Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Степенные ряды с комплексными членами и их свойства
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Степенные ряды с комплексными членами и их свойства Содержание 1. Круг сходимости степенного ряда 2. Теорема Абеля о сходимости ряда 3. Формула Коши-Адамара 4. Примеры 5. Свойства степенных рядов 6. Действия над степенными рядами 7. Подстановка ряда в ряд 8. Обобщение свойств степенных рядов 9. Ряды с комплексными членами по целым степеням Круг сходимости степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд (3.1), члены которого образованы степенями $z^n$ или $(z-z_0)^n$ , то есть ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n= c_0+ c_1(z-z_0)+ \ldots+ c_n(z-z_0)^n+\ldots~~(3.9)$ или $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n= c_0+c_1z+c_2z^2+ \ldots+ c_nz_n+\ldots~~~~~~~~(3.10)$ Ряд (3.9) называется рядом по степеням разности $(z-z_0)$ ; ряд (3.10) — рядом по степеням $z$ . Очевидно, один ряд к другому можно преобразовать простой заменой. Особенностью степенного ряда, как частного вида ряда (3.1), является аналитичность его членов во всей комплексной плоскости. Другая особенность связана с видом его области сходимости. В общем случае функционального ряда, областью сходимости может быть множество произвольного вида (см. примеры 3.1-3.5). Это и вся плоскость, и плоскость с выколотой точкой, и круг, и внешность круга, и полуплоскость, и кольцо, и пустое множество (ряд расходится всюду). В случае степенного ряда последнего случая быть не может — ряд имеет хотя бы одну точку сходимости. Так, ряд (3.9), очевидно, сходится в точке $z_0$ , а ряд (3.10) — в точке $z=0$ . В примере 3.1 определялась область сходимости степенных рядов вида (3.10). Кроме двух тривиальных случаев области сходимости — вся плоскость и только одна точка, в двух других областью сходимости оказывается круг, как и для ряда вида (3.9) из примера 3.4, п."а". Полученный результат не является случайным. Действительно, областью сходимости степенного ряда является круг. При этом область сходимости, состоящую из одной точки, можно рассматривать как круг радиуса $R=0$ , а в случае сходимости ряда во всей комплексной плоскости как круг радиуса $R=\infty$ . Доказательство этого утверждения получается из основной теоремы теории степенных рядов — теоремы Абеля, которая формулируется и доказывается так же, как и в действительной области. Теорема Абеля о сходимости ряда Теорема 3.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.10) сходится в точке $z_0\ne0$ , то он сходится, и притом абсолютно, для любого $z$ , удовлетворяющего неравенству $\|z\|<\|z_0\|$ . Как следствие этой теоремы устанавливается существование положительного числа $R$ , такого, что ряд (3.10) при $\|z\|<R$ сходится, а при $\|z\|>R$ расходится, т.е. окружность $\|z\|=R$ разделяет плоскость на две части: внутри окружности ряд сходится, вне — расходится. Радиус этой окружности — число $R$ — называется радиусом сходимости, круг $\|z\|<R$ — кругом сходимости ряда. Формула Коши-Адамара Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара $R=\dfrac{1}{\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}}\,.$ (3.11) Здесь $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}=\ell$ — верхний предел последовательности $a_n=\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}$ . Он всегда существует (конечный или бесконечный), и притом единственный. В случае $\ell=+\infty$ полагают $R=0$ , а в случае $\ell=0$ полагают $R=\infty$ . Замечания 3.1 1. Для ряда (3.9) имеем такое же утверждение: он сходится в круге $\|z-z_0\|<R$ , где радиус сходимости $R$ определяется по формуле (3.11). 2. Радиус сходимости ряда можно определить иначе. Например, найти область сходимости ряда, используя формулы (3.8), а затем — радиус. Так, в примере 3.1 рассматриваются степенные ряды. Для первого из этих рядов найдена область сходимости $\|z\|<1$ , поэтому $R=1$ , для второго из $\|z\|<2$ получаем $R=2$ . Для двух других рядов имеем соответственно $R=0$ и $R=\infty$ . Пример 3.8. Доказать, что для ряда $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ , где $c_n\ne0$ для любого $n$ , радиус сходимости можно определить по формулам: $R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}},\qquad R=\lim_{n\to\infty} \left\|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right\|.$ (3.12) Решение Найдем область сходимости ряда, используя формулы (3.8): $\|f(z)= \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|u_n(z)\|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_nz^n\|}= \|z\|\cdot \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}\,.$ Если $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}=0$ , то неравенство $\|f(z)\|<1$ выполняется при любом $z$ , т.е. ряд сходится всюду и $R=\infty$ . Если $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}=\infty$ , то неравенство $\|f(z)\|<1$ не выполняется ни для какого значения $z\ne0$ и ряд сходится только в одной точке $z=0$ , то есть $R=0$ . В случае, когда предел является конечным и не равен нулю, обозначим его $\ell$ , то есть $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}=\ell$ . Тогда неравенство $\|f(z)\|<1$ , то есть $\|z\|\cdot\ell<1$ , выполняется для $z$ , удовлетворяющих условию $\|z\|<\frac{1}{\ell}$ , а это есть круг сходимости, следовательно, $R= \frac{1}{\ell}$ . Первая из формул (3.12) доказана. Аналогично доказывается вторая. Пример 3.9. Найти области сходимости комплексных рядов $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2},~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n},~ \sum_{n=1}^{\infty}z^n$ . Решение Радиус сходимости каждого из рядов $R=1$ , так как для первого ряда $c_n=\frac{1}{n^2}$ и согласно (3.12) $R=\lim_{n\to\infty} \left\|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right\|=1$ ; для второго ряда имеем $c_n=\frac{1}{n}$ и $R=\lim_{n\to\infty} \left\|\frac{n+1}{n}\right\|=1$ ; для третьего из $c_n=1$ получаем $R=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[\LARGE{n}]{n}}=1$ . Поэтому областью сходимости каждого из этих рядов является круг $\|z\|<1$ . Исследуем сходимость рядов на границе круга сходимости — на окружности $\|z\|=1$ , или, что то же, $z=e^{i\varphi}$ . Для первого ряда в точках границы, т.е. при $\|z\|=1$ , получаем абсолютно сходящиеся ряды, так как $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\|z\|^n}{n^2}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ , а ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}$ сходится во всех граничных точках. Поэтому он сходится абсолютно — круге $\|z\|\leqslant1$ . Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ на границе расходится (см. пример 3.1, п."а"). Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ , очевидно, расходится в точке $z=1$ (точке границы $z=e^{i\varphi}$ при $\varphi=0$ ) как гармонический ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и сходится в точке $z=-1$ (точке $z=e^{i\varphi}$ при $\varphi=\pi$ ) как знакочередующийся ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ . Заметим, что сходимость последнего ряда неабсолютная. Можно показать, что ряд расходится на границе $z=e^{i\varphi}$ только при $\varphi=0$ , то есть $\varphi=0$ , а во всех других точках границы, т.е. при $\varphi\ne0$ , он сходится. Заметим, что данные в примере ряды могут быть получены один из другого с помощью дифференцирования или интегрирования. Так, из ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ получаем дифференцированием ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n-1}}{n}$ или $\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ , а из ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ также дифференцированием — ряд $\sum_{n=1}^{\infty}z^{n-1}$ или $\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ . Пример 3.10. Найти радиус сходимости рядов: а) $\sum_{n=0}^{\infty} 3^n(z-1)^n$ ; б) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{3^n}$ . Решение а) Здесь $c_n=3^n$ , и по формуле (3.12) находим: $R=\frac{1}{\ell}$ , где $\ell= \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{3^n}=3$ . Следовательно, $R=\frac{1}{3}$ и $\|z-1\|<\frac{1}{3}$ круг сходимости ряда. б) Ряд имеет вид $\sum_{k=0}^{\infty}c_kz^k= 1+\frac{z^2}{3}+\frac{z^4}{3^2}+ \ldots+ c_kz^k+\ldots$ . Коэффициенты при нечетных степенях $z$ равны нулю, т.е. $c_k=0$ при $k=2n-1$ и $c_k=\frac{1}{3^n}$ при $k=2n$ . Радиус находим по формуле (3.11): $R=\frac{1}{\ell},\qquad \ell=\varlimsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_k\|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{2n}]{\frac{1}{3^n}}= \frac{1}{\sqrt{3}}\,.$ Следовательно, $R=\sqrt{3}$ и $\|z\|<\sqrt{3}$ — круг сходимости ряда. Можно, как отмечено в п.2 замечаний 3.1, поступить иначе. Найдем область сходимости ряда, используя формулу (3.8): $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{\|u_n(z)\|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{1}{3^n}\|z^{2n}\|}= \frac{\|z\|^2}{3}\,.$ Из неравенства $\frac{\|z\|^2}{3}<1$ находим $\|z\|<\sqrt{3}$ — круг сходимости и $R=\sqrt{3}$ — радиус сходимости. Свойства степенных рядов 1. Если $R\ne0$ , т.е. ряд (3.10) сходится в круге $\|z\|<R$ , то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге $\|z\|\leqslant r$ , где $r$ — любое положительное, меньшее $R$ число, $0<r< R$ . Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости. 2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая. 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости. Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ дифференцированием, т.е. ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)'= \sum_{n=1}^{\infty}nc_nz^{n-1}$ или, что удобнее, $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}z^n$ , и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\int c_nz^{n}dz= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_nz^{n+1}}{n+1}$ , сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда. Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ через $R=\frac{1}{\ell}$ , где $\ell= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\|c_n\|}$ . Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием: $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}z^n$ . Общий член этого ряда $(n+1)c_{n+1}z^n$ запишем в виде $a_nz^n$ , где $a_n=(n+1)c_{n+1}$ , а $c_{n+1}$ — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е. $R_1= \frac{1}{\ell_1}$ , где $\ell_1=\varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\|c_{n+1}\|(n+1)}= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt[\LARGE{n}]{\|c_{n+1}\|}\cdot \sqrt[\LARGE{n}]{n+1}\right)= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\|c_{n+1}\|}= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\|c_{n}\|}=\ell\,.$ Следовательно, $R_1=R$ . Здесь использован известный предел $\lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{an+b}=1$ , частный случай которого $\lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{n}=1$ был использован при решении примера 3.3. Так как ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ получается из ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}z^n$ интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами: а) $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ ; б) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}$ ; в) $\sum_{n=1}^{\infty}nz^n$ ; г) $\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ . Решение В первых двух случаях имеем ряды вида $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ . Для $\|q\|<1$ — такой ряд сходящийся. Последовательность частичных сумм $S=\sum_{k=0}^{n-1}q^k= 1+q+\ldots+q^{n-1}$ может быть записана по формуле суммы членов геометрической прогрессии $S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$ . При $\|q\|<1$ находим $S=\lim_{n\to\infty}S_n= \frac{1}{1-q}$ — сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, для которой первый член $b_1=1$ и знаменатель $q$ . Сумма ряда вида $\sum_{n=1}^{\infty}n^kz^n,~ k\geqslant1,~k$ — целое, может быть получена последовательным дифференцированием ряда $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$ , а ряды $\sum_{n=k}^{\infty}z^n,~k>0$ , отличаются от $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ на конечное число слагаемых. а) Для ряда имеем $\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad \|z\|<1.$ (3.13) б) Для ряда $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ или $\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n$ аналогично пункту "а" находим: $S=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}= \frac{1}{2-z},\quad \|z\|<2.$ в) Для решения используем свойство дифференцирования ряда $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ . Получаем $\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n-1}= \left(\frac{1}{1-z}\right)'$ или $\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}= \frac{1}{(1-z)^2}$ . Окончательно находим $\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty}nz^n= \frac{1}{(1-z)^2}$ или $\sum_{n=1}^{\infty}nz^n= \frac{z}{(1-z)^2},~ \|z\|<1$ . г) Используя формулу (3.13) для ряда $\sum_{n=1}^{\infty}z^n= \sum_{n=0}^{\infty}z^n-z^0= \sum_{n=0}^{\infty}z^n-1$ имеем $S=-1+ \sum_{n=0}^{\infty}z^n= -1+\frac{1}{1-z}= \frac{z}{1-z}\,.$ Действия над степенными рядами Кроме упомянутых выше свойств дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри круга сходимости как рядов, равномерно сходящихся, они обладают в круге сходимости общими свойствами сходящихся, в частности абсолютно сходящихся, рядов: ряды можно складывать и перемножать, т.е. рассматривать сумму и произведение рядов; можно также рассматривать их отношение — деление рядов. Рассмотрим подробнее арифметические действия над степенными рядами. Обозначим $R_1$ и $R_2$ — радиусы сходимости двух рядов $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ и $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ . 1. В общей области сходимости, т.е. в круге $\|z\|<r$ , где $r= \min(R_1,R_2)$ , можно рассматривать сумму (разность) рядов: ряд $\sum_{n=1}^{\infty} c_nz^n,~ c_n=a_n\pm b_n$ . Радиус сходимости полученного ряда не меньше $r\colon\, R\geqslant r$ . Сумма $S$ нового ряда равна $S_1\pm S_2$ , где $S_1$ и $S_2$ — суммы рядов — слагаемых. 2. В круге $\|z\|<r$ можно рассматривать произведение рядов: $\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n&= \bigl(a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots+ a_nz^n+\ldots\bigr)\cdot \bigl(b_0+b_1z+b_2z^2+\ldots+ b_nz^n+\ldots \bigr)=\\ &=a_0b_0+ z(a_0b_1+a_1b_0)+ z^2(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+ \ldots+ c_nz^n+\ldots \end{aligned}$ Получаем ряд $\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n$ , где $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+ \ldots+ a_kb_{n-k}+ \ldots+a_nb_0$ . или $c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$ . Радиус сходимости полученного ряда не меньше $r,~ R\geqslant r$ , его сумма $S$ равна $S_1\cdot S_2$ , где $S_1$ n $S_2$ — суммы рядов — сомножителей. 3. В некоторой окрестности точки $z_0=0$ можно рассматривать отношение рядов $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ (делимое) и $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ (делитель) при условии $b_0\ne0$ . Частным этих рядов будет ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ , такой, что выполняется равенство $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n= \sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ Коэффициенты $c_n$ определяются, как и в случае многочленов, методом неопределенных коэффициентов или делением "углом". Замечание 3.2. При сложении и умножении рядов, как отмечено выше, может получиться ряд, сходящийся в большей области, чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов: $R\geqslant r,~ r=\min(R_1,R_2)$ . Приведем пример, подтверждающий это свойство. При сложении рядов $\sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}-1\right)\!z^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^n}{2^n}+ 1\right)\!z^n$ , для которых, как нетрудно проверить, имеем $R_1=R_2=1$ , получим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n}}{2^n}-\frac{(-1)^{n}}{3^n}\right)\!z^n$ . Радиус сходимости этого ряда $R=2$ . Рассмотренные арифметические операции- над рядами используются при решения задач разложения функции в степенные ряды: функций вида $f(z)= f_1(z)+ f_2(z),\qquad f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z),\qquad f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}\,.$ Подстановка ряда в ряд 4. Еще одно действие — подстановка ряда в ряд связано с разложением в ряд сложной функции. Пусть ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nu^n$ сходится в круге $\|u\|<R$ , его сумма равна $S_1=f(u)$ ; а ряд $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ в круге $\|z\|<r$ и его сумма в этом круге равна $S_2=\varphi(z)$ . Тогда в некоторой окрестности точки $z_0=0$ , т.е. в круге $\|z\|<\rho$ , можно рассматривать ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n\right)^n$ . Заметим, что для возможности выполнения этого действия требуется, чтобы имело место условие $\varphi(0)= 0$ , то есть $b_0=0$ ,в противном случае, как правило, не удается привести подобные члены. Поэтому записываем ряд в виде $\sum_{n=0}^{\infty}c_n \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n\right)^n= c_0+ c_1 \bigl(b_1z+ b_2z^2+\ldots\bigr)+ c_2 \bigl(b_1z+b_2z^2+\ldots\bigr)^2+ \ldots+c_n \bigl(b_1z+ b_2z^2+ \ldots\bigr)^n+\ldots$ Произведя действия возведения в степень (как умножение ряда на ряд) и приведение подобных членов, можно записать любое число членов ряда: $c_0+c_1b_1z+ z^2 \bigl(c_1b_2+c_2b_1^2\bigr)+ z^3 \bigl(c_1b_3+2c_1b_1b_2+ c_3b_1^3\bigr)+\ldots$ Суммой нового ряда будет функция $f(\varphi(z))$ . Обобщение свойств степенных рядов Обобщим свойства степенных рядов и действия над ними в виде утверждения. Утверждение 3.1 1. Степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ сходится в круге $\|z\|<R$ ; ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ сходится в круге $\|z-z_0\|<R$ . 2. Радиус сходимости ряда определяется по формулам (3.11) и (3.12). 3. На границах круга сходимости могут быть как точки сходимости, так и точки расходимости ряда. 4. Внутри круга сходимости ряд сходится равномерно; для ряда (3.10) это круг $\|z\|\leqslant r$ , для (3.9): $\|z-z_0\|\leqslant r$ , где $r$ — любое число, $0<r<R$ . 5. Сумма степенного ряда внутри круга сходимости — функция аналитическая. 6. Внутри круга сходимости ряд можно интегрировать почленно и дифференцировать почленно любое число раз. Радиус сходимости ряда при этом не меняется. Сходимость в отдельных точках границы может измениться. Ряды с комплексными членами по целым степеням Рассмотрим два ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ . Первый ряд — степенной и, если он сходится не только в одной точке $z_0$ , но и не всюду, то сходится в круге $\|z-z_0\|<r$ . Второй ряд — не степенной, но, после замены $\frac{1}{z-z_0}=w$ , получим степенной ряд $\sum_{n=1}^{\infty}b_nw^n$ , область сходимости которого: $\|w\|<r_1\ne0$ . Поэтому для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ имеем $\left\|\frac{1}{z-z_0}\right\|<r_1$ , или $\|z-z_0\|>\frac{1}{r_1}=R$ . Если $r<R$ , то исходные ряды имеют общую область сходимости — кольцо $r<\|z-z_0\|<R$ . Для каждого $z$ , принадлежащего этому кольцу, получаем два сходящихся числовых ряда, которые, по свойству сходящихся числовых рядов, можно складывать. Следовательно, в области $r<\|z-z_0\|<R$ можно рассматривать ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n.$ (3.14) Ряд (3.14) — ряд по целым степеням, он состоит из двух частей: первое слагаемое $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$ составляют члены ряда с положительными степенями; второе слагаемое $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ — с отрицательными. Вторую часть можно записать в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} b_{-n}(z-z_0)^n$ , после чего становится понятней возможность записи суммы двух рядов в виде одного ряда, а именно по формуле (3.14), где полагаем $c_n=a_n$ для $n\geqslant0$ и $c_n=b_{-n}$ для $n<0$ . Используя для составляющих ряда (3.14) — рядов $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty} b_nw^n$ свойства степенных рядов (см. утверждение 3.1), можно сформулировать следующее утверждение для рядов по целым степеням. Утверждение 3.2 1. Ряд $\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ сходится в кольце $r<\|z-z_0\|<R$ . 2. В кольце $r_1\leqslant \|z-z_0\|\leqslant R_1$ , где $r_1>r,~ R_1<R$ , ряд сходится равномерно. 3. В кольце $r_1\leqslant \|z-z_0\|\leqslant R_1$ сумма ряда (3.14) — функция аналитическая и ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз. Пример 3.12. Найти кольцо сходимости и сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{3^n}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^n}{2^n}$ . Решение Запишем ряд в виде $\sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{z^n}{3^n}+ \frac{2^n}{z^n}\right)$ и, повторяя решение примера 3.4, находим кольцо сходимости ряда $2<\|z\|<3$ . Сумму ряда $S(z)$ можно записать в виде $S(z)= S_1(z)+ S_2(z)$ , где $S_1$ -сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{z}{3} \right)^n$ , $S_2$ — ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\frac{2}{z}\right)^n$ . Для нахождения суммы этих рядов применим формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Получаем $S_1=\frac{\frac{z}{3}}{1-\frac{z}{3}}$ для $\|z\|<3$ и $S_2=\frac{\frac{2}{z}}{1-\frac{2}{z}}$ для $\|z\|>2$ . Окончательный ответ: $S(z)= \frac{z}{3-z}+\frac{2}{z-2}= \frac{z^2-4z+6}{(z-2)(3-z)}\,.$ Заметим, что функция $S(z)$ является аналитической всюду, кроме точек $z=2$ и $z=3$ , суммой данного ряда она является только в кольце $2<\|z\|<z$ . Отметим также, что в данном ряде отсутствует свободный член. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^n}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^n}{2^n}$ , где свободный член равен 1 (при $n=0$ ), очевидно, сходится в том же кольце, а сумма его равна $S(z)=S_1(z)+S_2(z)= \frac{1}{1-\frac{z}{3}}+\frac{2}{z-2}= \frac{z}{(3-z)(z-2)}\,.$ Она действительно отличается только на величину свободного члена, т.е. на единицу от найденной выше. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Степенные ряды с комплексными членами и их свойства

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Степенные ряды с комплексными членами и их свойства

Круг сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд (3.1), члены которого образованы степенями $z^n$ или $(z-z_0)^n$ , то есть ряд вида

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n= c_0+ c_1(z-z_0)+ \ldots+ c_n(z-z_0)^n+\ldots~~(3.9)$

или

$\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n= c_0+c_1z+c_2z^2+ \ldots+ c_nz_n+\ldots~~~~~~~~(3.10)$

Ряд (3.9) называется рядом по степеням разности $(z-z_0)$ ; ряд (3.10) — рядом по степеням $z$ . Очевидно, один ряд к другому можно преобразовать простой заменой.

Особенностью степенного ряда, как частного вида ряда (3.1), является аналитичность его членов во всей комплексной плоскости. Другая особенность связана с видом его области сходимости. В общем случае функционального ряда, областью сходимости может быть множество произвольного вида (см. примеры 3.1-3.5). Это и вся плоскость, и плоскость с выколотой точкой, и круг, и внешность круга, и полуплоскость, и кольцо, и пустое множество (ряд расходится всюду). В случае степенного ряда последнего случая быть не может — ряд имеет хотя бы одну точку сходимости. Так, ряд (3.9), очевидно, сходится в точке $z_0$ , а ряд (3.10) — в точке $z=0$ .

В примере 3.1 определялась область сходимости степенных рядов вида (3.10). Кроме двух тривиальных случаев области сходимости — вся плоскость и только одна точка, в двух других областью сходимости оказывается круг, как и для ряда вида (3.9) из примера 3.4, п."а". Полученный результат не является случайным. Действительно, областью сходимости степенного ряда является круг. При этом область сходимости, состоящую из одной точки, можно рассматривать как круг радиуса $R=0$ , а в случае сходимости ряда во всей комплексной плоскости как круг радиуса $R=\infty$ . Доказательство этого утверждения получается из основной теоремы теории степенных рядов — теоремы Абеля, которая формулируется и доказывается так же, как и в действительной области.

Теорема Абеля о сходимости ряда

Теорема 3.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.10) сходится в точке $z_0\ne0$ , то он сходится, и притом абсолютно, для любого $z$ , удовлетворяющего неравенству $|z|<|z_0|$ .

Как следствие этой теоремы устанавливается существование положительного числа $R$ , такого, что ряд (3.10) при $|z|<R$ сходится, а при $|z|>R$ расходится, т.е. окружность $|z|=R$ разделяет плоскость на две части: внутри окружности ряд сходится, вне — расходится. Радиус этой окружности — число $R$ — называется радиусом сходимости, круг $|z|<R$ — кругом сходимости ряда.

Формула Коши-Адамара

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара

$R=\dfrac{1}{\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}}\,.$

(3.11)

Здесь $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}=\ell$ — верхний предел последовательности $a_n=\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}$ . Он всегда существует (конечный или бесконечный), и притом единственный. В случае $\ell=+\infty$ полагают $R=0$ , а в случае $\ell=0$ полагают $R=\infty$ .

Замечания 3.1

1. Для ряда (3.9) имеем такое же утверждение: он сходится в круге $|z-z_0|<R$ , где радиус сходимости $R$ определяется по формуле (3.11).

2. Радиус сходимости ряда можно определить иначе. Например, найти область сходимости ряда, используя формулы (3.8), а затем — радиус. Так, в примере 3.1 рассматриваются степенные ряды. Для первого из этих рядов найдена область сходимости $|z|<1$ , поэтому $R=1$ , для второго из $|z|<2$ получаем $R=2$ . Для двух других рядов имеем соответственно $R=0$ и $R=\infty$ .

Пример 3.8. Доказать, что для ряда $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ , где $c_n\ne0$ для любого $n$ , радиус сходимости можно определить по формулам:

$R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}},\qquad R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|.$

(3.12)

Решение

Найдем область сходимости ряда, используя формулы (3.8):

$|f(z)= \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|u_n(z)|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_nz^n|}= |z|\cdot \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}\,.$

Если $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}=0$ , то неравенство $|f(z)|<1$ выполняется при любом $z$ , т.е. ряд сходится всюду и $R=\infty$ . Если $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}=\infty$ , то неравенство $|f(z)|<1$ не выполняется ни для какого значения $z\ne0$ и ряд сходится только в одной точке $z=0$ , то есть $R=0$ .

В случае, когда предел является конечным и не равен нулю, обозначим его $\ell$ , то есть $\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}=\ell$ . Тогда неравенство $|f(z)|<1$ , то есть $|z|\cdot\ell<1$ , выполняется для $z$ , удовлетворяющих условию $|z|<\frac{1}{\ell}$ , а это есть круг сходимости, следовательно, $R= \frac{1}{\ell}$ . Первая из формул (3.12) доказана. Аналогично доказывается вторая.

Пример 3.9. Найти области сходимости комплексных рядов $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2},~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n},~ \sum_{n=1}^{\infty}z^n$ .

Решение

Радиус сходимости каждого из рядов $R=1$ , так как для первого ряда $c_n=\frac{1}{n^2}$ и согласно (3.12) $R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right|=1$ ; для второго ряда имеем $c_n=\frac{1}{n}$ и $R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{n+1}{n}\right|=1$ ; для третьего из $c_n=1$ получаем $R=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[\LARGE{n}]{n}}=1$ . Поэтому областью сходимости каждого из этих рядов является круг $|z|<1$ .

Исследуем сходимость рядов на границе круга сходимости — на окружности $|z|=1$ , или, что то же, $z=e^{i\varphi}$ .

Для первого ряда в точках границы, т.е. при $|z|=1$ , получаем абсолютно сходящиеся ряды, так как $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|z|^n}{n^2}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ , а ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}$ сходится во всех граничных точках. Поэтому он сходится абсолютно — круге $|z|\leqslant1$ .

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ на границе расходится (см. пример 3.1, п."а").

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ , очевидно, расходится в точке $z=1$ (точке границы $z=e^{i\varphi}$ при $\varphi=0$ ) как гармонический ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и сходится в точке $z=-1$ (точке $z=e^{i\varphi}$ при $\varphi=\pi$ ) как знакочередующийся ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ . Заметим, что сходимость последнего ряда неабсолютная. Можно показать, что ряд расходится на границе $z=e^{i\varphi}$ только при $\varphi=0$ , то есть $\varphi=0$ , а во всех других точках границы, т.е. при $\varphi\ne0$ , он сходится.

Заметим, что данные в примере ряды могут быть получены один из другого с помощью дифференцирования или интегрирования. Так, из ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ получаем дифференцированием ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n-1}}{n}$ или $\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ , а из ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ также дифференцированием — ряд $\sum_{n=1}^{\infty}z^{n-1}$ или $\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ .

Пример 3.10. Найти радиус сходимости рядов: а) $\sum_{n=0}^{\infty} 3^n(z-1)^n$ ; б) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{3^n}$ .

Решение

а) Здесь $c_n=3^n$ , и по формуле (3.12) находим: $R=\frac{1}{\ell}$ , где $\ell= \lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{3^n}=3$ . Следовательно, $R=\frac{1}{3}$ и $|z-1|<\frac{1}{3}$ круг сходимости ряда.

б) Ряд имеет вид $\sum_{k=0}^{\infty}c_kz^k= 1+\frac{z^2}{3}+\frac{z^4}{3^2}+ \ldots+ c_kz^k+\ldots$ .

Коэффициенты при нечетных степенях $z$ равны нулю, т.е. $c_k=0$ при $k=2n-1$ и $c_k=\frac{1}{3^n}$ при $k=2n$ . Радиус находим по формуле (3.11):

$R=\frac{1}{\ell},\qquad \ell=\varlimsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|c_k|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{2n}]{\frac{1}{3^n}}= \frac{1}{\sqrt{3}}\,.$

Следовательно, $R=\sqrt{3}$ и $|z|<\sqrt{3}$ — круг сходимости ряда.

Можно, как отмечено в п.2 замечаний 3.1, поступить иначе. Найдем область сходимости ряда, используя формулу (3.8):

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[\LARGE{n}]{|u_n(z)|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{1}{3^n}|z^{2n}|}= \frac{|z|^2}{3}\,.$

Из неравенства $\frac{|z|^2}{3}<1$ находим $|z|<\sqrt{3}$ — круг сходимости и $R=\sqrt{3}$ — радиус сходимости.

Свойства степенных рядов

1. Если $R\ne0$ , т.е. ряд (3.10) сходится в круге $|z|<R$ , то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге $|z|\leqslant r$ , где $r$ — любое положительное, меньшее $R$ число, $0<r< R$ . Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.

2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости.

Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ дифференцированием, т.е. ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)'= \sum_{n=1}^{\infty}nc_nz^{n-1}$ или, что удобнее, $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}z^n$ , и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\int c_nz^{n}dz= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_nz^{n+1}}{n+1}$ , сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда.

Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ через $R=\frac{1}{\ell}$ , где $\ell= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{|c_n|}$ . Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием: $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}z^n$ . Общий член этого ряда $(n+1)c_{n+1}z^n$ запишем в виде $a_nz^n$ , где $a_n=(n+1)c_{n+1}$ , а $c_{n+1}$ — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е. $R_1= \frac{1}{\ell_1}$ , где

$\ell_1=\varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{|c_{n+1}|(n+1)}= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt[\LARGE{n}]{|c_{n+1}|}\cdot \sqrt[\LARGE{n}]{n+1}\right)= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{|c_{n+1}|}= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{|c_{n}|}=\ell\,.$

Следовательно, $R_1=R$ . Здесь использован известный предел $\lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{an+b}=1$ , частный случай которого $\lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{n}=1$ был использован при решении примера 3.3. Так как ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ получается из ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}z^n$ интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется.

Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:

а) $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ ; б) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}$ ; в) $\sum_{n=1}^{\infty}nz^n$ ; г) $\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ .

Решение

В первых двух случаях имеем ряды вида $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ . Для $|q|<1$ — такой ряд сходящийся. Последовательность частичных сумм $S=\sum_{k=0}^{n-1}q^k= 1+q+\ldots+q^{n-1}$ может быть записана по формуле суммы членов геометрической прогрессии $S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$ . При $|q|<1$ находим $S=\lim_{n\to\infty}S_n= \frac{1}{1-q}$ — сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, для которой первый член $b_1=1$ и знаменатель $q$ . Сумма ряда вида $\sum_{n=1}^{\infty}n^kz^n,~ k\geqslant1,~k$ — целое, может быть получена последовательным дифференцированием ряда $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$ , а ряды $\sum_{n=k}^{\infty}z^n,~k>0$ , отличаются от $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ на конечное число слагаемых.

а) Для ряда имеем

$\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad |z|<1.$

(3.13)

б) Для ряда $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ или $\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n$ аналогично пункту "а" находим:

$S=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}= \frac{1}{2-z},\quad |z|<2.$

в) Для решения используем свойство дифференцирования ряда $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ . Получаем $\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n-1}= \left(\frac{1}{1-z}\right)'$ или $\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}= \frac{1}{(1-z)^2}$ . Окончательно находим $\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty}nz^n= \frac{1}{(1-z)^2}$ или $\sum_{n=1}^{\infty}nz^n= \frac{z}{(1-z)^2},~ |z|<1$ .

г) Используя формулу (3.13) для ряда $\sum_{n=1}^{\infty}z^n= \sum_{n=0}^{\infty}z^n-z^0= \sum_{n=0}^{\infty}z^n-1$ имеем

$S=-1+ \sum_{n=0}^{\infty}z^n= -1+\frac{1}{1-z}= \frac{z}{1-z}\,.$

Действия над степенными рядами

Кроме упомянутых выше свойств дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри круга сходимости как рядов, равномерно сходящихся, они обладают в круге сходимости общими свойствами сходящихся, в частности абсолютно сходящихся, рядов: ряды можно складывать и перемножать, т.е. рассматривать сумму и произведение рядов; можно также рассматривать их отношение — деление рядов.

Рассмотрим подробнее арифметические действия над степенными рядами. Обозначим $R_1$ и $R_2$ — радиусы сходимости двух рядов $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ и $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ .

1. В общей области сходимости, т.е. в круге $|z|<r$ , где $r= \min(R_1,R_2)$ , можно рассматривать сумму (разность) рядов: ряд $\sum_{n=1}^{\infty} c_nz^n,~ c_n=a_n\pm b_n$ . Радиус сходимости полученного ряда не меньше $r\colon\, R\geqslant r$ . Сумма $S$ нового ряда равна $S_1\pm S_2$ , где $S_1$ и $S_2$ — суммы рядов — слагаемых.

2. В круге $|z|<r$ можно рассматривать произведение рядов:

$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n&= \bigl(a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots+ a_nz^n+\ldots\bigr)\cdot \bigl(b_0+b_1z+b_2z^2+\ldots+ b_nz^n+\ldots \bigr)=\\ &=a_0b_0+ z(a_0b_1+a_1b_0)+ z^2(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+ \ldots+ c_nz^n+\ldots \end{aligned}$

Получаем ряд $\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n$ , где $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+ \ldots+ a_kb_{n-k}+ \ldots+a_nb_0$ . или $c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$ . Радиус сходимости полученного ряда не меньше $r,~ R\geqslant r$ , его сумма $S$ равна $S_1\cdot S_2$ , где $S_1$ n $S_2$ — суммы рядов — сомножителей.

3. В некоторой окрестности точки $z_0=0$ можно рассматривать отношение рядов $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ (делимое) и $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ (делитель) при условии $b_0\ne0$ . Частным этих рядов будет ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ , такой, что выполняется равенство $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n= \sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ Коэффициенты $c_n$ определяются, как и в случае многочленов, методом неопределенных коэффициентов или делением "углом".

Замечание 3.2. При сложении и умножении рядов, как отмечено выше, может получиться ряд, сходящийся в большей области, чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов: $R\geqslant r,~ r=\min(R_1,R_2)$ .

Приведем пример, подтверждающий это свойство. При сложении рядов $\sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}-1\right)\!z^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^n}{2^n}+ 1\right)\!z^n$ , для которых, как нетрудно проверить, имеем $R_1=R_2=1$ , получим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n}}{2^n}-\frac{(-1)^{n}}{3^n}\right)\!z^n$ . Радиус сходимости этого ряда $R=2$ .

Рассмотренные арифметические операции- над рядами используются при решения задач разложения функции в степенные ряды: функций вида

$f(z)= f_1(z)+ f_2(z),\qquad f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z),\qquad f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}\,.$

Подстановка ряда в ряд

4. Еще одно действие — подстановка ряда в ряд связано с разложением в ряд сложной функции. Пусть ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nu^n$ сходится в круге $|u|<R$ , его сумма равна $S_1=f(u)$ ; а ряд $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$ в круге $|z|<r$ и его сумма в этом круге равна $S_2=\varphi(z)$ . Тогда в некоторой окрестности точки $z_0=0$ , т.е. в круге $|z|<\rho$ , можно рассматривать ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n\right)^n$ . Заметим, что для возможности выполнения этого действия требуется, чтобы имело место условие $\varphi(0)= 0$ , то есть $b_0=0$ ,в противном случае, как правило, не удается привести подобные члены. Поэтому записываем ряд в виде

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n\right)^n= c_0+ c_1 \bigl(b_1z+ b_2z^2+\ldots\bigr)+ c_2 \bigl(b_1z+b_2z^2+\ldots\bigr)^2+ \ldots+c_n \bigl(b_1z+ b_2z^2+ \ldots\bigr)^n+\ldots$

Произведя действия возведения в степень (как умножение ряда на ряд) и приведение подобных членов, можно записать любое число членов ряда:

$c_0+c_1b_1z+ z^2 \bigl(c_1b_2+c_2b_1^2\bigr)+ z^3 \bigl(c_1b_3+2c_1b_1b_2+ c_3b_1^3\bigr)+\ldots$

Суммой нового ряда будет функция $f(\varphi(z))$ .

Обобщение свойств степенных рядов

Обобщим свойства степенных рядов и действия над ними в виде утверждения.

Утверждение 3.1

1. Степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ сходится в круге $|z|<R$ ; ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ сходится в круге $|z-z_0|<R$ .

2. Радиус сходимости ряда определяется по формулам (3.11) и (3.12).

3. На границах круга сходимости могут быть как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.

4. Внутри круга сходимости ряд сходится равномерно; для ряда (3.10) это круг $|z|\leqslant r$ , для (3.9): $|z-z_0|\leqslant r$ , где $r$ — любое число, $0<r<R$ .

5. Сумма степенного ряда внутри круга сходимости — функция аналитическая.

6. Внутри круга сходимости ряд можно интегрировать почленно и дифференцировать почленно любое число раз. Радиус сходимости ряда при этом не меняется. Сходимость в отдельных точках границы может измениться.

Ряды с комплексными членами по целым степеням

Рассмотрим два ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ . Первый ряд — степенной и, если он сходится не только в одной точке $z_0$ , но и не всюду, то сходится в круге $|z-z_0|<r$ . Второй ряд — не степенной, но, после замены $\frac{1}{z-z_0}=w$ , получим степенной ряд $\sum_{n=1}^{\infty}b_nw^n$ , область сходимости которого: $|w|<r_1\ne0$ . Поэтому для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ имеем $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r_1$ , или $|z-z_0|>\frac{1}{r_1}=R$ .

Если $r<R$ , то исходные ряды имеют общую область сходимости — кольцо $r<|z-z_0|<R$ . Для каждого $z$ , принадлежащего этому кольцу, получаем два сходящихся числовых ряда, которые, по свойству сходящихся числовых рядов, можно складывать. Следовательно, в области $r<|z-z_0|<R$ можно рассматривать ряд вида

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n.$

(3.14)

Ряд (3.14) — ряд по целым степеням, он состоит из двух частей: первое слагаемое $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$ составляют члены ряда с положительными степенями; второе слагаемое $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ — с отрицательными. Вторую часть можно записать в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} b_{-n}(z-z_0)^n$ , после чего становится понятней возможность записи суммы двух рядов в виде одного ряда, а именно по формуле (3.14), где полагаем $c_n=a_n$ для $n\geqslant0$ и $c_n=b_{-n}$ для $n<0$ .

Используя для составляющих ряда (3.14) — рядов $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty} b_nw^n$ свойства степенных рядов (см. утверждение 3.1), можно сформулировать следующее утверждение для рядов по целым степеням.

Утверждение 3.2

1. Ряд $\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ сходится в кольце $r<|z-z_0|<R$ .
2. В кольце $r_1\leqslant |z-z_0|\leqslant R_1$ , где $r_1>r,~ R_1<R$ , ряд сходится равномерно.
3. В кольце $r_1\leqslant |z-z_0|\leqslant R_1$ сумма ряда (3.14) — функция аналитическая и ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Пример 3.12. Найти кольцо сходимости и сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{3^n}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^n}{2^n}$ .

Решение

Запишем ряд в виде $\sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{z^n}{3^n}+ \frac{2^n}{z^n}\right)$ и, повторяя решение примера 3.4, находим кольцо сходимости ряда $2<|z|<3$ . Сумму ряда $S(z)$ можно записать в виде $S(z)= S_1(z)+ S_2(z)$ , где $S_1$ -сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{z}{3} \right)^n$ , $S_2$ — ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\frac{2}{z}\right)^n$ . Для нахождения суммы этих рядов применим формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Получаем $S_1=\frac{\frac{z}{3}}{1-\frac{z}{3}}$ для $|z|<3$ и $S_2=\frac{\frac{2}{z}}{1-\frac{2}{z}}$ для $|z|>2$ . Окончательный ответ:

$S(z)= \frac{z}{3-z}+\frac{2}{z-2}= \frac{z^2-4z+6}{(z-2)(3-z)}\,.$

Заметим, что функция $S(z)$ является аналитической всюду, кроме точек $z=2$ и $z=3$ , суммой данного ряда она является только в кольце $2<|z|<z$ .

Отметим также, что в данном ряде отсутствует свободный член. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^n}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^n}{2^n}$ , где свободный член равен 1 (при $n=0$ ), очевидно, сходится в том же кольце, а сумма его равна

$S(z)=S_1(z)+S_2(z)= \frac{1}{1-\frac{z}{3}}+\frac{2}{z-2}= \frac{z}{(3-z)(z-2)}\,.$

Она действительно отличается только на величину свободного члена, т.е. на единицу от найденной выше.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]