Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Способы нахождения обратной матрицы

Способы нахождения обратной матрицы


Пусть дана квадратная матрица A. Требуется найти обратную матрицу A^{-1}.


Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.


1. Вычислить определитель \det{A} данной матрицы. Если \det{A}=0, то обратной матрицы не существует (матрица A вырожденная).


2. Составить матрицу \begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix} из алгебраических дополнений A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} элементов матрицы A.


3. Транспонируя матрицу \begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}, получить присоединенную матрицу A^{+}=(A_{ij})^{T}.


4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель \det{A}:


A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}.

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.


1. Составить блочную матрицу (A\mid E), приписав к данной матрице A единичную матрицу того же порядка.


2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы (A\mid E), привести ее левый блок A к простейшему виду \Lambda. При этом блочная матрица приводится к виду (\Lambda\mid S), где S — квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы E.


3. Если \Lambda=E, то блок S равен обратной матрице, т.е. S=A^{-1}. Если \Lambda\ne E, то матрица A не имеет обратной.


В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы (A\mid E) можно привести ее левый блок A к упрощенному виду \Lambda (см. рис. 1.5). При этом блочная матрица (A\mid E) преобразуется к виду (\Lambda\mid S), где S — элементарная матрица, удовлетворяющая равенству \Lambda=SA. Если матрица A невырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей \Lambda=E. Тогда из равенства E=\Lambda=SA следует, что S=A^{-1}. Если же матрица A вырожденная, то ее упрощенный вид \Lambda отличается от единичной матрицы, а матрица A не имеет обратной.




Замечания 4.3


1. Для невырожденных квадратных матриц A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} второго порядка можно указать простое правило нахождения обратной матрицы, следующее из первого способа:


а) поменять местами элементы на главной диагонали;

б) изменить знаки у элементов побочной диагонали;

в) поделить полученную матрицу на определитель \det{A}=ad-bc.


В результате получим обратную матрицу

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\!\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\!.
(4.2)

Действительно, следуя первому способу, имеем:


\begin{aligned}&\bold{1.}~\det{A}=ad-bc;\qquad \bold{2.}~\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}d&-c\\ -b&a \end{pmatrix}\!;\\[5pt] &\bold{3.}~A^{+}= \begin{pmatrix}A_{ij} \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\!;\quad \bold{4.}~A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}= \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\!,\end{aligned}


2. Второй способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований данной матрицы может быть реализован следующим образом.


1. Составить блочную матрицу \left(\frac{A}{E}\right), приписав к данной матрице A, единичную матрицу того же порядка.


2. При помощи элементарных преобразований над столбцами привести блочную матрицу к виду \left(\frac{E}{T}\right). В полученной матрице блок T равен обратной матрице, т.е. T=A^{-1}.




Пример 4.2. Дана матрица A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}. Найти обратную.


Решение. Первый способ. 1. Находим определитель \det{A}= \begin{vmatrix}1&2\\1&4\end{vmatrix}=2\ne0 Поэтому матрица A невырожденная и, следовательно, имеет обратную.


2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений:


\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&-1\\ -2&1 \end{pmatrix}\!.

3. Транспонируя матрицу (A_{ij}), получаем присоединенную матрицу


A^{+}=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1 \end{pmatrix}\!.

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель \det{A}=2 находим обратную матрицу:


A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.

Сделаем проверку \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!..


Используя правило, указанное в п.1 замечаний 4.3, для матрицы A=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} получаем


A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\! \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}= \frac{1}{2}\! \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2 \end{pmatrix}\!.

Заметим, что \det{A^{-1}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{\det{A}}.


Второй способ. 1. Составляем блочную матрицу


\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1&4\!\!&\vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!.

2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к простейшему виду (E\mid A^{-1}). Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (-1):


\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1&4\!\!&\vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1 \end{pmatrix}\!.

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1):


\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\!.

Для получения в левом блоке единичной матрицы надо разделить вторую строку на 2:


\begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.

В правом блоке получили обратную матрицу A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}.




Пример 4.3. Дана матрица A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&1&0\\0&2&2 \end{pmatrix}. Найти обратную.


Решение. Первый способ. 1. Находим определитель матрицы \det{A}=2.


2. Находим алгебраические дополнения данной матрицы:


\begin{array}{lll} A_{11}=(-1)^{1+1}\!\begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix}=2;&\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\!\begin{vmatrix}0&0\\0&2\end{vmatrix}=0;&\quad A_{13}=(-1)^{1+3}\!\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}=0;\\\\[-5pt] A_{21}=(-1)^{2+1}\!\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=-2;&\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\!\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2;&\quad A_{23}=(-1)^{2+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2;\\\\[-5pt] A_{31}=(-1)^{3+1}\!\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1;&\quad A_{32}=(-1)^{3+2}\!\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=0;&\quad A_{33}=(-1)^{3+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1. \end{array}

и составляем из них матрицу (A_{ij})= \begin{pmatrix}2&0&0\\ -2&2&-2\\ -1&0&1\end{pmatrix}.


Транспонируя матрицу (A_{ij}), получаем присоединенную матрицу


A^{+}=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}2&-2&-1\\ 0&2&0\\ 0&-2&1 \end{pmatrix}\!.

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на
определитель \det{A}=2, получим обратную матрицу:


A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}= \begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2 \end{pmatrix}\!.

Проверим равенство A^{-1}A=E:


\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&0\\0&2&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.

Второй способ. 1. Составим блочную матрицу (A\mid E), приписав к матрице A единичную матрицу того же порядка:


(A\mid E)= \begin{pmatrix}1&2&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&2&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к виду (E\mid A^{-1})\colon


(A\mid E)\sim \begin{pmatrix}1&0&1\!\!&\vline\!\!&1&-2&0\\ 0&1&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&2\!\!&\vline\!\!&0&-2&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1\!\!& \vline\!\!&1&-2&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1\!\!& \vline\!\!&0&-1&1/2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&-1&-1/2\\ 0&1&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1\!\!& \vline\!\!&0&-1&1/2\end{pmatrix}\!.

В правом блоке получаем обратную матрицу A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2 \end{pmatrix}.




Обращение блочных матриц


Пусть квадратная невырожденная матрица Q (m+n)-го порядка разбита на блоки


Q=\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D \end{pmatrix}\!,

где A- невырожденная квадратная матрица m-го порядка, а B,\,C,\,D -произвольные матрицы размеров m\times n, n\times m n\times n соответственно.


Обратная матрица Q существует и находится по формуле Фробениуса


Q^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BNCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&-A^{-1}BN\\\hline -NCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,
(4.3)

где N=(D-CA^{-1}B)^{-1}. Эта формула сводит обращение матрицы (m+n)-го порядка к обращению двух матриц A и N меньшего порядка (m и n соответственно).


Если предположить, что матрица D — невырожденная (вместо матрицы A), то формула имеет вид:


Q^{-1}=\begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-MBD^{-1}\\\hline -D^{-1}CM\!\!&\vline\!\!& D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1} \end{pmatrix}\!.

где M=(A-BD^{-1}C)^{-1} — квадратная матрица m-го порядка.


Наконец, если обе матрицы A и D невырожденные, то


Q^{-1}=\begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-MBD^{-1}\\\hline -D^{-1}CM\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-A^{-1}BN\\\hline -NCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,
(4.4)

где, как и ранее, M=(A-BD^{-1}C)^{-1},~N=(D-CA^{-1}B)^{-1} — квадратные матрицы порядков m и n соответственно.


Доказательство формул (4.3), (4.4) сводится к умножению блочных матриц.




Пример 4.4. Найти обратную для блочной матрицы


Q= Q=\begin{pmatrix}1&-1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ -1&2\!\!&\vline\!\!&-1&0\\\hline 0&2\!\!&\vline\!\!& 0&1\\ 2&0\!\!&\vline\!\!& 1&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица A — невырожденная второго порядка. Применяя правило (4.2), последовательно находим:


\begin{gathered}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!;\qquad CA^{-1}=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&2\\4&2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] D-CA^{-1}B= \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2&2\\4&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -2&2\\-2&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt]<br />N=(D-CA^{-1}B)^{-1}= \frac{1}{-1}\! \begin{pmatrix}-2&1\\-3&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\hfill\\[5pt] A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\!;\quad A^{-1}BN=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&-3\\1&-1\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] A^{-1}BNCA^{-1}= \begin{pmatrix} 4&-3\\1&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&2\\4&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4&2\\-2&0 \end{pmatrix}\!;\quad A^{-1}+A^{-1}BNCA^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\\-1&1 \end{pmatrix}\!; \hfill\\[5pt] NCA^{-1}= \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2&2\\4&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2\\-2&2\end{pmatrix}\!. \end{gathered}

По формуле (4.3) имеем

Q^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\!\!&\vline\!\!&-4&3\\ -1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1\\\hline 0&-2\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 2&-2\!\!&\vline\!\!&3&-2 \end{pmatrix}\!.

Учитывая, что матрица D в данной блочной матрице Q является невырожденной, обратную матрицу Q^{-1} можно aнайти по формуле (4.4). Вычисляем левый верхний блок матрицы Q^{-1} (остальные блоки такие же как формуле (4.3):


\begin{gathered}A-BD^{-1}C= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0&2\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\ 1&-2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] M=\begin{pmatrix} A-BD^{-1}C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&-3\\1&-2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\\-1&1\end{pmatrix}\!. \end{gathered}

Результаты вычислений по формулам (4.3) и (4.4) совпадают.




Замечание 4.4. Если определитель \Delta=\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D\end{vmatrix} разбит на четыре блока, где матрицы A и D — квадратные,то справедливы формулы:


\Delta=|A|\cdot|D-CA^{-1}B| при |A|\ne0\,;

\Delta=|A-BD^{-1}C|\cdot|D| при |D|\ne0\,.

В частном случае, когда все четыре матрицы A,\,B,\,C,\,D квадратные одного и того же порядка, справедливы формулы Шура:


\Delta=|AD-ACA^{-1}B| при |A|\ne0\,;

\Delta=|AD-BD^{-1}CD| при |D|\ne0\,.

Если матрицы A и C перестановочны (AC=CA), то \Delta=|AD-CB|, а если матрицы C и D перестановочны, то \Delta=|AD-BC|.


Докажем, например, формулу \Delta=|A|\cdot|D-CA^{-1}B|. Пусть A и D -квадратные матрицы m-го и n-го порядков соответственно, причем |A|\ne0. Составим блочную матрицу S=\begin{pmatrix}E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline -CA^{-1}\!\!&\vline\!\!&E_n\end{pmatrix}, где O — нулевая матрица размеров m\times n. Матрицу S можно рассматривать как элементарную блочную матрицу, так как она получена из единичной блочной матрицы E_{m+n}= \begin{pmatrix} E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O^{T}\!\!& \vline\!\!& E_n\end{pmatrix} в результате прибавления ко второй ее строке блоков первой строки блоков, умноженных на матрицу (-CA^{-1}). Умножим блочную матрицу \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!& \vline\!\!&D\end{pmatrix} слева на матрицу S:


\begin{pmatrix}E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline -CA^{-1}\!\!& \vline\!\!& E_n\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!& \vline\!\!&D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O^T\!\!& \vline\!\!&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}

Найдем определители матриц в левой и правой частях этого равенства. Определитель матрицы S равен единице, так как это нижняя треугольная числовая матрица с единицами на главной диагонали (см. п.1 замечаний 2.2). Определитель матрицы в правой части равен |A|\cdot|D-CA^{-1}B|, так как это блочно-треугольная матрица (см. п.2 замечаний 2.4). По теореме 2.2 об определителе произведения матриц получаем доказываемую формулу


\begin{array}{|c|c|}E_m&O\\\hline -CA^{-1}& E_n\end{array} \cdot \begin{array}{|c|c|}A&B\\\hline C&D\end{array}= \begin{array}{|c|c|}A&B\\\hline O^{T}& D-CA^{-1}B\end{array}\quad \Leftrightarrow\quad 1\cdot\Delta= |A|\cdot|D-CA^{-1}B|.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved