Способы нахождения обратной матрицы
Пусть дана квадратная матрица . Требуется найти обратную матрицу .
Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.
1. Вычислить определитель данной матрицы. Если , то обратной матрицы не существует (матрица вырожденная).
2. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы .
3. Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу .
4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель
Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.
1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрице единичную матрицу того же порядка.
2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блок к простейшему виду . При этом блочная матрица приводится к виду , где — квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы .
3. Если , то блок равен обратной матрице, т.е. . Если , то матрица не имеет обратной.
В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы можно привести ее левый блок к упрощенному виду (см. рис. 1.5). При этом блочная матрица преобразуется к виду , где — элементарная матрица, удовлетворяющая равенству . Если матрица невырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей . Тогда из равенства следует, что . Если же матрица вырожденная, то ее упрощенный вид отличается от единичной матрицы, а матрица не имеет обратной.
Замечания 4.3
1. Для невырожденных квадратных матриц второго порядка можно указать простое правило нахождения обратной матрицы, следующее из первого способа:
а) поменять местами элементы на главной диагонали; б) изменить знаки у элементов побочной диагонали; в) поделить полученную матрицу на определитель . В результате получим обратную матрицу
(4.2)
Действительно, следуя первому способу, имеем:
2. Второй способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований данной матрицы может быть реализован следующим образом.
1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрице , единичную матрицу того же порядка.
2. При помощи элементарных преобразований над столбцами привести блочную матрицу к виду . В полученной матрице блок равен обратной матрице, т.е. .
Пример 4.2. Дана матрица . Найти обратную.
Решение. Первый способ. 1. Находим определитель Поэтому матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную.
2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
3. Транспонируя матрицу , получаем присоединенную матрицу
4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель находим обратную матрицу:
Сделаем проверку .
Используя правило, указанное в п.1 замечаний 4.3, для матрицы получаем
Заметим, что .
Второй способ. 1. Составляем блочную матрицу
2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к простейшему виду . Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (-1):
Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1):
Для получения в левом блоке единичной матрицы надо разделить вторую строку на 2:
В правом блоке получили обратную матрицу .
Пример 4.3. Дана матрица . Найти обратную.
Решение. Первый способ. 1. Находим определитель матрицы .
2. Находим алгебраические дополнения данной матрицы:
и составляем из них матрицу .
Транспонируя матрицу , получаем присоединенную матрицу
4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель , получим обратную матрицу:
Проверим равенство
Второй способ. 1. Составим блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу того же порядка:
2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к виду
В правом блоке получаем обратную матрицу .
Обращение блочных матриц
Пусть квадратная невырожденная матрица (m+n)-го порядка разбита на блоки
где - невырожденная квадратная матрица m-го порядка, а -произвольные матрицы размеров соответственно.
Обратная матрица существует и находится по формуле Фробениуса
(4.3)
где . Эта формула сводит обращение матрицы (m+n)-го порядка к обращению двух матриц и меньшего порядка ( и соответственно).
Если предположить, что матрица — невырожденная (вместо матрицы ), то формула имеет вид:
где — квадратная матрица m-го порядка.
Наконец, если обе матрицы и невырожденные, то
(4.4)
где, как и ранее, — квадратные матрицы порядков и соответственно.
Доказательство формул (4.3), (4.4) сводится к умножению блочных матриц.
Пример 4.4. Найти обратную для блочной матрицы
Решение. Матрица — невырожденная второго порядка. Применяя правило (4.2), последовательно находим:
По формуле (4.3) имеем
Учитывая, что матрица в данной блочной матрице является невырожденной, обратную матрицу можно aнайти по формуле (4.4). Вычисляем левый верхний блок матрицы (остальные блоки такие же как формуле (4.3):
Результаты вычислений по формулам (4.3) и (4.4) совпадают.
Замечание 4.4. Если определитель разбит на четыре блока, где матрицы и — квадратные,то справедливы формулы:
при
при
В частном случае, когда все четыре матрицы квадратные одного и того же порядка, справедливы формулы Шура:
при
при
Если матрицы и перестановочны , то , а если матрицы и перестановочны, то .
Докажем, например, формулу . Пусть и -квадратные матрицы m-го и n-го порядков соответственно, причем . Составим блочную матрицу , где — нулевая матрица размеров . Матрицу можно рассматривать как элементарную блочную матрицу, так как она получена из единичной блочной матрицы в результате прибавления ко второй ее строке блоков первой строки блоков, умноженных на матрицу . Умножим блочную матрицу слева на матрицу
Найдем определители матриц в левой и правой частях этого равенства. Определитель матрицы равен единице, так как это нижняя треугольная числовая матрица с единицами на главной диагонали (см. п.1 замечаний 2.2). Определитель матрицы в правой части равен , так как это блочно-треугольная матрица (см. п.2 замечаний 2.4). По теореме 2.2 об определителе произведения матриц получаем доказываемую формулу
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|