Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Сопряженные и самосопряженные преобразования (операторы) евклидова пространства

Сопряженные и самосопряженные преобразования
(операторы) евклидова пространства


Пусть [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] — линейное преобразование (оператор) n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math]. Преобразование [math]\mathcal{A}^{\ast}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] называется сопряженным преобразованию [math]\mathcal{A}[/math], если для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]\mathbb{E}[/math] выполняется равенство


[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y} \bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle.[/math]
(9.21)

Свойства сопряженного преобразования (оператора)


1. Сопряженное преобразование (оператор) — линейное.


Докажем, например, однородность: [math]\mathcal{A}^{\ast}(\lambda \boldsymbol{y})= \lambda \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})~ \forall \lambda\in \mathbb{R}[/math]. Пусть [math](\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n)[/math] — ортонормированный базис евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math]. Тогда


[math]\bigl\langle \boldsymbol{e}_1, \mathcal{A}^{\ast}(\lambda \boldsymbol{y})\bigr\rangle= \bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{e}_1), \lambda \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \lambda \bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{e}_1), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \lambda \bigl\langle \boldsymbol{e}_1, \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{e}_1, \lambda \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle,[/math]

т.е. первые координаты векторов [math]\mathcal{A}^{\ast}(\lambda \boldsymbol{y})[/math] и [math]\lambda \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})[/math] равны. Аналогично показывается, что равны и остальные координаты этих векторов. Значит, это равные векторы. Аддитивность сопряженного преобразования доказывается аналогично.


2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования (в любом ортонормированном базисе) является транспонированной по отношению к матрице данного преобразования (в том же базисе).


Пусть в ортонормированном базисе [math](\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n)[/math] преобразование [math]\mathcal{A}[/math] имеет матрицу [math]A[/math]. Рассмотрим преобразование [math]\mathcal{A}'[/math], которое в данном базисе имеет матрицу [math]A^T[/math]. Для координатных столбцов [math]x,\,y[/math] любых векторов [math]\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{y}[/math] имеем равенство [math]\bigl\langle Ax,y\bigr\langle= x^TA^Ty= \bigl\langle x,A^Ty\bigr\rangle[/math]. Следовательно, [math]\bigl\langle \mathcal{A} (\boldsymbol{x}),\boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}' (\boldsymbol{y})\bigr\rangle[/math], т.е. согласно (9.21) преобразование [math]\mathcal{A}'[/math] — сопряженное: [math]\mathcal{A}'=\mathcal{A}^{\ast}[/math]. Итак, сопряженное преобразование существует и его матрица в любом ортонормированном базисе является транспонированной [math]A^T[/math] по отношению к матрице данного преобразования. Отсюда также следует единственность, так как транспонированная матрица находится однозначно.


3. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math], то его ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] является инвариантным подпространством относительно сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}^{\ast}[/math].


Действительно, покажем, что образ [math]\mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})[/math] любого вектора [math]\boldsymbol{y}\in L^{\perp}[/math] ортогонален любому вектору [math]\boldsymbol{x}\in L[/math], то есть [math]\mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})\in L^{\perp}[/math]. Учитывая, что [math]\mathcal{A}(\boldsymbol{x})\in L[/math], по определению (9.21) получаем [math]\bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}^{\ast}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle= \bigl\langle \mathcal{A} (\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle=0[/math], что и требовалось доказать.




Замечания 9.8


1. Из второго свойства следует, что на сопряженные преобразования переносятся свойства транспонированных матриц. В частности: [math]\bigl(\mathcal{A}^{\ast}\bigr)^{\ast}= \mathcal{A},[/math] [math]\bigl(\mathcal{A}\mathcal{B}\bigr)^{\ast}= \mathcal{B}^{\ast} \mathcal{A}^{\ast}[/math], а также [math]\bigl(\mathcal{A}^{-1} \bigr)^{\ast}= \bigl(\mathcal{A}^{\ast}\bigr)^{-1}[/math] для обратимого преобразования.


2. Матрица [math]A^{\ast}[/math] сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}^{\ast}[/math] в произвольном (неортонормированном) базисе связана с матрицей [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] следующей формулой


[math]A^{\ast}=G^{-1}\cdot A^T\cdot G[/math], где [math]G[/math]матрица Грама данного базиса.

3. Условие ортогональности преобразования [math]\mathcal{A}[/math] (см. свойство 2) можно представить в виде [math]\mathcal{A}^{\ast}= \mathcal{A}^{-1}[/math].




Самосопряженные преобразования (операторы) евклидова пространства


Линейное преобразование (оператора) [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] называется самосопряженным, если оно является сопряженным самому себе, а именно [math]\mathcal{A}^{\ast}=\mathcal{A}[/math], то есть [math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle[/math] для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]\mathbb{E}[/math].


Например, самосопряженными преобразованиями (операторами) являются нулевое преобразование [math]\mathcal{O}[/math] и тождественное [math]\mathcal{E}[/math].


Свойства самосопряженного преобразования


1. Матрица [math]A[/math] самосопряженного преобразования в любом ортонормированием базисе является симметрической [math](A^T=A)[/math], и наоборот, если в каком-либо ортонормированием базисе матрица преобразования симметрическая, то это преобразование самосопряженное.


2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного преобразования действительные.


В самом деле, предположим противное, а именно существование пары комплексных сопряженных корней [math]\lambda=\alpha\pm\beta i,~\beta\ne0[/math]. По теореме 9.4 преобразование имеет двумерное инвариантное подпространство с линейно независимыми образующими [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math], удовлетворяющими системе (9.19), которая следует из (9.7):


[math]\begin{cases} \mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\alpha\cdot \boldsymbol{x}- \beta\cdot \boldsymbol{y},\\ \mathcal{A}(\boldsymbol{y})= \beta\cdot \boldsymbol{x}+ \alpha\cdot \boldsymbol{y}. \end{cases}[/math]
Найдем скалярные произведения:

[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \alpha\cdot \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle- \beta\cdot |\boldsymbol{y}|^2,\quad \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle= \alpha\cdot |\boldsymbol{x}|^2+ \alpha\cdot \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle.[/math]

Левые части равенств совпадают из-за самосопряженности преобразования [math]\mathcal{A}[/math]. Значит, равны и правые части:


[math]\alpha\cdot \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle- \beta\cdot |\boldsymbol{y}|^2= \alpha\cdot |\boldsymbol{x}|^2+ \alpha\cdot \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle.[/math]

Отсюда [math]\beta\bigl( |\boldsymbol{x}|^2+ |\boldsymbol{y}|^2 \bigr)=0[/math]. Поскольку [math]\beta\ne 0[/math], то [math]\boldsymbol{x}= \boldsymbol{y}= \boldsymbol{o}[/math], что противоречит линейной независимости векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math].


3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям самосопряженного преобразования, ортогональны.


Действительно, пусть [math]\mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\lambda \boldsymbol{x}[/math] и [math]\mathcal{A}(\boldsymbol{y})= \lambda_2 \boldsymbol{y}[/math]. Тогда [math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \lambda_1 \bigl\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\bigr\rangle[/math] и [math]\bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y}) \bigr\rangle= \lambda_2 \bigl\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \bigr\rangle[/math]. Так как


[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y} \bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y}) \bigr\rangle[/math], то [math]\lambda_1\bigl\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \lambda_2 \bigl\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \bigr\rangle\quad \Leftrightarrow\quad (\lambda_1-\lambda_2)\bigl\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \bigr\rangle=0.[/math].

Отсюда [math]\bigl\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\bigr\rangle=0[/math], так как [math]\lambda_1\ne \lambda_2[/math]. Значит, собственные векторы [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] ортогональны.


4. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно самосопряженного преобразования [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math], то его ортогональное дополнение [math]L^{\perp}[/math] также инвариантно относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math].


Это следует из свойства 3 сопряженных преобразований (см. выше).




Теорема (9.10) о диагонализируемости самосопряженного преобразования (оператора). Для всякого самосопряженного преобразования [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] существует ортонормированный базис (из собственных векторов), в котором матрица преобразования имеет диагональный вид


[math]\Lambda= \operatorname{diag} \bigl(\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n \bigr),[/math]
(9.22)

где [math]\lambda_1, \lambda_2, \ldots,\lambda_n[/math] — собственные значения преобразования [math]\mathcal{A}[/math], повторенные в соответствии с их кратностью.


Диагональный вид (9.22) называется также каноническим видом самосопряженного преобразования (оператора), а базис, в котором матрица имеет вид (9.22), — каноническим.


Для доказательства теоремы 9.10 нужно показать, что если существует ортонормированный базис евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math], состоящий из собственных векторов преобразования, тогда оно приводится к диагональному виду (см. разд. 9.5.1). Действительно, для собственного значения [math]\lambda_1[/math] найдем единичный собственный вектор [math]s_1[/math]. Представим евклидово пространство в виде прямой суммы [math]\mathbb{E}= L_1\oplus L_1^{\perp}[/math], где [math]L_1=\operatorname{Lin}\boldsymbol{s}_1[/math] — одномерное инвариантное подпространство. Сужение преобразования [math]\mathcal{A}[/math] (по свойству 4) на инвариантное подпространство [math]L_1^{\perp}[/math] является самосопряженным. Поэтому в [math]L_1^{\perp}[/math] можно найти одномерное инвариантное подпространство [math]L_2=\operatorname{Lin}\boldsymbol{s}_2[/math], где [math]\boldsymbol{s}_2[/math] — собственный вектор, перпендикулярный [math]\boldsymbol{s}_1[/math]. Продолжая аналогичным образом, получим [math]\mathbb{E}= L_1\oplus \ldots\oplus L_n[/math], где [math]L_j=\operatorname{Lin} \boldsymbol{s}_j[/math] — одномерное инвариантное подпространство, причем базис [math]\boldsymbol{s}_1, \boldsymbol{s}_2,\ldots, \boldsymbol{s}_n[/math] из собственных векторов ортогональный, а после нормировки — ортонормированный.




Положительные и неотрицательные преобразования евклидовых пространств


Самосопряженное преобразование называется положительным (неотрицательным), если [math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{x}\bigr\rangle>0[/math] для любого ненулевого вектора [math]\boldsymbol{x}\in \mathbb{E}[/math] (соответственно [math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \bigr\rangle\geqslant0[/math] для любого вектора [math]\boldsymbol{x}\in \mathbb{E}[/math]).


Эти понятия связаны с положительностью (неотрицательностью) симметрических матриц и квадратичных форм. Действительно, запишем неравенство [math]\bigl\langle \mathcal{A} (\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}\bigr\rangle \geqslant0[/math] в координатной форме (в ортонормированием базисе). Учитывая, что [math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}\bigr\rangle= bigl\langle A}x,x\bigr\rangle= x^TA^Tx=x^TAx[/math], получаем [math]x^Tax\geqslant0[/math] дня любого столбца [math]x\in \mathbb{R}^n[/math], что совпадает с определением неотрицательности квадратичной формы [math]x^TAx[/math].


Отметим следующие свойства положительных и неотрицательных преобразований (операторов).


1. Преобразование [math]\mathcal{A}[/math] положительно (неотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительные (неотрицательные).


2. Для любого неотрицательного (положительного) преобразования (оператора) [math]\mathcal{A}[/math] существует такое единственное неотрицательное (положительное) преобразование [math]\mathcal{B}[/math], что [math]\mathcal{B}^2=\mathcal{A}[/math].


Действительно, в каноническом базисе [math](\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{s}_1,\ldots, \boldsymbol{s}_n)[/math] матрица преобразования [math]\mathcal{A}[/math] имеет диагональный вид (9.22). Преобразование [math]\mathcal{B}[/math] определяем его матрицей в базисе [math](\boldsymbol{s})[/math], полагая [math]B=\operatorname{diag} \bigl(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n} \bigr)[/math]. Тогда [math]B^2=A[/math].


3. Преобразования (операторы) [math]\mathcal{A}^{\ast}\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{A} \mathcal{A}^{\ast}[/math] являются самосопряженными неотрицательными (положительными) для любого (невырожденного) преобразования (оператора) [math]\mathcal{A}[/math].




Теорема (9.11) о разложении невырожденного линейного преобразования (оператора). Любое невырожденное линейное преобразование (оператор) [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] можно представить в виде композиции положительного самосопряженного преобразования и ортогонального преобразования.


Действительно, рассмотрим самосопряженное положительное преобразование [math]\mathcal{D}= \mathcal{A}^{\ast} \mathcal{A}[/math] (см. свойство 3). Для него существует такое положительное самосопряженное преобразование [math]\mathcal{S}[/math], что [math]\mathcal{D}= \mathcal{S} \mathcal{S}= \mathcal{S}^{\ast} \mathcal{S}[/math] (свойство 2). Рассмотрим преобразование [math]\mathcal{B}= \mathcal{A}\mathcal{S}^{-1}[/math]. Это преобразование ортогональное (см. пункт 3 замечаний 9.8), так как


[math]\mathcal{B}^{\ast}\mathcal{B}= \bigl(\mathcal{S}^{-1}\bigr)^{\ast} \underbrace{\mathcal{A}^{\ast} \mathcal{A}}_{\mathcal{D}} \mathcal{S}^{-1}= \bigl(\mathcal{S}^{-1}\bigr)^{\ast} \underbrace{\mathcal{S}^{\ast} \mathcal{S}}_{\mathcal{D}} \mathcal{S}^{-1}= \underbrace{\bigl( \mathcal{S} \mathcal{S}^{-1}\bigr)^{\ast}}_{\mathcal{E}} \underbrace{\mathcal{S} \mathcal{S}^{-1}}_{\mathcal{E}}= \mathcal{E}.[/math]

Следовательно, [math]\mathcal{A}= \mathcal{S} \mathcal{B}[/math] — композиция положительного самосопряженного и ортогонального преобразований.




Замечания 9.9


1. Из теоремы 9.10 следует, что для любой действительной симметрической матрицы [math]A[/math] существует диагональная матрица [math]\Lambda= \operatorname{diag} (\lambda_1,\ldots, \lambda_n)[/math] (с собственными числами матрицы [math]A[/math] на главной диагонали) и ортогональная матрица [math]S~(S^T=S^{-1})[/math], что [math]\Lambda=S^TAS[/math].


2. Всякое обратимое самосопряженное преобразование (оператор) можно представить как композицию растяжений (с коэффициентами, равными собственным числам [math]\lambda_1,\ldots, \lambda_n[/math]) вдоль взаимно перпендикулярных направлений (задаваемых ортонормированным базисом [math]\boldsymbol{s}_1,\ldots, \boldsymbol{s}_n[/math] из собственных векторов). Растяжение с отрицательным коэффициентом [math]\lambda_1<0[/math] понимается как композиция зеркального отражения и растяжения с коэффициентом [math]|\lambda_1|[/math].


3. Теорема 9.11 справедлива для любого линейного преобразования, если условие положительности самосопряженного преобразования заменить условием его неотрицательности.


4. Геометрический смысл теоремы 9.11 следующий: любое невырожденное линейное преобразование можно представить как композицию преобразований, каждое из которых есть либо простое отражение (относительно гиперплоскости), либо простой поворот (двумерной плоскости), либо растяжение вдоль взаимно перпендикулярных направлений.




Приведение самосопряженного преобразования (оператора) к диагональному виду


Пусть в некотором ортонормированием базисе [math](\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n)[/math] самосопряженное преобразование [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] имеет матрицу [math]A[/math]. Требуется найти базис [math](\boldsymbol{s})= (\boldsymbol{s}_1,\ldots, \boldsymbol{s}_n)[/math], в котором матрица преобразования имеет диагональный вид (9.22). Для решения задачи нужно выполнить следующие действия.


Нахождение диагонального вида матрицы самосопряженного преобразования (первый этап).


1. Составить характеристическое уравнение [math]\det(A-\lambda E)=0[/math], найти его корни [math]\lambda_1,\ldots,\lambda_n[/math] и их алгебраические кратности [math]n_1,\ldots,n_k,~ n_1+\ldots+ n_k=n[/math].


2. Составить искомую диагональную матрицу (9.22):


[math]\Lambda= \operatorname{diag} \bigl(\underbrace{\lambda_1,\ldots,\lambda_1}_{n_1},\, \underbrace{\lambda_2,\ldots,\lambda_2}_{n_2},\,\ldots, \underbrace{\lambda_k,\ldots,\lambda_k}_{n_k} \bigr).[/math]

Нахождение матрицы [math]S[/math] перехода от данного базиса [math](\boldsymbol{e})[/math] к каноническому базису [math](\boldsymbol{s})[/math] (второй этап).


3. Для корня [math]\lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] найти фундаментальную систему [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_{n_1}[/math] решений однородной системы [math](A-\lambda_1 E)x=o[/math]. Столбцы [math]\varphi_1,\ldots,\varphi_{n_1}[/math] ортогонализировать и нормировать. Получим [math]n_1[/math] столбцов [math]s_1,\ldots,s_{n_1}[/math].


4. Записать полученные столбцы [math]s_1,\ldots,s_{n_1}[/math] в первые [math]n_1[/math] столбцов матрицы [math]S[/math].


Выполнить пункты 3, 4 для остальных собственных значений [math]\lambda_2,\ldots, \lambda_k[/math], добавляя полученные столбцы в матрицу [math]S[/math]. В результате получим искомую матрицу перехода: [math](\boldsymbol{s})=(\boldsymbol{e})S[/math].


Пример 9.6. Самосопряженное преобразование [math]\mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E}[/math] в ортонормированном базисе [math]\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3[/math] имеет матрицу [math]A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/math]. Привести это преобразование к диагональному виду, т.е. найти ортонормированный базис [math]\boldsymbol{s}_1, \boldsymbol{s}_2, \boldsymbol{s}_3[/math], в котором матрица преобразования имеет диагональный вид (9.22), и найти эту диагональную матрицу.


▼ Решение

Первый этап. Находим диагональный вид матрицы преобразования.


1. При решении примера 9.2 были найдены корни характеристического уравнения [math]\lambda_1=0[/math] (кратности [math]n_1=2[/math]) и [math]\lambda_2=3[/math] (кратности [math]n_2=1[/math]).


2. Составляем искомую диагональную матрицу [math]\Lambda= \operatorname{diag} (0,0,3)[/math]. Нахождение матрицы [math]S[/math] перехода к каноническому базису (второй этап).


3(1). Для собственного значения [math]\lambda_1=0[/math] в примере 9.2 была найдена фундаментальная система решений [math]\varphi_1= \begin{pmatrix}1&0&-1 \end{pmatrix}^T\!,[/math] [math]\varphi_2= \begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}^T[/math]. Ортогонализируем их, используя метод Грама-Шмидта. Положим [math]\psi_1=\varphi_1= \begin{pmatrix}1&0&-1\end{pmatrix}^T,[/math] [math]\psi_2=\varphi_2-\alpha\psi_1[/math]. Коэффициент [math]\alpha[/math] выбираем из условия ортогональности [math]\bigl\langle \psi_1,\psi_2 \bigr\rangle=0:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1&0&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}- \alpha\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix}\end{bmatrix}= 1\cdot(1-\alpha)+ 0\cdot(-1)+ (-1)\cdot\alpha=0\quad \Rightarrow\quad 1-2\alpha=0.[/math]

Следовательно, [math]\alpha=\frac{1}{2}[/math] и [math]\psi_2= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&-1& \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}^T[/math]. Нормируем столбцы [math]\Bigl( |\psi_1|=\sqrt{2},~ |\psi_2|= \sqrt{\frac{3}{2}}\Bigr)\colon[/math]


[math]s_1=\frac{\psi_1}{|\psi_1|}= \begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}& 0& -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}^T\!,\quad s_2=\frac{\psi_2}{|\psi_2|}= \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{6}}{6}& -\dfrac{\sqrt{6}}{3}&\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{pmatrix}^T\!.[/math]

4(1). Полученные столбцы записываем в искомую матрицу (звездочкой обозначены неизвестные пока элементы матрицы):


[math]S=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{6}}{6}&\ast\\[9pt] 0&-\dfrac{\sqrt{6}}{3}&\ast\\[9pt] -\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{6}}{6}&\ast \end{pmatrix}\!.[/math]

3(2). Для собственного значения [math]\lambda_2=3[/math] фундаментальная система решений содержит одно решение [math]\varphi_3=\begin{pmatrix}1&1&1 \end{pmatrix}^T[/math] (см. пример 9.2). Нормируя этот столбец, получаем [math]s_3=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{3}& \dfrac{\sqrt{3}}{3}& \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{pmatrix}^T[/math].


4(2). Полученный столбец дописываем в матрицу, полученную в пункте 4(1),


[math]S=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{6}}{6}&\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[9pt] 0&-\dfrac{\sqrt{6}}{3}&\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\[9pt] -\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{6}}{6}& \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}\!.[/math]

Матрица перехода к каноническому базису найдена.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved