Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Способы нахождения обратной матрицы

Способы нахождения обратной матрицы


Пусть дана квадратная матрица [math]A[/math]. Требуется найти обратную матрицу [math]A^{-1}[/math].


Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.


1. Вычислить определитель [math]\det{A}[/math] данной матрицы. Если [math]\det{A}=0[/math], то обратной матрицы не существует (матрица [math]A[/math] вырожденная).


2. Составить матрицу [math]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/math] из алгебраических дополнений [math]A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}[/math] элементов матрицы [math]A[/math].


3. Транспонируя матрицу [math]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/math], получить присоединенную матрицу [math]A^{+}=(A_{ij})^{T}[/math].


4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель [math]\det{A}:[/math]


[math]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}.[/math]

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.


1. Составить блочную матрицу [math](A\mid E)[/math], приписав к данной матрице [math]A[/math] единичную матрицу того же порядка.


2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы [math](A\mid E)[/math], привести ее левый блок [math]A[/math] к простейшему виду [math]\Lambda[/math]. При этом блочная матрица приводится к виду [math](\Lambda\mid S)[/math], где [math]S[/math] — квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы [math]E[/math].


3. Если [math]\Lambda=E[/math], то блок [math]S[/math] равен обратной матрице, т.е. [math]S=A^{-1}[/math]. Если [math]\Lambda\ne E[/math], то матрица [math]A[/math] не имеет обратной.


В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы [math](A\mid E)[/math] можно привести ее левый блок [math]A[/math] к упрощенному виду [math]\Lambda[/math] (см. рис. 1.5). При этом блочная матрица [math](A\mid E)[/math] преобразуется к виду [math](\Lambda\mid S)[/math], где [math]S[/math] — элементарная матрица, удовлетворяющая равенству [math]\Lambda=SA[/math]. Если матрица [math]A[/math] невырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей [math]\Lambda=E[/math]. Тогда из равенства [math]E=\Lambda=SA[/math] следует, что [math]S=A^{-1}[/math]. Если же матрица [math]A[/math] вырожденная, то ее упрощенный вид [math]\Lambda[/math] отличается от единичной матрицы, а матрица [math]A[/math] не имеет обратной.




Замечания 4.3


1. Для невырожденных квадратных матриц [math]A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/math] второго порядка можно указать простое правило нахождения обратной матрицы, следующее из первого способа:


а) поменять местами элементы на главной диагонали;

б) изменить знаки у элементов побочной диагонали;

в) поделить полученную матрицу на определитель [math]\det{A}=ad-bc[/math].


В результате получим обратную матрицу

[math]A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\!\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\!.[/math]
(4.2)

Действительно, следуя первому способу, имеем:


[math]\begin{aligned}&\bold{1.}~\det{A}=ad-bc;\qquad \bold{2.}~\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}d&-c\\ -b&a \end{pmatrix}\!;\\[5pt] &\bold{3.}~A^{+}= \begin{pmatrix}A_{ij} \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\!;\quad \bold{4.}~A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}= \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\!,\end{aligned}[/math]


2. Второй способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований данной матрицы может быть реализован следующим образом.


1. Составить блочную матрицу [math]\left(\frac{A}{E}\right)[/math], приписав к данной матрице [math]A[/math], единичную матрицу того же порядка.


2. При помощи элементарных преобразований над столбцами привести блочную матрицу к виду [math]\left(\frac{E}{T}\right)[/math]. В полученной матрице блок [math]T[/math] равен обратной матрице, т.е. [math]T=A^{-1}[/math].




Пример 4.2. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}[/math]. Найти обратную.


Решение. Первый способ. 1. Находим определитель [math]\det{A}= \begin{vmatrix}1&2\\1&4\end{vmatrix}=2\ne0[/math] Поэтому матрица [math]A[/math] невырожденная и, следовательно, имеет обратную.


2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений:


[math]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&-1\\ -2&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Транспонируя матрицу [math](A_{ij})[/math], получаем присоединенную матрицу


[math]A^{+}=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель [math]\det{A}=2[/math] находим обратную матрицу:


[math]A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/math]

Сделаем проверку [math]\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.[/math].


Используя правило, указанное в п.1 замечаний 4.3, для матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/math] получаем


[math]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\! \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}= \frac{1}{2}\! \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2 \end{pmatrix}\!.[/math]

Заметим, что [math]\det{A^{-1}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{\det{A}}[/math].


Второй способ. 1. Составляем блочную матрицу


[math]\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1&4\!\!&\vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к простейшему виду [math](E\mid A^{-1})[/math]. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (-1):


[math]\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1&4\!\!&\vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1):

[math]\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Для получения в левом блоке единичной матрицы надо разделить вторую строку на 2:

[math]\begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/math]

В правом блоке получили обратную матрицу [math]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}[/math].




Пример 4.3. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&1&0\\0&2&2 \end{pmatrix}[/math]. Найти обратную.


Решение. Первый способ. 1. Находим определитель матрицы [math]\det{A}=2[/math].


2. Находим алгебраические дополнения данной матрицы:


[math]\begin{array}{lll} A_{11}=(-1)^{1+1}\!\begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix}=2;&\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\!\begin{vmatrix}0&0\\0&2\end{vmatrix}=0;&\quad A_{13}=(-1)^{1+3}\!\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}=0;\\\\[-5pt] A_{21}=(-1)^{2+1}\!\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=-2;&\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\!\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2;&\quad A_{23}=(-1)^{2+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2;\\\\[-5pt] A_{31}=(-1)^{3+1}\!\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1;&\quad A_{32}=(-1)^{3+2}\!\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=0;&\quad A_{33}=(-1)^{3+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1. \end{array}[/math]

и составляем из них матрицу [math](A_{ij})= \begin{pmatrix}2&0&0\\ -2&2&-2\\ -1&0&1\end{pmatrix}[/math].


Транспонируя матрицу [math](A_{ij})[/math], получаем присоединенную матрицу


[math]A^{+}=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}2&-2&-1\\ 0&2&0\\ 0&-2&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на
определитель [math]\det{A}=2[/math], получим обратную матрицу:


[math]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}= \begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2 \end{pmatrix}\!.[/math]

Проверим равенство [math]A^{-1}A=E:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&0\\0&2&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Второй способ. 1. Составим блочную матрицу [math](A\mid E)[/math], приписав к матрице [math]A[/math] единичную матрицу того же порядка:


[math](A\mid E)= \begin{pmatrix}1&2&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&2&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к виду [math](E\mid A^{-1})\colon[/math]


[math](A\mid E)\sim \begin{pmatrix}1&0&1\!\!&\vline\!\!&1&-2&0\\ 0&1&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&2\!\!&\vline\!\!&0&-2&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1\!\!& \vline\!\!&1&-2&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1\!\!& \vline\!\!&0&-1&1/2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&-1&-1/2\\ 0&1&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1\!\!& \vline\!\!&0&-1&1/2\end{pmatrix}\!.[/math]

В правом блоке получаем обратную матрицу [math]A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2 \end{pmatrix}[/math].




Обращение блочных матриц


Пусть квадратная невырожденная матрица [math]Q[/math] (m+n)-го порядка разбита на блоки


[math]Q=\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]A[/math]- невырожденная квадратная матрица m-го порядка, а [math]B,\,C,\,D[/math] -произвольные матрицы размеров [math]m\times n,[/math] [math]n\times m[/math] [math]n\times n[/math] соответственно.


Обратная матрица [math]Q[/math] существует и находится по формуле Фробениуса


[math]Q^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BNCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&-A^{-1}BN\\\hline -NCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,[/math]
(4.3)

где [math]N=(D-CA^{-1}B)^{-1}[/math]. Эта формула сводит обращение матрицы (m+n)-го порядка к обращению двух матриц [math]A[/math] и [math]N[/math] меньшего порядка ([math]m[/math] и [math]n[/math] соответственно).


Если предположить, что матрица [math]D[/math] — невырожденная (вместо матрицы [math]A[/math]), то формула имеет вид:


[math]Q^{-1}=\begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-MBD^{-1}\\\hline -D^{-1}CM\!\!&\vline\!\!& D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1} \end{pmatrix}\!.[/math]

где [math]M=(A-BD^{-1}C)^{-1}[/math] — квадратная матрица m-го порядка.


Наконец, если обе матрицы [math]A[/math] и [math]D[/math] невырожденные, то


[math]Q^{-1}=\begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-MBD^{-1}\\\hline -D^{-1}CM\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-A^{-1}BN\\\hline -NCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,[/math]
(4.4)

где, как и ранее, [math]M=(A-BD^{-1}C)^{-1},~N=(D-CA^{-1}B)^{-1}[/math] — квадратные матрицы порядков [math]m[/math] и [math]n[/math] соответственно.


Доказательство формул (4.3), (4.4) сводится к умножению блочных матриц.




Пример 4.4. Найти обратную для блочной матрицы


[math]Q= Q=\begin{pmatrix}1&-1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ -1&2\!\!&\vline\!\!&-1&0\\\hline 0&2\!\!&\vline\!\!& 0&1\\ 2&0\!\!&\vline\!\!& 1&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math] — невырожденная второго порядка. Применяя правило (4.2), последовательно находим:


[math]\begin{gathered}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!;\qquad CA^{-1}=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&2\\4&2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] D-CA^{-1}B= \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2&2\\4&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -2&2\\-2&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt]
N=(D-CA^{-1}B)^{-1}= \frac{1}{-1}\! \begin{pmatrix}-2&1\\-3&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\hfill\\[5pt] A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\!;\quad A^{-1}BN=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&-3\\1&-1\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] A^{-1}BNCA^{-1}= \begin{pmatrix} 4&-3\\1&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&2\\4&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4&2\\-2&0 \end{pmatrix}\!;\quad A^{-1}+A^{-1}BNCA^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\\-1&1 \end{pmatrix}\!; \hfill\\[5pt] NCA^{-1}= \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2&2\\4&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2\\-2&2\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

По формуле (4.3) имеем

[math]Q^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\!\!&\vline\!\!&-4&3\\ -1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1\\\hline 0&-2\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 2&-2\!\!&\vline\!\!&3&-2 \end{pmatrix}\!.[/math]

Учитывая, что матрица [math]D[/math] в данной блочной матрице [math]Q[/math] является невырожденной, обратную матрицу [math]Q^{-1}[/math] можно aнайти по формуле (4.4). Вычисляем левый верхний блок матрицы [math]Q^{-1}[/math] (остальные блоки такие же как формуле (4.3):


[math]\begin{gathered}A-BD^{-1}C= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0&2\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\ 1&-2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] M=\begin{pmatrix} A-BD^{-1}C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&-3\\1&-2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\\-1&1\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Результаты вычислений по формулам (4.3) и (4.4) совпадают.




Замечание 4.4. Если определитель [math]\Delta=\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D\end{vmatrix}[/math] разбит на четыре блока, где матрицы [math]A[/math] и [math]D[/math] — квадратные,то справедливы формулы:


[math]\Delta=|A|\cdot|D-CA^{-1}B|[/math] при [math]|A|\ne0\,;[/math]

[math]\Delta=|A-BD^{-1}C|\cdot|D|[/math] при [math]|D|\ne0\,.[/math]

В частном случае, когда все четыре матрицы [math]A,\,B,\,C,\,D[/math] квадратные одного и того же порядка, справедливы формулы Шура:


[math]\Delta=|AD-ACA^{-1}B|[/math] при [math]|A|\ne0\,;[/math]

[math]\Delta=|AD-BD^{-1}CD|[/math] при [math]|D|\ne0\,.[/math]

Если матрицы [math]A[/math] и [math]C[/math] перестановочны [math](AC=CA)[/math], то [math]\Delta=|AD-CB|[/math], а если матрицы [math]C[/math] и [math]D[/math] перестановочны, то [math]\Delta=|AD-BC|[/math].


Докажем, например, формулу [math]\Delta=|A|\cdot|D-CA^{-1}B|[/math]. Пусть [math]A[/math] и [math]D[/math] -квадратные матрицы m-го и n-го порядков соответственно, причем [math]|A|\ne0[/math]. Составим блочную матрицу [math]S=\begin{pmatrix}E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline -CA^{-1}\!\!&\vline\!\!&E_n\end{pmatrix}[/math], где [math]O[/math] — нулевая матрица размеров [math]m\times n[/math]. Матрицу [math]S[/math] можно рассматривать как элементарную блочную матрицу, так как она получена из единичной блочной матрицы [math]E_{m+n}= \begin{pmatrix} E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O^{T}\!\!& \vline\!\!& E_n\end{pmatrix}[/math] в результате прибавления ко второй ее строке блоков первой строки блоков, умноженных на матрицу [math](-CA^{-1})[/math]. Умножим блочную матрицу [math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!& \vline\!\!&D\end{pmatrix}[/math] слева на матрицу [math]S:[/math]


[math]\begin{pmatrix}E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline -CA^{-1}\!\!& \vline\!\!& E_n\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!& \vline\!\!&D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O^T\!\!& \vline\!\!&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}[/math]

Найдем определители матриц в левой и правой частях этого равенства. Определитель матрицы [math]S[/math] равен единице, так как это нижняя треугольная числовая матрица с единицами на главной диагонали (см. п.1 замечаний 2.2). Определитель матрицы в правой части равен [math]|A|\cdot|D-CA^{-1}B|[/math], так как это блочно-треугольная матрица (см. п.2 замечаний 2.4). По теореме 2.2 об определителе произведения матриц получаем доказываемую формулу


[math]\begin{array}{|c|c|}E_m&O\\\hline -CA^{-1}& E_n\end{array} \cdot \begin{array}{|c|c|}A&B\\\hline C&D\end{array}= \begin{array}{|c|c|}A&B\\\hline O^{T}& D-CA^{-1}B\end{array}\quad \Leftrightarrow\quad 1\cdot\Delta= |A|\cdot|D-CA^{-1}B|.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved