Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Способы задания геометрических мест точек в пространстве

Способы задания геометрических мест точек в пространстве


В стереометрии любую пространственную фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (г.м.т.), т.е. как множество точек, каждая из которых удовлетворяет заданному характеристическому свойству (точка, не принадлежащая этому множеству, не удовлетворяет этому свойству). Например, в элементарной геометрии сфера определяется как г.м.т., равноудаленных от заданной точки (центра сферы), круговая цилиндрическая поверхность как г.м.т., равноудаленных от заданной прямой (оси цилиндрической поверхности) и т.п.


В аналитической геометрии пространственные геометрические фигуры задаются как множества решений соответствующих уравнений. Рассмотрим, например, уравнение [math]F(x,y,z)=0[/math] с тремя неизвестными [math]x,y,z[/math]. Его решением называется тройка чисел, при подстановке которых вместо неизвестных уравнение превращается в верное числовое равенство. Каждое решение [math]x,y,z[/math] уравнения [math]F(x,y,z)=0[/math] можно рассматривать как точку [math]M(x,y,z)[/math] в координатном пространстве с абсциссой [math]x[/math], ординатой [math]y[/math] и аппликатой [math]z[/math]. Таким образом, множество [math]F[/math] точек [math]M(x,y,z)[/math], координаты которых удовлетворяют уравнению [math]F(x,y,z)=0[/math], образуют в координатном пространстве некоторую фигуру [math]F=\{M(x,y,z)\colon F(x,y,z)=0\}[/math].Например, уравнение [math]x^2+y^2+z^2=1[/math] (или [math]x^2+y^2+z^2-1=0[/math]) в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] задает сферу единичного радиуса с центром [math]O[/math] (рис.4.2,в).


Переход к этому способу описания геометрических фигур базируется на введении системы координат в пространстве, которая позволяет вместо точек (элементарных геометрических объектов) оперировать с числами (элементарными алгебраическими объектами). В разд.2 подчеркивалось, что введение системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами (упорядоченными наборами из трех чисел), т.е. соответствие, удовлетворяющее двум условиям:

1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат, отличающиеся хотя бы одной координатой;

2) любому набору координат соответствует некоторая точка.


Введение системы координат позволяет задать любую геометрическую фигуру уравнением, связывающим координаты таким образом, что координаты любой точки, принадлежащей заданной фигуре, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точки, не принадлежащей фигуре, не удовлетворяют уравнению. Такой способ описания геометрических фигур применяется в аналитической геометрии.




Общие уравнения геометрических мест точек в пространстве


Уравнением множества [math]F[/math] точек (уравнением г.м.т.) в координатном пространстве называется равенство, связывающее координаты точек, верное для координат точек, принадлежащих множеству [math]F[/math], и неверное для координат точек, не принадлежащих [math]F[/math]. Например, уравнение множества в аффинной системе координат [math]Ox_1x_2x_3[/math] имеет вид:


[math]F(x_1,x_2,x_3)=0,[/math]
(4.1)

в частности, в прямоугольной системе координат [math]Oxyz\colon~ F(x,y,z)=0,[/math] в цилиндрической системе координат [math]Or\varphi z[/math]


[math]G(r,\varphi,z)=0,[/math]
(4.2)

в сферической системе координат [math]O\rho\varphi\theta\colon[/math]

[math]H(\rho,\varphi,\theta)=0,[/math]
(4.3)

где [math]F,\,G[/math] и [math]H[/math] — некоторые функции трех аргументов.


Уравнения (4.1)-(4.3) представляют собой аналитическую запись функциональной зависимости между координатами точек в пространстве, образующих геометрическое место точек. В частных случаях одна из координат может быть выражена через другую, т.е. одна координата задается как явная функция другой координаты. Тогда получается уравнение, разрешенное относительно этой координаты, например:


[math]z=f(x,y), \quad z=g(r,\varphi), \quad \rho=h(\varphi,\theta)[/math]

Заметим, что уравнениями вида [math]z=f(x,y)[/math] в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] задаются графики функций двух переменных.




Пример 4.1. Изобразить в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям:


а) [math]x-1=0[/math];

б) [math]x^2-y^2=0[/math];

в) [math]x^2+y^2=0[/math];

г) [math]x^2+y^2-1=0[/math];

д) [math]|x|+|y|+|z|-x-y-z=0[/math].


Решение. а) Уравнению [math]x-1=0[/math] удовлетворяют только те точки пространства, у которых абсцисса равна единице [math](x=1)[/math], а ординаты и аппликаты могут принимать любые значения. Эти точки принадлежат плоскости, параллельной координатной плоскости [math]Oyz[/math] и пересекающей ось абсцисс в точке [math]x=1[/math] (рис.4.1,а).


б) На плоскости [math]Oxy[/math] заданное уравнение определяет две пересекающиеся прямые [math]y=\pm x[/math], при этом аппликата [math]z[/math] не входит в уравнение и поэтому может принимать любые значения. Следовательно, заданное уравнение определяет две пересекающиеся по оси [math]Oz[/math] плоскости, проходящие через прямые [math]y=x[/math] и [math]y=-x[/math] на плоскости [math]Oxy[/math] (рис.4.1,6).


в) Уравнение [math]x^2+y^2=0[/math] равносильно системе уравнений [math]\begin{cases}x=0,\\y=0,\end{cases}[/math] которая определяет прямую, совпадающую с осью аппликат (рис.4.1,в).


Множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнениям

г) Выражение [math]x^2+y^2[/math] есть квадрат расстояния от точки [math](x,y,z)[/math] до ее ортогональной проекции [math](0,0,z)[/math] на ось [math]Oz[/math]. Поэтому уравнению [math]x^2+y^2-1=0[/math] (или [math]x^2+y^2=1[/math]) удовлетворяют только те точки, которые удалены от оси аппликат на расстояние, равное 1. Это множество точек является круговой цилиндрической поверхностью радиуса 1 (рис.4.1,г).


д) Учитывая неравенства: [math]|x|\geqslant x,~|y|\geqslant y,~|z|\geqslant z[/math], делаем вывод, что левая часть заданного уравнения неотрицательна и равна нулю только при одновременном выполнении условий [math]x\geqslant0,~y\geqslant0,~z\geqslant0[/math]. Следовательно, заданное уравнение определяет множество точек первого октанта системы координат [math]Oxyz[/math] (рис.4.1,д).




Пример 4.2. Применяя цилиндрические или сферические координаты, изобразить множества точек, заданных в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнениями:


a) [math]x^2+y^2-z=0[/math];

б) [math]x^2+y^2-z^2=0[/math];

в) [math]x^2+y^2+z^2-1=0[/math].


Решение. а) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат [math]Or\varphi z\colon z=r^2[/math], где [math]r^2=x^2+y^2[/math]. Это уравнение не зависит от полярного угла [math]\varphi[/math]. При любом фиксированном значении [math]\varphi[/math] уравнение [math]z=r^2[/math] определяет параболу. Например, при [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] [math]\left(x=r\cos\frac{\pi}{2}=0\right.,[/math] [math]\left.y=r\sin\frac{\pi}{2}=r\right)[/math] получаем параболу [math]z=y^2[/math] в плоскости [math]Oyz[/math]. Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая параболу [math]z=y^2[/math] вокруг ее оси симметрии [math]Oz[/math] (рис.4.2,а). Получаемая при этом поверхность называется параболоидом вращения.


Изображение множества точек, заданных в прямоугольной системе координат

б) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат [math]Or\varphi z\colon z^2=r^2\Leftrightarrow|z|=r[/math] (напомним, что полярный радиус [math]r>0[/math] по определению). Это уравнение не зависит от полярного угла [math]\varphi[/math]. При любом фиксированном значении [math]\varphi[/math] уравнение [math]|z|=r[/math] определяет угол, составленный из двух лучей [math]z=\pm r[/math] [math](r\geqslant0)[/math]. Например, при [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] получаем два луча [math]z=\pm y[/math] [math](y\geqslant0)[/math] в плоскости [math]Oyz[/math]. Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая угол вокруг оси [math]Oz[/math], проходящей через вершину угла. При этом получаем коническую поверхность (рис.4.2,б).


в) Запишем уравнение [math]x^2+y^2+z^2-1=0[/math] в сферической системе координат [math]O\rho\varphi\theta\colon\rho^2=1\Leftrightarrow\rho=1[/math] (напомним, что радиус [math]\rho\geqslant1[/math] по определению). Это уравнение не зависит от широты [math]\varphi[/math] и долготы [math]\theta[/math]. Следовательно, это множество точек, равноудаленных от начала координат, т.е. сфера (рис.4.2,в).




Плоскость, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину

Пример 4.3. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) отмечены точки [math]A(0;2;0)[/math] и [math]B(0;8;0)[/math]. Вывести уравнение геометрического места точек [math]M[/math], отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек равно [math]k[/math]:


а) для [math]k=1[/math], то есть [math]MB:MA=1[/math];

б) для [math]k=2[/math], то есть [math]MB:MA=2[/math].


Решение. а) Точка [math]M(x,y,z)[/math] равноудалена от заданных точек. Запишем уравнение [math]MB=MA[/math] в координатной форме:


[math]\sqrt{(x-0)^2+(y-8)^2+(z-0)^2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2+(z-0)^2}.[/math]

Отсюда получаем [math]y=\frac{8+2}{2}[/math], т.е. [math]y=5[/math]. Следовательно, искомое г.м.т. — это плоскость, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис.4.3,а).


б) Запишем уравнение [math]MB=2MA[/math] в координатной форме:


[math]\sqrt{(x-0)^2+(y-8)^2+(z-0)^2}=2\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2+(z-0)^2}.[/math]

Возводя обе части уравнения в квадрат и приводя подобные члены, получаем [math]x^2+y^2+z^2=4^2[/math], т.е. уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом [math]4[/math].


Заметим, что при любом положительном [math]k\ne1[/math] искомое геометрическое место точек является сферой (сферой Аполлония).




Уравнения пересечений и объединений геометрических мест точек в пространстве


Рассмотрим основные операции с множествами точек, заданными своими уравнениями в координатном пространстве.


Пусть множества [math]F[/math] и [math]G[/math] в аффинной системе координат [math]Ox_1x_2x_3[/math] заданы общими уравнениями [math]F(x_1,x_2,x_3)=0[/math] и [math]G(x_1,x_2,x_3)=0[/math] соответственно.


Пересечение [math]F\cap G[/math] множеств [math]F[/math] и [math]G[/math] состоит из точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений


[math]\begin{cases}F(x_1,x_2,x_3)=0,\\G(x_1,x_2,x_3)=0.\end{cases}[/math]

Не трудно составить одно уравнение, равносильное этой системе, например:


[math][F(x_1,x_2,x_3)]^2+[G(x_1,x_2,x_3)]^2=0.[/math]

Объединение [math]F\cup G[/math] множеств [math]F[/math] и [math]G[/math] состоит из точек, координаты которых удовлетворяют совокупности уравнений


[math]\left[\!\begin{aligned}F(x_1,x_2,x_3)&=0,\\G(x_1,x_2,x_3)&=0.\end{aligned}\right.[/math]

равносильной одному уравнению, например: [math]F(x_1,x_2,x_3)\cdot G(x_1,x_2,x_3)=0.[/math]


Включение [math]F\subset G[/math] с алгебраической точки зрения означает, что уравнение [math]G(x_1,x_2,x_3)=0[/math] является следствием уравнения [math]F(x_1,x_2,x_3)=0[/math], т.е.


[math]F(x_1,x_2,x_3)=0 \quad \Rightarrow \quad G(x_1,x_2,x_3)=0.[/math]

Равенство [math]F=G[/math] означает, что уравнения [math]F(x_1,x_2,x_3)=0[/math] и [math]G(x_1,x_2,x_3)=0[/math] равносильны (эквивалентны), т.е.


[math]F(x_1,x_2,x_3)=0 \quad \Leftrightarrow \quad G(x_1,x_2,x_3)=0.[/math]

В частности, равносильные уравнения, описывающие одно и то же геометрическое место точек, получаются при тождественных алгебраических преобразованиях, например при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число, при приведении подобных членов, при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный и т.п.


Полученные соотношения, сводящие операции с множествами в пространстве к алгебраическим операциям с уравнениями этих геометрических мест точек, не зависят от выбора системы координат. Например, в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] аналогичные соотношения получаем, полагая [math]x_1=x,\,x_2=y[/math] и [math]x_3=z[/math], в цилиндрической системе координат [math]Or\varphi z[/math] при [math]x_1=r,\,x_2=\varphi[/math] и [math]x_3=z[/math], в сферической [math]O\rho\varphi\theta[/math] при [math]x_1=\rho,\,x_2=\varphi[/math] и [math]x_3=\theta.[/math]




Плоские сечения


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] фигура [math]F[/math] определяется уравнением


[math]F(x,y,z)=0.[/math]
(4.4)

Подставляя в уравнение некоторое фиксированное значение [math]z=\operatorname{const}[/math], получаем уравнение с двумя неизвестными [math]x,y\colon~ F(x,y,\operatorname{const})=0[/math]. Это уравнение описывает некоторое множество на координатной плоскости [math]Oxy[/math]. Запишем уравнение в виде равносильной ему системы уравнений


[math]\begin{cases}F(x,y,z)=0,\\z=\operatorname{const}.\end{cases}[/math]
(4.5)

Плоское сечение фигур (параболоидов)

Второе уравнение системы определяет плоскость, параллельную координатной плоскости [math]Oxy[/math]. Следовательно, система (4.5) описывает множество точек фигуры [math]F[/math], принадлежащих плоскости [math]z=\operatorname{const}[/math] (см. рис.4.4,а), т.е. плоское сечение фигуры [math]F[/math]. Каждую фигуру [math]F[/math], заданную уравнением [math]F(x,y,z)=0[/math], можно представить как совокупность ее плоских сечений (4.5) при всех значениях постоянной [math](\operatorname{const})[/math]. Тем самым исследование и построение пространственной фигуры сводится к исследованию и построению ее плоских сечений. В этом состоит идея метода сечений. Разумеется, можно рассматривать сечения фигуры [math]F[/math] плоскостями [math]x=\operatorname{const}[/math] (рис.4.4,б) или [math]y=\operatorname{const}[/math], параллельными координатным плоскостям [math]Oyz[/math] или [math]Oxz[/math] соответственно.




Цилиндрические фигуры


Фигура, состоящая из параллельных прямых, называется цилиндрической. Прямые называются образующими цилиндрической фигуры.


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] фигура [math]F[/math] определяется уравнением


[math]F(x,y)=0,[/math]
(4.6)

в котором неизвестная [math]z[/math] отсутствует. Обозначим через [math]M[/math] множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными [math]x[/math] и [math]y[/math], а также соответствующее множество точек на координатной плоскости [math]Oxy[/math] (при [math]z=0[/math]). Тогда вместе с любой точкой [math]M(x_0,y_0,0)\in M[/math] уравнению (4.6) удовлетворяют также и все точки прямой, параллельной оси аппликат [math]Oz[/math] и проходящей через точку [math]M(x_0,y_0,0)[/math]. Таким образом, фигура [math]F[/math] является цилиндрической, ее образующие параллельны оси [math]Oz[/math] и пересекают плоскость [math]Oxy[/math] в точках множества [math]M[/math] (рис.4.5,а). Уравнения [math]F(x,z)=0[/math] или [math]F(y,z)=0[/math] также описывают цилиндрические фигуры, образующие которых параллельны оси ординат или абсцисс соответственно.


Цилиндрические фигуры, образующие которых параллельны оси Oz



Конические фигуры


Фигура, состоящая из лучей, имеющих общее начало, называется конической. Лучи называются образующими, а их общее начало — вершиной конической фигуры.


Пусть в сферической системе координат [math]O\rho\varphi\theta[/math] фигура [math]F[/math] определяется уравнением вида (4.3):


[math]F(\varphi,\theta)=0,[/math]
(4.7)

в котором неизвестная [math]\rho[/math] отсутствует. Обозначим через [math]M[/math] множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными [math]\varphi[/math] и [math]\theta[/math], а также соответствующее множество точек на сфере [math]\rho=1[/math]. Тогда вместе с любой точкой [math]M(1,\varphi_0,\theta_0)\in M[/math] уравнению (4.7) удовлетворяют также и все точки луча [math]OM[/math], исходящего из начала [math]O[/math] системы координат. Таким образом, фигура [math]F[/math] является конической, ее вершина совпадает с началом координат, а образующие пересекают множество [math]M[/math] (рис.4.5,б).




Фигуры вращения


Пусть в цилиндрической системе координат [math]Or\varphi z[/math] фигура [math]F[/math] определяется уравнением вида (4.2):


[math]F(r,z)=0,[/math]
(4.8)

Фигура, образованная вращением линии вокруг оси аппликат

в котором неизвестная [math]\varphi[/math] отсутствует. Обозначим через [math]M[/math] множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными [math]r[/math] и [math]z[/math], а также соответствующее множество точек на плоскости [math]\varphi=0[/math] (т.е. на плоскости [math]Oxz[/math], соответствующей прямоугольной системе координат). Тогда вместе с любой точкой [math]M(r_0,0,z_0)\in M[/math] уравнению (4.8) удовлетворяют также и все точки [math]M(r_0,\varphi,z_0)[/math] окружности радиуса [math]r_0[/math] с центром в точке [math]z=z_0[/math] на оси аппликат [math]Oz[/math], плоскость, содержащая окружность, перпендикулярна этой оси (рис.4.6). Таким образом, фигуру [math]F[/math] можно представить как фигуру вращения, полученную путем вращения множества [math]M[/math] вокруг оси аппликат (оси вращения).




Параметрические уравнения геометрических мест точек в пространстве


Функциональная зависимость между координатами точек пространства, например в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math], может быть задана в параметрической форме, в которой координаты выражаются в виде Функций вспомогательной переменной, называемой параметром:


[math]\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\\z=h(t),\end{cases}[/math]
(4.9)

где [math]t[/math] — параметр, принимающий действительные значения. В общем случае при задании множества не обязательно использовать один параметр, т.е. вспомогательных переменных может быть несколько, например, двухпараметрическое множество точек описывается системой:


[math]\begin{cases}x=f(t_1,t_2),\\y=g(t_1,t_2),\\z=h(t_1,t_2),\end{cases}[/math]
(4.10)

где [math]t_1,t_2[/math] — параметры, принимающие действительные значения. Каждую из систем (4.9), (4.10) называют параметрическим уравнением геометрического места точек.




Пример 4.4. Изобразить в координатном пространстве [math]Oxyz[/math] (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим параметрическим уравнениям:


[math]\mathsf{1)}~\begin{cases}x=0,\\y=t,\\z=-t;\end{cases}\mathsf{2)}~\begin{cases}x=\cos{t},\\y=\sin{t},\\z=t,\end{cases}\!t\geqslant0;\quad\mathsf{3)}~\begin{cases}x=t_1,\\y=t_2,\\z=1-t_1-t_2.\end{cases}[/math]

Решение. 1) Из первого уравнения следует, что все точки заданного множества принадлежат координатной плоскости [math]Oyz[/math]. Из двух последних уравнений следует, что [math]z=-y[/math]. Таким образом, заданное множество — это прямая [math]z=-y[/math] в плоскости [math]Oyz[/math] (рис.4.7,а).


Множества точек, координаты которых удовлетворяют параметрическим уравнениям

2) Исключим из первых двух уравнений параметр [math]t[/math]. Возведя обе части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно результаты, получим уравнение окружности [math]x^2+y^2=1[/math]. Параметром [math]t[/math] служит величина угла поворота радиус-вектора изображающей точки, измеряемого от положительного направления оси абсцисс (см. рис.3.4,а). При равномерном увеличении угла поворота [math]t[/math] равномерно увеличивается аппликата изображающей точки, так как [math]z=t[/math]. Следовательно, заданная система описывает винтовую линию (рис.4.7,б) при [math]t\geqslant0[/math].


3) Запишем заданное параметрическое уравнение в матричном виде


[math]\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=t_1\cdot\!\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t_2\cdot\!\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+(1-t_1-t_2)\cdot\!\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\!,[/math]

а затем в векторной форме [math]\vec{r}=t_1\vec{i}+t_2\vec{j}+(1-t_1-t_2)\vec{k}[/math], где [math]\vec{r}=\overrightarrow{OM}[/math] — радиус- вектор произвольной точки [math]M(x,y,z)[/math]. Полученное уравнение является аффинным уравнением плоскости, проходящей через концы базисных векторов [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] (рис.4.7,в).

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved