Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Структура общего решения системы уравнений

Структура общего решения системы уравнений


Однородная система линейных уравнений


\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+ a_{2n}x_n=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0,\end{cases} или Ax=o

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение x_1=x_2=\ldots=x_n=0~(x=o). Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных (\operatorname{rg}A=n), то тривиальное решение единственное. Предположим, что r=\operatorname{rg}A<n. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица (A\mid o) однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду (A'\mid o), т.е. b'_1=b'_2=\ldots=b'_r=0. Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений:


\begin{cases}x_1=-a'_{1\,r+1}x_{r+1}-\ldots-a'_{1n}x_n,\\\phantom{ x_1=-a'_{1\,r+1}}\vdots\\ x_r=-a'_{r\,r+1}x_{r+1}-\ldots-a'_{rn}x_n.\end{cases}
(5.13)

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.




Свойства решений однородной системы уравнений


1. Если столбцы \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_k — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация \alpha_1\varphi_1+\alpha_2\varphi_2+ \ldots+\alpha_k\varphi_k также является решением однородной системы.


В самом деле, из равенств A\varphi_1=o,~ A\varphi_2=o,~\ldots,~ A\varphi_k=o следует, что


A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha_1\cdot\varphi_1+ \alpha_2\cdot\varphi_2+ \ldots+\alpha_k\cdot\varphi_k \end{pmatrix}= \alpha_1\cdot A\cdot\varphi_1+ \alpha_2\cdot A\cdot\varphi_2+ \ldots+\alpha_k\cdot A\cdot\varphi_k=o,

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.


2. Если ранг матрицы однородной системы равен r, то система имеет (n-r) линейно независимых решений.


Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем (n-r) частных решений \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}, придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):


\begin{aligned} \mathsf{1)}&\quad x_{r+1}=1,~x_{r+2}=0,~\ldots,~x_n=0\colon~~ \varphi_1= \begin{pmatrix}-a'_{1\,r+1}&\cdots&-a'_{r\,r+1}&1&0&\cdots&0\end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathsf{2)}&\quad x_{r+1}=0,~x_{r+2}=1,~\ldots,~x_n=0\colon~~ \varphi_2= \begin{pmatrix}-a'_{1\,r+2}&\cdots&-a'_{r\,r+2}&0&1&\cdots&0\end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathsf{n-r)}&\quad x_{r+1}=1,~x_{r+2}=0,~\ldots,~x_n=1\colon~~ \varphi_{n-r}= \begin{pmatrix}-a'_{1n}&\cdots&-a'_{rn}&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}^T. \end{aligned}


Получим (n-r) решений


\varphi_1= \begin{pmatrix}-a'_{1\,r+1}\\\vdots\\-a'_{r\,r+1}\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \varphi_2= \begin{pmatrix}-a'_{1\,r+2}\\\vdots\\-a'_{r\,r+2}\\0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad \varphi_{n-r}= \begin{pmatrix}-a'_{1n}\\\vdots\\-a'_{rn}\\0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}\!.

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние (n-r) ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних (n-r) строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен (n-r). Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).


Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.


Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества (n-r) линейно независимых решений.




Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец


x=C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2+\ldots+C_{n-r}\cdot\varphi_{n-r}
(5.14)

при любых значениях произвольных постоянных C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных C_{1},C_{2},\ldots,C_{n-r}, при которых это решение x удовлетворяет равенству (5.14).


Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение x можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу H, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец x:


H=\begin{pmatrix}\varphi_1&\cdots&\varphi_{n-r}&x\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\varphi_{11}&\cdots&\varphi_{1\,n-r}&x_1\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \varphi_{r1}&\cdots&\varphi_{r\,n-r}&x_r\\ \varphi_{r+11}&\cdots&\varphi_{r+1\,n-r}&x_{r+1}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \varphi_{n1}&\cdots&\varphi_{n\,n-r}&x_n \end{pmatrix}\!.

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые (n-r) столбцов линейно независимы, то \operatorname{rg}H\geqslant n-r. Так как каждый из столбцов матрицы H является решением системы A'x=o, то по первой формуле из (5.13) получаем


\begin{aligned} \varphi_{11}&= -a'_{1\,r+1}\varphi_{r+11}-\ldots- a'_{1n}\varphi_{n1},\\ \cdots & \cdots\cdots\cdots\cdots\\[2pt] \varphi_{1\,n-r}&= -a'_{1\,r+1}\varphi_{r+1\,n-r}-\ldots- a'_{1n}\varphi_{n\,n-r},\\[2pt] x_1&= -a'_{1\,r+1}x_{r+1}-\ldots- a'_{1n}x_n. \end{aligned}

Следовательно, первая строка матрицы H является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы.


По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы H является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы H является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы. Значит, первые r строк матрицы H можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно, \operatorname{rg}H\leqslant n-r, так как после вычеркивания в матрице H будет всего (n-r) строк. Таким образом, \operatorname{rg}H=n-r. Значит, есть базисный минор матрицы H, который расположен в первых (n-r) ее столбцах, а столбец x не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа C_1,C_2,\ldots,C_{n-r}, что


x=C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2+\ldots+C_{n-r}\cdot\varphi_{n-r}.

Итак, обратное утверждение доказано.




Алгоритм решения однородной системы уравнений


1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).


Если ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных (r=\operatorname{rg}A=n), то система имеет единственное тривиальное решение x-o и процесс решения заканчивается.


Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (\operatorname{rg}A<n), то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.


6. Найти фундаментальную систему \varphi_1, \varphi_2, \ldots,\varphi_{n-r} решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно (n-r) стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).


7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).




Замечания 5.3


1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.


2. Матрица \Phi=\begin{pmatrix}\varphi_1&\varphi_2&\cdots&\varphi_{n-r} \end{pmatrix} столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде


x=\Phi\cdot c, где c=\begin{pmatrix}C_1&\cdots&C_{n-r} \end{pmatrix}^T — столбец произвольных постоянных.

3. Если базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу (в первых r строках и первых r столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы


\begin{pmatrix}A'\mid b'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0&a'_{1\,r+1}&\cdots&a'_{1n}\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&\cdots&0&a'_{2\,r+1}&\cdots&a'_{2n}\!\!&\vline\!\!&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&a'_{r\,r+1}&\cdots&a'_{rn}\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\!\!&\vline\!\!&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&A'_{r\times(n-r)}\!\!&\vline\!\!&o\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\!\!&\vline\!\!&o \end{pmatrix}\!.

Тогда блочная матрица \Phi=\begin{pmatrix}\dfrac{-A'_{r\times(n-r)}}{E_{n-r}}\end{pmatrix} размеров n\times(n-r) является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.




Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы


\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. \end{cases}

Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы


\begin{pmatrix}A\mid o\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1&2&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 2&3&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&4&2&2\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.

2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы (A\mid o), приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):


\begin{pmatrix}A'\mid o\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&6&2\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.

Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.


5. Переменные x_1,\,x_2 — базисные, а x_3,\,x_4 — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы


\begin{cases}x_1=-6x_3-2x_4,\\x_2=4x_3+x_4.\end{cases}

6. Находим фундаментальную систему решений. Так как n=4 и r=\operatorname{rg}A=2, надо подобрать n-r=2 линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:


1) если x_3=1,~x_4=0, то x_1=-6,~x_2=4;

2) если x_3=0,~x_4=1, то x_1=-2,~x_2=1.


В результате получили фундаментальную систему решений


\varphi_1=\begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}\!,\qquad \varphi_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}\!.

7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):


x=C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\!\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}\!.

Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, x_3=1,~x_4=2 и x_3=2,~x_4=3. Тогда получим другую фундаментальную систему решений


\varphi_1=\begin{pmatrix}-10\\6\\1\\2\end{pmatrix}\!,\quad \varphi_2=\begin{pmatrix}-18\\11\\2\\3\end{pmatrix} и общее решение системы x=C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-10\\6\\1\\2\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix}-18\\11\\2\\3\end{pmatrix}\!.

Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.




Структура общего решения неоднородной системы уравнений


Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.


Рассмотрим неоднородную систему Ax=b и соответствующую ей однородную систему Ax=o. Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.


Свойства решений неоднородной системы уравнений


1. Разность двух решений x и y неоднородной системы есть решение однородной системы.


Действительно, из равенств Ax=b и Ay=b следует, что A(x-y)=Ax-Ay=b-b=o.


2. Пусть x^H — решение неоднородной системы. Тогда любое решение x неоднородной системы можно представить в виде


x=x^H+x^O, где x^O — решение однородной системы.

В самом деле, для любого решения x неоднородной системы разность x-x^H по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. x^O=x-x^H — решение однородной системы.


Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.


Пусть x^H — решение неоднородной системы, а \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец


x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+ C_2\cdot\varphi_2+\ldots+ C_{n-r}\cdot\varphi_{n-r}
(5.15)

при любых значениях [i]произвольных постоянных C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения x этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных C_1,C_2,\ldots,C_{n-r}, при которых это решение x удовлетворяет равенству (5.15).[/i]


Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.


Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.




Алгоритм решения неоднородной системы уравнений


1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).


6. Найти частное решение x^H неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.


7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно (n-r) стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.


8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).


Замечания 5.4


1. Используя фундаментальную матрицу \Phi однородной системы Ax=o, решение неоднородной системы Ax=b можно представить в виде


x=x^H+\Phi\cdot c,

где x^H — частное решение неоднородной системы, а c=\begin{pmatrix}C_1&\cdots&C_{n-r}\end{pmatrix}^T — столбец произвольных постоянных.

2. Если базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу (в первых r строках и первых r столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы


\begin{pmatrix}A'\mid b'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0&a'_{1\,r+1}&\cdots&a'_{1n}\!\!&\vline\!\!&b'_1\\ 0&1&\cdots&0&a'_{2\,r+1}&\cdots&a'_{2n}\!\!&\vline\!\!&b'_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&a'_{r\,r+1}&\cdots&a'_{rn}\!\!&\vline\!\!&b'_r\\ 0&0&\cdots& 0&0&\cdots&0\!\!&\vline\!\!&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \vdots&\ddots& \vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\!\!& \vline\!\!&A'_{r\times(n-r)}\!\!&\vline\!\!&b'_{r\times1}\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\!\!&\vline\!\!&o \end{pmatrix}\!.

Тогда блочная матрица \Phi=\begin{pmatrix}\dfrac{-A'_{r\times(n-r)}}{E_{n-r}}\end{pmatrix} оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец x^H=\begin{pmatrix}\dfrac{b'_{r\times1}}{o_{(n-r)\times1}}\end{pmatrix} является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде


x=x^H+\Phi\cdot c=\begin{pmatrix}\dfrac{b'_{r\times1}}{o_{(n-r)\times1}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{-A'_{r\times(n-r)}}{E_{n-r}}\end{pmatrix}\!\cdot c,
(5.16)

где c=\begin{pmatrix}C_1&\cdots&C_{n-r}\end{pmatrix}^T — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.




Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы


\begin{cases}x_1+ x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1.\end{cases}

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:


\begin{cases}x_1=3-6x_3-2x_4,\\x_2=-2+4x_3+x_4.\end{cases}

Переменные x_1,\,x_2 — базисные, а x_3,\,x_4 — свободные.


6. Полагая x_3=0,~x_4=0, получаем частное решение неоднородной системы x^H=\begin{pmatrix}3&-2&0&0\end{pmatrix}^T.


7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):


\varphi_1=\begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,\qquad \varphi_2=\begin{pmatrix}-2&1&0&1\end{pmatrix}^T.

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы


x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}\!.

Искомая структура множества решений найдена.


Получим формулу общего решения вторым способом, используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:


\begin{pmatrix}A\mid b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&6&2\!\!&\vline\!\!&3\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-2\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0\!\!& \vline\!\!&6&2\!\!&\vline\!\!&3\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-2\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!& 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E_2\!\!&\vline\!\!&A'_{2\times2}\!\!& \vline\!\!& b'_{2\times1}\\ O\!\!&\vline\!\!&O\!\!&\vline\!\!&o \end{pmatrix}\!.

Записываем частное решение неоднородной системы


x^H= \begin{pmatrix}\dfrac{b'_{r\times1}}{o_{(n-r)\times1}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{b'_{2\times1}}{o_{2\times1}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0 \end{pmatrix}

и составляем фундаментальную матрицу:


\Phi= \begin{pmatrix}\dfrac{-A'_{r\times(n-r)}}{E_{n-r}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{-A'_{2\times2}}{E_2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-6&-2\\4&1\\1&0\\ 0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\varphi_1&\varphi_2\end{pmatrix}\!.

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):


x=x^H+\Phi\cdot\! \begin{pmatrix}C_1\\C_2\end{pmatrix}= x^H+C_1\cdot\varphi_1+ C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0 \end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}\!.

которое совпадает с ранее полученным.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved