] распадается на две суммы, соответствующие отрезкам [math][a;c][/math] и [math][c;b]:[/math]


[math]s_{P}=s'+s''[/math] и [math]S_P=S'+S''\,,[/math] где

[math]s'= \sum\limits_{k=0}^{r-1}m_k\Delta x_k,\quad s''=\sum\limits_{k=r}^{n-1} m_k\Delta x_k,\qquad S'=\sum\limits_{k=0}^{r-1}M_k\Delta x_k,\quad S''=\sum\limits_{k=r}^{n-1}M_k\Delta x_k\,.[/math]

Так как функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема на отрезках [math][a;c][/math] и [math][c;b][/math], то для любого [math]\varepsilon>0[/math] найдутся такие разбиения [math]P'[/math] и [math]P''[/math] этих отрезков, что


[math]S'-s'<\frac{\varepsilon}{2}\,,\qquad S''-s''< \frac{\varepsilon}{2}\,.[/math]

Эти разбиения в совокупности образуют разбиение [math]P[/math] отрезка [math][a;b][/math]. При этом имеем:


[math]S_P-s_P= (S'+S'')-(s'+s'')= (S'-s')+(S''-s'')< \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon\,,[/math]

откуда следует, что функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема и на отрезке [math][a;b][/math].


Из неравенств [math]s'\leqslant \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx \leqslant S'[/math] и [math]s''\leqslant \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx \leqslant S''[/math] следует, что


[math]s_P=s'+s''\leqslant \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+ \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx\leqslant S'+S''=S_P\,.[/math]

Таким образом, как [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx[/math], так и [math]\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+ \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx[/math] разделяют множества [math]\{s_P\}[/math] и [math]\{S_P\}[/math] сумм Дарбу для отрезка [math][a;b][/math]. Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то равенство (1) доказано.


Отметим, что если [math]b<c[/math], то


[math]\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx+ \int\limits_{b}^{c}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx- \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx\,.[/math]

Значит, и в этом случае [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= \int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+ \int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx[/math].




Среднее значение функции


Пусть функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][a;b][/math]. Тогда она ограничена на этом отрезке, и потому существуют числа [math]m[/math] и [math]M[/math] — точные нижняя и верхняя границы ее значений на отрезке [math][a;b][/math] (если функция непрерьщня на отрезке [math][a;b][/math], то [math]m[/math] и [math]M[/math] — ее наименьшее и наибольшее значения на нем). Выражения [math]m(b-a)[/math] и [math]M(b-a)[/math] являются нижней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению отрезка [math][a;b][/math], состоящему лишь из одной части — самого этого отрезка. Но [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx[/math] разделяет суммы Дарбу, и потому


[math]m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a).[/math]
(2)

Геометрический смысл неравенств (2) виден из рисунка 11: площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с тем же основанием и высотой [math]m[/math], но меньше площади прямоугольника с тем же основанием и высотой [math]M[/math].



Геометрический смысл неравенств в оценке определённого интеграла

В силу неравенств (2) число [math]\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/math] заключено между значениями [math]m[/math] и [math]M[/math]. Это число называют средним значением функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][a;b][/math]. Если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], то найдется такое значение [math]c,\,a\leqslant c\leqslant b[/math], что


[math]f(c)=\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.[/math]
Но тогда
[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= f(c)\cdot (b-a).[/math]
(3)

Итак, мы доказали следующее утверждение.


Теорема (2) о среднем значении функции. Если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], то существует такое [math]c,\,a\leqslant c\leqslant b[/math], что справедливо равенство [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= f(c)\cdot(b-a)[/math].


Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника, имеющего то же основание, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна ординате [math]f(c)[/math] в некоторой точке [math]c[/math], лежащей между [math]a[/math] и [math]b[/math] (рис. 12).


Отметим, что если функция [math]y=f(x)[/math] разрывна на отрезке [math][a;b][/math], то такой точки [math]c[/math] может не быть (рис. 13).


Геометрический смысл теоремы о среднем значении функции



Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу


Если функция [math]y=f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][a;b][/math], то она интегрируема на любой части этого отрезка и потому при любом [math]x\in[a;b][/math] существует интеграл [math]\int\limits_{a}^{x}f(x)\,dx[/math]. Чтобы не смешивать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования, будем записывать этот интеграл в виде [math]\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt[/math].


Геометрический смысл теоремы о дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу

Мы получили функцию [math]\Phi(x)= \int\limits_{a}^{x} f(t)\,dt[/math]. Если функция [math]y=f(x)\geqslant0[/math] на отрезке [math][a;b][/math], то [math]\Phi(x)[/math] есть площадь криволинейной трапеции с основанием [math][a;x][/math] (рис. 14).


Докажем, что при некоторых условиях полученная функция [math]y=\Phi(x)[/math] является одной из первообразных для функции [math]y=f(x)[/math]. А именно, справедлива следующая теорема.


Теорема 3. Если функция [math]f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][a;b][/math] и непрерывна в некоторой точке [math]x[/math] этого отрезка, то функция [math]\Phi(x)= \int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt[/math] дифференцируема в этой точке и [math]\Phi'(x)=f(x)[/math]. Другими словами, определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.


Доказательство. Выберем [math]\Delta x[/math] столь малым, чтобы точка [math]x+\Delta x[/math] лежала внутри отрезка [math][a;b][/math]. Рассмотрим соответствующее приращение [math]\Delta\Phi(x)[/math] функции [math]\Phi(x):[/math]


[math]\begin{aligned} \Delta\Phi(x)&= \Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)= \int\limits_{a}^{x+\Delta x}f(t)\,dt-\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt=\\ &=\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt+ \int\limits_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt-\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt= \int\limits_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt\,.\end{aligned}[/math]

(здесь было использовано аддитивное свойство определенного интеграла). С геометрической точки зрения полученное нами равенство означает (см. рис. 14), что приращение [math]\Delta\Phi(x)[/math] площади криволинейной трапеции с основанием [math][x;x+\Delta x][/math] выражается интегралом [math]\int\limits_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt[/math] (здесь [math]\Delta x[/math] может быть не только положительным, но и отрицательным числом).


Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднее значении:


[math]\Delta\Phi(x)= \int\limits_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt= f(c)\cdot\Delta x[/math], где [math]c\in[x;x+\Delta x][/math].

Так как функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна, а при [math]\Delta x\to0[/math] будет [math]c\to x[/math], то [math]\lim_{\Delta x\to0}f(c)=f(x)[/math]. Поэтому


[math]\Phi'(x)= \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(c)\cdot\Delta x}{\Delta x}= \lim_{c\to x}f(c)=f(x),[/math]
что и требовалось доказать.

Из доказанного утверждения вытекает, что если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], то она имеет на этом отрезке первообразную, а именно функцию


[math]\Phi(x)= \int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\,.[/math]

Поэтому доказанная теорема носит название теоремы о существовании первообразной для непрерывной функции.




Пример 1. Найти производную функции [math]\Phi(x)= \int\limits_{5}^{x}\sin{t}\,dt[/math].


Решение. [math]\Phi'(x)=\sin{x}[/math].


Пример 2. Найти производную функции [math]\Phi(x)= \int\limits_{2}^{x^3}e^t\,dt[/math].


Решение. В данном случае верхний предел является функцией от [math]x[/math], поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:


[math]\Phi'(x)= e^{x^3}\cdot (x^3)'= 3\cdot x^2\cdot e^{x^3}.[/math]



Формула Ньютона–Лейбница


Ранее мы доказали, что если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], то она интегрируема на этом отрезке. В предыдущем пункте было доказано, что если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], то она имеет на нем первообразную функцию. Но ранее мы доказали, что если функция на отрезке интегрируема и имеет первообразную, то значение определенного интеграла этой функции (понимаемого как разделяющее число) равно разности значений любой первообразной в точках [math]b[/math] и [math]a[/math]. Таким образом, справедлива следующая теорема.


Теорема 4. Если функция [math]y=f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math] и [math]F(x)[/math] — одна из первообразных этой функции, то справедливо равенство


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= F(b)-F(a).[/math]

Полученная формула называется формулой Ньютона–Лейбница. Она показывает, что в классе непрерывных функций определения интеграла как разности значений первообразной и как разделяющего числа совпадают.


Следует отметить, что формула Ньютона–Лейбница доказана нами только для непрерывных функций. Об интегрировании разрывных функций будет сказано дальше.


Также см. интеграл Ньютона-Лейбница.

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved