Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Способы описания подпространств линейного пространства

Способы описания подпространств линейного пространства


Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.


Любое n-мерное вещественное линейное пространство V изоморфно n-мерному арифметическому пространству \mathbb{R}^n. Чтобы установить изоморфизм V\leftrightarrow \mathbb{R}^n, достаточно выбрать в пространстве V базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства \mathbb{R}^n.


Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве \mathbb{R}^n заданы столбцы a_1,a_2,\ldots,a_k. Напомним, что для систем столбцов a_1,a_2,\ldots,a_k были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.


Рассматривая линейную оболочку L=\operatorname{Lin}(a_1,a_2,\ldots,a_k) столбцов a_1,a_2,\ldots,a_k как линейное подпространство \mathbb{R}^n, заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства \dim{L}=\operatorname{rg} (a_1,a_2,\ldots,a_k).


Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k) нужно выполнить следующие действия:


1) составить из данных столбцов матрицу A=\begin{pmatrix} a_1&\cdots&a_k \end{pmatrix} размеров n\times k;


2) привести ее к ступенчатому виду A' (1.4), используя элементарные преобразования строк;


3) определить размерность и базис подпространства L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k):


– количество ненулевых строк в матрице A' равняется размерности подпространства, т.е. \dim{L}= \operatorname{rg}A= \operatorname{rg}(a_1,a_2,\ldots,a_k)= \operatorname{rg}A',

– столбцы матрицы A', содержащие единичные элементы (в начале каждой "ступеньки"), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы A, т.е. искомый базис.


Таким образом, если подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано своими образующими a_1,a_2,\ldots,a_k: L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k), то его размерность равна рангу системы столбцов a_1,a_2,\ldots,a_k, т.е. \dim{L}= \operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_k), а базисом L служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.


Второй (внешний) способ. Пусть подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано как множество L=\{Ax=o\} решений однородной системы Ax=o m уравнений с n неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение m подпространств \textstyle{L_1\cap\ldots\cap L_m=\bigcup\limits_{i=1}^{m}L_i}, где L_i — множество решений i-го уравнения системы (i=1,\ldots,m). Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства \dim{L}=n-\operatorname{rg}A, а базисом L служит фундаментальная система решений однородной системы Ax=o. Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.




Переход от одного способа описания подпространств к другому


Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов a_1,a_2,\ldots,a_{k}: L=\operatorname{Lin} (a_1,a_2,\ldots,a_{k}). Требуется составить такую однородную систему \Psi x=o уравнений, множество решений которой совпадает с L, т.е. L=\{\Psi x=o\}. Для этого нужно выполнить следующие действия.


1. Из данных столбцов составить матрицу A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_k \end{pmatrix} размеров n\times k, а затем блочную матрицу (A\mid E), приписав к матрице A единичную матрицу E n-го порядка.


2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми k ее столбцами привести матрицу (A\mid E) к виду (\Lambda\mid S), где \Lambda — простейший вид матрицы A: \Lambda=\begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}.


3. Из последних (n-r) строк матрицы S составить матрицу \Psi=(O\mid E_{n-r})S.


4. Записать искомую систему уравнений \Psi x=o.


Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство L состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид x=\beta_1a_1+\ldots+ \beta_ka_k. Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов x найдутся такие числа \beta_1,\ldots,\beta_k, чтобы выполнялось равенство x=\beta_1a_1+\ldots+\beta_ka_k. Другими словами, при каких x неоднородная система A\beta=x (n уравнений с k неизвестными \beta=\begin{pmatrix} \beta_1&\cdots&\beta_k \end{pmatrix}^T) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство \Psi x=o. Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.




Пример 8.8. Подпространство L\triangleleft \mathbb{R}^n задано линейной оболочкой столбцов a_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}^T, a_2=\begin{pmatrix}1&2&1&3\end{pmatrix}^T, a_3=\begin{pmatrix} 3&4&3&5 \end{pmatrix}^T. Составить систему уравнений, определяющую подпространство L.


Решение. 1. Составляем матрицу A=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{pmatrix} и блочную матрицу:


(A\mid E_4)= \begin{pmatrix}1&1&3\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 1&2&4\!\!&\vline\!\!&0&1&0&0\\ 1&1&3\!\!&\vline\!\!&0&0&1&0\\ 1&3&5\!\!&\vline\!\!&0&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):


(A\mid E_4)\sim \begin{pmatrix}1&1&3\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1&0&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&0&1&0\\ 0&2&2\!\!&\vline\!\!&-1&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&3\!\!&\vline\!\!&1&0&0&0\\ 0&1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1&0&0\\ 0&0&0\!\!& \vline\!\!&-1&0&1&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&1&-2&0&1 \end{pmatrix}\!.

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы A и матрицу S:


A\sim \begin{pmatrix}1&1&3\\ 0&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0\!\!& \vline\!\!&0 \end{pmatrix}= \Lambda;\quad S=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ -1&1&0&0\\ -1&0&1&0\\ 1&-2&0&1 \end{pmatrix}\!;\quad r=\operatorname{rg}A=2.

3. Из последних n-r=4-2=2 строк матрицы S составляем матрицу \Psi=\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\ 1&-2&0&1 \end{pmatrix} искомой системы.


4. Записываем систему уравнений \Psi x=o\colon \begin{cases}-x_1+x_3=0,\\ x_1-2x_2+x_4=0.\end{cases} Заданные в условии примера столбцы a_1,\,a_2,\,a_3 являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо x.




Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство L задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: L=\{Ax=o\}. Требуется найти размерность k и базис \varphi_1,\ldots,\varphi_k этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки L=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\ldots,\varphi_k). Для этого нужно выполнить следующие действия.


1. Найти фундаментальную систему \varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r} решений однородной системы Ax=o (r=\operatorname{rg}A). Искомая размерность k=n-r.


2. Представить заданное пространство как линейную оболочку L=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}).


Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:


– составить блочную матрицу \begin{pmatrix}\dfrac{A}{E}\end{pmatrix}, приписав к матрице A единичную матрицу E n-го порядка;


– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока A привести матрицу \begin{pmatrix}\dfrac{A}{E}\end{pmatrix} к виду \begin{pmatrix}\dfrac{\Lambda}{T}\end{pmatrix}, где \Lambda — простейший вид матрицы A\colon\, \Lambda=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!& \vline\!\!&O\end{pmatrix};


– из последних (n-r) столбцов матрицы T составить фундаментальную матрицу \Phi=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}.


Столбцы фундаментальной матрицы \Phi=\begin{pmatrix} \varphi_1&\cdots& \varphi_{n-r} \end{pmatrix} составляют искомую фундаментальную систему решений.


Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.




Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства L\triangleleft \mathbb{R}^4, заданного системой уравнений


\begin{cases} x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. \end{cases}

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6 (m=3,\,n=4,\,r=\operatorname{rg}A=2)\colon


\Phi=\begin{pmatrix}\varphi_1&\varphi_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6&-2\\ 4&1\\ 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\!.

Ее столбцы \varphi_1,\,\varphi_2 образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства L равна k=n-r=2, \dim{L}=2.


2. Столбцы \varphi_1,\,\varphi_2 являются искомым базисом, так как они линейно независимы (\operatorname{rg}\Phi=2) и L=\operatorname{Lin} (\varphi_1, \varphi_2).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved