Составление дифференциальных уравнений семейств линий
Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых
(1)
Дифференцируя (1) по , найдем
(2)
Исключая параметр из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение
(3)
выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).
Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением
то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр из уравнений
Пусть теперь имеем соотношение
(4)
где — параметры. Дифференцируя (4) раз по и исключая параметры из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида
(5)
Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).
Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол .
Решение. Дифференцируя это уравнение по , получаем
или
Умножим обе части на , тогда . Подставляя в уравнение семейства найдем .
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий , где — параметр.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по :
Из выражения для находим и, подставляя это выражение для в уравнение семейства линий, получим
или
Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.
Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой
(6) где — параметр.
Дифференцируя (6) по , найдем , откуда , следовательно,
Подставив и в (6), получим
или
2°. Задачи на траектории
Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра ,
(7)
Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, , то — ортогональной траекторией.
Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.
А. Ортогональные траектории. Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид
Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид
Общий интеграл этого уравнения дает семейство ортогональных траекторий.
Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах
(8) где — параметр. Исключая параметр из (8) и , получаем дифференциальное уравнение семейства (8): . Заменяя в нем на , получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий
Б. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом , причем . Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид
Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий .
Решение. Семейство линий состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по обе части уравнения . Имеем . Исключая параметр из системы уравнений будем иметь дифференциальное уравнение семейства . Заменяя в нем на , получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий , или . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий . Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).
Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству .
Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси и которые касаются оси .
Дифференцируя по обе части уравнения данного семейства, найдем . Исключая параметр из уравнений получаем дифференциальное уравнение данного семейства . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть
или
Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем . Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси и которые касаются оси (рис. 16).
Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол .
Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по . Исключая параметр , найдем , или дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении на , получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий
или
Интегрируя, найдем или . Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).
Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат .
Решение. Имеем . Исключая параметр , получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых Заменяя на , найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий откуда . Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий
Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол (рис. 18).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|