Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Способы описания подпространств линейного пространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Способы описания подпространств линейного пространства


Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.


Любое n-мерное вещественное линейное пространство [math]V[/math] изоморфно n-мерному арифметическому пространству [math]\mathbb{R}^n[/math]. Чтобы установить изоморфизм [math]V\leftrightarrow \mathbb{R}^n[/math], достаточно выбрать в пространстве [math]V[/math] базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math].


Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] заданы столбцы [math]a_1,a_2,\ldots,a_k[/math]. Напомним, что для систем столбцов [math]a_1,a_2,\ldots,a_k[/math] были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.


Рассматривая линейную оболочку [math]L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2,\ldots,a_k)[/math] столбцов [math]a_1,a_2,\ldots,a_k[/math] как линейное подпространство [math]\mathbb{R}^n[/math], заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства [math]\dim{L}=\operatorname{rg} (a_1,a_2,\ldots,a_k)[/math].


Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства [math]L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k)[/math] нужно выполнить следующие действия:


1) составить из данных столбцов матрицу [math]A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_k \end{pmatrix}[/math] размеров [math]n\times k[/math];


2) привести ее к ступенчатому виду [math]A'[/math] (1.4), используя элементарные преобразования строк;


3) определить размерность и базис подпространства [math]L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k):[/math]


– количество ненулевых строк в матрице [math]A'[/math] равняется размерности подпространства, т.е. [math]\dim{L}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}(a_1,a_2,\ldots,a_k)= \operatorname{rg}A'[/math],

– столбцы матрицы [math]A'[/math], содержащие единичные элементы (в начале каждой "ступеньки"), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы [math]A[/math], т.е. искомый базис.


Таким образом, если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано своими образующими [math]a_1,a_2,\ldots,a_k:[/math] [math]L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k)[/math], то его размерность равна рангу системы столбцов [math]a_1,a_2,\ldots,a_k[/math], т.е. [math]\dim{L}= \operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k)[/math], а базисом [math]L[/math] служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.


Второй (внешний) способ. Пусть подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано как множество [math]L=\{Ax=o\}[/math] решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] уравнений с [math]n[/math] неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение [math]m[/math] подпространств [math]\textstyle{L_1\cap\ldots\cap L_m=\bigcup\limits_{i=1}^{m}L_i}[/math], где [math]L_i[/math] — множество решений i-го уравнения системы [math](i=1,\ldots,m)[/math]. Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства [math]\dim{L}=n-\operatorname{rg}A[/math], а базисом [math]L[/math] служит фундаментальная система решений однородной системы [math]Ax=o[/math]. Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.




Переход от одного способа описания подпространств к другому


Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов [math]a_1,a_2,\ldots,a_{k}:[/math] [math]L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_{k})[/math]. Требуется составить такую однородную систему [math]\Psi x=o[/math] уравнений, множество решений которой совпадает с [math]L[/math], т.е. [math]L=\{\Psi x=o\}[/math]. Для этого нужно выполнить следующие действия.


1. Из данных столбцов составить матрицу [math]A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k \end{pmatrix}[/math] размеров [math]n\times k[/math], а затем блочную матрицу [math](A\mid E)[/math], приписав к матрице [math]A[/math] единичную матрицу [math]E[/math] n-го порядка.


2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми [math]k[/math] ее столбцами привести матрицу [math](A\mid E)[/math] к виду [math](\Lambda\mid S)[/math], где [math]\Lambda[/math] — простейший вид матрицы [math]A:[/math] [math]\Lambda=\begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}[/math].


3. Из последних [math](n-r)[/math] строк матрицы [math]S[/math] составить матрицу [math]\Psi=(O\mid E_{n-r})S[/math].


4. Записать искомую систему уравнений [math]\Psi x=o[/math].


Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство [math]L[/math] состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид [math]x=\beta_1a_1+\ldots+ \beta_ka_k[/math]. Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов [math]x[/math] найдутся такие числа [math]\beta_1,\ldots,\beta_k[/math], чтобы выполнялось равенство [math]x=\beta_1a_1+\ldots+\beta_ka_k[/math]. Другими словами, при каких [math]x[/math] неоднородная система [math]A\beta=x[/math] ([math]n[/math] уравнений с [math]k[/math] неизвестными [math]\beta=\begin{pmatrix} \beta_1&\cdots&\beta_k \end{pmatrix}^T[/math]) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство [math]\Psi x=o[/math]. Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.




Пример 8.8. Подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{R}^n[/math] задано линейной оболочкой столбцов [math]a_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T,[/math] [math]a_2=\begin{pmatrix}1&2&1&3\end{pmatrix}^T,[/math] [math]a_3=\begin{pmatrix} 3&4&3&5 \end{pmatrix}^T[/math]. Составить систему уравнений, определяющую подпространство [math]L[/math].


Решение. 1. Составляем матрицу [math]A=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{pmatrix}[/math] и блочную матрицу:


[math](A\mid E_4)= \begin{pmatrix}1&1&3\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 1&2&4\!\!&\vline\!\!&0&1&0&0\\ 1&1&3\!\!&\vline\!\!&0&0&1&0\\ 1&3&5\!\!&\vline\!\!&0&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):


[math](A\mid E_4)\sim \begin{pmatrix}1&1&3\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&0&1&0\\ 0&2&2\!\!&\vline\!\!&-1&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&3\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1&0&0\\ 0&0&0\!\!& \vline\!\!&-1&0&1&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&1&-2&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы [math]A[/math] и матрицу [math]S:[/math]


[math]A\sim \begin{pmatrix}1&1&3\\ 0&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0\!\!& \vline\!\!&0 \end{pmatrix}= \Lambda;\quad S=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ -1&1&0&0\\ -1&0&1&0\\ 1&-2&0&1 \end{pmatrix}\!;\quad r=\operatorname{rg}A=2.[/math]

3. Из последних [math]n-r=4-2=2[/math] строк матрицы [math]S[/math] составляем матрицу [math]\Psi=\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\ 1&-2&0&1 \end{pmatrix}[/math] искомой системы.


4. Записываем систему уравнений [math]\Psi x=o\colon \begin{cases}-x_1+x_3=0,\\ x_1-2x_2+x_4=0.\end{cases}[/math] Заданные в условии примера столбцы [math]a_1,\,a_2,\,a_3[/math] являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо [math]x[/math].




Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство [math]L[/math] задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: [math]L=\{Ax=o\}[/math]. Требуется найти размерность [math]k[/math] и базис [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_k[/math] этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки [math]L=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\ldots,\varphi_k)[/math]. Для этого нужно выполнить следующие действия.


1. Найти фундаментальную систему [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}[/math] решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math](r=\operatorname{rg}A)[/math]. Искомая размерность [math]k=n-r[/math].


2. Представить заданное пространство как линейную оболочку [math]L=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r})[/math].


Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:


– составить блочную матрицу [math]\begin{pmatrix}\dfrac{A}{E}\end{pmatrix}[/math], приписав к матрице [math]A[/math] единичную матрицу [math]E[/math] n-го порядка;


– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока [math][/math] привести матрицу [math]\begin{pmatrix}\dfrac{A}{E}\end{pmatrix}[/math] к виду [math]\begin{pmatrix}\dfrac{\Lambda}{T}\end{pmatrix}[/math], где [math]\Lambda[/math] — простейший вид матрицы [math]A\colon\, \Lambda=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!& \vline\!\!&O\end{pmatrix}[/math];


– из последних [math](n-r)[/math] столбцов матрицы [math]T[/math] составить фундаментальную матрицу [math]\Phi=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}[/math].


Столбцы фундаментальной матрицы [math]\Phi=\begin{pmatrix} \varphi_1&\cdots& \varphi_{n-r} \end{pmatrix}[/math] составляют искомую фундаментальную систему решений.


Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.




Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства [math]L\triangleleft \mathbb{R}^4[/math], заданного системой уравнений


[math]\begin{cases} x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. \end{cases}[/math]

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6 [math](m=3,\,n=4,\,r=\operatorname{rg}A=2)\colon[/math]


[math]\Phi=\begin{pmatrix}\varphi_1&\varphi_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6&-2\\ 4&1\\ 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Ее столбцы [math]\varphi_1,\,\varphi_2[/math] образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства [math]L[/math] равна [math]k=n-r=2[/math], [math]\dim{L}=2[/math].


2. Столбцы [math]\varphi_1,\,\varphi_2[/math] являются искомым базисом, так как они линейно независимы [math](\operatorname{rg}\Phi=2)[/math] и [math]L=\operatorname{Lin} (\varphi_1, \varphi_2)[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved