Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Строение математических теорем

Строение математических теорем


Остановимся на формах теорем четырех видов, выделенных еще в аристотелевской логике, основоположником которой был один из наиболее разносторонних мыслителей Древней Греции Аристотель (384–322 гг. до н.э.), и названных категорическими суждениями. Многие математические теоремы имеют именно такой вид. Логика предикатов позволит проанализировать их строение, сравнить между собой, и этот анализ будет более тонким, нежели анализ строения теорем, проведенный в алгебре высказываний. (Впрочем можно заметить, что в алгебре высказываний этот анализ проходил несколько в ином аспекте, и оба анализа скорее дополняют друг друга.)


Величайшая заслуга Аристотеля в области логики состоит в том, что он впервые систематизировал и подверг анализу с некоторой формальной точки зрения приемы рассуждений, уже практически широко применявшиеся его современниками, но до него остававшиеся еще теоретически неосознанными, несформулированными. Он показал, что правильное рассуждение можно свести к систематическому применению небольшого числа неизменных правил, независимых от частной природы объектов, относительно которых происходит рассуждение. Тем самым Аристотель применил такие подходы к исследованию рассуждений, которые сделали логику наукой. С точки зрения современной формальной (математической) логики этот особый вид логических рассуждений, который подробно исследовал Аристотель и который получил название "силлогического", представляет собой небольшую и довольно элементарную часть, относящуюся к логике предикатов, причем — к логике одноместных предикатов. В своем учении о силлогизме Аристотель выясняет общие закономерности, при которых из двух высказываний-посылок, имеющих вполне определенную логическую структуру (выражаемую специальными формулами логики предикатов, содержащими лишь одноместные предикатные переменные), определенное заключение с необходимостью либо следует, либо не следует. Современная форма силлогистики в ее окончательном виде конечно же еще не содержится в трудах самого Аристотеля, она является результатом работы его многочисленных комментаторов и последователей — древнегреческих, древнеримских, арабских и средневековых логиков.


Аристотель, проанализировав строение простых высказываний (или, как он говорил, "категорических суждений"), пришел к выводу, что содержание любого из них может быть сведено к утверждению о наличии или отсутствии у предметов определенных свойств. При этом такие утверждения могут относиться не только к отдельным предметам, но и к классам предметов. Высказывание, в котором утверждается, что конкретный предмет обладает или не обладает определенным свойством, называется единичным (соответственно единичноутвердительным или единичноотрицательным). Например, высказывание "Число 10 четное" является единичноутвердительным. Его содержание сводится к утверждению о наличии у конкретного числа 10 свойства делимости на 2.


Высказывание, в котором утверждается, что все предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется общим (соответственно общеутвердительным или общеотрицательным). Например, высказывание "Все металлы тонут в воде" общеутвердительное, а высказывание "Все простые числа не являются четными" общеотрицательное.


Высказывание, в котором утверждается, что некоторые предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется частным (соответственно частноутвердительным или частноотрицательным). Например, высказывание "Некоторые реки впадают в озеро Байкал" является частноутвердительным, а высказывание "Некоторые прямоугольные треугольники не являются равнобедренными" — частноотрицательным.


Таким образом, по Аристотелю, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные. Первые два типа высказываний есть высказывания о конкретных предметах, последние четыре — о классах предметов.


По традиции, также восходящей к Аристотелю, типы простых высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита: [math]A[/math] — общеутвердительные, [math]E[/math] — общеотрицательные, [math]I[/math] — частноутвердительные, [math]O[/math] — частноотрицательные. (Эти буквы соответствуют латинским словам: affirmo — "утверждаю", nego — "отрицаю".) Далее класс предметов обозначается буквой [math]S[/math], свойство — буквой [math]P[/math]. При этом [math]S[/math] называется субъектом, а [math]P[/math] — предикатом.


Таким образом, указанные выше четыре типа простых высказываний, относящихся к классам предметов, имеют следующую общелогическую форму:


[math]\mathbf{A}[/math] (общеутвердительное суждение): "Все предметы класса [math]S[/math] обладают свойством [math]P[/math]". ("Все [math]S[/math] суть [math]P[/math]".) Символически: [math]SaP[/math];


[math]\mathbf{E}[/math] (общеотрицательное суждение): "Ни один предмет класса [math]S[/math] не обладает свойством [math]P[/math]". ("Ни один [math]S[/math] не есть [math]P[/math]".) Символически: [math]SeP[/math];


[math]\mathbf{I}[/math] (частноутвердительное суждение): "Некоторые предметы класса [math]S[/math] обладают свойством [math]P[/math]". ("Некоторые [math]S[/math] суть [math]P[/math]".) Символически: [math]SiP[/math];


[math]\mathbf{O}[/math] (частноотрицательное суждение): "Некоторые предметы класса [math]S[/math] не обладают свойством [math]P[/math]". ("Некоторые [math]S[/math] не суть [math]P[/math]".) Символически: [math]SoP[/math].


Исходя из описанного подхода к простым высказываниям анализ их строения состоит в выявлении их субъектно-предикатной структуры, т.е. в выявлении в высказывании субъекта и предиката и фиксировании способа связи между ними (по типу [math]A,\,E,\,I,\,O[/math]).


Рассмотрим более подробно эти виды суждений.




Общеутвердительное суждение


"Все [math]S[/math] суть [math]P[/math]". Примерами математических теорем, имеющих такое строение, являются следующие: "Все прямоугольники — параллелограммы", "Все гомотетии суть преобразования подобия", "Все дифференцируемые функции непрерывны", "Все поля суть кольца", "Все сферы — тела вращения". Можно указать немало суждений нематематического характера, имеющих такое строение: "Все люди смертны", "Все змеи — пресмыкающиеся", "Все планеты — спутники Солнца".


Суждение "Все [math]S[/math] суть [math]P[/math]" в терминах логики предикатов понимается так: каков бы ни был объект [math]x[/math], если он обладает свойством [math]S[/math] (т.е. [math]S(x)[/math] истинно), то он обладает также свойством [math]P[/math] (т.е. [math]P(x)[/math] истинно). Это утверждение на языке логики предикатов выглядит следующим образом:


[math]A\colon \qquad\qquad\qquad (\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).[/math]
(1)

(Напомним, что утверждения такого типа представляют собой развернутую запись ограниченного квантора общности.)

Логика предикатов дает возможность представить суждение [math]A[/math] в несколько ином виде с использованием квантора существования. Для этого преобразуем формулу (1) равносильным образом, используя равносильности (получающиеся на основе тавтологий) теоремы 21.9 (пункт б) и теоремы 4.4 (пункты а, с, у):


[math]\begin{aligned}(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr)&\cong (\forall x)\bigl(\lnot \lnot (\lnot S(x)\lor P(x))\bigr)\cong \lnot (\exists x)\bigl(\lnot (\lnot S(x)\lor P(x))\bigr)\bigr)\cong\\ &\cong \lnot (\exists x)\bigl(\lnot\lnot S(x)\land\lnot P(x)\bigr)\cong \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr). \end{aligned}[/math]

В этом виде суждение [math]A[/math] можно сформулировать так: "Неверно, что некоторые [math]S[/math] не суть [math]P[/math]".


Отметим, что, как правило, не говорят: "Все [math]S[/math] суть [math]P[/math]", если известно, что объектов, удовлетворяющих свойству [math]S[/math], не существует. Обычно под этим суждением мы понимаем следующее: "Существует объект, удовлетворяющий [math]S[/math], и все [math]S[/math] суть [math]P[/math]", или в переводе на язык логики предикатов оно выглядит так:


[math](\exists x)\bigl(S(x)\bigr)\land (\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).[/math]
(1')

При этом возможно и иное понимание исходного суждения, а именно: "Если существует объект, удовлетворяющий свойству [math]S[/math], то все [math]S[/math] суть [math]P[/math], переводимое на язык логики предикатов следующим образом:


[math](\exists x)\bigl(S(x)\bigr)\to (\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).[/math]
(1'')

(Проверьте самостоятельно, что формула (1") равносильна формуле (1), и поэтому данное толкование общеутвердительного суждения совпадает с первоначальным его пониманием.)

Всем этим вариантам предпочтем (1) по той главной причине, что данный перевод, во-первых, проще, чем (Г) и (1"), а во-вторых, при теоретико-множественном толковании суждения "Все [math]S[/math] суть [math]P[/math]" он позволяет заключить, что множество [math]S[/math] всех объектов [math]x[/math], удовлетворяющих свойству [math]S(x)[/math], является подмножеством множества [math]P[/math] объектов, удовлетворяющих свойству [math]P(x)[/math], то есть [math]S \subseteq P[/math].


Отметим также, что в повседневной речи слово "все" в общеутвердительных суждениях порой опускают, так что, например, эквивалентом фразы "Все люди смертны" является вариант "Люди смертны".




Общеотрицательное суждение


"Никакое [math]S[/math] не есть [math]P[/math]". Вот примеры математических теорем, имеющих такое строение: "Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка", "Никакая осевая симметрия на плоскости не есть движение первого рода", "Никакой треугольник не является окружностью", "Никакой числовой ряд, у которого предел общего члена не равен нулю, не сходится". Вот примеры нематематических суждений такого типа: "Никакие змеи не есть птицы", "Никакие камни не разговаривают".


Смысл общеотрицательного суждения: каков бы ни был объект [math]x[/math], если он обладает свойством [math]S[/math] (т.е. [math]S(x)[/math] истинно), он не обладает свойством [math]P[/math] (т.е. [math]P(x)[/math] ложно). На языке логики предикатов это выражается так:


[math]E\colon\qquad\qquad\qquad (\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr).[/math]
(2)

Другими словами, общеотрицательное утверждение читается: "Все [math]S[/math] суть не [math]P[/math]". Можно записать выражение (2) и в виде ограниченного квантора общности: [math]\bigl(\forall S(x)\bigr)\bigl(\lnot P(x)\bigr)[/math].


Логика предикатов дает возможность представить суждение [math]E[/math] в несколько ином виде, с использованием квантора существования. Для этого формулу [math]E[/math] необходимо преобразовать равносильным образом, используя те же равносильности, что и в случае преобразования общеутвердительного суждения:


[math]\begin{aligned}(\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr)&\cong (\forall x)\bigl(\lnot\lnot (S(x)\lor\lnot P(x))\bigr)\cong \lnot (\exists x)\bigl(\lnot (\lnot S(x)\lor\lnot P(x))\bigr)\cong\\ &\cong \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\lor P(x)\bigr).\end{aligned}[/math]

В этом виде суждение [math]E[/math] формулируется так: "Неверно, что некоторые [math]S[/math] суть [math]P[/math]".


Отметим, что при теоретико-множественном толковании общеотрицательного суждения "Все [math]S[/math] суть не [math]P[/math]" запись (2) позволяет заключить, что множество [math]S[/math] всех объектов [math]x[/math], удовлетворяющих свойству [math]S(x)[/math], включается в множество [math]\overline{P}[/math] всех объектов, не удовлетворяющих свойству [math]P(x)[/math], являющееся дополнением множества [math]P[/math], то есть [math]S \subset\overline{P}[/math].




Частноутвердительное суждение


"Некоторые [math]S[/math] суть [math]P[/math]". Примерами математических утверждений с такими строениями служат следующие: "Некоторые гомотетии суть движения", "Некоторые функции — периодические", "Некоторые параллелограммы могут быть вписаны в окружность", "Некоторые простые числа четны". Приведем примеры нематематических суждений, имеющих такое строение: "Некоторые люди взошли на Эверест", "Некоторые змеи ядовиты" и т.д.


Частноутвердительному суждению придается следующий смысл: существует такой объект [math]x[/math], обладающий свойством [math]S(x)[/math], который также обладает и свойством [math]P(x)[/math]. Тогда ему соответствует следующая формула логики предикатов:


[math]I\colon\qquad\qquad\qquad (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr).[/math]
(3)

(Напомним, что это утверждение представляет собой развернутую запись ограниченного квантора существования.)

Снова, используя технику логики предикатов, можем представить данное суждение в несколько ином виде с использованием квантора общности:


[math]\begin{aligned}(\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr)&\cong (\exists x)\bigl(\lnot (\lnot S(x)\land\lnot P(x))\bigr)\cong\\ &\cong (\exists x)\bigl(\lnot (S(x)\to\lnot P(x))\bigr)\cong\\ &\cong \lnot (\forall x)\bigl(S(x)\to\lnot P(x)\bigr). \end{aligned}[/math]

Сравнив теперь общеотрицательное суждение [math]E[/math] и частноутвердительное суждение [math]I[/math], видим, что каждое из них является отрицанием другого.


Частноутвердительное суждение можно выразить на теоретико-множественном языке следующим образом: [math]S\cap P\ne\varnothing[/math], где [math]S[/math] и [math]P[/math] — множества таких объектов [math]x[/math], которые удовлетворяют предикатам [math]S(x)[/math] и [math]P(x)[/math] соответственно.


Отметим, что в повседневной речи слово "некоторые" в частноутвердительных суждениях порой опускают, так что, например, фраза "Люди взошли на Эверест" обозначает "Некоторые люди взошли на Эверест".




Частноотрицательное суждение


"Некоторые [math]S[/math] не суть [math]P[/math]". Укажем примеры математических утверждений такого вида: "Некоторые треугольники — неравнобедренные", "Некоторые функции — непериодические", "Некоторые преобразования подобия не являются движениями", "Некоторые ромбы нельзя вписать в окружность", "Некоторые группы не абелевы". Вот примеры нематематических суждений, имеющих частноотрицательный характер: "Некоторые грибы не съедобны", "Некоторые реки не впадают в моря" и т.д.


Частноотрицательное суждение "Некоторые [math]S[/math] не суть [math]P[/math]" понимается так: существует такой объект [math]x[/math], который обладает свойством [math]S[/math] ([math]S(x)[/math] истинно) и не обладает свойством [math]P[/math] ([math]P(x)[/math] ложно, т.е. истинно [math]\lnot P(x)[/math]). На языке логики предикатов это записывается следующим образом:


[math]O\colon\qquad\qquad\qquad (\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr).[/math]
(4)

Выражение (4) можно записать в виде ограниченного квантора существования [math]\bigl(\exists S(x)\bigr)\bigl(\lnot P(x)\bigr)[/math].


Преобразовав его равносильным образом (проделайте самостоятельно), получаем

[math](\exists x)\bigl(S(x)\land\lnot P(x)\bigr)\cong \lnot(\forall x)\bigl(S(x)\to P(x)\bigr).[/math]

Эта равносильность показывает, что общеутвердительное суждение [math]A[/math] и частноотрицательное суждение [math]O[/math] являются взаимными отрицаниями.


Частноотрицательное суждение [math]O[/math] следующим образом выражается на теоретико-множественном языке: [math]S\cap\overline{P}\ne\varnothing[/math], где [math]S[/math] — множество объектов [math]x[/math], удовлетворяющих предикату (свойству) [math]S(x)[/math], a [math]\overline{P}[/math] — дополнение множества [math]P[/math], состоящего из всех объектов [math]x[/math], удовлетворяющих предикату [math]P(x)[/math].


В заключение отметим, что общеотрицательное суждение [math]E[/math] и частноутвердительное суждение [math]I[/math] допускают обращение. Такой вывод можно сделать, если вспомнить выражения для этих суждений на языке логики предикатов с использованием квантора общности и закона коммутативности конъюнкции:


[math]\begin{array}{ll}E\colon &\quad \lnot (\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr)\cong \lnot (\exists x)\bigl(P(x)\land S(x)\bigr);\\[2pt] I\colon &\quad \phantom{\lnot}(\exists x)\bigl(S(x)\land P(x)\bigr)\cong (\exists x)\bigl(P(x)\land S(x)\bigr). \end{array}[/math]

Это означает, что "Никакое [math]S[/math] не есть [math]P[/math]" тогда и только тогда, когда "Никакое [math]P[/math] не есть [math]S[/math]"" и соответственно "Некоторые [math]S[/math] суть [math]P[/math]" истинно тогда и только тогда, когда истинно суждение "Некоторые [math]P[/math] суть [math]S[/math]". Соответствующая запись с кванторами существования для суждений [math]A[/math] и [math]O[/math] показывает, что в них буквы [math]S[/math] и [math]P[/math] переставить нельзя, эти суждения обращения не допускают.


И еще одно важное замечание. Необходимо отчетливо осознавать, что значит доказать теорему того или иного типа. Так, доказательство общеутвердительных [math](A)[/math] и общеотрицательных [math](E)[/math] теорем должно состоять в построении строгой цепочки логических умозаключений, начинающейся с условий теоремы и заканчивающейся ее заключением. Например, при доказательстве теоремы "Все дифференцируемые функции непрерывны" нужно исходя из определения дифференцируемой (в точке) функции построить строгую цепочку логических заключений, завершающуюся определением непрерывной (в точке) функции. При доказательстве общеотрицательной теоремы "Никакая осевая симметрия плоскости не является движением первого рода" нужно исходя из определения осевой симметрии построить неопровержимую цепь рассуждений, завершающуюся отрицанием определения движения первого рода. При этом, конечно, нужно знать последнее определение и уметь сформулировать его отрицание (возможно, и на языке логики предикатов). Напротив, при доказательстве утверждений частноутвердительных [math](I)[/math] и частноотрицательных [math](O)[/math] цепочек логических рассуждений строить не требуется. Здесь нужно находить или строить примеры. Так, для доказательства частноутвердительного суждения "Некоторые параллелограммы могут быть вписаны в окружность" следует указать конкретный пример такого параллелограмма, который можно вписать в окружность (например, прямоугольник). Аналогично, для доказательства частноотрицательного суждения "Некоторые функции не являются периодическими" достаточно привести пример хотя бы одной непериодической функции.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved