Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Составление дифференциальных уравнений семейств линий. Задачи на траектории

Составление дифференциальных уравнений семейств линий


Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых


y=\varphi(x,a) \quad (a-\text{parametr}).
(1)

Дифференцируя (1) по x, найдем


y'=\varphi'_x(x,a).
(2)

Исключая параметр a из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение


F(x,y,y')=0,
(3)

выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).


Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением


\Phi(x,y,a)=0,

то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр a из уравнений \begin{cases}\Phi(x,y,a)=0,\\[3pt] \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}+\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\,y'=0.\end{cases}


Пусть теперь имеем соотношение


\Phi(x,y,a_1,a_2,\ldots,a_n)=0.
(4)

где a_1,a_2,\ldots,a_n — параметры. Дифференцируя (4) n раз по x и исключая параметры a_1,a_2,\ldots,a_n из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида


F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0.
(5)

Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).




Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{1}=1.


Решение. Дифференцируя это уравнение по x, получаем


\frac{2x}{a^2}-2yy'=0, или \frac{x}{a^2}=yy'.

Умножим обе части на x, тогда \frac{x^2}{a^2}=xyy'. Подставляя в уравнение семейства найдем xyy'-y^2=1.




Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий y=a(1-e^{-x/a}), где a — параметр.


Решение. Дифференцируем обе части уравнения по x:


y'=e^{-x/a}

Из выражения для y' находим a=-\frac{x}{\ln{y'}}
и, подставляя это выражение для a в уравнение семейства линий, получим


y=-\frac{x}{\ln{y'}}(1-y'), или y\ln{y'}+x(1-y')=0.



Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.


Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой


x\cos\alpha+y\sin\alpha-1=0,
(6)
где \alpha — параметр.

Дифференцируя (6) по x, найдем \cos\alpha+y'\sin\alpha=0, откуда y'=-\operatorname{ctg}\alpha, следовательно,


\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}, \quad \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}.

Подставив \sin\alpha и \cos\alpha в (6), получим


-\frac{xy'}{\sqrt{1+(y')^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+(y')^2}}-1=0, или y=xy'+\sqrt{1+(y')^2}\,.



2°. Задачи на траектории


Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра \alpha,


\Phi(x,y,a)=0,
(7)

Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол \alpha с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, \alpha\pi\slash2, то — ортогональной траекторией.


Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.


А. Ортогональные траектории. Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид


F(x,y,y')=0.

Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид


F\!\left(x,y,-\frac{1}{y'}\right)=0.

Общий интеграл этого уравнения \Phi_1(x,y,C)=0 дает семейство ортогональных траекторий.


Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах


\Phi(\rho,\varphi,a)=0,
(8)

где a — параметр. Исключая параметр a из (8) и \frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}=0, получаем дифференциальное уравнение семейства (8): F(\rho,\varphi,\rho')=0. Заменяя в нем \rho' на -\frac{\rho^2}{\rho'},

получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий


F\!\left(\rho,\varphi,-\frac{\rho^2}{\rho'}\right)=0.

Б. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом \alpha, причем \operatorname{tg}\alpha=k. Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид


F\!\left(x,y,\frac{y'-k}{1+ky'}\right)=0.



Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий y=kx.


Решение. Семейство линий y=kx состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по x обе части уравнения y=kx. Имеем y'=k. Исключая параметр k из системы уравнений \begin{cases}y=kx,\\y'=k,\end{cases} будем иметь дифференциальное уравнение семейства xy'=y. Заменяя в нем y' на -\frac{1}{y'}, получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий -\frac{x}{y'}=y, или yy'+x=0. Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий x^2+y^2=C (C\geqslant0). Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).


Ортогональные траектории семейства прямыхОртогональные траектории семейства окружностей



Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству x^2+y^2=2ax.


Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси Ox и которые касаются оси Oy.


Дифференцируя по x обе части уравнения данного семейства, найдем x+yy'=a. Исключая параметр a из уравнений x^2+y^2=2ax, x+yy'=a, получаем дифференциальное уравнение данного семейства x^2-y^2+2xyy'=0. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть


x^2-y^2+2xy\!\left(-\frac{1}{y'}\right)=0, или y'=\frac{2xy}{x^2-y^2}\,.

Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем x^2+y^2=Cy. Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси Oy и которые касаются оси Ox (рис. 16).




Ортогональные траектории семейства парабол

Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол y=ax^2.


Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по x\colon y'=2ax. Исключая параметр a, найдем \frac{y'}{y}=\frac{2}{x}, или y'=\frac{2y}{x} дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении y' на -\frac{1}{y'}, получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий


-\frac{1}{y'}=\frac{2y}{x}, или \frac{dx}{dy}=-\frac{x}{2y}\,.

Интегрируя, найдем y^2=-\frac{x^2}{2}+C или \frac{x^2}{2}+y^2=C>0. Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).




Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат \rho^2=a\cos2\varphi.


Решение. Имеем \rho^2=a\cos2\varphi~\Rightarrow~\rho\rho'=-a\sin2\varphi. Исключая параметр a, получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых \rho'=-\rho\operatorname{tg}2\varphi\,. Заменяя \rho' на -\frac{\rho^2}{\rho'}, найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий -\frac{\rho^2}{\rho'}=-\rho\operatorname{tg}2\varphi\,, откуда \frac{d\rho}{\rho}=\operatorname{ctg}2\varphi\,d\varphi. Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий


\rho^2=C\sin2\varphi\,.

Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол \pm45^{\circ} (рис. 18).


Ортогональные траектории семейства лемнискат
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved