Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Составление дифференциальных уравнений семейств линий. Задачи на траектории

Составление дифференциальных уравнений семейств линий


Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых


[math]y=\varphi(x,a) \quad (a-\text{parametr}).[/math]
(1)

Дифференцируя (1) по [math]x[/math], найдем

[math]y'=\varphi'_x(x,a).[/math]
(2)

Исключая параметр [math]a[/math] из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение

[math]F(x,y,y')=0,[/math]
(3)

выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).

Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением


[math]\Phi(x,y,a)=0,[/math]

то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр [math]a[/math] из уравнений [math]\begin{cases}\Phi(x,y,a)=0,\\[3pt] \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}+\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\,y'=0.\end{cases}[/math]


Пусть теперь имеем соотношение


[math]\Phi(x,y,a_1,a_2,\ldots,a_n)=0.[/math]
(4)

где [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] — параметры. Дифференцируя (4) [math]n[/math] раз по [math]x[/math] и исключая параметры [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида


[math]F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0.[/math]
(5)

Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).



Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{1}=1[/math].


Решение. Дифференцируя это уравнение по [math]x[/math], получаем


[math]\frac{2x}{a^2}-2yy'=0,[/math] или [math]\frac{x}{a^2}=yy'.[/math]

Умножим обе части на [math]x[/math], тогда [math]\frac{x^2}{a^2}=xyy'[/math]. Подставляя в уравнение семейства найдем [math]xyy'-y^2=1[/math].



Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий [math]y=a(1-e^{-x/a})[/math], где [math]a[/math] — параметр.


Решение. Дифференцируем обе части уравнения по [math]x[/math]:


[math]y'=e^{-x/a}[/math]

Из выражения для [math]y'[/math] находим [math]a=-\frac{x}{ln{y'}}[/math] и, подставляя это выражение для [math]a[/math] в уравнение семейства линий, получим

[math]y=-\frac{x}{\ln{y'}}(1-y'),[/math] или [math]y\ln{y'}+x(1-y')=0.[/math]



Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.


Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой


[math]x\cos\alpha+y\sin\alpha-1=0,[/math]
(6)
где [math]\alpha[/math] — параметр.

Дифференцируя (6) по [math]x[/math], найдем [math]\xos\alpha+y'\sin\alpha=0[/math], откуда [math]y'=-\operatorname{ctg}\alpha[/math], следовательно,


[math]\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}, \quad \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}.[/math]

Подставив [math]\sin\alpha[/math] и [math]\cos\alpha[/math] в (6), получим


[math]-\frac{xy'}{\sqrt{1+(y')^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+(y')^2}}-1=0,[/math] или [math]y=xy'+\sqrt{1+(y')^2}\,.[/math]



2°. Задачи на траектории


Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра [math]\alpha[/math],


[math]\Phi(x,y,a)=0,[/math]
(7)

Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол [math]\alpha[/math] с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math], то — ортогональной траекторией.


Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.


А. Ортогональные траектории. Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид


[math]F(x,y,y')=0.[/math]

Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид


[math]F\!\left(x,y,-\frac{1}{y'}\right)=0.[/math]

Общий интеграл этого уравнения [math]\Phi_1(x,y,C)=0[/math] дает семейство ортогональных траекторий.


Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах


[math]\Phi(\rho,\varphi,a)=0,[/math]
(8)

где [math]a[/math] — параметр. Исключая параметр [math]a[/math] из (8) и [math]\frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}=0[/math], получаем дифференциальное уравнение семейства (8): [math]F(\rho,\varphi,\rho')=0[/math]. Заменяя в нем [math]\rho'[/math] на [math]-\frac{\rho^2}{\rho'}[/math], получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий

[math]F\!\left(\rho,\varphi,-\frac{\rho^2}{\rho'}\right)=0.[/math]

Б. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом [math]\alpha[/math], причем [math]\operatorname{tg}\alpha=k[/math]. Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид


Ортогональные траектории семейства прямых
[math]F\!\left(x,y,\frac{y'-k}{1+ky'}\right)=0.[/math]



Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий [math]y=kx[/math].


Решение. Семейство линий [math]y=kx[/math] состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по [math]x[/math] обе части уравнения [math]y=kx[/math]. Имеем [math]y'=k[/math]. Исключая параметр [math]k[/math] из системы уравнений [math]\begin{cases}y=kx,\\y'=k,\end{cases}[/math] будем иметь дифференциальное уравнение семейства [math]xy'=y[/math]. Заменяя в нем [math]y'[/math] на [math]-\frac{1}{y'}[/math], получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий [math]-\frac{x}{y'}=y[/math], или [math]yy'+x=0[/math]. Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий [math]x^2+y^2=C[/math] [math](C\geqslant0)[/math]. Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).




Ортогональные траектории семейства окружностей

Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству [math]x^2+y^2=2ax[/math].


Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси [math]Ox[/math] и которые касаются оси [math]Oy[/math].


Дифференцируя по [math]x[/math] обе части уравнения данного семейства, найдем [math]x+yy'=a[/math]. Исключая параметр [math]a[/math] из уравнений [math]x^2+y^2=2ax,[/math] [math]x+yy'=a,[/math] получаем дифференциальное уравнение данного семейства [math]x^2-y^2+2xyy'=0[/math]. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть


[math]x^2-y^2+2xy\!\left(-\frac{1}{y'}\right)=0,[/math] или [math]y'=\frac{2xy}{x^2-y^2}\,.[/math]

Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем [math]x^2+y^2=Cy[/math]. Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси [math]Oy[/math] и которые касаются оси [math]Ox[/math] (рис. 16).




Ортогональные траектории семейства парабол

Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол [math]y=ax^2[/math].


Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по [math]x\colon y'=2ax[/math]. Исключая параметр [math]a[/math], найдем [math]\frac{y'}{y}=\frac{2}{x}[/math], или [math]y'=\frac{2y}{x}[/math] дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении [math]y'[/math] на [math]-\frac{1}{y'}[/math], получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий


[math]-\frac{1}{y'}=\frac{2y}{x},[/math] или [math]\frac{dx}{dy}=-\frac{x}{2y}\,.[/math]

Интегрируя, найдем [math]y^2=-\frac{x^2}{2}+C[/math] или [math]\frac{x^2}{2}+y^2=C>0[/math]. Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).




Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат [math]\rho^2=a\cos2\varphi[/math].


Решение. Имеем [math]\rho^2=a\cos2\varphi~\Rightarrow~\rho\rho'=-a\sin2\varphi[/math]. Исключая параметр [math]a[/math], получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых [math]\rho'=-\rho\operatorname{tg}2\varphi\,.[/math] Заменяя [math]\rho'[/math] на [math]-\frac{\rho^2}{\rho'}[/math], найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий [math]-\frac{\rho^2}{\rho'}=-\rho\operatorname{tg}2\varphi\,,[/math] откуда [math]\frac{d\rho}{\rho}=\operatorname{ctg}2\varphi\,d\varphi[/math]. Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий


[math]\rho^2=C\sin2\varphi\,.[/math]

Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол [math]\pm45^{\circ}[/math] (рис. 18).


Ортогональные траектории семейства лемнискат

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved