Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Степенные ряды с комплексными членами и их свойства

Степенные ряды с комплексными членами и их свойства


Круг сходимости степенного ряда


Степенным рядом называется функциональный ряд (3.1), члены которого образованы степенями [math]z^n[/math] или [math](z-z_0)^n[/math], то есть ряд вида


[math]\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n= c_0+ c_1(z-z_0)+ \ldots+ c_n(z-z_0)^n+\ldots~~(3.9)[/math]
или
[math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n= c_0+c_1z+c_2z^2+ \ldots+ c_nz_n+\ldots~~~~~~~~(3.10)[/math]

Ряд (3.9) называется рядом по степеням разности [math](z-z_0)[/math]; ряд (3.10) — рядом по степеням [math]z[/math]. Очевидно, один ряд к другому можно преобразовать простой заменой.


Особенностью степенного ряда, как частного вида ряда (3.1), является аналитичность его членов во всей комплексной плоскости. Другая особенность связана с видом его области сходимости. В общем случае функционального ряда, областью сходимости может быть множество произвольного вида (см. примеры 3.1-3.5). Это и вся плоскость, и плоскость с выколотой точкой, и круг, и внешность круга, и полуплоскость, и кольцо, и пустое множество (ряд расходится всюду). В случае степенного ряда последнего случая быть не может — ряд имеет хотя бы одну точку сходимости. Так, ряд (3.9), очевидно, сходится в точке [math]z_0[/math], а ряд (3.10) — в точке [math]z=0[/math].


В примере 3.1 определялась область сходимости степенных рядов вида (3.10). Кроме двух тривиальных случаев области сходимости — вся плоскость и только одна точка, в двух других областью сходимости оказывается круг, как и для ряда вида (3.9) из примера 3.4, п."а". Полученный результат не является случайным. Действительно, областью сходимости степенного ряда является круг. При этом область сходимости, состоящую из одной точки, можно рассматривать как круг радиуса [math]R=0[/math], а в случае сходимости ряда во всей комплексной плоскости как круг радиуса [math]R=\infty[/math]. Доказательство этого утверждения получается из основной теоремы теории степенных рядов — теоремы Абеля, которая формулируется и доказывается так же, как и в действительной области.




Теорема Абеля о сходимости ряда


Теорема 3.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.10) сходится в точке [math]z_0\ne0[/math], то он сходится, и притом абсолютно, для любого [math]z[/math], удовлетворяющего неравенству [math]|z|<|z_0|[/math].


Как следствие этой теоремы устанавливается существование положительного числа [math]R[/math], такого, что ряд (3.10) при [math]|z|<R[/math] сходится, а при [math]|z|>R[/math] расходится, т.е. окружность [math]|z|=R[/math] разделяет плоскость на две части: внутри окружности ряд сходится, вне — расходится. Радиус этой окружности — число [math]R[/math] — называется радиусом сходимости, круг [math]|z|<R[/math] — кругом сходимости ряда.




Формула Коши-Адамара


Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара


[math]R=\dfrac{1}{\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}\,.[/math]
(3.11)

Здесь [math]\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\ell[/math] — верхний предел последовательности [math]a_n=\sqrt[n]{|c_n|}[/math]. Он всегда существует (конечный или бесконечный), и притом единственный. В случае [math]\ell=+\infty[/math] полагают [math]R=0[/math], а в случае [math]\ell=0[/math] полагают [math]R=\infty[/math].


Замечания 3.1


1. Для ряда (3.9) имеем такое же утверждение: он сходится в круге [math]|z-z_0|<R[/math], где радиус сходимости [math]R[/math] определяется по формуле (3.11).


2. Радиус сходимости ряда можно определить иначе. Например, найти область сходимости ряда, используя формулы (3.8), а затем — радиус. Так, в примере 3.1 рассматриваются степенные ряды. Для первого из этих рядов найдена область сходимости [math]|z|<1[/math], поэтому [math]R=1[/math], для второго из [math]|z|<2[/math] получаем [math]R=2[/math]. Для двух других рядов имеем соответственно [math]R=0[/math] и [math]R=\infty[/math].




Пример 3.8. Доказать, что для ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math], где [math]c_n\ne0[/math] для любого [math]n[/math], радиус сходимости можно определить по формулам:


[math]R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}},\qquad R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|.[/math]
(3.12)

▼ Решение

Найдем область сходимости ряда, используя формулы (3.8):


[math]|f(z)= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(z)|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_nz^n|}= |z|\cdot \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\,.[/math]

Если [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=0[/math], то неравенство [math]|f(z)|<1[/math] выполняется при любом [math]z[/math], т.е. ряд сходится всюду и [math]R=\infty[/math]. Если [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\infty[/math], то неравенство [math]|f(z)|<1[/math] не выполняется ни для какого значения [math]z\ne0[/math] и ряд сходится только в одной точке [math]z=0[/math], то есть [math]R=0[/math].


В случае, когда предел является конечным и не равен нулю, обозначим его [math]\ell[/math], то есть [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\ell[/math]. Тогда неравенство [math]|f(z)|<1[/math], то есть [math]|z|\cdot\ell<1[/math], выполняется для [math]z[/math], удовлетворяющих условию [math]|z|<\frac{1}{\ell}[/math], а это есть круг сходимости, следовательно, [math]R= \frac{1}{\ell}[/math]. Первая из формул (3.12) доказана. Аналогично доказывается вторая.


Пример 3.9. Найти области сходимости комплексных рядов [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2},~ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n},~ \sum_{n=1}^{\infty}z^n[/math].


▼ Решение

Радиус сходимости каждого из рядов [math]R=1[/math], так как для первого ряда [math]c_n=\frac{1}{n^2}[/math] и согласно (3.12) [math]R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right|=1[/math]; для второго ряда имеем [math]c_n=\frac{1}{n}[/math] и [math]R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{n+1}{n}\right|=1[/math]; для третьего из [math]c_n=1[/math] получаем [math]R=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1[/math]. Поэтому областью сходимости каждого из этих рядов является круг [math]|z|<1[/math].


Исследуем сходимость рядов на границе круга сходимости — на окружности [math]|z|=1[/math], или, что то же, [math]z=e^{i\varphi}[/math].


Для первого ряда в точках границы, т.е. при [math]|z|=1[/math], получаем абсолютно сходящиеся ряды, так как [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|z|^n}{n^2}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math], а ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится. Следовательно, ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}[/math] сходится во всех граничных точках. Поэтому он сходится абсолютно — круге [math]|z|\leqslant1[/math].


Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z^n[/math] на границе расходится (см. пример 3.1, п."а").


Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}[/math], очевидно, расходится в точке [math]z=1[/math] (точке границы [math]z=e^{i\varphi}[/math] при [math]\varphi=0[/math]) как гармонический ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] и сходится в точке [math]z=-1[/math] (точке [math]z=e^{i\varphi}[/math] при [math]\varphi=\pi[/math]) как знакочередующийся ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}[/math]. Заметим, что сходимость последнего ряда неабсолютная. Можно показать, что ряд расходится на границе [math]z=e^{i\varphi}[/math] только при [math]\varphi=0[/math], то есть [math]\varphi=0[/math], а во всех других точках границы, т.е. при [math]\varphi\ne0[/math], он сходится.


Заметим, что данные в примере ряды могут быть получены один из другого с помощью дифференцирования или интегрирования. Так, из ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}[/math] получаем дифференцированием ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n-1}}{n}[/math] или [math]\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}[/math], а из ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}[/math] также дифференцированием — ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}z^{n-1}[/math] или [math]\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}z^n[/math].


Пример 3.10. Найти радиус сходимости рядов: а) [math]\sum_{n=0}^{\infty} 3^n(z-1)^n[/math]; б) [math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{3^n}[/math].


▼ Решение

а) Здесь [math]c_n=3^n[/math], и по формуле (3.12) находим: [math]R=\frac{1}{\ell}[/math], где [math]\ell= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n}=3[/math]. Следовательно, [math]R=\frac{1}{3}[/math] и [math]|z-1|<\frac{1}{3}[/math] круг сходимости ряда.


б) Ряд имеет вид [math]\sum_{k=0}^{\infty}c_kz^k= 1+\frac{z^2}{3}+\frac{z^4}{3^2}+ \ldots+ c_kz^k+\ldots[/math].


Коэффициенты при нечетных степенях [math]z[/math] равны нулю, т.е. [math]c_k=0[/math] при [math]k=2n-1[/math] и [math]c_k=\frac{1}{3^n}[/math] при [math]k=2n[/math]. Радиус находим по формуле (3.11):


[math]R=\frac{1}{\ell},\qquad \ell=\varlimsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[n]{|c_k|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{3^n}}= \frac{1}{\sqrt{3}}\,.[/math]

Следовательно, [math]R=\sqrt{3}[/math] и [math]|z|<\sqrt{3}[/math] — круг сходимости ряда.


Можно, как отмечено в п.2 замечаний 3.1, поступить иначе. Найдем область сходимости ряда, используя формулу (3.8):


[math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(z)|}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}|z^{2n}|}= \frac{|z|^2}{3}\,.[/math]

Из неравенства [math]\frac{|z|^2}{3}<1[/math] находим [math]|z|<\sqrt{3}[/math] — круг сходимости и [math]R=\sqrt{3}[/math] — радиус сходимости.




Свойства степенных рядов


1. Если [math]R\ne0[/math], т.е. ряд (3.10) сходится в круге [math]|z|<R[/math], то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге [math]|z|\leqslant r[/math], где [math]r[/math] — любое положительное, меньшее [math]R[/math] число, [math]0<r< R[/math]. Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.


2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая.


3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости.


Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math] дифференцированием, т.е. ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)'= \sum_{n=1}^{\infty}nc_nz^{n-1}[/math] или, что удобнее, [math]\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}z^n[/math], и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}\int c_nz^{n}dz= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_nz^{n+1}}{n+1}[/math], сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда.


Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math] через [math]R=\frac{1}{\ell}[/math], где [math]\ell= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}[/math]. Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием: [math]\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}z^n[/math]. Общий член этого ряда [math](n+1)c_{n+1}z^n[/math] запишем в виде [math]a_nz^n[/math], где [math]a_n=(n+1)c_{n+1}[/math], а [math]c_{n+1}[/math] — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е. [math]R_1= \frac{1}{\ell_1}[/math], где


[math]\ell_1=\varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_{n+1}|(n+1)}= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt[n]{|c_{n+1}|}\cdot \sqrt[n]{n+1}\right)= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_{n+1}|}= \varlimsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}=\ell\,.[/math]

Следовательно, [math]R_1=R[/math]. Здесь использован известный предел [math]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{an+b}=1[/math], частный случай которого [math]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1[/math] был использован при решении примера 3.3. Так как ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math] получается из ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)c_{n+1}z^n[/math] интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется.


Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:


а) [math]\sum_{n=0}^{\infty}z^n[/math]; б) [math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}[/math]; в) [math]\sum_{n=1}^{\infty}nz^n[/math]; г) [math]\sum_{n=1}^{\infty}z^n[/math].


▼ Решение

В первых двух случаях имеем ряды вида [math]\sum_{n=0}^{\infty} q^n[/math]. Для [math]|q|<1[/math] — такой ряд сходящийся. Последовательность частичных сумм [math]S=\sum_{k=0}^{n-1}q^k= 1+q+\ldots+q^{n-1}[/math] может быть записана по формуле суммы членов геометрической прогрессии [math]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/math]. При [math]|q|<1[/math] находим [math]S=\lim_{n\to\infty}S_n= \frac{1}{1-q}[/math] — сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, для которой первый член [math]b_1=1[/math] и знаменатель [math]q[/math]. Сумма ряда вида [math]\sum_{n=1}^{\infty}n^kz^n,~ k\geqslant1,~k[/math] — целое, может быть получена последовательным дифференцированием ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty} z^n[/math], а ряды [math]\sum_{n=k}^{\infty}z^n,~k>0[/math], отличаются от [math]\sum_{n=0}^{\infty}z^n[/math] на конечное число слагаемых.


а) Для ряда имеем

[math]\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z},\quad |z|<1.[/math]
(3.13)

б) Для ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{2^{n+1}}[/math] или [math]\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n[/math] аналогично пункту "а" находим:


[math]S=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}= \frac{1}{2-z},\quad |z|<2.[/math]

в) Для решения используем свойство дифференцирования ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}z^n[/math]. Получаем [math]\sum_{n=0}^{\infty}nz^{n-1}= \left(\frac{1}{1-z}\right)'[/math] или [math]\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}= \frac{1}{(1-z)^2}[/math]. Окончательно находим [math]\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty}nz^n= \frac{1}{(1-z)^2}[/math] или [math]\sum_{n=1}^{\infty}nz^n= \frac{z}{(1-z)^2},~ |z|<1[/math].


г) Используя формулу (3.13) для ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}z^n= \sum_{n=0}^{\infty}z^n-z^0= \sum_{n=0}^{\infty}z^n-1[/math] имеем


[math]S=-1+ \sum_{n=0}^{\infty}z^n= -1+\frac{1}{1-z}= \frac{z}{1-z}\,.[/math]



Действия над степенными рядами


Кроме упомянутых выше свойств дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри круга сходимости как рядов, равномерно сходящихся, они обладают в круге сходимости общими свойствами сходящихся, в частности абсолютно сходящихся, рядов: ряды можно складывать и перемножать, т.е. рассматривать сумму и произведение рядов; можно также рассматривать их отношение — деление рядов.


Рассмотрим подробнее арифметические действия над степенными рядами. Обозначим [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math] — радиусы сходимости двух рядов [math]\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n[/math] и [math]\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n[/math].


1. В общей области сходимости, т.е. в круге [math]|z|<r[/math], где [math]r= \min(R_1,R_2)[/math], можно рассматривать сумму (разность) рядов: ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty} c_nz^n,~ c_n=a_n\pm b_n[/math]. Радиус сходимости полученного ряда не меньше [math]r\colon\, R\geqslant r[/math]. Сумма [math]S[/math] нового ряда равна [math]S_1\pm S_2[/math], где [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math] — суммы рядов — слагаемых.


2. В круге [math]|z|<r[/math] можно рассматривать произведение рядов:


[math]\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n&= \bigl(a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots+ a_nz^n+\ldots\bigr)\cdot \bigl(b_0+b_1z+b_2z^2+\ldots+ b_nz^n+\ldots \bigr)=\\ &=a_0b_0+ z(a_0b_1+a_1b_0)+ z^2(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+ \ldots+ c_nz^n+\ldots \end{aligned}[/math]

Получаем ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n[/math], где [math]c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+ \ldots+ a_kb_{n-k}+ \ldots+a_nb_0[/math]. или [math]c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}[/math]. Радиус сходимости полученного ряда не меньше [math]r,~ R\geqslant r[/math], его сумма [math]S[/math] равна [math]S_1\cdot S_2[/math], где [math]S_1[/math] n [math]S_2[/math] — суммы рядов — сомножителей.


3. В некоторой окрестности точки [math]z_0=0[/math] можно рассматривать отношение рядов [math]\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/math] (делимое) и [math]\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n[/math] (делитель) при условии [math]b_0\ne0[/math]. Частным этих рядов будет ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math], такой, что выполняется равенство [math]\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n= \sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n\cdot \sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math] Коэффициенты [math]c_n[/math] определяются, как и в случае многочленов, методом неопределенных коэффициентов или делением "углом".


Замечание 3.2. При сложении и умножении рядов, как отмечено выше, может получиться ряд, сходящийся в большей области, чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов: [math]R\geqslant r,~ r=\min(R_1,R_2)[/math].


Приведем пример, подтверждающий это свойство. При сложении рядов [math]\sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}-1\right)\!z^n[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^n}{2^n}+ 1\right)\!z^n[/math], для которых, как нетрудно проверить, имеем [math]R_1=R_2=1[/math], получим ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n}}{2^n}-\frac{(-1)^{n}}{3^n}\right)\!z^n[/math]. Радиус сходимости этого ряда [math]R=2[/math].


Рассмотренные арифметические операции- над рядами используются при решения задач разложения функции в степенные ряды: функций вида


[math]f(z)= f_1(z)+ f_2(z),\qquad f(z)=f_1(z)\cdot f_2(z),\qquad f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}\,.[/math]



Подстановка ряда в ряд


4. Еще одно действие — подстановка ряда в ряд связано с разложением в ряд сложной функции. Пусть ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nu^n[/math] сходится в круге [math]|u|<R[/math], его сумма равна [math]S_1=f(u)[/math]; а ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n[/math] в круге [math]|z|<r[/math] и его сумма в этом круге равна [math]S_2=\varphi(z)[/math]. Тогда в некоторой окрестности точки [math]z_0=0[/math], т.е. в круге [math]|z|<\rho[/math], можно рассматривать ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_n \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n\right)^n[/math]. Заметим, что для возможности выполнения этого действия требуется, чтобы имело место условие [math]\varphi(0)= 0[/math], то есть [math]b_0=0[/math],в противном случае, как правило, не удается привести подобные члены. Поэтому записываем ряд в виде


[math]\sum_{n=0}^{\infty}c_n \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_nz^n\right)^n= c_0+ c_1 \bigl(b_1z+ b_2z^2+\ldots\bigr)+ c_2 \bigl(b_1z+b_2z^2+\ldots\bigr)^2+ \ldots+c_n \bigl(b_1z+ b_2z^2+ \ldots\bigr)^n+\ldots[/math]

Произведя действия возведения в степень (как умножение ряда на ряд) и приведение подобных членов, можно записать любое число членов ряда:


[math]c_0+c_1b_1z+ z^2 \bigl(c_1b_2+c_2b_1^2\bigr)+ z^3 \bigl(c_1b_3+2c_1b_1b_2+ c_3b_1^3\bigr)+\ldots[/math]

Суммой нового ряда будет функция [math]f(\varphi(z))[/math].




Обобщение свойств степенных рядов


Обобщим свойства степенных рядов и действия над ними в виде утверждения.


Утверждение 3.1


1. Степенной ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n[/math] сходится в круге [math]|z|<R[/math]; ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n[/math] сходится в круге [math]|z-z_0|<R[/math].


2. Радиус сходимости ряда определяется по формулам (3.11) и (3.12).


3. На границах круга сходимости могут быть как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.


4. Внутри круга сходимости ряд сходится равномерно; для ряда (3.10) это круг [math]|z|\leqslant r[/math], для (3.9): [math]|z-z_0|\leqslant r[/math], где [math]r[/math] — любое число, [math]0<r<R[/math].


5. Сумма степенного ряда внутри круга сходимости — функция аналитическая.


6. Внутри круга сходимости ряд можно интегрировать почленно и дифференцировать почленно любое число раз. Радиус сходимости ряда при этом не меняется. Сходимость в отдельных точках границы может измениться.




Ряды с комплексными членами по целым степеням


Рассмотрим два ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n[/math]. Первый ряд — степенной и, если он сходится не только в одной точке [math]z_0[/math], но и не всюду, то сходится в круге [math]|z-z_0|<r[/math]. Второй ряд — не степенной, но, после замены [math]\frac{1}{z-z_0}=w[/math], получим степенной ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}b_nw^n[/math], область сходимости которого: [math]|w|<r_1\ne0[/math]. Поэтому для ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n[/math] имеем [math]\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r_1[/math], или [math]|z-z_0|>\frac{1}{r_1}=R[/math].


Если [math]r<R[/math], то исходные ряды имеют общую область сходимости — кольцо [math]r<|z-z_0|<R[/math]. Для каждого [math]z[/math], принадлежащего этому кольцу, получаем два сходящихся числовых ряда, которые, по свойству сходящихся числовых рядов, можно складывать. Следовательно, в области [math]r<|z-z_0|<R[/math] можно рассматривать ряд вида


[math]\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n}= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n.[/math]
(3.14)

Ряд (3.14) — ряд по целым степеням, он состоит из двух частей: первое слагаемое [math]\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n[/math] составляют члены ряда с положительными степенями; второе слагаемое [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n[/math] — с отрицательными. Вторую часть можно записать в виде [math]\sum_{n=-\infty}^{-1} b_{-n}(z-z_0)^n[/math], после чего становится понятней возможность записи суммы двух рядов в виде одного ряда, а именно по формуле (3.14), где полагаем [math]c_n=a_n[/math] для [math]n\geqslant0[/math] и [math]c_n=b_{-n}[/math] для [math]n<0[/math].


Используя для составляющих ряда (3.14) — рядов [math]\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty} b_nw^n[/math] свойства степенных рядов (см. утверждение 3.1), можно сформулировать следующее утверждение для рядов по целым степеням.


Утверждение 3.2


1. Ряд [math]\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n[/math] сходится в кольце [math]r<|z-z_0|<R[/math].
2. В кольце [math]r_1\leqslant |z-z_0|\leqslant R_1[/math], где [math]r_1>r,~ R_1<R[/math], ряд сходится равномерно.
3. В кольце [math]r_1\leqslant |z-z_0|\leqslant R_1[/math] сумма ряда (3.14) — функция аналитическая и ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Пример 3.12. Найти кольцо сходимости и сумму ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{3^n}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^n}{2^n}[/math].


▼ Решение

Запишем ряд в виде [math]\sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{z^n}{3^n}+ \frac{2^n}{z^n}\right)[/math] и, повторяя решение примера 3.4, находим кольцо сходимости ряда [math]2<|z|<3[/math]. Сумму ряда [math]S(z)[/math] можно записать в виде [math]S(z)= S_1(z)+ S_2(z)[/math], где [math]S_1[/math] -сумма ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \!\left(\frac{z}{3} \right)^n[/math], [math]S_2[/math] — ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\frac{2}{z}\right)^n[/math]. Для нахождения суммы этих рядов применим формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Получаем [math]S_1=\frac{\frac{z}{3}}{1-\frac{z}{3}}[/math] для [math]|z|<3[/math] и [math]S_2=\frac{\frac{2}{z}}{1-\frac{2}{z}}[/math] для [math]|z|>2[/math]. Окончательный ответ:


[math]S(z)= \frac{z}{3-z}+\frac{2}{z-2}= \frac{z^2-4z+6}{(z-2)(3-z)}\,.[/math]

Заметим, что функция [math]S(z)[/math] является аналитической всюду, кроме точек [math]z=2[/math] и [math]z=3[/math], суммой данного ряда она является только в кольце [math]2<|z|<z[/math].


Отметим также, что в данном ряде отсутствует свободный член. Ряд [math]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^n}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^n}{2^n}[/math], где свободный член равен 1 (при [math]n=0[/math]), очевидно, сходится в том же кольце, а сумма его равна


[math]S(z)=S_1(z)+S_2(z)= \frac{1}{1-\frac{z}{3}}+\frac{2}{z-2}= \frac{z}{(3-z)(z-2)}\,.[/math]

Она действительно отличается только на величину свободного члена, т.е. на единицу от найденной выше.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved