Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Статические моменты и координаты центра тяжести

Статические моменты и координаты центра тяжести


Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой


а) Пусть материальная точка [math]A[/math] массы [math]m[/math] отстоит от оси [math]\ell[/math] на расстоянии [math]d[/math]. Статическим моментом этой точки относительно оси [math]\ell[/math] называют число [math]md[/math]. Статическим моментом системы материальных точек [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math], расположенных по одну сторону от оси [math]\ell[/math], массы которых равны [math]m_1,m_2,\ldots,m_n[/math], а расстояния от оси [math]\ell[/math] равны [math]d_1,d_2,\ldots,d_n[/math] называют число


[math]S_{\ell}= \sum\limits_{k=1}^{n}m_kd_k\,.[/math]

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.


Поэтому если точки [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math] расположены на координатной плоскости,


[math]A_k=A_k(x_k;y_k)[/math], то [math]S_x=\sum\limits_{k=1}^{n}m_ky_k\,,~~ S_y=\sum\limits_{k=1}^{n}m_kx_k\,,[/math]

где [math]S_x[/math] — статический момент относительно оси [math]Ox[/math] и [math]S_y[/math] — относительно оси [math]Oy[/math].




б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой [math]\Gamma[/math] или по некоторой области [math]\lambda[/math]. Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.


Начнем со случая кривой линии [math]\Gamma[/math], задаваемой уравнением [math]y=f(x),~a \leqslant x \leqslant b[/math], причем предположим, что функция [math]f(x)[/math] непрерывна и неотрицательна.


Как обычно, разобьем отрезок [math][a;b][/math] на части точками [math]a=x_0<x_1< \ldots<x_n=b[/math] и обозначим через [math]m_k[/math] и [math]M_k[/math] наименьшее и наибольшее значения функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][x_k;x_{k+1}][/math], Этому разбиению соответствует разбиение дуги [math]\Gamma[/math] на части [math]\gamma_0,\ldots, \gamma_{n-1}[/math] (рис. 60). Из физических соображений ясно, что статический момент [math]S_k[/math] части [math]\gamma_k[/math] относительно оси абсцисс заключен между [math]m_k\ell_k[/math] и [math]M_k\ell_k[/math], где [math]\ell_k[/math]—длина этой части, [math]\ell_k=\ell(\gamma_k)[/math] (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице). Таким образом,


Разбиение отрезка на части точками
[math]m_k\cdot\ell_k \leqslant S_k \leqslant M_k\cdot\ell_k[/math]. Поэтому [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1} m_k\ell_k \leqslant S_x \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k\ell_k[/math], то есть

[math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}m_k \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \sqrt{1+(y')^2}\,dx \leqslant S_x \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.[/math]

Так как на отрезке [math][x_k;x_{k+1}][/math] выполняется неравенство


[math]m_k\cdot \sqrt{1+(y')^2} \leqslant y\cdot \sqrt{1+(y')^2} \leqslant M_k\cdot \sqrt{1+(y')^2}\,,[/math]

то в тех же границах, что и [math]S_x[/math], заключен интеграл [math]\int\limits_{a}^{b} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx[/math]. Значит,


[math]S_x= \int\limits_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx\,.[/math]
(1)

Этот интеграл обозначают также следующим образом: [math]\int\limits_{\Gamma}y\,d\ell[/math] или [math]\int\limits_{0}^{\ell}y\,d\ell[/math].


Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут "бесконечно малый участок дуги" [math]d\ell[/math]. Его статический момент равен [math]y\,d\ell[/math]. А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. [math]\int\limits_{a}^{b} y\,d\ell[/math]. Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое "бесконечно малый участок дуги", или как еще говорят, "элемент дуги". При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что


[math]S_y=\int\limits_{a}^{b}x\sqrt{1+(y')^2}\,dx= \int\limits_{0}^{\ell}x\,d\ell\,.[/math]
(2)

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая [math]\Gamma[/math] пересекает оси координат.




в) Введем понятие центра тяжести.


Определение. Центром тяжести тела называется такая точка [math]C[/math], что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.


Обозначим через [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.


Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:


[math]S_x= \ell\cdot\eta= \int\limits_{0}^{\ell}y\,d\ell\,;\qquad S_y=\ell\cdot\xi= \int\limits_{0}^{\ell}x\,d\ell\,.[/math]

Разрешая полученные равенства относительно [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math], найдем координаты центра тяжести плоской кривой [math]\Gamma:[/math]


[math]\xi=\frac{1}{\ell} \int\limits_{0}^{\ell} x\,d\ell\,;\qquad \eta=\frac{1}{\ell} \int\limits_{0}^{\ell}y\,d\ell\,.[/math]

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.


Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.




Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.


Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью [math]Ox[/math]. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой


[math]S_x=\int\limits_{0}^{\ell} y\,d\ell[/math], где [math]d\ell=\sqrt{1+(y')^2}\,dx[/math] — дифференциал дуги кривой [math]y=f(x)[/math].

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: [math]y=\sqrt{R^2-x^2}[/math]. Тогда


[math]y'=-\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}},~~1+(y')^2= \frac{R^2}{R^2-x^2}[/math] и потому [math]d\ell=\frac{R\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}[/math].
Следовательно,
[math]S_x=\int\limits_{-R}^{R}\! \sqrt{R^2-x^2}\cdot \frac{R\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}= 2R \int\limits_{0}^{R}dx= 2R^2.[/math]



Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности [math]x^2+y^2=4[/math], расположенной в первом квадранте.


Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому [math]\xi=\eta[/math]. Достаточно найти только [math]\xi=\frac{1}{\ell} \int\limits_{0}^{\ell} x\,d\ell[/math].


Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:


[math]\begin{cases}x=2\cos{t}\,,\\ y=2\sin{t}\,,\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\,.[/math]

Отсюда находим, что [math]x'_t=-2\sin{t},~ y'_t=2\cos{t}[/math] и


[math]d\ell= \sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}\,dt= \sqrt{4\sin^2t+4\cos^2t}\,dt= 2\,dt\,.[/math]

Поскольку длина [math]\ell[/math] четверти данной окружности равна [math]\frac{1}{4}\cdot 2\pi\cdot2=\pi[/math], то


[math]\xi=\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} 2\cos{t}\cdot2\,dt= \left.{\frac{4}{\pi} \sin{t}}\right|_{0}^{\pi/2}= \frac{4}{\pi}\,.[/math]



Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур


Найдем статический момент прямоугольника со сторонами [math]k[/math] и [math]\ell[/math] относительно стороны [math]k[/math]. Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны [math]k[/math] и [math]dy[/math] (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади [math]k\,dy[/math] (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен [math]ky\,dy[/math], а статический момент всего прямоугольника равен


Разбиение прямоугольника на элементарные прямоугольники
[math]\int\limits_{0}^{\ell} ky\,dy= \left.{\frac{k}{2}\,y^2}\right|_{0}^{\ell}= \frac{k\ell^2}{2}\,.[/math]
(1)

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой [math]y=f(x)[/math], где [math]f(x)[/math] — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [math][a;b][/math], снизу осью абсцисс, а с боков прямыми [math]x=a,~ x=b[/math].


Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно [math]dx[/math] и высота [math]y[/math]. Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен [math]\frac{y^2}{2}\,dx[/math], а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен [math]\frac{1}{2}\int\limits_{a}^{b} y^2\,dx[/math]. В случае, когда не выполняется предположение о неотрицательности функции [math]y=f(x)[/math], эту формулу надо заменить такой:


[math]S_x=\frac{1}{2} \int\limits_{a}^{b} y|y|\,dx[/math]

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в [math]S_x[/math]).


Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу [math]\int\limits_{a}^{b} |y|\,dx[/math], а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой


[math]\eta=\frac{\int\limits_{a}^{b} y|y|\,dx}{2 \int\limits_{a}^{b} |y|\,dx}\,.[/math]

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно [math]x[/math]. Поэтому его статический момент равен [math]x|y|\,dx[/math], а статический момент всей трапеции выражается формулой


[math]S_y=\int\limits_{a}^{b} x|y|\,dx[/math]. Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так: [math]\xi=\frac{\int\limits_{a}^{b} x|y|\,dx}{\int\limits_{a}^{b} |y|\,dx}[/math].



Пример 3. Найти статический момент (относительно оси [math]Ox[/math]) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

[math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}),\end{cases} 0\leqslant t\leqslant2\pi\,.[/math]


Решение. Так как параметр [math]t[/math] одной арки циклоиды изменяется от [math]0[/math] до [math]2\pi[/math], то


[math]\begin{aligned}S_x&= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2\pi} a^2(1-\cos{t})^2a(1-\cos{t})\,dt= \frac{a^3}{2} \int\limits_{0}^{2\pi} (1-\cos{t})^3\,dt=\\ &= \left.{\frac{a^3}{2}\! \left[t-3\sin{t}+ \frac{3}{2}\! \left(t+\frac{1}{2} \sin2t\right)- \left(\sin{t}-\frac{1}{3} \sin^3t\right)\right] }\right|_{0}^{2\pi}=\\ & =\frac{a^3}{2}\! \left(2\pi+\frac{3}{2}\cdot 2\pi\right) = \frac{5}{2}\,\pi a^3.\end{aligned}[/math]



Пример 4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью [math]Ox[/math] и одной полуволной синусоиды [math]y=\sin{x}[/math].


Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой [math]x=\frac{\pi}{2}[/math], то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, [math]\xi=\frac{\pi}{2}[/math]. Ордината [math]\eta[/math] центра тяжести находится по формуле [math]\eta=\frac{1}{2S} \int\limits_{0}^{\pi} y^2\,dx[/math].


Так как [math]S=\int\limits_{0}^{\pi} \sin{x}\,dx= \Bigl.{-\cos{x}}\Bigr|_{0}^{\pi}=2[/math], то [math]\eta=\frac{1}{4} \int\limits_{0}^{\pi}\sin^2x\,dx = \frac{\pi}{8}[/math].


Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке [math]\left(\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8}\right)[/math].




Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды [math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases}[/math].


Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой [math]x=\pi a[/math], следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому [math]\xi=\pi a[/math]. Найдем [math]\eta[/math] по формуле [math]\eta=\frac{1}{2S} \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx[/math].


Площадь [math]S[/math] данной фигуры была вычислена раньше, она равна [math]3\pi a^2[/math]. Следовательно,


[math]\eta=\frac{1}{6\pi a^2} \int\limits_{0}^{2\pi} a^3(1-\cos{t})^3\,dt= \frac{5}{6}\,a\,.[/math]

Центр тяжести данной фигуры находится в точке [math]\left(\pi a; \frac{5}{6}\,a\right)[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved